skkn toán thcs

Trong quá trình dạy chúng ta mới chú ý đến việc truyền thụ kiến thức để tìm ra kết quả của bài toán còn việc rèn luyện các phương pháp tìm tòi lời giải của bài toán lại ít chú ý đến; sau

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN.

Nghị quyết số 29 - NQ/TW khoá XI về đổi mới căn bản toàn diện giáo dục và đào tạo của Đảng: “Đổi mới chương trình nhằm phát triển năng lực và phẩm chất người học, hài hòa đức, trí, thể, mỹ; dạy người, dạy chữ và dạy nghề Đổi mới nội dung giáo dục theo hướng tinh giản, hiện đại, thiết thực, phù hợp với lứa tuổi, trình độ và ngành nghề; tăng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn”

Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực

Muốn thực hiện được điều này, cần phải thay đổi phương pháp dạy học từ thụ động thành chủ động Các em có cơ hội rèn luyện kỹ năng, vận dụng kiến thức được học vào thực tiễn cuộc sống, hình thành năng lực và hoàn thiện về nhân cách, phẩm chất

Toán học là một môn khoa học tự nhiên lý thú, là cơ sở của mọi ngành khoa học Vì vậy, mong muốn nắm vững các kiến thức về toán học là nguyện vọng của rất nhiều học sinh Việc dạy học sinh hiểu bài, học khá, học giỏi, yêu thích môn Toán đấy cũng là thành công lớn của người thầy Đồng thời việc học toán còn góp phần hình thành cho các em phát triển năng lực tư duy lô gic, thông minh sáng tạo, làm việc có kế hoạch, khoa học, có phẩm chất Đó là những yếu tố cần thiết mà học sinh cần có để từ đó làm chìa khóa chiếm lĩnh và khám phá những kiến thức ở môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung

Để đạt được điều đó thì mỗi bản thân giáo viên không ngừng học hỏi, nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, tìm tòi các phương pháp cũng như cách thức giảng dạy để có thể khơi dậy sự hứng thú cũng như sự chủ động trong hoạt động học tập

Trong quá trình dạy học và trong khi tiếp xúc với học sinh tôi thấy có nhiều em sợ học môn hình học, nhiều học sinh còn yếu môn hình học (đặc biệt là các bài toán hình học có liên quan đến việc vẽ thêm yếu tố phụ) Qua tìm hiểu và tham khảo ý kiến đồng nghiệp tôi thấy có lẽ một trong các nguyên nhân học

sinh sợ, học chưa tốt môn hình học là: Trong quá trình học, học sinh mới chỉ thụ động tiếp thu kiến thức Trong quá trình dạy chúng ta mới chú ý đến việc truyền thụ kiến thức để tìm ra kết quả của bài toán còn việc rèn luyện các phương pháp tìm tòi lời giải của bài toán lại ít chú ý đến; sau khi đã tìm ra được lời giải của bài toán đã coi là kết thúc mà ít chú ý đến việc tiến hành khai thác phân tích bài toán để sáng tạo ra bài toán mới trên cơ sở bài toán đã có, dẫn đến nếu xuất phát từ một bài toán mà các em đã gặp nhưng đề bài thay đổi giả thiết, kết luận hoặc phát triển bài toán từ bài toán đó thì các em lại gặp lúng túng

Chính vì những lí do đó tôi nghĩ trong quá trình dạy học việc phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo và tạo hứng thú cho học sinh là công việc vô cùng quan trọng Thông qua việc coi trọng khâu rèn luyện phương pháp tìm tòi lời giải các bài toán và khai thác phát triển bài toán chính là cơ sở của việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập sáng tạo của học sinh, từ đó các em có hứng thú khi giải các bài toán hình học Vì thế tôi chọn đề tài “Phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo và tạo hứng thú cho học sinh trong dạy một số bài toán hình học trung học cơ sở”

