1. Tên sáng kiến: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA CÁC DẠNG TOÁN VỀ ”HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP” TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA. 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 10092017 đến ngày 10062018 4. Tác giả: … Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT BÁO CÁO SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CỦA HỌC SINH THƠNG QUA CÁC DẠNG TỐN VỀ “HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP” TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA Họ tên : Trình độ chuyên mơn: Thạc sĩ Tốn học Chức vụ : Giáo viên Nơi công tác : Trường THPT ., ngày 10 tháng năm 2018 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: P H ÁT T R I Ể N N Ă N G L Ự C C Ủ A H Ọ C S I N H T H Ơ N G QUA CÁC DẠNG TỐ N VỀ ”H ÀM S Ố ẨN, HÀM S Ố H ỢP ” TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 10/09/2017 đến ngày 10/06/2018 Tác giả: … Tỷ lệ đóng góp tạo sáng kiến: 100% Đơn vị áp dụng sáng kiến: … BÁO CÁO SÁNG KIẾN I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Từ năm học 2016-2017, kì thi THPT Quốc gia,Bộ Giáo dục chuyển đổi hình thức thi mơn Tốn từ hình thức thi Tự luận sang hình thức thi Trắc nghiệm Đây thay đổi lớn giáo viên học sinh cấp quản lí Bắt đầu từ thi mơn Tốn dạng trắc nghiệm giáo viên học sinh phải có thay đổi cách dạy cách học cho phù hợp Các dạng tốn trắc nghiệm vơ phong phú đa dạng địi hỏi người học phải có tảng kiến thức vững có cách nhìn nhận vấn đề sâu rộng Những toán khai thác với ý tưởng mẻ với lời giải đẹp xuất ngày nhiều thi trắc nghiệm mà trước chưa xuất thi tự luận Đặc biệt toán liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm số hợp”mang đậm chất định tính, thiên lý thuyết, địi hỏi suy luận logic, không thiên nhiều định lượng, kỹ tính tốn, biến đổi phức tạp Những tốn phù hợp với hình thức thi mơn Tốn dạng trắc nghiệm người giải toán, người u tốn đón nhận vàquan tâm hàng đầu y f u x , “Hàm số hợp” hàm số có dạng u x biểu thức x, hàm số dạng học sinh làm quen chương trình Tốn phổ thơng, “Hàm số ẩn”vẫn cịn mẻ với đại đa số học sinh “Hàm số ẩn”được đề cập chuyên đề hàm số y f x chưa có định dạng cơng thức cụ thể, tức hàm số cho nhiều dạng khác nhau, chẳng hạn như: Bảng biến thiên hình dáng đồ thị hàm số y f x biểu thức tính đạo hàm f ' x , bảng xét dấu đạo hàm f ' x , bảng biến thiên đồ thị hàm số y f ' x , cho hàm số y f x thỏa mãn đẳng thức dạng “phương trình hàm” Như toán liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm số hợp” mới, học sinh bỡ ngỡ tỏ rõ lúng túng trước toán lạ Bởi lẽ để giải tốn chun đề địi hỏi học sinh phải có tảng kiến thức vững chắc, phải rèn luyện hình thức Tự luận để hình dung cách hệ thống vấn đề, dạng Ngoài học sinh cần suy luận logic, sắc bén, cảm nhận tinh tế để đưa cách giải toán nhanh nhất, đưa kết xác thời gian ngắn Thực trạng trường THPT Trực Ninh học sinh chưa tiếp cận nhiều với toán liên quan đến “Hàm số ẩn hàm số hợp” Những em học sinh có học lực khá, giỏi trường có quan tâm có niềm đam mê chinh phục nội dung Toán học Các em học sinh khá, giỏi quan tâm đến toán liên quan đến “Hàm số ẩn hàm số hợp”bởi nội dung Chuyên đề thường xuyên xuất