Skkn toán học thpt (4)

MỤC LỤC Trang THÔNG TIN VỀ SÁNG KIẾN …………………………………………… I Điều kiện, hoàn cảnh tạo sáng kiến ……………………………… II Mô tả giải pháp ………………………………………………………………… Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến ………………… 1.1 Thực trạng việc dạy học Toán … …… ……………… 1.2 Một số lực Toán học cần phát triển ………….… ……… 1.3 Tóm tắt số nội dung kiến thức liên quan ………………… Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến ………………………… Phần 2.1: Khai thác mối quan hệ điểm đặc biệt hàm số … 2.1.1 – Mối quan hệ điểm đạt giá trị lớn nhất, điểm đạt giá trị nhỏ với điểm cực trị ……………………… 2.1.2 – Mối quan hệ dấu giá trị hàm số điểm liên tục lân cận điểm …………………………………………………… 16 2.1.3 – Mối quan hệ không điểm hàm số vấn đề giá trị hàm số không đổi dấu …………………………………………………… 22 2.1.4 – Quan hệ số không điểm số điểm cực trị hàm số đa thức……………………………………………………………………… 26 Bài tập vận dụng ……………………………………………………… 35 Phần 2.2: Khai thác tính chất đặc biệt hàm số …… 39 Bài tập vận dụng ……………………………………………………… 52 Hướng dẫn giải tập vận dụng …………………………………… 53 III Hiệu sáng kiến mang lại …………………………………… 61 IV Cam kết không chép vi phạm quyền …………………… 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………………… BÁO CÁO SÁNG KIẾN MỘT SỐ Ý TƯỞNG KHAI THÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO LIÊN QUAN TỚI HÀM SỐ I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Đổi giáo dục điều tất yếu diễn khắp mặt ngành giáo dục nước ta, xu hướng thay đổi quan trọng bậc hoạt động dạy học, đánh giá diễn theo phẩm chất lực người học, giúp phát triển lực cho người học Ở môn Tốn, lực Tốn học có đặc thù riêng cần thiết phải phát bồi dưỡng cho học sinh, học sinh có tố chất tốt để trở thành nguồn nhân lực tốt cho xã hội Bắt đầu từ năm học 2016-2017, thi Tốt nghiệp THPT tuyển sinh Đại học, cao đẳng theo cách gọi trước mơn Tốn chuyển sang hình thức trắc nghiệm (ta tạm gọi thi tốt nghiệp THPT) Kể từ năm học đến dạng câu hỏi thi ngày phong phú nội dung, cách phát biểu có yêu cầu sâu kiến thức, kĩ mà học sinh cần trang bị Nội dung ứng dụng hàm số (ứng với kiến thức thuộc Chương Chương Đại số Giải tích 12) mảng khai thác nhiều có tập trung nhiều câu hỏi vận dụng cao Để tiếp cận câu hỏi đề thi thường địi hỏi học sinh phải có lực Tốn học tốt Do chúng tơi thấy cần thiết phải rèn luyện cho học sinh kĩ bản, kĩ thuật tiếp cận vấn đề câu hỏi vận dụng cao, thơng qua phát triển lực Tốn học cho em để khơng đáp ứng yêu cầu trước mắt thi mà cách thức tư duy, tiếp cận giải vấn đề sống Các nội dung báo cáo bàn định hướng phát triển lực Toán học cho học sinh học mảng ứng dụng hàm số đạo hàm triển khai qua số năm giảng dạy mơn Tốn cho học sinh lớp 12 tiếp cận chương trình thi THPT quốc gia Đây giải pháp tốt đáp ứng yêu cầu việc học thi Toán THPT, đồng thời tiếp cận theo chương trình giáo dục phổ thơng triển khai II MƠ TẢ GIẢI PHÁP Tóm tắt: Trong phần này, báo cáo trình bày nội dung sau: Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến: - Nêu thực trạng