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Trong thực tế khi đứng lớp tôi thấy rất nhiều em khi học toán chỉ quan tâm đến giải các bài toán đại số, số học; còn các bài toán hình học lại ít chú ý đến, giành thời gian rất ít cho việc tìm ra lời giải chúng Qua các năm giảng dạy trực tiếp bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi lớp 7,8,9; qua trắc nghiệm hứng thú học toán của học sinh tôi thấy chỉ có 10 % các em thực sự có tư duy sáng tạo, 60% học sinh thích học toán nhưng chưa có tính độc lập, tư duy sáng tạo và 30% còn lại cần phải có sự hướng dẫn của giáo viên nhưng vẫn không lí giải được tại sao có lời giải như vậy hoặc không hiểu Qua gần gũi tìm hiểu thì các em cho biết cũng rất muốn học xong nhiều khi học một cách thụ động, chưa biết cách tư duy để tạo cho mình một sáng tạo trong cách giải một bài toán hình học

Trước khi thực hiện đề tài tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra khảo sát đầu năm và khảo sát tâm lí học sinh Kết quả thu được như sau:

Bảng 1: Kết quả khảo sát chất lượng đầu năm học:

3 Chưa hăng say và hứng thú 23 45% 24 56,69% Đứng trước tình trạng trên, nhiều đồng chí giáo viên cho rằng đại đa số học sinh sợ học hình học nên không chú ý đến rèn luyện tư duy cho học sinh khi dạy hình học mà chỉ dừng lại ở khâu hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải của bài toán, học sinh thụ động trong việc tiếp thu kiến thức và nhiều học sinh chán khi giải các bài toán hình học đặc biệt là những bài toán muốn giải được chúng phải vẽ thêm đường phụ Chính vì vậy càng cần phải rèn luyện cho các em năng lực tư duy độc lập sáng tạo càng khiến tôi tâm huyết tìm tòi, nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này

2 Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến

Khi giảng dạy bộ môn hình học, đây là bộ môn tương đối khó, song trong giảng dạy giáo viên cần có phương pháp thích hợp để gây được sự hứng thú trong học tập của các em Khi đứng trước lớp giáo viên giúp các em cách khai thác các tình huống của bài để có nhiều cách giải qua đó rèn luyện tính linh

hoạt của trí tuệ kỹ năng thay đổi phương pháp giải quyết vấn đề, phù hợp với thay đổi của điều kiện, từ đó rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

Bên cạnh đó để rèn luyện tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì theo tôi mỗi người thầy phải có nhiều phương pháp và nhiều cách giải nhất để từ đó rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động tư duy sáng tạo Với mục đích rèn luyện khả năng sáng tạo trước mỗi bài toán tôi đã cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Từ đó các em tìm ra cách giải hợp lí nhất, phát hiện ra được cách giải tương tự và khái quát phương pháp đường lối chung Trên cơ sở đó với mỗi bài toán cụ thể các em có thể khái quát hóa thành bài toán tổng quát và xây dựng các bài toán tương tự Xây dựng một phương pháp mới đó là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán cho học sinh sao cho mọi lúc, mọi nơi các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình

Phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo và tạo hứng thú cho các em thông qua việc vẽ thêm yếu tố phụ cũng là một nội dung kiến thức quan trọng, và qua đó giáo viên muốn truyền tải cho học sinh niềm đam mê môn học, say mê với các bài toán khi cần phải tìm ra lời giải, khơi gợi, kích thích các em tìm ra nhiều hướng giải khác nhau

Chính vì thế tôi chọn đề tài:“Phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo và tạo hứng thú cho học sinh trong dạy một số bài toán hình học trung học cơ sở” với mục đích:

+ Hình thành cho học sinh năng lực thích ứng với những thay đổi trong thực tiễn để tự chủ, tự lập trong học tập và trong cuộc sống

+ Hình thành cho học sinh có năng lực hành động, năng lực ứng xử, năng lực tự học, kĩ năng diễn đạt bằng lời hoặc viết