đề thi thử THPT Quốc gia trường, Sở Giáo dục nước đặc biệt đề thi Minh họa Bộ Giáo dục mức độ khó Các em học sinh phải chiếm lĩnh nội dung chuyên đề “Hàm số ẩn hàm số hợp”thì có hội đạt điểm cao mơn Tốn hội trúng tuyển trường Đại học tốp đầu mà em mơ ước Với mong muốn ngày có nhiều em học sinh cảm thấy có hứng thú có niềm đam mê chinh phục nội dung Tốn học đỉnh cao vàgiúp học sinh có tầm nhìn cách hệ thống sâu sắc nhất, làm chủ tình huống, tơi mạnh dạn viết chuyên đề: Phát triển lực học sinh qua dạng tốn“hàm số ẩn, hàm số hợp” kì thi THPT Quốc gia II MÔ TẢ GIẢI PHÁP Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến Trước học sinh tiếp cận giải toán liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm số hợp”, học sinh tiếp cận giải toán, chuyên đề liên quan đến hàm sốđược định dạng trước công thức (hàm số cho y f x x 3x trước cách tường minh, chẳng hạn )một cách hệ thống, hình thức Tự luận Đó tốn liên quan đến tiếp tuyến đồ thị hàm số, đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) hàm số, cực trị hàm số, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số, đường tiệm cận đồ thị hàm số, đồ thị hàm số, tương giao đồ thị hàm số Sự thuận lợi lớn toán liên quan đến hàm số cho trước công thức q trình giải tốn, học sinh làm việc trực tiếp với hàm số, với biến đổi cụ thể Những tốn đề cao kỹ biến đổi, kỹ trình bày, khả lập luận số liệu cụ thể, giả thiết cụ thể, tình trạng “mắt thấy, tai nghe” làm toán liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm số hợp”học sinh chủ yếu sử dụng suy luận logic, tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa, phác họa, mơ hay dự đốn dựa hình ảnh đồ thị hay bảng biến thiên có giả thiết tốn Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm Chuyên đề bao gồm Chủ đề, Chủ đề trình bày theo cấu trúc gồm hai phần: Phần 1: Kiến thức sở: Bao gồm kiến thức, lý thuyết bản, cốt lõi kiến thức mở rộng, kết mang tính chất tổng qt hóa sử dụng để giải nhanh, cho kết xác ví dụ minh họa điển hình có phần Phần 2: Các ví dụ minh họa điển hình: Bao gồm ví dụ minh họa, đặc trưng cho đơn vị kiến thức trọng tâm khác chủ đề Các ví dụ xếp với mức độ khó tăng dần tập trung chủ yếu vào hai cấp độ: Vận dụng thấp vận dụng cao Để giải ví dụ chủ đề, học sinh cần đến hỗ trợ đắc lực Phần 1: Kiến thức sởtrong chủ đề Ngồi học sinh cần huy động tổng lực phương pháp khác, chẳng hạn như: Phương pháp suy luận logic, phương pháp tương tự hóa, tổng quát hóa hay đặc biệt hóa tốn ví dụ sau đây: Ví dụ 3.10.(Đề thi thửTHPT Quốc Gia Chuyên LHP Nam Định năm 2017-2018) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ đây: � x f ' x Hỏi có f x 11 nguyên thuộc đoạn 10; 10 để đồ thị hàm số y f x m � giá trị tham số m có 11 điểm cực trị? A B C D Trong chủ đề ví dụ xếp theo thứ tự logic, có tính kết nối ví dụ với tạo thành thể thống Các chủ đề chuyên đề có mối liên hệ mật thiết với nhau, chẳng hạn chủ đề 3: “Cực trị” chủ đề “Sự tương giao” thơng qua ví dụ sau: Ví dụ 3.11.Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục y f x � Biết đồ thị hàm số hình vẽ bên Xét f x hàm số f x � �20 � �20 g x � � � � , x �� 2017 2018 � � � � Số điểm cực trị hàm số y g x 3; 5 A B C D Chuyên đề tập trung nhiều ý tưởng mẻ quan tâm nhất, xuất đề thi với tần số lớn toán chủ đề 7: Bài toán liên quan đến đồ thị đạo hàm y f ' x toán có tính gợi mở mà tơi tiếp tục phát triển viết chuyên sâu thời gian tốn chủ đề 8: Tích phân hàm số ẩn ứng dụng tích phân Đặc biệt ví dụ kết thúc bình luận sắc bén nhằm nhấn mạnh điểm mấu chốt toán đưa cách giải khác để so sánh ưu điểm, nhược điểm với phương pháp trình bày để làm tăng thêm phong phú đa dạng cho lời giải toán Qua học sinh thấy dấu bật toán để lựa chọn phương pháp giải toán cho phù hợp với hình thức thi dạng trắc nghiệm Như phần bình luận nhằm tổng kết lại phương pháp sử dụng đưa phương hướng cho lời giải toán hay phát triển toán thành lớp toán rộng hơn, chuyên sâu nhằm giúp học sinh có góc nhìn đầy đủ, thấy tranh tồn cảnh tốn, vấn đề học sinh tự tin hơn, cảm thấy có hứng thú giải tốn tương tự chun đề Sau tơi trình bày nội dung cụ thể giải pháp sáng kiến Chủ đề TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP A KIẾN THỨC CƠ SỞ Bài tốn phương trình tiếp tuyến a Định lí 1: Cho hàm số y f x xác định khoảng a; b có đạo hàm x0 � a; b Gọi C đồ thị hàm số Gọi k hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị C điểm M x0 ; f x0 ta có k f ' x0 b Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến đồ thị C hàm số y f x M x; f x điểm có phương trình y f ' x0 x x0 f x0 Một số kết thường sử dụng Gọi k hệ số góc tiếp tuyến kd hệ số góc đường thẳng d Khi ta có số kết thường sử dụng sau đây: +) Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng d ta có k kd +) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d k kd 1 +) Nếu tiếp tuyến tạo với đường thẳng d góc tan k kd k kd cos k k d k kd +) Đặc biệt: Nếu tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc k tan Ngoài tuyến tạo với chiều dương trục hồnh góc k tan Công thức đạo hàm hàm số hợp Định lí: Nếu hàm số u g x có đạo hàm x u 'x hàm số y f u có đạo y f g x hàm u y 'u hàm hợp có đạo hàm x y 'x y 'u u ' x Một số kiến thức mở rộng Trong học việc học sinh nắm kiến thức phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm, công thức liên quan đến hệ số góc tiếp tuyến, cơng thức tính đạo hàm hàm sốhợp học sinh cần biết đến kỹ thuật lấy đạo hàm hai vế, kỹ thuật đồng hệ số Chẳng hạn ta có đẳng thức ax 0, x �� hệ số a hay đẳng thức ax 2019 2018 x 2019, x �� hệ số 2 a 2018 hay ax bx 2019 2017 x 2018 x 2019, x �� a 2017 b 2018 B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA ĐIỂN HÌNH Ví dụ 1.1.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaKim Liên Hà Nội năm học 2017-2018) y f x Hình vẽ bên đồ thị hàm số Biết điểm A, B, C đồ thị hàm số có tiếp tuyến thể hình vẽ Hỏi mệnh đề đúng? f ' xC f ' x A f ' xB A f ' xB f ' x A f ' xC B f ' x A f ' xB f ' xC y f x C f ' x A f ' xC f ' xB D Hướng dẫn: +) Gọi 1 , , tiếp tuyến với đồ hàm số y f x thị điểm A, B, C Gọi k1 , k2 , k3 hệ số góc k f ' xA , k2 f ' xB , k3 f ' xC tiếp tuyến 1 , , Khi ta có +) Mặt khác tiếp tuyến 1 song song với trục hoành nên có hệ số góc k1 0, suy f ' xA tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc thỏa mãn 900 1800 nên có hệ số góc k2 tan 0, suy f ' xB Cuối tiếp 0 tuyến tạo với chiều dương trục hồnh góc thỏa mãn 90 nên có f ' xC f ' xB