Đề thi tham khảo của bộ giáo dục và đào tạo môn toán học THPT QG năm 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ MINH HỌA KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019 ĐỀ THI THAM KHẢO Bài thi: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề Mã đề thi 001 Câu 1: Thể tích khối lập phương cạnh 2a A 8a3 B 2a3 C a3 D 6a3 Câu 2: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Giá trị cực đại hàm số cho A B C D uuur Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1; −1) B 2;3;2) Vectơ AB có tọa độ A (1;2;3 ) B (−1;−2;3 ) C (3;5;1) Câu 4: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số cho đồng biến khoảng ? D (3;4;1) A (0;1) B (−∞ −; 1) C (−1;1) D (−1;0) Câu 5: Với a b hai số thực dương tùy ý, log (ab2) A 2loga + logb B loga + 2logb C 2(loga + logb) 1 0 D loga + logb Câu : Cho ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = , ∫  f ( x ) − g ( x )  dx A −3 C −8 B 12 D Câu 7: Thể tích khối cầu bán kính a A 4π a 3 B 4π a C π a3 D 2π a Câu 8: Tập nghiệm phương trình log ( x − x + ) = A {0} B {0;1} C {−1;0} D {1} Câu 9: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxz) có phương trình A z = B x + y + z = C y = D x = x Câu 10 : Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e + x A e x + x + C x B e + x +C Câu 11: Trong không gian Oxyz, đường thẳng d : A Q (2; −1;2) B M (−1; −2; −3) C x e + xC x +1 D e x + + C x −1 y − z − = = qua điểm ? −1 C P (1;2;3) D N (−2;1; −2) Câu 12 : Với k n hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n , mệnh đề ? k A Cn = n! k !( n − k ) ! k B Cn = n! k! k C Cn = n! ( n−k)! D Cnk = k !( n − k ) ! n! Câu 13 : Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = công sai d = Giá trị u4 A 22 B 17 C 12 D 250 Câu 14: Điểm hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z = −1+2i ? A N B P C M D Q Câu 15: Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số ? A y = 2x −1 x −1 B y = x +1 x −1 C y = x + x + D y = x − x − Câu 16: Cho hàm số y = f (x) liên tục đoạn [−1;3] có đồ thị hình vẽ bên Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số cho đoạn [−1;3] Giá trị M − m A B C D Câu 17: Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x − 1) ( x + ) , ∀x ∈ ¡ Số điểm cực trị hàm số cho A B C D Câu 18: Tìm số thực a b thỏa mãn 2a + ( b + i ) i = + 2i với i đơn vị ảo B a = , b = A a = 0,b = C a = 0, b = D a = 1, b = Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I (1;1;1) A (1;2;3) Phương trình mặt cầu có tâm I qua A A ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 29 B ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 25 D ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 2 2 2 2 2 2 Câu 20: Đặt log3 = a ,khi log16 27 A 3a B 4a C 3a D 4a Câu 21: Kí hiệu z1,z2 hai nghiệm phức phương trình x − z + = Giá trị z1 + z2 A B C D 10 Câu 22: Trong không gian Oxyz, khoảng cách hai mặt phẳng (P): x + y + z − 10 = ( Q ) : x + y + 2z − = A B Câu 23: Tập nghiệm bất phương trình 3x A (−∞ −; ) B (3; +∞) C −2 x D < 27 C (−1;3 ) D (−∞; −1) ∪ (3;+∞ ) Câu 24: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo công thức ? A ∫ ( x − x − ) dx −1 B ∫ ( −2 x + ) dx −1 C ∫ ( x − ) dx −1 D ∫ ( −2 x + x + ) dx −1 Câu 25: Cho khối nón có độ dài đường sinh 2a bán kính đáy a Thể tích khối nón cho 3π a 3 A 3π a B C 2π a 3 D π a3 Câu 26: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D Câu 27: Cho khối chóp tứ giác có tất cạnh a Thể tích khối chóp cho A 2a 3 B 8a 3 C 2a 3 D Câu 28: Hàm số f ( x ) = log ( x − x ) có đạo hàm A f ' ( x ) = C f ' ( x ) = ln x − 2x ( x − ) ln x2 − 2x B f ' ( x ) = ( x − x) ln D f ' ( x ) = 2x − ( x − x) ln Câu 29: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Số nghiệm thực phương trình f (x) + = 2 2a 3 A B C D Câu 30: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Góc hai mặt phẳng ( A’B’CD) (ABC’D’) A 300 B 600 C 450 D 900 x Câu 31: Tổng tất nghiệm phương trình log ( − ) = − x A B C D Câu 32: Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ (H1),(H2) xếp chồng lên nhau, có bán kính đáy chiều cao tương ứng r1 , h1 , r2 , h2 r2 = r1 , h2 = 2h1 thỏa mãn (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích tồn khối đồ chơi 30cm3 , thể tích khối trụ (H1) A 24cm3 B 15cm3 C 20cm3 D 10cm3 Câu 33: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( + ln x ) A x ln x + x B x ln x + x C x ln x + x + C D x ln x + x + C · Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, BAD = 600 , SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) A 21a B 15a C 21a D 15a Câu 35: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y +z −3 = đường thẳng d: x y +1 z − = = Hình chiếu vng góc d (P) có phương trình −1 A x +1 y +1 z +1 = = −1 −4 B x −1 y −1 z −1 = = −2 −1 C x −1 y −1 z −1 = = −5 D x −1 y −1 z + = = 1 Câu 36: Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y = − x − x + ( 4m − ) x + nghịch biến khoảng (−∞ −; 1)  3 C  −∞; −  4   B  − ; +∞ )  A ( −∞;0] ( D 0; +∞ ) ) Câu 37: Xét số phức z thỏa mãn ( z + 2i ) z + số ảo Biết tập hợp tất điểm biểu diễn z đường tròn, tâm đường trịn có tọa độ A (1; −1) Câu 38: Cho 0∫ B (1;1) xdx ( x + 2) A −2 C (−1;1) D (−1; −1) = a + b ln + c ln với a, b, c số hữu tỷ Giá trị 3a + b + c B −1 C D Câu 39: Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f ′( x) có bảng biến thiên sau x Bất phương trình f ( x ) < e + m với x∈ (−1;1) A m ≥ f ( 1) − e B m > f ( −1) − e C m ≥ f ( −1) − e D m > f ( 1) − e Câu 40: Có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ba ghế Xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm nam nữ, ngồi vào hai dãy ghế cho ghế có học sinh ngồi Xác suất để học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ A B 20 C D 10 Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; −2;4), B (−3;3; −1) mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Xét M điểm thay đổi thuộc (P), giá trị nhỏ MA2 + 3MB A 135 B 105 C 108 D 145 Câu 42: Có số phức z thỏa mãn z = z + z + z − − i = z − + 3i ? A B C D