+ Kích thích trí tưởng tượng, gây hứng thú học tập toán và rèn luyện phương pháp học tập có kế hoạch, linh hoạt, sáng tạo

Trong đề tài này tôi chủ yếu đề cập đến phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo và tạo hứng thú cho các em khi dạy một số bài toán hình học có liên quan đến việc vẽ thêm yếu tố phụ thông qua các nội dung sau:

Phần thứ I: Hướng dẫn học sinh biết cách tư duy, phản xạ nhanh đưa tình huống thực tiễn thành dạng bài toán quen thuộc có phương pháp giải Khai thác, mở rộng từ một bài toán thành các bài toán khác

Phần thứ II: Hướng dẫn học sinh phương pháp tìm tòi để giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau thông qua các dạng bài:

Dạng 6: Chứng minh các tam giác đồng dạng

Dạng 7: Quan hệ giữa các góc trong tam giác và góc với đường tròn

Phần thứ III: Hướng dẫn học sinh phương pháp suy luận đặc biệt hoá, tổng quát hoá từ một bài toán

Sau đây tôi xin trình bày cụ thể những dạng toán đã đưa ra và phương pháp giải những bài toán đó

Phần thứ I: Hướng dẫn học sinh biết cách tư duy, phản xạ nhanh đưa tình huống thực tiễn thành dạng bài toán quen thuộc có phương pháp giải Khai thác, mở rộng từ một bài toán thành các bài toán khác

Khi dạy dạng bài liên quan đến sử dụng kiến thức về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác, quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, giữa đường xiên và hình chiếu, bất đẳng thức về cạnh trong một tam giác đặc biệt liên quan đến việc vẽ thêm yếu tố phụ học sinh còn lúng túng Để giúp các em tháo gỡ khó khăn khi gặp dạng bài tập này trong quá trình dạy học giáo viên cần cho học sinh liên hệ kiến thức đã học vào thực tế, sử dụng các kiến thức vào công việc thường ngày Điều này làm cho các nhớ lâu kiến thức hơn Chính vì thế từ tình huống thực tế các em có thể qui về thành bài toán quen thuộc và ngược lại Từ bài toán gốc tôi lại khai thác mở rộng thành các bài toán khác nhau Từ đó khi gặp tình huống bài tập tương tự các em biết cách tư duy, phản xạ nhanh đưa về dạng bài toán quen thuộc

Bài toán 1:

Ba bạn Bình, Dung, Công nhà lần lượt ở 3 địa điểm B, D, C đi đến trường theo 3 con đường BA, DA, CA Biết 3 địa điểm B, D, C nằm trên cùng một đường thẳng; địa điểm D nằm giữa hai địa điểm B và C; con đường AD tạo với con đường AB và AC các góc bằng nhau (hình vẽ)

Bạn Dung có ý kiến con đường từ nhà Bình đến trường ngắn hơn con đường từ nhà Công đến Trường nên khoảng cách từ nhà Dung đến nhà Bình sẽ gần hơn khoảng cách từ nhà Dung đến nhà Công Theo em bạn Dung nói đúng hay sai? vì sao?

+Vì con đường từ nhà Bình đến trường ngắn hơn con đường từ nhà Công đến trường

=> AB AC Ta nghĩ đến

Trên AC lấy K sao cho AKAB Hướng dẫn:

Trên AC lấy K sao cho AKAB + Chứng minh ABD AKD (c.g.c) => BD DK , ABD  AKD

và ADB  ADK (1)

+ Ta có ADB  ACD  DAC (góc ngoài của ∆ADC)

=> DC DK (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong ∆DKC) => DC BD Vậy bạn Dung nói đúng

Hướng 2: Ta có thể chứng minh DKC  KCD như sau Chứng minh: ABD AKD

  1800

AKDDKC nên DKC   ABD 180 

Mà ABC ACB BAC 1800ACB ABC 180 Do đó DKC  DCK Khai thác thêm: So sánh góc tạo bởi DA với DB và góc tạo bởi DA với DC Phân tích:

