6. Bố cục và nội dung của luận án
3.1.5. Tích xiên
Cho A là một C*-đại số, G là nhóm Lie compact địa phương và
: G AutA
ρ → là một tác động liên tục của G lên A. Khi đó, với mỗi g∈G, ρg là một ∗−tự đẳng cấu của A, còn với mỗi a∈A, ánh xạ g ρg( )a liên tục theo chuẩn. Ta xác định một C*-đại số A : A= ρ G gọi là tích xiên của A với G bởi tác động ρ theo cách dưới đây.
* Xét không gian véctơ C G Ac( , ) (các ánh xạ liên tục có giá compact từ G
vào A) với phép nhân và phép đối hợp như sau:
( ) ( ) 1( ( )) 1 1. 2 1 1 . g 2 1 1 f f g =∫ f g ρ f g g− dg , ∀ f f1, 2∈C G Ac( , ), g∈G, ( ) ( ) 1 ( )1 . g f∗ g =δ g − ρ f g− ∗ , ∀ ∈ f C G Ac( , ), g∈G.
ở đây, dg là độ đo Haar trái trên G, δ :G→*+ là đồng cấu được xác định bởi hệ thức ( )1 ( ) 1 ( )
.
d g− =δ g − d g .Khi đó C G Ac( , ) trở thành một ∗−đại số. * Ta sẽ xây dựng một chuẩn trên C G Ac( , ).
Một biểu diễn hiệp biến π của (A,ρ) là một cặp gồm một biểu diễn unita
A
π của A và một biểu diễn unita πG của Gtrên một không gian Hilbert sao cho:
( ) ( ) ( )1 ( ( ))
. . , ,
G g A a G g A g a g G a A
π π π − =π ρ ∀ ∈ ∀ ∈ .
Với mỗi π ta định nghĩa một biểu diễn đối hợp π của C G Ac( , ) như sau: π( )f =∫πA( f g( ) .)πG( )g dg,∀ ∈f C G Ac( , ).
Ta định nghĩa A là C*-đại số bổ sung đầy đủ của ∗−đại số C G Ac( , ) bởi chuẩn f =sup{π( )f :∀π} (với π là biểu diễn hiệp biến của (A,ρ)).
* Tính chất của tích xiên: Mỗi ∗−đồng cấu G−đẳng biến h : A→B của các C*-đại số đều cảm sinh một ∗−đồng cấu đối ngẫu h : A →B xác định bởi công thức:
( )
( )h f ( )g =h f g( ( )), f∀ ∈C G A gc( , ), ∀ ∈G.