Câu 43: Cho hàm số y = f (x) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f (sinx ) = m có nghiệm thuộc khoảng (0;π ) A [−1;3) B (−1;1) C (−1;3) D [−1;1 ) Câu 44: Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng Ơng ta muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau tháng kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ tháng ông A trả hết nợ sau năm kể từ ngày vay Biết tháng ngân hàng tính lãi số dư nợ thực tế tháng Hỏi số tiền tháng ơng ta cần trả cho ngân hàng gần với số tiền ? A 2, 22 triệu đồng B 3,03 triệu đồng C 2, 25 triệu đồng D 2, 20 triệu đồng Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho điểm E (2;1;3) , mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y − ) + ( z − ) = 36 Gọi ∆ đường thẳng qua E, nằm (P) cắt (S) hai điểm 2 có khoảng cách nhỏ Phương trình ∆  x = + 9t  A  y = + 9t  z = + 8t   x = − 5t  B  y = + 3t z =  x = + t  C  y = − t z =   x = + 4t  D  y = + 3t  z = − 3t  Câu 46: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1, A2, B1 ,B2 hình vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tơ đậm 200.000 đồng/m2 phần lại 100.000 đồng/ m2 Hỏi số tiền để sơn theo cách gần với số tiền đây, biết A1A2 = 8m, B1B2 = 6m tứ giác MNPQ hình chữ nhật có MQ = m? A 7.322.000 đồng B 7.213.000 đồng C 5.526.000 đồng D 5.782.000 đồng Câu 47: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ tích Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AA′ BB′ Đường thẳng CM cắt đường thẳng C’A′ P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C‘B′ Q Thể tích khối đa diện lồi A’MPB’NQ A B C D Câu 48: Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu đạo hàm sau Hàm số y = f ( x + ) − x + x đồng biến khoảng ? A (1; +∞) B (−∞ −; 1) C (−1;0 ) D (0;2) Câu 49: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình m ( x − 1) + m ( x − 1) − ( x − 1) ≥ với x∈ ¡ Tổng giá trị tất phần tử thuộc S A − B C − Câu 50: Cho hàm số f ( x ) = mx + nx + px + qx + r D ( m, n, p, q, r ∈ ¡ ) Hàm số y = hình vẽ bên Tập nghiệm phương trình f (x) = r có số phần tử A B C D f′( x) có đồ thị ĐÁP ÁN (THAM KHẢO) 1-A 2-D 3-A 4-D 5-B 6-C 7-A 8-B 9-C 10-B 11-C 12-A 13-B 14-D 15-B 16-D 17-A 18-D 19-B 20-B 21-A 22-B 23-C 24-D 25-A 26-C 27-A 28-D 29-A 30-D 31-A 32-C 33-D 34-A 35-C 36-C 37-D 38-B 39-C 40-A 41-A 42-B 43-D 44-A 45-C 46-A 47-D 48-C 49-C 50-B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT (THAM KHẢO) Câu 1: A Phương pháp: Thể tích khối lập phương cạnh a V = a Cách giải: Thể tích khối lập phương canh 2a V = ( 2a ) = 8a 3 Câu 2: D Phương pháp: Sử dụng kĩ thuật đọc bảng biến thiên tìm điểm cực đại giá trị cực đại hàm số Cách giải: Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại điểm x = giá trị cực đại hàm số yCD = Câu 3: A Phương pháp: uuur Cho hai điểm A ( x1 ; y1 ; z1 ) , B ( x2 ; y2 ; z2 ) Khi vecto AB = ( x2 − x1 ; y2 − y1 ; z2 − z1 ) Cách giải: uuur Vì A ( 1;1; −1) B ( 2;3; ) nên AB = ( 1; 2;3) Câu 4: D Phương pháp: Sử dụng kĩ thuật đọc đồ thị