+ Theo giả thiết AB AC Để khẳng định được ADB  ADC Ta nghĩ đến sử dụng kiến thức về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện canh đối diện trong cùng 1 tam giác

+ Tuy nhiên ADB và ADCchưa cùng nằm trong một tam giác Từ AB AC ⇒ACB  ABC

Sử dụng kiến thức góc ngoài tìm được mối liên hệ giữa ADB và ACB,

ADC và ABC Từ đó chứng minh được  ADB ADC Hướng dẫn:

Xét ABCcó AB AC

 (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) Ta có ADB  ACD  DAC( góc ngoài của ADC)

Ta có  ADC  ABD  DAB(góc ngoài của ADB) Mà DAC DAB( vì AD là tia phân giác của BAC) Do đó  ADB ADC

Lật ngược vấn đề xét tính tương tự bài toán 1

Từ tình huống đề bài cho ta đã xét bài toán trong trường hợp ∆ABC có 

ABC là góc tù Liệu câu trả lời của bạn Dung còn đúng không trong các tình huống của ∆ABC nhọn, ∆ABC vuông Em hãy tạo ra bài toán mới từ bài toán trên và giải cho bài toán đó

GV: Cho học sinh hoạt động nhóm

Sản phẩm của các nhóm:

Nhận xét

+ Từ việc xét các trường hợp của ∆ABC nhọn, ∆ABC tù, ∆ABC vuông ta thấy câu trả lời của bạn Dung luôn đúng

+ Với tình huống thực tiễn trên tôi thấy các em rất hào hứng tạo động lực hứng thú giúp các em tìm tòi khám phá kiến thức Chính vì thế trong quá trình dạy học nếu có thể người thầy cần khéo léo đưa các nội dung bài toán thành các tình huống thực tiễn và ngược lại Từ đó phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo Các em biết vận dụng kiến thức vào cuộc sống hằng ngày và giúp các em ghi nhớ kiến thức lâu hơn

Khai thác:

Từ kết quả nhóm 3 và nhóm 4 nếu thay AD là tia phân giác của BACbằng lấy D trên tia đối của tia BC sao cho BDBC

Ta có bài toán sau

Bài 1.1: Cho tam giác ∆ABC vuông tại B Trên tia đối của tia BC lấy D

Hướng 1: Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho AB là tia phân giác của DAE

Chứng minh được ∆DAE cân tại A

Hướng 2: Trên cạnh BC lấy E sao cho B là trung điểm

Từ kết quả nhóm 1,2 nếu thay AD là tia phân giác của BACbằng điểm D nằm trong ∆ABC sao cho AB AD ta có bài toán sau: với E là giao điểm của BD và AC

+) Để so sánh hai đường xiên AD và AE ta cần có yếu tố vuông góc Do đó yếu tố phụ trong bài toán:

Gọi E là giao điểm của BD và AC, kẻ AHBD (H thuộc BD)

Mở rộng bài toán từ nhóm 1 ta có tiếp bài toán sau:

Bài 1.3: Cho ∆ABC nhọn, ABACcó AD là tia phân giác của BAC, D thuộc BC Qua D dựng đường thẳng vuông góc với AD, đường thẳng này cắt đường thẳng chứa AB, AC lần lượt tại K và H Lấy thuộc AB và F thuộc tia đối của tia AC sao cho AE AF , HE cắt AD và KF lần lượt tại M và N Chứng minh: KA NA KMMN

Phân tích:

Với bài tập này ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong một tam giác Nhưng cả 2 vế đều là tổng của 2 cạnh, ta chưa so sánh được 1 cạnh của tổng này với 1 cạnh của