việc dạy học Toán để thi trắc nghiệm - Một số lực Toán học cần phát triển cho học sinh - Tóm tắt số nội dung kiến thức liên quan tới hàm số (giải tích) Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến: Phần báo cáo trình bày ý tưởng cụ thể nhằm phát triển lực Toán học cho học sinh THPT thông qua việc tiếp cận câu hỏi vận dụng cao có nội dung hàm số chương trình lớp 12 Thơng qua việc trình bày số ý tưởng sau đây, tác giả muốn nhấn mạnh điều: Năng lực Toán học học sinh khơng hình phát huy qua việc tiếp cận vấn đề theo quy trình “chuẩn” nói chung trang bị mà cịn phát triển qua việc hiểu đúng, hiểu sâu chất toán sáng tạo việc liên kết mạch kiến thức với để có cơng cụ Các giải pháp trình bày báo cáo bao gồm: Một là: Khai thác mối quan hệ điểm đặc biệt hàm số - Mối quan hệ điểm đạt giá trị lớn nhất, nhỏ với điểm cực trị - Mối quan hệ dấu giá trị hàm số điểm liên tục lân cận điểm - Mối quan hệ khơng điểm hàm số vấn đề hàm số không đổi dấu - Mối quan hệ số nghiệm số điểm cực trị hàm đa thức Hai là: Khai thác tính chất đặc biệt hàm số (tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, …) Điểm sáng tạo báo cáo là: - Từ ý tưởng hình thành Mệnh đề dùng suy luận nhanh câu hỏi trắc nghiệm vận dụng cao Các Mệnh đề tảng cho việc sáng tạo tốn giáo viên - Thể tính liên hệ chặt chẽ mạch kiến thức giải tích có liên quan tới hàm số, xem biện pháp quan trọng để phát triển lực giải vấn đề Toán học - Chú trọng sử dụng phương tiện tốn học (máy tính cầm tay) đáp ứng yêu cầu thực tế việc làm trắc nghiệm Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến: 1.1 Thực trạng việc dạy học Toán để thi trắc nghiệm Liên quan tới báo cáo này, quan tâm tới hai vấn đề dạy học Tốn nay: Một việc dạy học phát triển lực người học, hai tác động việc thi trắc nghiệm mơn Tốn tới cách học mơn học sinh Bên cạnh mặt tích cực mà phương pháp đánh giá kiểm tra hình thức trắc nghiệm tạo có khơng điều hạn chế mâu thuẫn phát sinh: - Mâu thuẫn việc dạy học mơn Tốn nhằm phát triển lực học sinh, hướng tới hay đẹp nội mơn Tốn tính ứng dụng Toán đời sống với việc học để làm thi trắc nghiệm (bài thi mà thể yêu cầu đặc trưng riêng môn Tốn) - Khơng học sinh học để thi trắc nghiệm, chạy theo cách học “giải nhanh, giải tắt” mà bỏ qua tính chặt chẽ lập luận Tốn học, không nắm rõ chất vấn đề lý thuyết Nhiều trường hợp điểm đánh giá hình thức trắc nghiệm khơng phản ánh lực Tốn học học sinh - Trong giải tập tốn, phần lớn học sinh gặp khó khăn bước tìm cách giải Học sinh thường áp dụng máy móc cơng thức hay thuật tốn (điều thành cơng câu hỏi vận dụng cao mang tính phân loại), khơng có thói quen chuyển hướng tư Học sinh có thói quen dừng lại tìm lời giải cho tốn, khơng tìm kiếm lời giải khác hay tốn tương tự thay đổi giả thiết toán hay khái qt hóa tốn Thói quen làm cho học sinh thấy mệt mỏi học toán lượng câu hỏi dạng trắc nghiệm nhiều, không nhìn điểm chốt kiến thức kĩ câu hỏi, không thấy mối liên hệ kiến thức với - Học sinh bị “mất gốc” học tiếp mơn Giải tích bậc Đại