f ' x A f ' xC hệ số góc k3 tan 0, suy Tóm lại Chọn B Bình luận: Đây tốn đẹp hình thức cấu trúc đề lẫn nội dung lời giải Bài tốn mang tính chất định tính, thiên lý thuyết nhằm kiểm tra kiến thức học sinh cơng thức tính hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm cho trước Đồng thời toán kiểm tra khả quan sát tinh tế học sinh, quan sát góc tạo tiếp tuyến đồ thị hàm số với trục hồnh Vì tốn có phân hóa tốt đối tượng học sinh trung bình học sinh Ví dụ 1.2.Cho hàm số y f x xác định có đạo hàm �, thỏa mãn đẳng thức f x f x cos x x, x �� y f x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm đồ thị với trục tung A y = - x B y =- x C y = x D y = x - Hướng dẫn: +) Theo giả thiết ta có f x f x cos x x, x �� 1 f f � f Thay x vào vế đẳng thức ta +) Ngoài tiếp tục lấy đạo hàm vế đẳng thức (1) ta f ' x f ' x cos x f x sin x 2, x �� f ' f ' � f ' Thay x vào vế đẳng thức ta +)Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm O 0; : y f ' x f 1 x x Chọn C Bình luận: Bài tốn chưa cho hàm số y f x cách tường minh mà mô ta thông qua đẳng thức, điều làm cho học sinh lúng túng, trước học sinh tiếp cận với tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho trước công thức rõ ràng Trước tốn lạ học sinh cần có suy luận định, chẳng hạn ta cần tìm đại lượng f f ' Từ giả thiết f x f x cos x x, x ��, học sinh lựa chọn giá trị thích hợp x để thay vào đẳng thức tìm f , sau để tính f ' kỹ quan trọng dạng tốn đạo hàm hai vế tính thành thao đạo hàm hàm số hợp, cuối thay giá trị thích hợp x vào hai vế thu Ví dụ 1.3.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaChuyên Hà Tĩnh lần năm học 20172018)Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục � thỏa mãn đẳng thức f x f x 12 x , x �� y f x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ A y x +) Từ giả thiết B y x C y x D y x Hướng dẫn: f x f x 12 x , x �� 1 x vào đẳng thức (1) ta Thay x � � �2 f f 1 �f 1 � � � f f f � � +) Lấy đạo hàm vế đẳng thức (1), ta đẳng thức f ' x f ' x 24 x, x �� x vào đẳng thức (2) ta Thay x � �2 f ' f ' 1 � �f ' � � � f ' f ' f ' � � +) Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm M 1; : y f ' 1 x 1 f 1 x 1 x Chọn D Bình luận: Ý tưởng tốn có khác biệt với toán trước, toán nâng cấp mức tư cao Nếu toán trước cần lựa chọn giá trị x để tìm tung độ tiếp điểm hệ số góc tiếp tuyến tốn học sinh phải lựa chọn giá trị x thích hợp x x thu hệ phương trình để tìm f 1 f ' 1 , từ suy phương trình tiếp tuyến 10 C x y 2ln D x y 2ln Hướng dẫn: f ' x e x , x �� x 2 f ' x e f x , x �� f x +) Từ giả thiết Ta có f ' x df x e x dx � � � e x dx � e x C �f x dx � f x f x Suy 1 f � C f x x e 1 +) Theo giả thiết Khi f ' x e x e x 1 , x �� eln 2 f ' ln ln x ln � f ln ln e e Khi +) Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ ln : y f ' ln x ln f ln x ln hay x y 2ln Bình luận: Bài tốn mang phong cách, thần thái khác biệt so với toán trước mà giả thiết cho đẳng thức thể mối quan hệ biểu thức thể f ' x e x f x , x ��, f ' x e x , x �� f x hàm số y f x f x f ' x Cụ dựa vào thông tin kỹ thuật cô lập để lấy nguyên hàm, tích phân vế chiết xuất viết phương trình tiếp tuyến Chúng ta tạo lớp toán theo cấp độ khác nhau, nhiên kỹ thuật dựa nguyên