Mà AD là tia phân giác của 𝐵𝐴𝐶

Ta chứng minh được AD là đường trung trực của KH

Xét 𝛥ANH có 𝐴𝐻 + 𝐴𝑁 > 𝑁𝐻 (bất đẳng thức về cạnh trong tam giác) Do đó 𝐾𝐴 + 𝐴𝑁 > 𝐾𝑀 + 𝑀𝑁

Mở rộng tiếp bài toán từ nhóm 1

Bài 1.4: Cho 𝜟ABC nhọn (𝑨𝑩 < 𝑨𝑪 ) có AD là tia phân giác của 𝑩𝑨𝑪 (D thuộc BC)

1) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: a) 𝑴𝑨𝑩 > 𝑴𝑨𝑪 và D nằm giữa B và M

b) 𝑨𝑩 + 𝑨𝑪 > 𝟐𝑨𝑴

2) Từ M vẽ tia Mx sao cho MA là tia phân giác của 𝑩𝑴𝒙 Gọi N là giao điểm của Mx và AC Chứng minh 𝑩𝑴 > 𝑴𝑵

3) Kẻ DE // AB, EF // BC (E ∈ AC, F ∈ AB) Chứng minh 𝑩𝑭 + 𝑨𝑬 > 𝑨𝑫 cùng nằm trong 1 tam giác

+ Từ giả thiết M là trung điểm của BC Ta nghĩ đến vẽ thêm đường phụ: Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho M là trung điểm của AI

b) Vì MA là tia phân giác của 𝐵𝑀𝑁, 𝐵𝑀 = 𝑀𝐶 Nên chứng minh 𝐵𝑀 > 𝑀𝑁 tương tự bài 1

2) Từ DE // AB, EF // BC ta nghĩ đến chứng minh được 𝐵𝐹 = 𝐷𝐸

Ta có M là trung điểm của AI => 2𝐴𝑀 = 𝐴𝐼

Xét ∆ACI có 𝐶𝐼 + 𝐴𝐶 > 𝐴𝐼 (bất đẳng thức về cạnh trong tam giác) Do đó 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 > 2𝐴𝑀

2) Ta có 𝐵𝑀𝐴 = 𝐴𝑀𝑁 (vì MA là tia phân giác của 𝐵𝑀𝑥 ) (3) Ta có 𝐵𝑀𝐴 = 𝑀𝐴𝐶 + 𝐴𝐶𝑀 (góc ngoài của ∆AMC)

3) Chứng minh được ∆BFD =∆EDF (g.c.g) =>𝐵𝐹 = 𝐸𝐷

Xét ∆AED có 𝐸𝐷 + 𝐴𝐸 > 𝐴𝐷 (bất đẳng thức về cạnh trong tam giác) Do đó 𝐵𝐹 + 𝐴𝐸 > 𝐴𝐷

Mở rộng tiếp bài toán từ nhóm 3 ta có

Bài toán 2: Cho ∆ABC vuông tại B Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D Gọi H là hình chiếu của B trên AC, K là hình chiếu của D trên AC.

3) Gọi E là giao điểm của AD và BK Qua E kẻ đường song song với AC cắt AB tại F

1b) Dựa vào 𝐵𝐶 < 𝐴𝐶, 𝐵𝐻 < 𝐴𝐵 ta nghĩ đến vẽ thêm:

Trên AC, AB lần lượt lấy M và N sao cho 𝐵𝐶 = 𝑀𝐶 ,𝐵𝐻 = 𝐵𝑁 Bài toán chuyển về so sánh AM và AN

2a) + Nhận thấy AD là đường trung trực của BK nên 𝐵𝐷 = 𝐾𝐷 + Chứng minh được 𝑄𝐷 = 𝐷𝐶, 𝐵𝑄 = 𝐾𝐶

+Áp dụng bất đẳng thức về cạnh trong các tam giác: ∆QBD, ∆DKC, ∆QDC Ta chứng minh được 2(𝐵𝐷 + 𝐵𝑄) > 𝑄𝐶