học bậc THPT khơng học làm toán theo chất Toán học 1.2 Một số lực Toán học cần phát triển cho học sinh Trước đưa Toán học vào đời sống, thấy ứng dụng Toán đời sống, có lẽ cần phát triển lực đặc thù cho học sinh để việc học làm Toán trở với “chất” Toán Một số lực sau đóng vai trị quan trọng, đặc biệt học sinh có khả tư tốt Toán bối cảnh chung đánh giá học sinh qua trắc nghiệm: - Năng lực tư lập luận toán học - Năng lực giải vấn đề toán học - Năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn Chi tiết lực có tài liệu tham khảo [2]-trang đến trang 15, nói gọn số yêu cầu cần phát triển cho học sinh là: Phải đảm bảo tính logic suy luận (sử dụng định nghĩa, định lý cách đắn, không cảm tính, ngộ nhận chiều suy luận …), nhìn tốn nhiều góc độ để có hướng giải sáng tạo, có thói quen khai thác kiến thức khai thác tốn, biết sử dụng cơng cụ (máy tính) hỗ trợ việc giải tốn … 1.3 Tóm tắt số nội dung kiến thức liên quan tới hàm số (giải tích) 1.3.1 – Hàm số chẵn, hàm số lẻ Cho hàm số f  x  xác định tập D x, x  D   x  D + Hàm số f  x  gọi hàm số chẵn tập D  x  D, f   x   f  x  x, x  D   x  D + Hàm số f  x  gọi hàm số lẻ tập D  x  D, f   x    f  x  1.3.2 – Hàm số liên tục điểm: Cho hàm số f  x  xác định khoảng K x0  K Hàm số f  x  gọi liên tục x0 lim f  x   f  x0  x x0 Nói cách khác: Với số thực dương  tùy ý, tồn số thực dương  cho f  x  f  x0    với x thỏa mãn x  x0   1.3.3 – Đạo hàm hàm số điểm: Cho hàm số f  x xác định khoảng a; b x0  a; b Nếu tồn giới hạn hữu hạn lim x x0 hàm số lim x0 f  x  f  x0  giới hạn gọi đạo hàm x  x0 f  x  điểm x0 Giới hạn viết dạng f  x0 x  f  x0  x 1.3.4 – Điều kiện đủ để hàm số đồng biến Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng K + Nếu f '  x   0, x  K hàm số y  f  x  đồng biến K + Nếu f '  x   0, x  K hàm số y  f  x  nghịch biến K Lưu ý : Nếu f '  x   0, x   a; b  hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b hàm số y  f  x  đồng biến đoạn  a; b 1.3.5 – Điểm cực trị hàm số: Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định liên tục khoảng a; b (ở a  b  ), điểm x0   a; b * Nếu tồn h  cho f  x  f  x0 , x   x0  h; x0  h  \ x0  ta nói f  x đạt cực đại điểm x0 * Nếu tồn h  cho f  x  f  x0 , x   x0  h; x0  h  \ x0  ta nói f  x  đạt cực tiểu điểm x0 Định lý Fermat: Nếu hàm số f  x có đạo hàm khoảng a; b chứa x0 f  x  đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) x0 f /  x0   Định lý (Quy tắc I - tìm cực trị): Giả sử hàm số f  x liên tục khoảng K   x0  h; x0  h có đạo hàm điểm K \  x0  , h  * Nếu f /  x  0, x   x0  h; x0  f /  x  0, x   x0 ; x0  h x0 điểm cực đại hàm số f  x * Nếu f /  x   0, x   x0  h; x0  f /  x   0, x   x0 ; x0  h x0 điểm cực tiểu hàm số f  x 1.3.6 – Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Định nghĩa: Cho hàm số f  x xác định K Khi đó:  f  x  m, x  K * f  x  m    K x0  K : f  x0   m   f  x  M , x  K * max f  x   M    K x0  K : f  x0   M  Mô tả giải pháp sau có sáng kiến: Phần 2.1: Khai thác mối quan hệ điểm đặc biệt hàm số 2.1.1 – Mối