hàm, tích phân nằm Chương sau nên tác giả khơng đào sâu dạng tốn y f x � Ví dụ 8.2.Cho hàm số có đạo hàm thỏa mãn 2x f ' x e f x x 1 0, x �� f f x Tìm tất giá trị tham số m để f x phương trình log 2018 m có nghiệm thực phân biệt 147 A m 2018 B m C m 2018 D 2000 m 2030 Hướng dẫn: +) Biến đổi giả thiết f x f ' x e f ' x e f x f x x 1 2x 0, x �� f x dạng 2 xe x 1 , x �� Khi �� e df x � e x 1d x 1 � e f3 x +) Theo giả thiết f 0 f x ex f x f ' x e � 1 dx � xe x 1dx C nên tìm C Khi f x +) Khi phương trình f x e f 3 x ex 1 � f x x log 2018 m � x log 2018 m � x log 2018 m 1 Phương trình (1) có nghiệm phân biệt � log 2018 m � log 2018 m � m 2018 Bình luận: Bài tốn chủ yếu xoay quanh việc truy tìm hàm số y f x Với giả thiết tốn khó để khai thác, tìm hướng giải Bài toán đề cao khả quan sát với việc biến đổi khéo léo giả thiết cộng thêm khả vận dụng hợp lí kỹ thuật lấy nguyên hàm vế chìa khóa giải thành cơng tốn Ví dụ 8.3.Cho hàm số đoạn 1; 4 y f x đồng thời thỏa mãn có đạo hàm liên tục đoạn xf x f ' x 1; 4 đồng biến f , , x � 1; 4 Biết y f x Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn 1; 4 A Tính S M m S 203 205 206 208 S S S B C D Hướng dẫn: x xf x � �f ' x � �, x � 1; 4 � x f x f ' x , x � 1; +) Ta có giả thiết y f x 1; 4 Mặt khác hàm số đồng biến đoạn nên ta có f ' x �0, x � 1; 4 f ' x x f x f ' x � x , x � 1; 4 f ' x f ' x , x � 1; 4 1 f x Khi 148 f ' x dx +) Khi �1 f x �xdx � d 1 f x �xdx � f x x x C � 1 f x 4 f x x x , x � 1; 4 �C 3 Khi Theo giả thiết x 16 x x 16 x3 16 x x � f x 1 � f x , x � 1; 4 18 y f x 1; 4 f 1 +) Theo giả thiết hàm số đồng biến đoạn nên 385 203 m f x f 1 , M max f x f M m 18 1; 4 1; 4 Chọn A Khi Bình luận: Bài tốn nằm mơ hình ” Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ẩn” Bản chất toán xoay quanh việc truy tìm hàm số y f x mà chưa biết Bài toán sử dụng kỹ thuật lấy nguyên hàm vế Tư tưởng kĩ thuật mẻ với đại đa số học sinh Ví dụ 8.4.(Đề thi thửLương Thế Vinh Hà Nội lần nămhọc 2017-2018) y f x Cho hàm số có đạo hàm f ' x �3 x x 5, x � 1; � 1; � thỏa mãn f 1 Tìm số nguyên dương m lớn cho f x �m, y f x với hàm số thỏa mãn yêu cầu đề A m 15 B m 20 C m 25 D m 30 Hướng dẫn: 3; 10 +) Xét hàm số y g x 3x x Khi hàm số y g x đồng biến 1; � Ta có 1; � , f ' x �3 x x 5, x � 1; � suy g ' x x 0, x �1 g x g 1 x� 1; � Khi f x f 3 1; � y f x Vậy hàm số đồng biến , suy x� 3; 10 m �f 3 Khi đó, ta cần tìm số ngun dương m lớn cho với hàm số +) Theo giả thiết y f x thỏa mãn yêu cầu đề +) Mặt khác Hay f ' x �0, x �1 f ' x �3x x 5, x �1 f 3 �۳ f 1 24 f 3 25 nên ta có 3 1 f ' x dx �� 3x x 5 dx � Do m �25 Chọn C 149 Bình luận: Để giải toán học sinh phải có tư tốt, có suy luận logic Hàm số y f x giả thiết dạng ẩn tàng, có nhiều hàm số thỏa mãn yêu cầu đề Nút thắt toán chỗ học sinh phải kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp, đặc biệt phương pháp tích phân hỗ trợ tích cực tốn Ví dụ 8.5.