6. Bố cục và nội dung của luận án
3.1.2. Phỏng nhóm Holonomy của phân lá
Giả sử (V F, ) là một phân lá, ta sẽ xây dựng một đa tạp H (không nhất thiết Hausdorff), có số chiều dimH =dimV +dimF mà được gọi là phỏng nhóm
holonomycủa phân lá đã cho. Phép xây dựng Hđược đưa ra bởi Winkelnkemper
(xem [8, Mục 5]).
Một phần tử γ của H được cho bởi hai điểm x=s( )γ , y=r( )γ trong V và một lớp tương đương của các đường trơn γ( ),t t∈[0,1], γ(0)=x , γ(1)= y tiếp xúc với phân thớ F (tức là γ '( )t ∈Fγ( )t , ∀ ∈t [0,1], điều này suy ra x, y thuộc cùng một lá) bởi quan hệ tương đương sau: γ1 tương đương với γ2 nếu ( 1)
2 1
h
γ γ − là phép đồng nhất.
Trong H có phép nhân tự nhiên như sau: với γ γ, '∈H thì γ γ ' có nghĩa khi s( ) ( )γ =r γ' . Với phép toán này thì Hlà một phỏng nhóm, do đó H còn được gọi là phỏng nhóm holonomy hay đồ thị của phân lá (V F, ).
Cấu trúc đa tạp trên V cho ta một tôpô trên H mà tiền cơ sở của nó là các tập có dạng: ( ) ( ) ( ( )) ( ) {γ H | , ', x s γ U y r γ U hγ pr x pr y' } Γ = ∈ = ∈ = ∈ = , ở đó ( ) ' ( ) ( ) 1;1 , 'q ' 1;1 q dim U U q co F ϕ ϕ ≅Π × − ≅Π × − = là các bản đồ phân lá của V, và pr U: → −( 1;1 , ' :)q pr U'→ −( 1;1)q là các phép ngập lên tập hoành (−1;1)q. Họ các tập Γ như trên cũng xác định một atlat trên H, và do đó H trở thành một đa tạp khả vi (dimV +dimF)-chiều. Khi đó các ánh xạ r s, từ H vào
V là các phép ngập, và ánh xạ ( , ) :s r H → ×V V là một phép dìm có ảnh là tập
{( , )x y ∈ ×V V x y: , ∈L0∈V F}. Nói về tính Hausdorff của H, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 3.1.1. Đồ thị H của phân lá (V F , ) là Hausdorff nếu và chỉ nếu: với mọi cặp điểm ( )x y, thuộc cùng một lá L nào đó, và với mọi cặp đường trơn
1, 2
γ γ trên L nối x với y, các ánh xạ holonomy h , hγ1 γ2 sẽ trùng nhau nếu chúng
đồng nhất trên một tập con mở (của miền xác định) mà có bao đóng chứa x.