Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Có đáp án Đề Số 4

Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 1 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (2,0 điểm).  4 2 5 3 22 x yx   (C). a)    C . b) Gi s   MC  a  a  tip tuyn ca   C ti M ct   C t M . Câu 2 (1,0 điểm).    2 s in c o s 1 ta n c o t 2 c o t 1 xx x x x    . Câu 3 (1,0 điểm).    4 0 c o s 2 1 s in 2 c o s 4 x I d x xx         . Câu 4 (1,0 điểm). a)  z  12 1 zi i z     2 3 w2 4 zz    . b)    0 ; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6A   A   Câu 5 (1,0 điểm).        O x y z      1 11 : 1 1 1 y xz d     2 2 1 : 1 1 1 y xz d      1 d  2 d  0 30 . Câu 6 (1,0 điểm). .S A B C  A B C  A    S A B    S A C    A B C , cho 2B C a    S B C    A B C   0 60  A    S B C . Câu 7 (1,0 điểm).  O x y , cho  A B C    1; 5A     2 ; 2I  5 ;3 2 K     B  C   Câu 8 (1,0 điểm).  2 22 3 2 1 1 4 3 3 2 2 y x y y x y x y y x x                ,xy R . Câu 9 (1,0 điểm). Cho  ,,xyz  0 , , 1xyz .              2 2 2 x x y y z z x y z y zx z xy       . HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a. - Tập xác đinh: DR . ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 4 Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 2 - Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 3 ' 2 6y x x ; 0 '0 3 x y x        .     ' 0 , 3 ; 0 3 ;yx         3 ; 0    3; .     ' 0 , ; 3 0 ; 3yx         ;3      0 ; 3 . + Cực trị:  5 0, 2 CD xy  3 , 2 CT xy    . + Giới hạn: lim ; lim xx yy           . + Bảng biến thiên x  3 0 3  'y  0  0  0  y  2 5 2 2  - Đồ thị:  Ox          5 ; 0 , 1; 0 , 1; 0 , 5 ; 0  Oy  5 0; 2    .  Oy   33 2 ; , 2 ; 22                . - Vẽ đồ thị: Câu 1.b.    MC  4 2 5 ;3 22 a M a a     .  M    3 ' 2 6 a y a a  M      4 32 5 2 6 3 22 a y a a x a a      .  d    C  M    C  M       44 2 3 2 55 3 2 6 3 2 2 2 2 xa x a a x a a            2 22 2 3 6 0x a x ax a          22 2 3 6 0g x x ax a      a .     22 2 ' 3 6 0 3 1 6 6 0 aa a a g a a                    . Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 3 Kết luận: 3 1 a a        . Nhận xét:    MC  M    C   Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -    y f x    ; AA A x y y      ' A A A y f x x x y   . -    4 2 5 ;3 22 a M a a C         M . -  - Do   MC  xa . -  22 2 3 6 0x ax a         '0 0 a xa ga         .  Bài tập tương tự: a.  42 21y x x    Đáp số: 2y  . b.        32 25 1 3 2 33 y x m x m x         m             1 1 1 2 2 2 ; , ;M x y M x y  12 .0xx            3 1 0xy   . Đáp số: 1 3 ; 1 3 mm      . Câu 2.  sin c o s 0 c o t 1 xx x      .    2 s in co s 1 s in c o s 2 c o s sin c o s sin 2 s in xx x x x x x x x       s in 0 l c o s sin 2 c o s sin 2 2 s in 2 s in sin 2 2 s i n 0 2 s in sin 2 co s c o s 2 c o s c o s 2 x x x x x x x x x x x x x x x                   .    3 2l 2 4 c o s 3 2 2 4 xk x xk                   .  3 2; 4 x k k      Z . Nhận xét:   Nhắc lại kiến thức và phương pháp: - sin co s 2 c o s s in ta n c o t 2 ; c o t 1 c o s sin 2 sin x x x x x x x x x x       . -   co s .co s sin . sin co s , sin 2 2 sin co sa b a b a b x x x    . -   2 sin sin 2 xk x k Z xk                  ; co s cos 2x x k        . Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 4 -   Bài tập tương tự: a.  s in 3 c o s 3 5 s in c o s 2 3 1 2 s in 2 xx xx x         . Đáp số: 2 3 xk      . b.  c o s 2 3 c o t 2 sin 4 2 c o t 2 co s 2 x x x xx    . Đáp số: 7 ; 1 2 12 x k x k         . Câu 3.         π 4 22 0 s in c o s c o s sin 2 s in x c o s 2 s in co s s in c o s x x x x I d x x x x x x             π ππ 4 44 22 00 0 s in c o s c o s sin 2 2 2 2 1 s in c o s s in c o s s in c o s d x x xx dx xx x x x x            . Nhận xét: n dn vi bin s. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -u thi d dc         2 c o s 2 c o s sin c o s s in 1 s i n 2 s i n c o s 1 c o s c o s s i n 4 2 x x x x x x x x x x x                       . -S di bin s sin cos ' cos sinu x x u x x      I ng 2 '1u d u C u u     . Bài tập tương tự: a.    ln 5 ln 2 3 1 xx x ee I d x e     . Đáp số: 1 ln 1 6I  . b.  2 4 . ln e e dx I xx   . Đáp số: 7 24 I  . Câu 4.a. Gi s phc z ng   ,z x yi x y   R .      1 1 2 1 2 1 1 x y i zi ii z x yi                  1 1 2 1 2 1 2 2 2 3 0x y i x x i yi y y x y i               2 2 2 3 0 1 1 2 0 2 x xy y y               . Vy 2 1 1 1 5 2 4 2 2 2 4 6 z i z i i        .  2 3 3 1 w 2 4 4 2 1 4 4 4 z z i i i              . Nhận xét:  phc w  phc z thu ki z ri suy ra w . Nhắc lại kến thức và phương pháp: -Hai s phc b khi phn thn o cng bng nhau: ac a b i c d i bd            . Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 5 - t   ,z x yi x y R   ng thc 12 1 zi i z    c s phc z . -T 2 3 w2 4 zz    thay wz  .  Bài tập tương tự: a.  z  2 20zz . Đáp số: 0 , 2 , 1 3z z z i     . b.  z      2 2 1 2z i i   (Đề thi tuyển sinh đại học khối A-2010). Đáp số: 52zi . Câu 4.b. Gi s t  s  a b c d e . Chn a  Chn 4 s  4 6 A  4 6 6.A s.   chia h  ng hp 1: 0e  : chn 4 s  4 6 A   ng hp 2: 5e  : chn a n 3 s  3 5 A  43 65 5.AA . Vt c 43 65 4 6 5. 0 , 3 0 6 6 AA P A   . Nhận xét: t vi s chia hu hiu s chia h tht. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: - Gi s t  s  a b c d e . S chia h khi t cc 5. -  s cu 0e  . -  s cu 5e  . -     A PA    vi   A  ng hp thun li cho bin c A ,  t c ng hp xy ra. Bài tập tương tự: a.   t  s  t cho 15. Đáp số: 222 s. b.  0,1,2,3,4,5,6. Gi A p h gm 2 ch s c t  y ngng thi hai phn t ca A  hai s l chn. Đáp số: 1 3 . Câu 5. Gi s mt phng   P ng:   2 2 2 00A x B y C z D A B C       . Suy ra mt phng   P      ;; P n A B C . ng thng 1 d lm     1; 0 ; 1 , 1; 1; 0MN . Do   P qua ,MN  02 0 A C D C A B A B D D A B                .      : 2 0P A x B y A B z A B      . Theo gi thi       0 22 2 2 2 2 1 . 1 . 1 . 2 1 sin 3 0 2 1 1 1 . 2 A B A B A B A B             2 2 2 2 2 3 2 3 5 4 2 2 1 3 6 1 0 0A B A A B B A A B B         . Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 6 Chn 1B  , suy ra 1 8 1 1 4 21 A   . Vt phng th 1 8 1 1 4 1 5 1 1 4 3 1 1 4 0 2 1 2 1 2 1 x y z      . Nhận xét:  vit phng    chng thng   1 d o   2 d m   mn ca     t hng thng , mt phng. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Mt mt ph n. -Mt phng    bng t 0A x B y C z D    vi 2 2 2 0A B C   . -ng thng   d t phng   P : . s in . dP dP un un  vi d u   ca   d , P n n ca   P .  - Gi s mt phng   P c 0A x B y C z D    . Suy ra   ; ; C P n A B t vector n ca   P . Thay t ,MN t phc mi quan h gia ,,A B C . - ng thng     2 ,dP hp vi nhau mng 2 2 00 . 3 0 s i n 3 0 . dP dP un un  . - Chn ,B A C ta vic hai mt phng c  Bài tập tương tự: a. Trong h trc t O x y z , cho hai mt phng     : 2 3 0 ; : 2 3 4 0P x z Q x y z       . Vi t phng   R i hai mt phng     ,PQ p vt phng t mt t ding 4 15 . Đáp số:   : 2 5 4 4 0R x y z    . b. Trong h trc t O x y z , vit phng   P m     2 ; 1; 3 ; 1; 2 ; 1AB  song song vng thng 3 1 22 y z x      . Đáp số:   : 10 4 19 0P x y z    . Câu 6.  M  BC .  A B C  A    c â n B C A M B C S M do S A B S A C S B C             .                S A B S A C S A S A B A B C SA A B C S A C A B C             .              0 , 6 0 S B C A B C B C B C A M A B C S B C A B C S M A B C S M S B C               .  00 26 . t a n 60 . t a n 6 0 . 3 2 2 2 B C a a S A A M    . S A C B M Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 7  2 2 2 3 . 1 1 1 1 6 6 . . . . . . . 2 2 2 2 3 3 2 2 1 2 A B C S A B C A B C B C a a a a S A M B C V S S A                   . 3 1 . . ; ; 3 S A B C S A B C A S B C S B C S B C V V V S d A S B C d A S B C S       .      2 2 2 2 2 1 1 1 6 . . . . ; 2 2 2 2 4 S B C B C a S S M B C S A A M B C S A B C a d A S B C             . Nhận xét:   Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -      ,S A C S B C    A B C        S A C S A B SA A B C   . - M  BC    ,S B C A B C S M A . -   . 1 3 S A B C A B C V S A S      . 3 1 . . d ; ; 3 S A B C S A B C A S B C S B C S B C V V V S A S B C d A S B C S     .  Bài tập tương tự: a.  .S A B C D  A B C D  0 9 0 , , 2A B C B A D B A B C a A D a       2S A a  SC    S A D  0 30  G   S A B  G    S C D . Đáp số:   , 2 a d G S C D  . b.  .S A B C D   0 9 0 , , 2A B C B A D A B B C a A D a      SA  2S A a  H  A  SB  S C D  H    S C D . Đáp số:   , 3 a d H S C D  . Câu 7. i tip A B C  5 ;3 2 K     5 2 R A K    2 2 5 25 3 24 xy        .  AI  5 1 3 8 0 2 1 2 5 y x xy         . Gi t ca D m ca h   2 2 3 8 0 5 2 5 3 24 xy xy                . Gic hai nghim 1 5 x y      m A  5 51 2 ; 1 22 2 x D y              . L  22 CA IC D IC B B C D IC A IA C C ID IC D          i D D C D I  ,D C D B B C  nghim ca h   22 2 2 2 5 1 5 1 2 2 2 1 4 5 2 5 3 24 x y D I x y x xy                                        . Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 8 Vy ,BC       1; 1 , 4 ; 1 . Nhận xét:   A B C bi tip   C y giao ca h nhng thng chm ,,A B C vi   C . Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -i ting trung trc 3 ci ti giao c - m         22 ; , ;M a b N c d M N a c b d     . ng  - T m ,AK ta li ti A B C    C . -Vi AI m ca h   D A I DC        . -S d 22 CA IC D IB C B C D IC A IA C C ID IC D        i D D C DI . L D C D B  ,BC m ca h   ,: , B C C D C D C B B C C        .  