quan hệ điểm đạt giá trị lớn nhất, điểm đạt giá trị nhỏ với điểm cực trị Ý tưởng: Điểm mà hàm số đạt giá trị lớn hay giá trị nhỏ điểm cực trị hàm số Mệnh đề Giả sử hàm số f  x  có đạo hàm khoảng a; b khoảng a; b đạt giá trị nhỏ (hoặc đạt giá trị lớn nhất) điểm x0  a;b , f /  x0  0 Chứng minh: f  x  f  x0  , có f  x  f  x0 , x  a; b Giả sử có a ;b   Ta có f /  x0   lim  x0 f  x0 x   f  x0  f  x0 x   f  x0   lim (1) x0 x x   f  x0  x   f  x0  f  x0  x  f  x0  Từ  suy lim  (2)  x0 x  x   f  x0  x  f  x0  f  x0  x   f  x0  Từ  suy lim  (3)  x0 x   x   Kết hợp (1), (2), (3) dẫn đến f /  x0   Tương tự, chứng minh kết sau: - Nếu  x0 ; b hàm số f  x có đạo hàm đạt giá trị nhỏ x0 f /  x0   (như hiểu theo nghĩa hàm số có “xu hướng đồng biến lân cận phải x0 ”) - Nếu  x0 ; b  hàm số f  x  có đạo hàm đạt giá trị lớn x0 f /  x0   (như hiểu theo nghĩa hàm số có “xu hướng nghịch biến lân cận phải x0 ”) - Nếu a; x0  hàm số f  x có đạo hàm đạt giá trị nhỏ x0 f /  x0   (như hiểu theo nghĩa hàm số có “xu hướng nghịch biến lân cận trái x0 ”) - Nếu a; x0  hàm số f  x có đạo hàm đạt giá trị lớn x0 f /  x0   (như hiểu theo nghĩa hàm số có “xu hướng đồng biến lân cận trái x0 ”) Ví dụ Cho hàm số f  x    x  1  ax  4ax  a  b   với a, b  Biết   khoảng   ;0  hàm số đạt giá trị lớn điểm x  1 Hỏi đoạn   5   2;  hàm số đạt giá trị nhỏ điểm sau đây?   A x   B x   C x   D x  2 Phân tích: Hàm số f  x có đạo hàm liên tục  f /  x    x  1  2ax  5ax  3a  b     + Trên khoảng   ;0  hàm số đạt giá trị lớn x  1 nên theo Mệnh   đề 1, hàm số đạt cực trị x  1  f /  1   4  6 a  b     b  a  Khi có f /  x   2a  x  1  x  x  3   Phải có a  , f /  x  có nghiệm x   ; 1   Hàm f  x  đạt cực đại x  1 nên có bảng biến thiên sau (với a  ): 10  x f /  x 1         f  x 5  Quan sát bảng biến thiên thấy đoạn  2;   , hàm số đạt giá trị nhỏ 4  x   Chọn phương án C Ví dụ Xét tất tham số thực m thỏa mãn điều kiện hàm số  x  mx  có giá trị lớn đoạn 1;1 Phát biểu f  x  x2 sau đúng? A m  B m  2;0  C m  0;1 D m  1;3  Phân tích: * Đây kiểu biện luận giá trị lớn nhất, nhỏ theo tham số * Cách giải theo mạch tư thông thường là: - Tìm đạo hàm; - Xác định điểm tới hạn hàm số đoạn 1;1 ; - Tính giá trị hàm số điểm tới hạn hai đầu mút so sánh để xác định giá trị lớn (tùy thuộc theo trường hợp m); - Giải điều kiện giá trị lớn * Khó khăn tiến hành theo cách trên: Ta thấy y /  x  x  m   x  2 Việc y / có nghiệm có nghiệm phải so sánh nghiệm với  dẫn đến nhiều trường hợp biện luận việc tính tốn, so sánh giá trị trở lên phức tạp 51  x2  x   x  m  x  x   2( x  m)  2m   x  x    x  x    2( x  m ) m  x    Ta thấy hai parabol y   x  x  1, y  x  tiếp xúc với điểm có tọa độ 1;2  nên đồ thị chúng hệ tọa độ Oxy sau: y x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 Khi để phương trình có nghiệm đường thẳng y  2m cắt hai parabol điểm phân biệt, từ đồ thị có điều kiện cần đủ m  m    2m  2m    m      2m  1 m   Vậy tổng bình phương giá trị m 52 Bài tập vận dụng: Bài Cho hàm số y  