2b) So sánh đường xiên AD và AC

2c) So sánh đường vuông góc CB và đường xiên AC 3) + Nhận thấy E là trung điểm của BK nên ta có: 2

BKBEBE

1a) Kẻ 𝐾𝐼 ⊥ 𝐵𝐶 tại I (I∈ BC), nối B với K Ta có ∆ABK cân có AD là tia phân giác của 𝐵𝐴𝐾 Chứng minh được AD là đường trung trực của BK

Mở rộng tiếp bài toán 1.2:

Bài toán 3: Cho ∆ABC có M nằm trong

Ta chưa so sánh được một cạnh của tổng này với một cạnh của tổng kia hoặc tổng hai cạnh của vế này với tổng hai cạnh của vế kia Ta nghĩ đến so sánh với tổng hai cạnh trung gian bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ: Gọi I là giao điểm của BM và AC

Hướng 1: Gọi I là giao điểm của BM và AC

Xét ∆AIM có𝑀𝐴 < 𝐴𝐼 + 𝐼𝑀 ( bất đẳng thức về cạnh trong tam giác)

b) Chứng minh tổng các khoảng cách từ điểm M đến 3 chiều A, B, C nhỏ hơn chu vi ∆ABC và lớn hơn nửa chu vì ∆ABC tức là chứng minh gì?

+) Xét MAB có 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 > 𝐴𝐵 (bất đẳng thức về cạnh trong tam giác) Xét MBC có 𝑀𝐵 + 𝑀𝐶 > 𝐵𝐶 (bất đẳng thức về cạnh trong tam giác) Xét MAC có 𝑀𝐴 + 𝑀𝐶 > 𝐴𝐶 (bất đẳng thức về cạnh trong tam giác)

Với bài toán 3 đặc biệt M là trung điểm của BC ta có bài toán sau: Bài toán 4: Cho ABC có M là trung điểm của BC

Để chứng minh 2𝐴𝑀 < 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 ta tạo ra đoạn thẳng bằng 2AM và nằm trong cùng một tam giác với ABC bằng cách vẽ thêm đường phụ:

Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho 𝐴𝑀 = 𝑀𝐼 2𝐴𝑀 = 𝐴𝐼

Xét AMCcó 𝐴𝑀 < 𝐴𝐶 + 𝐶𝑀 (bất đẳng thức về cạnh của tam giác) Xét AMBcó 𝐴𝑀 < 𝐴𝐵 + 𝐵𝑀 (bất đẳng thức về cạnh của tam giác)

Mở rộng: Với bài toán 4 ta xét 1 đường trung tuyến Với các đường trung tuyến cắt nhau tại G của ABC ta nghiên cứu bài sau:

Bài toán 6: Cho ABCcác đường trung tuyến AM,

a) Ta dễ dàng chứng minh được nhờ kiến thức trọng tâm và bất đẳng thức về cạnh trong tam giác

4 AB BC ACBD CE AM AB BC CA ta sẽ sử dụng câu a

* Chứng minh BD CE AMAB BC CA với cách nghĩ như bài 1.8 ta vẽ thêm đường phụ: Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho M là trung điểm của AI

Từ các hướng khai thác như trên để nâng cao và phát triển một bài toán lại không còn là điều khó khăn nữa vì với mỗi bài toán mở đầu quen thuộc, bằng cách thay đổi giả thiết hợp lí, thay đổi cách hỏi thì ta lại có thêm một đề bài toán mới mà cách giải tương tự, như vậy ta đã chuyển bài toán từ lạ thành quen Ta nghiên cứu tiếp bài toán sau

Bài toán7: (bài toán gốc)

Cho góc xOy và một điểm I cố định trên tia phân giác Ot Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua điểm I, cắt tia Ox và Oy lần lượt tại M và N Chứng đến các yếu tố không đổi Theo bài toán ta có Ox, Oy, điểm I cố định, do đó các đường thẳng song song, các đường thẳng vuông góc kẻ từ I tới hai cạnh của góc cố định Nhưng để làm xuất hiện

