1. Tên sáng kiến: GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia. 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ 8 2017 đến 5 2018 4. Tác giả:
1 Tên sáng kiến: GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Chương trình Tốn lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên - Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ - 2017 đến - 2018 Tác giả: Họ tên: … Năm sinh: … Nơi thường trú: … Trình độ chun mơn: Thạc sĩ Chức vụ công tác: Tổ trưởng chuyên môn Nơi làm việc: … Địa liên hệ: … Đơn vị áp dụng sáng kiến … BÁO CÁO SÁNG KIẾN I ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Hình học phăng phận quan trọng Tốn h ọc Đây m ột phân mơn có tính hệ thống chặt chẽ, có tính logic tr ừu t ượng cao R ất nhiều tốn hình học phẳng tương đối khó việc tìm l ời gi ải ho ặc phải qua nhiều bước chứng minh, biện luận ph ức tạp m ới có th ể đ ến kết luận Đặc biệt, tốn hình học phẳng góc, đường trịn, đường th ẳng hay toán liên quan đến phép biến hình, phép đồng dạng th ường khiến nhiều học sinh dặp khó khăn, lúng túng dễ mắc ph ải sai l ầm Nh ững tốn hình học phẳng thường xuất kì thi H ọc sinh gi ỏi, kì thi Olympic nước giới Không nh ững th ế, tốn hình học phẳng ln có vị trí quan nh ững tốn hay khó Vi ệc tìm lời giải cho tốn địi hỏi học sinh khơng ch ỉ n ắm đ ược nh ững kiến thức mà phải có kiến thức sâu, rộng phân môn Trong trình học tập, nghiên cứu cơng tác, tơi nhận th việc gi ải tốn góc, đường trịn, đường thẳng hay tốn liên quan đ ến phép biến hình, phép đồng dạng, … địi hỏi phải xét nhi ều tr ường hợp thứ tự vị trí điểm, góc toán Đi ều d ẫn đ ến vi ệc cộng trừ, hay biến đổi góc q trình tính tốn gặp r ất nhiều khó khăn Việc ứng dụng góc định hướng vào giải tốn hình học ph ẳng t ạo r ất nhiều điều thuận lợi Đó việc học sinh khơng cấn quan tâm đến v ị trí điểm hình vẽ, cần quan tâm đến thứ tự điểm, biến đổi hệ thức tính chất góc định hướng Các khái niệm tính ch ất c góc định hướng khơng dạy chương trình mơn Toán THPT, mà ch ỉ giới thiệu sơ lược chương trình Đại học Với lí mong muốn có tài liệu v ề “Góc đ ịnh hướng” để giảng dạy cho học sinh giỏi, tơi ch ọn đề tài “Góc định hướng số ứng dụng giải Tốn hình học phẳng” với mục tiêu nghiên cứu tính chất góc định hướng số ứng d ụng gi ải tốn hình học phẳng II MƠ TẢ GIẢI PHÁP: Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến: Trước đây, định nghĩa tính chất góc định hướng (góc lượng giác) chưa đưa vào chương trình sách giáo khoa, giải tốn hình học định nghĩa góc hình học, số tốn l ời gi ải ph ụ thu ộc vào hình vẽ rắc rối Nhiều tốn địi hỏi phải xét nhiều trường hợp thứ tự vị trí điểm, góc tốn Điều dẫn đến vi ệc c ộng tr ừ, hay biến đổi góc q trình tính tốn gặp nhiều khó khăn Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến: Việc ứng dụng góc định hướng vào giải tốn hình học phẳng tạo nhiều điều thuận lợi Đó việc học sinh khơng cấn quan tâm đến v ị trí ểm hình vẽ, cần quan tâm đến thứ tự điểm, biến đổi h ệ th ức tính chất góc định hướng Nếu ta sử dụng khái niệm góc định hướng cho lời giải ngắn gọn, rõ ràng khơng phụ thuộc vào hình vẽ Hơn nữa, góc định h ướng giúp đ ịnh nghĩa phép biến hình, từ mở ứng dụng khác A CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ: Góc định hướng hai tia 1.1.