(Đề thi thửĐại Học Khoa Học Huế lần năm học 2016-2017) Cho hàm số y f x f� x có đạo hàm y liên tục hình vẽ bên Hỏi mệnh đề sau ? x� 2;6 C x� 2;6 B O 6x 1 max f x f 1 max f x f x� 2;6 2 max f x f max f x f 2 A đoạn y f ' x 2; 6 � đồ thị hàm số f� x x� 2;6 D Hướng dẫn: +) Nhận thấy đoạn 2; 6 đồ thị hàm số điểm phân biệt có hồnh độ x1 � 2; có biệt nghiệm phân f ' x 0, x � 2; x1 � 2; hàm số y f x x2 Khi phương trình x1 � 2; cắt trục hoành hai f ' x 0, x � x1 ; x2 f ' x Hơn 2 x1 f x1 f 2 f 2 150 Ta có bảng biến thiên 2; 6 � x f ' x f x và y f ' x f 6 � +) Hơn nữa, gọi S1 , S2 diện tích hình phẳng H1 , H H1 hình phẳng giới hạn đường y f ' x , y 0, x x1 , x H hình phẳng giới hạn đường y f ' x , y 0, x 2, x Ta có S1 S2 � � f ' x dx � f ' x dx x1 y � f x1 f f f � f x1 f Từ kết hợp với kết thu từ bảng biến thiên 2 max f x f ta có x� 2;6 x1 y f ' x O S1 1 x Chọn C Bình luận: Bài tốn khai thác triệt để cấu trúc đặc biệt đồ thị hàm số y f ' x Cụ thể giao điểm sinh từ đồ thị trục hồnh, hình phẳng giới hạn đồ thị trục hồnh Bài tốn giải trọn vẹn nhờ sử dụng tổng lực hai phương pháp, phương pháp lập bảng biến thiên phương pháp khai thác ứng dụng tích phân Ý tưởng sử dụng kì thi THPT Quốc gia năm 2016-2017 Ví dụ 8.6.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaSở Thanh Hóa nămhọc 2017-2018) y f x y f ' x Cho hàm số Hàm số y f ' x có đồ thị hình vẽ bên Đặt M max f x , m f x , T M m 2; 6 2; 6 f ' x Hỏi mệnh đề đúng? A T f f B T f 5 f 2 C T f f D T f f 2 Hướng dẫn: y f ' x +) Nhận xét: Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh f ' x 0 độ 2; 0; 2; 5; nên phương trình có nghiệm phân biệt x1 2; x2 0; x3 2; x4 5; x5 Hơn f ' x 0, x � 2; � 2; ngược y f x lại f ' x 0, x � 0; � 5; Ta lập bảng biến thiên hàm số 151 S2 � x f ' x 2 0 +) Gọi S1 , S2 , S3 , S4 f x lần f 00 f 2 lượt diện tích hình phẳng � 2 0 0 f 5 f 2 f 6 H1 , H , H , H , H1 hình phẳng giới hạn đường y f ' x , y 0, x 2, x H hình phẳng giới hạn đường y f ' x , y 0, x 0, x H hình phẳng giới hạn đường y f ' x , y 0, x 2, x H hình phẳng giới hạn đường y f ' x , y 0, x 5, x S3 S3 S1 Ta có S4 S2 S1 S � 2 f ' x dx � f f 2 f f � f 2 f 1 �f ' x dx � Ta có Ta có +) S S3 � � f ' x dx � f ' x dx � f f f f � f f S3 S � � f ' x dx � f ' x dx � f 5 f f f � f f Từ bảng biến thiên 152 1 , , 3 ta có Bình luận: Bài tốn tiếp tục đưa học sinh vào tình khó khăn mà trải qua công đoạn lập bảng biến thiên hàm số chưa tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x đoạn 2;6 Một biện pháp cực mạnh tỏ phát huy tác dụng, khắc phục nhược điểm phương pháp tích phân mà cụ thể so sánh diện tích hình phẳng sinh đồ thị y f ' x trục hồnh Ví dụ 8.7.(Đề thi thức THPT Quốc Gia nămhọc 2016-2017) Cho hàm số Đặt y f x Đồ thị hàm số g x f x x 1 y f ' x y' hình bên Mệnh đề đúng? A g 3 g 3 g 1 B g 1 g 3 g 3 C g 3 g 3 g 1 D g 1 g 3 g 3 3 y f ' x O 2 Hướng dẫn: +) Xét hàm số g x f x x 1 g ' x � f '( x) x 1 +) Từ đồ thị hàm số y' xác định liên tục � Có g '( x) f '( x) 2( x 1), x �� Khi y f ' x S1 y f ' x ta vẽ thêm 3 đường thẳng y x Quan sát đồ thị ta thấy y x 1 S2 O 2 x y f ' x đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt có hồnh độ có nghiệm phân biệt x1 3; x2 1; x3 hay phương trình (1) x1 3; x2 1; x3 +) Ngoài ra, xét khoảng 3; 1 đồ thị hàm số y f ' x nằm phía đường f ' x x 1, x � 3; 1 g ' x 0, x � 3; 1 thẳng y x hay Khi 153 x 1; 3 đồ thị hàm số y f ' x nằm phía đường f ' x x 1, x � 1; 3 g ' x 0, x � 1; 3 thẳng y x hay Khi Ngược lại, xét khoảng Khi ta lập bảng biến thiên hàm số x � g ' x g x 3 y g