+ Từ I kẻ các đường thẳng song song với Ox, Oy cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại D và E

Nên OEID là hình bình hành Mà OI là phân giác của góc xOy Do đó tứ giác OEID là hình thoi Lại

Nhận xét: Ta có thể khái quát hoá bài toán khi xét điểm I nằm trong góc xOy ta có bài toán sau

Bài toán 7.1:

Cho góc xOy và điểm I cố định nằm trong góc đó Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua điểm I, cắt các tia Ox và Oy lần lượt tại M và N Lấy điểm D, E trên các tia Ox, Oy sao choID Oy/ / và IE/ /Ox Đặt OD a , OEb

Dựa vào bài toán 1 ta chứng minh bài toán này:

Khai thác bài toán: Tiếp tục cho điểm I chuyển từ miền trong góc xOy ra miền ngoài góc đó ta có bài toán sau :

Bài toán 7.2

Cho hai đường thẳng x’x và yy’ cắt nhau tại O Một điểm I cố định nằm ngoài góc xOy và góc x’Oy’ Đường thẳng d thay dổi luôn đi qua điểm I cắt các tia O x, Oy lần lượt tại M và N Lấy các điểm D, E trên các đường thẳng x’x, y’y sao cho ID/ /yy,và IE/ /xx, Đặt OD a , OEb Chứng minh

Vậy các em hãy xét bài toán trong 2 trường hợp đó TH1: Nếu điểm I nằm trong góc x’Oy

Chứng minh hoàn toàn tương tự như các bài toán

OMa  luôn không đổi

TH2: Nếu điểm I nằm trong góc y’O x

Chứng minh hoàn toàn tương tự như TH1 ta có

Một cách biến đổi bài toán ta xét các mệnh đề đảo của các bài toán 1.1 và bài toán 1.2 Ta có thể chuyển việc xét biểu thức chứa hai tham số a, b về biểu thức chứa một tham số k b

 ta có bài toán sau: Bài toán 7.3

Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại O Đường thẳng d thay đổi cắt các tia Ox và Oy lần lượt tại M và N Nếu tồn tại số k sao cho

Từ D kẻ đường thẳng song song với Oy cắt MN taị I Lấy điểm E trên Oy sao cho 𝑂𝐸 = 𝐼𝐷

Em hãy chứng minh điểm I cố định Theo cách dựng, ta có tứ giác OEID là

Chứng minh tương tự bài toán 1.1

Nên các đường thẳng d song song với nhau Suy ra điểm M là điểm cố định cần tìm

Vậy đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định

Qua quá trình dạy học tôi thấy nếu ngay từ đầu viên đưa ra bài toán 1.3 thì việc chứng minh đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định là khó khăn đối với các em Nhưng nếu giáo viên đưa ra hệ thống các bài tập trên thì việc tìm ra lời giải của bài toán lại trở lên dễ dàng hơn

Việc tìm ra lời giải của một bài toán nhiều khi không phải là quá khó, nhưng thực ra sau mỗi bài toán có biết bao nhiêu điều lí thú Nếu sau mỗi bài toán giáo viên hướng dẫn học sinh tìm được một chuỗi bài toán liên quan từ dễ đến khó (nếu có thể) thì có thể phát triển được năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh, đồng thời kiến thức của các em sẽ được mở rộng hơn, hệ thống hơn Như vậy với các phương pháp như trên, giáo viên cung cấp công cụ, dự đoán trước sai lầm học sinh hay mắc phải và thay đổi giả thiết bài toán, thay

đổi cách hỏi, hình thành bài toán mới dựa trên cơ sở những bài toán quen biết, chúng ta có thể giúp học sinh phát triển khả năng tư duy hình học, từ đó giúp học sinh có thể hình thành kỹ năng giải bài tập hình học, do đó khi gặp một bài tập hình, các em sẽ biết cách nên giải quyết bài toán như thế nào