f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình m3  5m  f ( x)  có bốn nghiệm thực phân biệt f ( x)  A B C D Bài Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m cho phương trình x3   m  3 x  x  m có hai nghiệm thực Tích tất phần tử tập hợp S 23 A B C D 27 27 Bài Cho hàm số f ( x)  x3  x  Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f   f ( x)  f ( x)  m   x  x  có nghiệm x  [ 1; 2] A 1746 B 1750 C 1747 D 1748 Bài Cho phương trình 4 x  x  log  m  x   2m   ,  m    Số giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn   2; 2 A B C D Vơ số Bài Có tất số nguyên dương a với a  2021 để phương trình x  ax  a ln a  ln  ax  a ln a   ee  x A 1199 B 2003 C 1001 có nghiệm x  D 1802 Bài Có số thực m để phương trình  x m log  x2  2x  3  2 x x log1  x  m  2 có nghiệm thực phân biệt? A Vô số B C D 53 Bài Có cặp số nguyên dương  x; y  với x  2021 thỏa mãn  x  y   1  y   log  x  1 ? A 2020 B 1010 D C Bài Cho hàm số f  x   x3  15 x  78 x  141  m  x   m với m tham số Có số nguyên m thuộc đoạn  2020 ; 2020 cho f  x   với x thuộc đoạn  ; 4 ? A 2020 B 2024 C 2021 D 2022 Bài Cho hàm số f  x   log 2021   x   x  x 2021  x 2003 Tập nghiệm bất phương trình f  2 x   f   x    A  1;   B  1;   C  ; 1 D  ; 1 9t Bài 10 Xét hàm số f  t   t với m tham số thực Gọi S tập hợp  m2 tất giá trị tham số m cho f  x   f  y   với x, y thỏa mãn e x  y  e  x  y  Tìm số phần tử S A B Vô số C D Hướng dẫn giải tập vận dụng: Bài Cho hàm số y  f ( x) liên tục  có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình m3  5m  f ( x)  có bốn nghiệm thực phân biệt f ( x)  A B C D Lời giải Chọn B m3  5m  f ( x)   m3  5m  f ( x)   f ( x)  1 Ta có: f ( x)    54 Xét hàm số h(t )  t  5t  h(t )  3t    hàm số đồng biến  Khi 1  h  m   h   f ( x)   f ( x)   m Phương trình có nghiệm m   f  x   m2  Khi ta có f ( x )   m    f  x    m2   Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f  x    m  có nghiệm Để phương trình (1) có nghiệm thực phân biệt  f  x   m  có nghiệm thực phân biệt   m2   1  m  1  m2      3  m2   10  m  26  10  m  26 mà m    m  4;5 Bài Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m cho phương trình x3   m  3 x  x  m có hai nghiệm thực Tích tất phần tử tập hợp S 23 A B C D 27 27 Lời giải Chọn A Đặt t  3 x  x  m  t  x  x  m  m  t  x  x Từ phương trình ban đầu ta có x   m  t  m  x   t 1 2 Từ 1 ,    x   t  t  x  x   x  1   x  1  t  t * Xét hàm số f  u   u  u có f '  u   3u   u   Khi phương trình  *  f  x  1  f  t   x   t Thế vào phương trình   ta x  x   m ** Ta xét hàm số g  x   x  x  có g   x   3x    x   Bảng biến thiên: 55 Để phương trình có hai nghiệm thực  92 m        23  S  ;   Đáp số 3 3 27  92   m   Bài Cho hàm số f ( x )  x3  x  Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f   f ( x)  f ( x)  m   x  x  có nghiệm x  [ 1; 2] A 1746 B 1750 C 1747 Lời giải D 1748 Chọn B  Ta có f  f ( x)  f ( x)  m   x  x  , (1) Đặt t  f ( x)  f ( x)  m , suy ra: 1  f  t    x3  x   t  t     x     x   , (2) Xét hàm số y  h  u   u  u  có h  u   3u   0, u   