x g 3 sau: � g 1 3; 3 đoạn g 3 +) Gọi H1 hình phẳng giới hạn bới đường y f ' x , y x 1, x 3, x H2 hình phẳng giới hạn bới đường y f ' x , y x 1, x 3, x H H Gọi S1 S2 diện tích hình phẳng S1 S � Quan sát hình vẽ ta thấy 3 1 3 dx � dx � � x 1 f ' x � �f ' x x 1 � � � � � �� 2� dx � 2� dx x 1 f ' x � �f ' x x 1 � � � � g ' x dx � g ' x dx � hay 3 � g x | g x | � g 1 g 3 g 1 g 3 � g 3 g 3 3 Từ kết hợp với bảng biến thiên, ta g 1 g 3 g 3 Chọn D Bình luận: Bài tốn đánh giá hay khó đề thi THPT Quốc Giá năm học 2016-2017 Xét thời điểm ấy, tốn xuất với hình thời lạ với lời giải đẹp Bởi lẽ thông thường để giải toán học sinh thường sử dụng bảng biến thiên để xem xét Tuy nhiên toán chừng chưa đủ, phải kết hợp với việc so sánh diện tích hình phẳng sinh đồ thị hàm số y f ' x đường thẳng y x Qua thấy mối quan hệ mật thiết hai Chương 154 Giải tích lớp 12, Chương: Hàm số tốn liên quan Chương: Ngun hàm, tích phân ứng dụng Bài tốn mang tính chất khai tâm người giải tốn cảm thấy có hứng thú với đa dạng, phong phú hình thức thi Trắc nghiệm Ví dụ 8.8 (Đề thi thử THPT Quốc Gia Hàm Rồng năm học 2017-2018) Cho hàm số y f x Biết hàm số y f ' x y có đạo hàm � có đồ thị cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lần a O b c d y f ' x lượt a, b, c, d hình vẽ bên Trong x mệnh đề sau có mệnh đề đúng? �; a nghịch biến khoảng 1 b x y g 2x 2 Hàm số đạt cực tiểu max f x f c ; f x f d a; d a; d A B C Hàm số y f x D Hướng dẫn: +) Ta có đồ thị hàm số y f ' x cắt trục hoành điểm có hồnh độ x1 a, x2 b, x3 c, x4 d Khi phương trình f ' x có nghiệm phân biệt x1 a, x2 b, x3 c, x4 d Ta có bảng biến thiên hàm số y f x sau: x � 1a b 1c d0 � f ' x f x f b +) Từ bảng y f x đồng biến f c f a �; a nên mệnh đề sai 155 f d biến thiên, ta có S1 , S2 , S3 +) Hơn nữa, gọi diện tích hình phẳng H1 , H , H H1 hình phẳng giới hạn đường H hình phẳng giới hạn đường y f ' x , y 0, x b, x c H hình phẳng giới hạn đường y f ' x , y 0, x c, x d y f ' x , y 0, x a, x b y S2 O a b c a b x d y f ' x S1 Ta có c b S3 S1 S � � f ' x dx � f ' x dx � f a f b f c f b � f a f c c d b c S S3 � � f ' x dx � f ' x dx � f c f b f c f d � f d f b Từ kết hợp với bảng biến thiên ta có +) Ta xét hàm y h x g 2x , có max f x f c ; f x f d a; d a; d h ' x g ' x x ' 2 g ' x , x �� 2x a � � 2x b h ' x � g ' 2x � � � 2x c � 2x d � Khi 156 � 1 a x � � 1 b � x � �� 1 c � x � � 1 d x � � Từ ta lập bảng biến thiên hàm số y h x g 2x 1 d 1 c 1 b 1 a 2 x � 0 h ' x h x sau: +) Từ bảng biên thiên ta có hàm số y g 2x � đạt cực tiểu x 1 b Do mệnh đề Tóm lại có mệnh đề Chọn C Bình luận: Bài toán tổng hợp nội dung hàm số: Sự đơn điệu hàm số, cực trị hàm số giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Tuy nhiên phương pháp chủ đạo trước hết thiết lập bảng biến thiên hàm số Nếu bảng biến thu chưa đủ kiểm chứng tính sai mệnh đề phương pháp cực mạnh khai thác ứng dụng tích phân để so sánh diện tích hình phẳng sinh đồ thị hàm số trục hồnh, tốn minh chứng cho điều III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI Sáng kiến kinh nghiệm trình bày cách có hệ thống chuyên đề “Hàm số ẩn hàm số hợp” Học sinh học hỏi đúc rút kinh nghiêm qua ví dụ cụ thể Các ví dụ xây dựng theo hai cấp độ: Vận dụng thấp-vận