6. Bố cục và nội dung của luận án
2.1.1. Phân bố khả tích trên đa tạp vi phân
Định nghĩa 2.1.1. Cho V là một đa tạp trơn và TV là phân thớ tiếp xúc của V. Một phân thớ (trơn) con F của TV được gọi là phân bố khả tích (hay khả tích) trên V nếu mỗi x∈V đều được chứa trong một đa tạp con W của V sao cho
( )
y y
T W =F , với mọi y∈W.
Ở đây ký hiệu T Wy( ) chỉ không gian tiếp xúc của W tại y, Fy là thớ tại y
của F. Đa tạp Wnhư thế được gọi là đa tạp con tích phâncủa F.
(i) F là phân bố khả tích của V.
(ii) ∀ ∈x V, tồn tại đa tạp con mở U trong V chứa x và một phép ngập
: q ( codim dim dim )
p U → q= F = V − F sao cho Fy =ker(p*) , y ∀ ∈y U.
(iii) C∞( )F ={X∈C∞(TV) /Xx∈Fx, x V∈ } là một đại số Lie.
(iv) Ideal J F( ) các dạng vi phân ngoài triệt tiêu trên F là ổn định đối với phép lấy vi phân ngoài.
Như vậy, mọi phân thớ con 1-chiều F của TV đều khả tích, nhưng khi dimF ≥ 2 thì điều kiện khả tích là không tầm thường.
2.1.2. Phân lá
Định nghĩa 2.1.3. Một phân lá (V F, ) là một cặp gồm đa tạp trơn V cùng một phân bố khả tích F trên nó. Đa tạp V được gọi là đa tạp phân lá, còn F gọi là
phân bố xác định phân lá. Số chiều (đối chiều) dim F (codim F) cũng được gọi
là số chiều (đối chiều) của phân lá (V F, ). Mỗi đa tạp con tích phân liên thông tối đại Lcủa Fđược gọi là một lácủa phân lá (V F, ). Ta có dim L = dim F.
Họ các lá của một phân lá có các tính chất đặc trưng dưới đây.
Mệnh đề 2.1.4
(i) Họ các lá của phân lá lập thành một phân hoạch của đa tạp phân lá.
(ii) ∀ ∈x V, tồn tại hệ tọa độ địa phương { 1 2 }
, , ,..., n/ dim
U x x x n= V
quanh x sao
cho nếu lá L giao với U thì mỗi thành phần liên thông trong L∩U (mà
được gọi là một tấm) đều được cho bởi các phương trình dạng:
1 1
,..., ; dim .
k n n k
trong đó 1 2
, ,..., n k
c c c − là các hằng số (phụ thuộc vào từng tấm).
Ở địa phương, đa tạp phân lá của mỗi phân lá k-chiều bị phân hoạch thành các tấm “rời” nhau, mỗi tấm đều vi phôi với một phẳng k-chiều trong n
.
Bản đồ địa phương (U,ϕ) ứng với hệ tọa độ địa phương nêu trong Mệnh
đề 2.1.4 được gọi là một bản đồ phân lá của phân lá (V F, ). Như vậy đa tạp phân lá V luôn có thể được phủ bởi một tập bản đồ (atlat) gồm các bản đồ phân lá.
Giả sử có một họ các đa tạp con của đa tạp trơn V tạo thành phân hoạch của V sao cho mỗi L∈ đều là một đa tạp con tích phân liên thông tối đại của cùng một phân bố khả tích F trên V. Khi đó chính là họ các lá của phân lá
(V F, ). Ta thường đồng nhất với chính phân bố khả tích F và dùng cùng một ký hiệu F để chỉ họ . Ta cũng bảo họ (các đa tạp con như trên của V) lập thành một phân lá trên V.
Sau đây là 2 kiểu phân lá điển hình mà ta thường gặp trong luận án.
Nếu có một phân thớ (với thớ liên thông) p V: →B sao cho mỗi thớ của nó là và chỉ là một lá của phân lá (V F, ) thì ta bảo rằng phân lá (V F, ) được cho bởi phân thớ p V: →B.
Tương tự nếu có nhóm Lie G tác động (liên tục) trên V sao cho mỗi quỹ đạo của Glà và chỉ là một lá của phân lá (V F, ) thì ta cũng bảo (V F, ) được
cho bởi tác động của nhóm G(lên đa tạp phân lá V).