nên hàm số đồng biến  Do    h  t   h   x   t   x Suy y  h u  f ( x)  f ( x)  m   x  f ( x)  f ( x)  m    x   m   f ( x)  f ( x)  x Mà f ( x )  x3  x  , suy m    x3  x     x3  x    x3 , (3) Xét hàm số h( x)    x3  x  2   x3  x    x3 với x  [ 1; 2] Suy h( x)  3  x3  x    3x  1   3x  1  3x  0, x   1;2  Do h  1  h( x)  h     h( x)  1748 Vậy phương trình (1) có nghiệm x  [1;2] phương trình (3) có nghiệm x  [ 1; 2]  1748  m  Do m    m  1748; 1747; ; 1;0;1 Vậy có 1750 giá trị nguyên tham số m 56 Bài Cho phương trình 4 x  x  log  m  x   2m   ,  m    Số giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn   2;2  A B C Lời giải D Vô số Chọn B Đặt log  m  x   t  m  x  4t  m  x  4t Phương trình trở thành 4 x  x  t   x  4t     22 x  x  22t 1  t  1  2 x   22t 1   2t  1 1 2 1 Do hàm số g  a   2a  a có g   a   2a ln   0, a   nên hàm số đồng biến 2  1  g  2 x   g  2t  1  2 x  2t   2t  2 x   m  x  22 x1 *  22 x  Xét h  x   x  2 x1 có h  x    2.22 x1 ln   22 x ln   x  log  ln  Bảng biến thiên h  x  Phương trình * có nghiệm x   2; 2  m  1;2;3;4;5;6 m   Bài Có tất số nguyên dương a với a  2021 để phương trình x  ax  a ln a .ln  ax  a ln a   ee  x A 1199 B 2003 có nghiệm x  C 1001 Lời giải D 1802 Chọn D x x x x  ax  a ln a  ln  ax  a ln a   e e  x  e e e x  e e ln e e (1) Xét hàm số f  t   t ln t , với t  Vì f   t    ln t  nên hàm số f  t  đồng biến  0;  57   x (1)  f  ax  a ln a   f ee  ax  a ln a  ee x x  2 x x Với ax  a ln a  e e  a ln  ae x   e e   ae x  ln  ae x   e e ln ee   x Khi   có dạng f  ae x   f ee  a  e e + Xét hàm số g  x   ee Có g   x   e e x x x x x x x  2;   e x  1  với x   2;   , hàm số g  x  đồng biến  2;  nên x   g  x   g   x Hay a  ee  x  ee 2  219  219  a  2020 Do   a  219;220; ;2020 Vậy có 1802 số a * a    Bài Có số thực m để phương trình  x m log  x2  x  3  2 x  x log  x  m  2 có nghiệm thực phân biệt? A Vô số C Lời giải B Chọn B  xm Ta có log x  x  3  2 x x D log  x  m    2.4  x m  2.2 x  2x 2 2 x 2 x 3 log3  x  x  3   x x log  x  m   log  x  x  3  22 x m log3  x  m   log  x  x  3  2 xm  log  x  m   (*) Xét hàm số f  t   2t.log t , t   f '  t   2t.log t.ln t  2t  0, t   hàm số y  f  t  đồng biến t ln  Suy phương trình (*) tương đương với f  x  m    f  x  x  3  x  m   x  x   2m   x  x   x  m  x  2x     2m  x  Ta vẽ đồ thị hai hàm số y   x  x  1 C1  ; y  x  1 C2  hệ trục tọa độ 58  m  2m    Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt  m    m    m   m   Suy có giá trị m Bài Cho Có cặp số nguyên dương  x; y  với x  2021 thỏa mãn  x  y   1  y   log  x  1 ? A 2020 B 1010 C Lời giải D Chọn C Ta có  x  y   1  y   log  x  1  x  y   3.9 y  log  x  1  x   log  x  1  y  3.9 y   x  1  log  x  1  3.32 y  log 32 y (1) Xét hàm số y  f  t   3t  log3 t với t  , có y  f   t     0, t  t.ln Suy hàm số y  f  t   3t  log3 t đồng biến khoảng  0;   32 y Từ 1  f  x  1  f    x    x  Với x  2021  32 y   2021  32 y  4041  y  log 4041  y  log 4041  3, 78 2 Vì y nguyên dương nên y  1;2;3 2y 2y 59 +) Với y  x  +) Với y  x  41 +) Với y  x  365 Vậy có cặp số nguyên dương  x; y  thỏa mãn Bài Cho hàm số f  x   x3  15 x  78 x  141  m  x   m với m tham số Có số nguyên m thuộc đoạn  2020 ; 2020 cho f  x   với x thuộc đoạn  ; 4 ? A 2020 B 2024 C 2021 D 2022 Lời giải Chọn C Ta có f  x    x3  15 x  78 x  141  m  x   m    x     x  5  x   m  x   m   x     x  5   g  x  5  g   2x   m   2x   m  x   m với g (t )  t  5t Vì g  t  đồng biến  nên g  x  5  g Do đó,   x   m  x   x   m   x  5  x   m f  x   0, x   ; 4 max h  x   m  ; 4 với h  x    x  5  x  Ta có h x   3 x  5   3x2  30x  73 h  x   x  30  0, x   ; 4 Suy h  x   h    0, x   ; 4 Vì max h  x   h     ; 4 Vậy max h  x   m  m  nên số nguyên m thuộc đoạn  2020 ; 2020 thỏa  ; 4 mãn đề gồm 0;1;2; ;2020 tức có 2021 số nguyên m thỏa mãn đề Bài Cho hàm số f  x   log 2021   x   x  x 2021  x 2003 Tập nghiệm bất phương trình f  2 x   f   x    A  1;   B  1;   C  ; 1 Lời giải Chọn A Hàm số có tập xác định D   Ta có: D  ; 1 60 f  x   log2021   log 2021    x2   x   x  2021   x  2003  log2021  x2021  x2003 x 1  x  x   x  x 2021  x 2003   f  x  , x   Vậy f  x  hàm lẻ Bất phương trình cho tương đương với f   x    f   x    f  2 x   f  x   1 1 Mặt khác, có f '  x    f ' x   x x 1  2021x 2020  2003 x 2002 x   x ln 2021   2021x 2020  2003x 2002  0, x   x  1.ln 2021 Suy f  x  đồng biến  ;   Nên 1  2 x  x    x  x     Đặt g  x   2 x  x  3, x   Ta có g '  x   2 x ln   0, x   Suy g  x  nghịch biến  ;   Như    g  x   g  1  x  1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S   1;   9t với m tham số thực Gọi S tập hợp 9t  m tất giá trị tham số m cho f  x   f  y   với x, y thỏa Bài 10 Xét hàm số f  t   mãn e x  y  e  x  y  Tìm số phần tử S A B Vô số C Lời giải Chọn D Xét hàm số y  et  et , t    y  et  e  y   t  Bảng biến thiên D 61 Vậy et  et  , dấu xảy t  Suy e x y  e  x  y   e x y  e  x  y    x  y   y   x Do f  x   f  y    f  x   f 1  x   9x 91 x  m x   m 91 x  x  1 1  m2 91 x  m  m x  91 x.m2  m   m2 x   m 91 x   m x  91 x.m2  m4  m   m   Vậy có số phần tử tập S III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI: Hiệu kinh tế: - Nội dung trình bày sáng kiến tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh lớp 12 trình ơn tập chuẩn bị cho thi tốt nghiệp THPT thi đánh giá lực tuyển sinh vào trường đại học; tài liệu dùng tập huấn học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi THPT cấp tỉnh - Các toán ý tưởng trình bày sáng kiến tài liệu tham khảo bổ sung thêm cho thầy cô giáo chủ đề ứng dụng hàm số Thông qua ý tưởng trình bày, thầy có liên hệ tương tự chủ đề khác hướng dẫn học sinh cách tiếp cận phù hợp với dạng toán cách linh hoạt, qua phát triển lực Tốn học cho học sinh Với việc đề xuất số ý tưởng khai thác tính chất hàm số, tác giả mong muốn giải pháp sử dụng rộng rãi, cách tiết kiệm chi phí tài liệu, chi phí ơn tập cho học sinh lớp 12 tiếp cận câu hỏi vận dụng cao việc bồi dưỡng học sinh giỏi tỉnh ôn thi THPT Hiệu mặt xã hội: Trong trình giảng dạy lớp 12, tổ chuyên mơn triển khai ý tưởng trình bày