Định nghĩa góc định hướng hai tia gốc � � Cho góc xOy Ta nói xOy góc định hướng hai cạnh Ox Oy có thứ tự xác định Tức hai cạnh góc cạnh đầu , cạnh lại cạnh cuối Nếu Ox cạnh đầu Oy cạnh cuối , góc định hương ký hiệu Ox, Oy Hướng góc hướng quay quanh đỉnh O cạnh Ox đến trùng với cạnh Oy biểu thị mũi tên cong Ta quy ước hướng quay theo ngược chiều kim đồng hồ Ox hướng dương Hướng quay ngược lại âm � Gỉa sử α ( radian ) số đo góc xOy , số đo Ox, Oy �α 2kπ (*), với k số nguyên ký hiệu Ox, Oyα �kπ 2 Ox, Oyα kπ Ox, Oyα kπ Số �α, α π gọi giá trị góc Ta quy định góc âm ứng với giá trị α , góc dương ứng với giá trị α (hoặc α ) x y α O -α x y � Giả sử số đo xOy , số đo Ox, Oy 2kπ Ox, Oyπ mod Trong trường hợp Ox, Oy gọi góc định hướng khơng Góc định hướng khơng khơng có hướng xác định 1.2 Liên hệ giá trị vị trí hình học góc định hướng Góc định hướng hình học dùng để xác định vị trí tia, điểm đường thẳng quan hệ đường thẳng Việc lại có liên quan đến giá trị góc Đây khác biệt góc định hướng hình học lượng giác *) Cho hai điểm phân biệt A, B hai góc α, β với α, β � π ; π Xét hai góc OA, OBα O; A 'O ,B ' β Ta thấy O O ' phía đường thẳng AB α, β dấu O O ' khác phía đường thẳng AB α, β khác dấu x O' O O -a A x B y A B O' � *) Cho góc xOy Từ điểm O ' tia Ox ta dựng tia O ' z thấy giá trị hai góc Ox, Oy , O ' x, O ' z dấu Oy O ' z phía đường thẳng Ox Gia trị hai góc trái dấu Oy O ' z khác phía đường thẳng Ox y z y a O' O O' x x O z *) Ta nói hai góc Ox, Oy , O ' x, O ' y (theo mođun) giá trị chúng ký hiệu Ox, Oy O ' x, O ' yπ mod Ox, Oy O ' x, O ' y mod 3600 Hai góc định hướng Ox, Oy , O ' x, O ' y gọi đối , giá trị chúng đối ký hiệu Ox, Oy O ' x, O ' yπ mod Ox, Oy O ' x, O ' y mod 3600 1.3 Định nghĩa góc định hướng hai tia khác gốc Giả sử O1 x O2 y hai tia có gốc khác khơng song song Gọi O giao hai đường thẳng O1 x O2 y Vì Ox Oy chiều với O1 x O2 y , nên ta định nghĩa góc định hướng với tia đầu O1 x tia cuối O2 y góc Ox, Oy , ký hiệu O1 x, O2 y Nếu hai tia O1 x O2 y song song trùng số đo góc O1 x, O2 yπ mod O1x, O2 yπ modπ Ta chứng minh O ' x ' O ' y ' hai tia tương ứng chiều với O1 x O2 y , O1x, O2 y O ' x ', O ' yπ' mod không phụ thuộc vào cách chọn điểm O ' a Ta ký hiệu P giao O ' x ' Oy ; Q giao O ' y ' Ox Ta có Ox, Oy Px ', Py O ' x ', O ' y ' x y O x' Q O x O O O y' P O y r r u Nếu , v véc tơ chiều với O1 x O2 y , góc định hướng tạo r r r r u , v u v hai véc tơ mà cạnh đầu cạnh cuối , O1 x, O2 y ký hiệu r r u, v α, β � π ; π thoã mãn a -a Bổ đề Cho điểm phân biệt A, B, C , D góc ; DC , điều kiện BA, BCα DA β Điều kiện cần đủ để B, D nằm cung chứa góc dựng dây AC α β yChứng minh: Nếu B, D thuộc cung chứa O O AC , chúng góc dựng dây phía đối x' Q O B D với AC Tức Olà1 BA, BC O; DA, DC hướng β α y' Vậy dấu Mặt khác số đo P góc hình học tươngO ứng Vì giá trị hai góc y Ngược lại giá trị hai góc , chúng dấu Tức đỉnh B, D A C phía AC Giả sử giá trị dương., số đo góc hình học tương ứng Vậy B, D nhìn đoạn AC góc số đo Theo tính chất cung chứa góc ta suy đpcm 1.4 Các phép toán tập hợp góc định hướng Cho hai góc a, b Tổng hai góc a, b góc định hướng j mà số đo tổng số đo hai góc cho ký hiệu a b jπ mod Hiệu hai góc a, b góc định hướng g mà số đo hiệu số đo hai góc cho ký hiệu a b gπ mod Tich a với số thực k góc định hướng d mà số đo tích a với -a b k ký hiệu d aak kaπ mod Từ ta có hệ thức liên hệ góc định hướng a x, O2 y, O3 z , ta có b>0 Hệ thức Salơ: Với tia aO b O1x, O2 y O2 y, O3 z O1x, O3 zπ moda 2.b0 b a b