Phần thứ II: Hướng dẫn học sinh phương pháp tìm tòi để giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau

Để giải một bài toán có thể phải sử dụng, kết hợp nhiều phương pháp mới đi đến lời giải, tùy vào từng tình huống bài toán cụ thể mà mỗi phương pháp có ưu điểm riêng Trước bất kì bài toán nào, công việc đầu tiên của người giải toán là từ giả thiết và những yêu cầu của bài toán phải xác định được dạng toán, định ra được phương hướng giải, tìm ra được phương pháp và công cụ thích hợp để giải Sau khi giải được bài toán, bước quan trọng tiếp theo là tìm thêm những lời giải khác, điều đó giúp học sinh bồi dưỡng năng lực tìm hiểu nhiều giải pháp cho một vấn đề, nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc cạnh khác nhau, điều này giúp học sinh phát triển năng lực giải toán, năng lực tư duy và khả năng sáng tạo thông qua các giải pháp sau:

- Khai thác triệt để giả thiết bài toán, biến đổi đồng thời giả thiết và kết luận của bài toán làm cho chúng gần nhau hơn, nổi bật mối quan hệ giữa các yếu tố đó

- Hình thành các tình huống có vấn đề liên quan đến các cách giải cho một bài toán

- Hướng dẫn học sinh đưa ra các cách giải cho một bài toán, từ đó hướng dẫn học sinh tìm được một lời giải ngắn nhất và phù hợp nhất đối với từng học sinh

- Tăng cường các hoạt động tìm tòi, quan sát, đo đạc, dự đoán tiếp cận lời giải

- Nắm vững kiến thức cơ bản, huy động, vận dụng kiến thức cơ bản vào giải quyết các vấn đề có liên quan

Trong đề tài này do khuôn khổ, giới hạn của đề tài tôi chỉ đưa ra một số dạng cơ bản và một số bài tập điển hình cho dạng toán

Dạng 6: Chứng minh các tam giác đồng dạng

Dạng 7: Quan hệ giữa các góc trong tam giác và góc với đường tròn

Dạng 1: Chứng minh các hệ thức trong hình học

Bài toán 1: Chứng minh:

“Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy”

Phân tích:

Để chứng minh định lý này học sinh phải vẽ thêm đường phụ Để học sinh biết cách vẽ đường phụ giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích theo hướng phân tích đi lên, cụ thể là:

Mà B, D, C thẳng hàng từ đó dẫn đến việc vẽ thêm đường phụ: Qua B dựng BE/ /AC (E thuộc AD)

Chứng minh 𝑚 = 𝐵𝐸 = 𝐴𝐵

A

Mà BEA  CAE (so le trong do BE/ /AC) Nên BAE  BEA Do đó ABE cân tại B

Chứng minh hoàn toàn tương tự như cách 1 : + Chứng minh ACE cân tại C

Ta cóBAD  DAC(vì AD là phân giác của BAC) Mà BAD  ADE (so le trong do DE/ /AB)

Nên DAE  EDA Do đó ADE cân tại E

Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E Chứng minh hoàn toàn tương tự như cách 5:

Trên đây tôi đã hướng dẫn học sinh chứng minh định lí theo các cách khác nhau Tuy nhiên thời gian trong một tiết học có hạn, nên trên lớp tôi chỉ nêu vấn đề để có các cách vẽ khác nhau, yêu cầu học sinh về nhà tìm tòi các cách giải

Như vậy thông qua việc hướng dẫn học sinh tìm hiểu nhiều cách chứng minh khác nhau Tôi thấy giờ học sôi nổi hơn, giờ dạy không bị thụ động vào sgk, học sinh độc lập tiếp thu kiến thức Qua đó rèn luyện tính linh hoạt và sáng tạo của các em, làm cho các em có hứng thú khi học bộ môn