hàm số Các khoảng đồ thị hàm số lên khoảng đồng biến hàm số Cách giải: Ta có: Pt ⇔ f ( x ) = −3 ⇔ f ( x ) = − ( *) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = − Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng y = − 3 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm phân biệt =>Phương trình có nghiệm phân biệt Câu 30: D Phương pháp: +) Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến chung hai mặt phẳng Cách giải: Tìm hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng  AD ' ⊥ A ' D ⇒ AD ' ⊥ ( A ' B ' CD ) Ta có:   AD ' ⊥ A ' B ' A' D ⊥ A' D ' ⇒ A ' D ⊥ ( ABC ' D ' ) Lại có:  A' D ⊥ C ' D ' Do góc hai mặt phẳng ( ABC ' D ') ( A ' B ' CD ) góc AD’ A’D Mà A ' D ⊥ AD ' Vậy góc cần tìm 900 Câu 31: A Phương pháp: Tìm điều kiện xác định phương trình Giải phương trình đưa phương trình dạng phương trình bậc hai ẩn t Sử dụng hệ thức Vi-et để biến đổi tổng nghiệm phương trình ban đầu Cách giải: log ( − 3x ) = − x Điều kiện: − 3x > Phương trình ⇔ − 3x = 32− x ⇔ − 3x = 3x ⇔ 7.3x − ( 3x ) = ( *) x Đặt t = ⇒ x = log t Thay vào phương trình (*) ta có: ⇔ t − 7t + = ( **) Nhận thấy (**) có: ∆ = 13 > > Nên phương trình (**) có nghiệm phân biệt giả sử là: t1 ; t2 t1 + t2 = Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (**) ta được:  t1t2 = Khi ta có: x1 + x2 = log t1 + log t2 = log ( t1t2 ) = log = Câu 32: C Phương pháp: Áp dụng cơng thức tính thể tích khối trụ V = π r h r bán kính khối trụ; h chiều cao khối trụ Sử dụng đề để tính thể tích tồn khối đồ chơi từ tìm thể tích khối trụ (H1) Cách giải: Thể tích toàn khối đồ chơi là: V = π r12 h1 + π r22 h2 = π r12 h1 + π r1 2h1 = π r12 h1 = 30 ⇒ π r12 h1 = 20 Vậy thể tích khối trụ (H1) 20 cm3 Câu 33: D Phương pháp: Cách 1: Sử dụng công thức tính nguyên hàm tổng Cách 2: Đạo hàm đáp án đề bài, kết f(x) đáp án Cách giải: 2 Thử đáp án A: ( x ln x + x ) = x ln x + x + x = x ln x + x Nên loại A x 2 Thử đáp án B: ( x ln x + x ) = x ln x + x + x = x ln x + x + x = x ( + ln x ) x ⇒ x ln x + x nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( + ln x ) =>Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( + ln x ) x ln x + x + C Câu 34: A Phương pháp: Nhận xét AB / / ( SCD ) ⇒ d ( B; ( SCD ) ) = d ( A; ( SCD ) ) = d Bài tốn quy tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Cách giải: Ta có: AB/ / ( SCD ) ⇒ d ( B; ( SCD ) ) = d ( A; ( SCD ) ) = d Kẻ AH ⊥ CD; AK ⊥ SH CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ ( SAH ) ⇒ CD ⊥ AK ⇒ AK ⊥ ( SCD )  CD ⊥ AH ⇒ d ( B; ( SCD ) ) = d = AK Xét ∆AHD ⊥ H ,∠ADH = 600 ta có: AH = AD.sin 600 = a Áp dụng hệ thức lượng ∆SAH ⊥ A có đường cao AK ta có: AK = a a 21 = = =d SA2 + AH a a2 + SA AH a Câu 35: C Phương pháp: Bước 1: Xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng, nhận thấy (d) cắt (P) H Bước 2: Lấy điểm A thuộc d ; tìm hình chiếu vng góc A (P) giả sử K Bước 3: Phương trình đường thẳng qua điểm H K đường thẳng cần tìm Cách giải: uu r uur Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) mặt