Bài tập tương tự: a. Trong h trc t O x y  A B C i A ng thng : 3 3 0B C x y   . Bit m ,AB ni ti   A B C . Đáp số:           2 3 3 ; 0 , 2 3 3 ; 6 2 3 , 1; 0 2 3 1; 0 , 2 3 1 ; 6 2 3 AC B AC               . b. Trong h trc t O x y u A B C i ti     22 4 2 5xy    ng thng BC m 3 ;2 2 M     m A . Đáp số:     8 ; 0 , 8 ; 4AA . Câu 8.   2 22 3 2 1 2 8 6 6 4 1 y x y y x y x y y x x                .        22 1 3 1 2 2 0 1 2 0 2 yx y x y x x x y x y yx                 .   1yx  30    2yx  2 22 22 2 2 4 1 0 22 22 2 xy xx xy                     .  2 2 2 2 ; 2 2 , ; 2 2 2 ( ; ) 2 xy                     . Nhận xét:   trong hai ,xy  Nhắc lại kiến thức và phương pháp: Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 9  ,xy . -  2 22 3 2 1 2 8 6 6 4 1 y x y y x y x y y x x                . -  y  1 2 yx yx      . -   Bài tập tương tự: a.    3 2 33 3 2 1 2 1x x x x      . Đáp số: 3 2 x  . b.    3 3 2 32 6 3 5 1 4 3 4 5 x y y x y x y x y                 . Đáp số:       ; 1; 3 , 2; 0xy    . c.  33 22 8 6 3 2 2 9 xy y x y x           . Đáp số:     1 ; 2 ; 1 , ; 4 2 xy     . Câu 9.    , , 0 ; 1xyz        2 2 2 0 ; 0; 0 0x x y y z z x yz y zx z xy           (*). ng hp:  Hai trong ba s ;;x yz y zx z x y     ng thc (*) mang du ng th  Mt trong ba s         gi s 0 ; 0x yz y zx             0 1 0 1x y x y z x y z z            Ba s ;;x yz y zx z x y    ng thi. Vy ba s ;;x yz y zx z x y     Ta chng minh       1x y z x y z y zx    (1). Tht vy,       2 2 2 2 2 (1) 1 2 0x y z z xy x y z xy z x y z          ng thc xy ra khi xy .         1y z x y zx z x y    (2);        1x z y x y z z xy    (3). ng v cc             2 2 2 x x y y z z x y z y zx z xy       ng thc xy ra khi  khi xyz u phi chng minh). Nhận xét: ng minh bng thc d ng hp xy ra vn s. D y ra vi xng xyz . Nhắc lại kiến thức và phương pháp: Th t thc hin chng minh bng thc. -         2 2 2 2 2 2 , , 0 ; 1 , , 0 0x y z x x y y z z x x y y z z           . -ng hp nh n: ;;x yz y zx z x y   +Nu v phng thc chng minh. +Nu hai trong 3 s  1z  Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 10 -Chng minh       1xy z x y z y zx    b  v 3 bng thc                 1 ; 1 ;x y z x y z y z x yz x y z x z x y xz x yz z x y          .  Bài tập tương tự: a.  thc   , , 0 ; 1 : 1x y z x y yz zx    . Chng minh rng : 2 2 2 33 2 1 1 1 y xz xyz       . b. Cho ,,a b c nh ca mng minh rng :       a b bc c a a b c c a a b b c c c a a a b b b c            . . Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 1 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (2,0 điểm).  4 2 5 3 22 x yx   (C). a)  .  . HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a. - Tập xác đinh: DR . ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 4 Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 2 - Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 3 '.   2 2 2 2 2 3 2 3 5 4 2 2 1 3 6 1 0 0A B A A B B A A B B         . Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 6 Chn 1B  , suy ra 1 8 1 1 4 21 A   . Vt