dụng cao nên đáp ứng đông đảo đối tượng học sinh muốn chinh phục điểm 6, 7, 8, 9, 10 môn Tốn kì thi THPT Quốc gia Mỗi học sinh lĩnh hội ví dụ, nội dung phù hợp với thân Đặc biệt em học sinh giỏi cảm thấy hứng thú sử dụng phương pháp tích lũy chuyên đề để giải toán lạ, đáp ứng kì thi THPT Quốc gia Thực tế, qua kiểm tra đánh giá sau áp dụng sáng kiến hai lớp 12A1 12A trường THPT Trực Ninh năm học 2017-2018, tơi có kết sau Kết kiểm tra lớp 12A1 157 Trước áp dụng sáng kiến Sau áp dụng sáng kiến Số học sinh đạt điểm giỏi (%) Số học sinh đạt điểm (%) Số học sinh đạt điểm trung bình (%) 50 30 20 80 10 10 Kết kiểm tra lớp 12A Trước áp dụng sáng kiến Sau áp dụng sáng kiến Số học sinh đạt điểm giỏi (%) Số học sinh đạt điểm (%) Số học sinh đạt điểm trung bình (%) 30 30 40 50 40 10 Sáng kiến kinh nghiệm giúp học sinh có phương pháp cách nhìn hoàn thiện hàm số, đặc trưng hàm số, cách cho thông tin hàm số Học sinh tự tin lựa chọn phương pháp phù hợp để giải toán thời gian ngắn cho kết xác nhất, phù hợp với tinh thần thi mơn Tốn hình thức Trắc nghiệm Sáng kiến thực luồng gió để ngày có nhiều học sinh quan tâm, có niềm đam mê chinh phục cảm thấy có hứng thú với Tốn học nói chung chun đề“Hàm số ẩn, hàm số hợp” nói riêng Một hướng phát triển sáng kiến kinh nghiệm làphát triển chủ đề thành chuyên đề“Phát triển lực học sinh thơng qua dạng tốn hàm số ẩn, hàm số hợp tích phân” Do khn khổ viết có hạn nên tơi tiếp tục viết chun đề vào thời gian sau với mục tiêu hoàn thiện chuyên đề “Phát triển lực học sinh thông qua dạng toán hàm số ẩn, hàm số hợp chương trình THPT” 158 IV LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm thân suy nghĩ sáng tạo ra, không chép tác giả Tơi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm vi phạm lời cam đoan TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ TÁC GIẢ SÁNG KIẾN THÔNG …………………………………………… 159 …………………………………………… …………………………………………… MỤC LỤC I Điều kiện hoàn cảnh tạo giải pháp……………… Trang II Mô tả giải pháp……………………………………… 2-4 Chủ đề Tiếp tuyến đồ thị hàm số ẩn, hàm số hợp……… 5-16 Chủ đề Sự đồng biến, nghịch biến hàm số ẩn, hàm số hợp 17-25 Chủ đề Cực trị hàm số ẩn, hàm số hợp………………… … 26-48 160 Chủ đề GTLN GTNN hàm số ẩn, hàm số hợp……….….49-56 Chủ đề Sự tương giao đồ thị hàm số ẩn, hàm số hợp……… 57-73 Chủ đề Đường tiệm cậncủa đồ thị hàm số ẩn, hàm số hợp….….74-84 Chủ đề Bài toán liên quan đồ thị hàm số y f ' x ……….85-123 Chủ đề Tích phân hàm số ẩn, hàm số hợp………………… 124-135 III Hiệu sáng kiến đem lại…………………………… 136-137 Lời cam đoan……………………………………………………….138 Mục lục…………………………………………………… Trang 139 161 ... “Hàm số ẩn hàm số hợp” Những em học sinh có học lực khá, giỏi trường có quan tâm có niềm đam mê chinh phục nội dung Toán học Các em học sinh khá, giỏi quan tâm đến toán liên quan đến “Hàm số ẩn... trúng tuyển trường Đại học tốp đầu mà em mơ ước Với mong muốn ngày có nhiều em học sinh cảm thấy có hứng thú có niềm đam mê chinh phục nội dung Toán học đỉnh cao vàgiúp học sinh có tầm nhìn cách... chun đề: Phát triển lực học sinh qua dạng toán? ??hàm số ẩn, hàm số hợp” kì thi THPT Quốc gia II MƠ TẢ GIẢI PHÁP Mơ tả giải pháp trước tạo sáng kiến Trước học sinh tiếp cận giải toán liên quan đến “Hàm