báo cáo nhận thấy học sinh hứng thú hơn, có thêm nhiều cơng cụ việc giải tốn, đồng thời qua lực giải vấn đề toán học học sinh nâng cao; kết thu tốt phần thể qua điểm trung bình mơn Tốn thi THPT nhà trường qua năm Các kết phổ biến cộng đồng giáo viên Toán thơng qua diễn đàn Giáo viên Tốn mạng xã hội, góp phần thầy giáo dạy Tốn nâng cao lực giảng dạy sáng tạo tập 62 Năm học Điểm trung bình mơn Tốn trường THPT chun Lê Hồng Phong Điểm trung bình mơn Tốn tỉnh Điểm trung bình mơn Tốn nước 2018-2019 2019-2020 2020-2021 7,96 8,79 8,56 6,52 7,63 7,42 5,64 6,66 6,61 (Bảng điểm trung bình mơn Tốn thi Tốt nghiệp THPT năm 2018-2021) Khả áp dụng nhân rộng: - Các nội dung sáng kiến áp dụng giảng dạy mơn Tốn cho học sinh 12 ơn thi TN THPT bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, trao đổi rộng rãi diễn đàn giáo viên Tốn Việt Nam - Có thể áp dụng sáng kiến (hoặc tương tự, mở rộng với chủ đề kiến thức khác) cho đối tượng học sinh lớp 12 THPT toàn quốc; cho thầy giáo dạy Tốn q trình dạy học IV CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN: Chúng tơi xin cam kết kết trình bày sáng kiến nghiên cứu qua q trình dạy lớp 12, ơn thi TN THPT bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh Chúng không chép vi phạm quyền tác giả Nam Định, tháng 05 năm 2022 CÁC TÁC GIẢ SÁNG KIẾN: Phạm Bắc Phú Nguyễn Trung Sỹ 63 CƠ QUAN, ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (ghi rõ nhận xét, phạm vi ảnh hưởng hiệu áp dụng có đạt mức sở hay khơng, tính sáng kiến gì?) ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 64 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (xác nhận, đánh giá, xếp loại) ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ Giáo dục Đào tạo (2018), Chương trình GDPT-Chương trình tổng thể Bộ Giáo dục Đào tạo (2018), Chương trình GDPT-Chương trình mơn Tốn Nguyễn Thế Thạch (2009), Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn lớp 12 , NXB Giáo dục Việt Nam Trần Văn Hạo (2009), Giải tích 12, NXB Giáo dục Việt Nam Đoàn Quỳnh (2009), Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam Đồn Quỳnh (2012), Tài liệu chun Tốn Đại số Giải tích 11, NXB Giáo dục Việt Nam Đồn Quỳnh (2012), Tài liệu chun Tốn Đại số Giải tích 12, NXB Giáo dục Việt Nam Đề thi THPT QG năm 2017, 2018, 2019 Đề thi Tốt nghiệp THPT năm 2020, 2021 (đợt đợt 2) Đề tham khảo mơn Tốn Bộ Giáo dục Đào tạo năm 2017, 2018, 2019, 2020, 2021, 2022 ... thức với - Học sinh bị “mất gốc” học tiếp mơn Giải tích bậc Đại học bậc THPT khơng học làm toán theo chất Toán học 1.2 Một số lực Toán học cần phát triển cho học sinh Trước đưa Toán học vào đời... ứng dụng Toán đời sống, có lẽ cần phát triển lực đặc thù cho học sinh để việc học làm Toán trở với “chất” Toán Một số lực sau đóng vai trị quan trọng, đặc biệt học sinh có khả tư tốt Toán bối... hoạt động dạy học, đánh giá diễn theo phẩm chất lực người học, giúp phát triển lực cho người học Ở mơn Tốn, lực Tốn học có đặc thù riêng cần thiết phải phát bồi dưỡng cho học sinh, học sinh có