phẳng (P) với : vtcpuud ( 1; 2; −1) ; vtptn p ( 1;1;1) ta có uu r uur ud n p = 1.1 + 2.1 + ( −1) = ≠ Nên (d) cắt (P) Gọi H = d ∩ ( P ) ⇒ H ( t ; 2t − + ) ∈ ( P ) ⇒ t + 2t − − t + − = ⇔ 2t − = ⇒ t = ⇒ H (1;1;1) x = + t  Lấy A ( 2;3;0 ) ∈ d Pt đường thẳng qua A vng góc với (P)  y = + t z = t  Gọi K hình chiếu A lên (P) ⇒ K ( + t ;3 + t ; t ) ∈ ( P )  −2  ⇒ + t + + t + t − = ⇔ 3t + = ⇒ t = − ⇒ K  ; ; ÷ 3 3  uuur  −5  HK =  ; ; ÷/ / ( 1; 4; −5 ) qua H ( 1;1;1) 3 3  Câu 36: C Phương pháp: Hàm số y = f ( x ) nghịch biến D f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ D hữu hạn điểm Cách giải: Ta có: f ' ( x ) = −3 x − 12 x + ( 4m − ) Hàm số cho nghịch biến ( −∞; −1) ⇔ f ' ( x ) ≤ 0∀x ∈ ( −∞; −1) ⇔ −3 x − 12 x + ( 4m − ) ≤ ∀x ∈ ( −∞; −1) ⇔ 4m ≤ x + 12 x + = g ( x ) ∀x ∈ ( −∞; −1) ⇒ 4m ≤ g ( x ) ( −∞ ;−1) Xét hàm số: g ( x ) = x + 12 x + ta có: g ' ( x ) = x + 12 = ⇔ x = −2 ⇒ g ( x ) = g ( −2 ) = −3 ( −∞; −1) ⇒ 4m ≤ −3 ⇔ m ≤ − Câu 37: D Phương pháp: Số phức z = a + bi, ( a, b ∈ R ) số ảo phần thực = (tức a = 0) Cách giải: Đặt z = a + bi ( a, b∈ R ) ( ) ⇒ ( z + 2i ) z + =  a + ( b + ) i  ( a + − bi ) = a ( a + ) + b ( b + ) + ( a + ) ( b + ) − ab  i ( ) Số ( z + 2i ) z + số ảo ⇔ Phần thực = ⇔ a + 2a + b + 2b = ⇔ ( a + 1) + ( b + 1) = 2 Vậy đường tròn tâm biểu diễn số phức cho có tâm I ( −1; −1) Câu 38: B Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính tích phân để tìm kết đầu từ tìm a, b, c Cách giải: ∫ ( x + 2) xdx =∫ x+2 ( x + 2) 1   dx =  ln x + + ÷ x+2  ( x + 2) dx − ∫ 2 = ln + − ln − = ln − ln − 3  a = −    1 ⇒ b = −1 ⇒ 3a + b + c =  − ÷− + = −1  3  c =   Câu 39: C Phương pháp: ( x) Cơ lập m, đưa bất phương trình dạng g ( x ) < m ∀x ∈ ( a; b ) ⇔ m ≥ max [ a ;b ] Cách giải: x x Theo đề ta có: f ( x ) < e + m ⇔ f ( x ) − e < m x Đặt g ( x ) = f ( x ) − e Khi : f ( x ) < e x + m∀x ∈ ( −1;1) ⇒ g ( x ) = f ( x ) − e x < m∀x ∈ ( −1;1) ⇔ m ≥ max g ( x ) [ −1;1] g '( x) = f '( x) − ex x Trên ( −1;1) ta có f ' ( x ) < 0; e > o ∀x ∈ R ⇒ g ' ( x ) < 0∀x ∈ ( −1;1) ⇒ g ( x ) nghịch biến ( −1;1) ⇒ max g ( x ) = g ( −1) = f ( −1) − e −1 = f ( −1) − [ −1;1] ⇒ m ≥ f ( −1) − e e Câu 40: A Phương pháp: +) Tính số phần tử khơng gian mẫu +) Tính số phần tử biến cố Chọn chỗ cho học sinh nam, sau chọn chỗ cho học sinh nữ, sử dụng quy tắc nhân +) Tính xác suất biến cố Cách giải: Số phần tử không gian mẫu n(Ω =) 6! Gọi biến cố A : "Các bạn học sinh nam ngồi đối diện bạn nữ" Chọn chỗ cho học sinh nam thứ có cách Chọn chỗ cho học sinh nam thứ có cách (khơng ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất) Chọn chỗ cho học sinh nam thứ có cách (khơng ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ hai) Xếp chỗ cho học sinh nữ : 3! cách ⇒ nA = 6.4.2.3! = 288 cách ⇒ P ( A) = 288 = 6! Câu 41: A Phương pháp: uu r uur r Gọi I ( a; b;c ) điểm thỏa mãn đẳng thức: IA + 3IB = tìm tọa độ điểm I Sử dụng cơng thức cộng phân tích biểu thức cho cách chèn điểm I +) Đánh giá, tìm GTNN biểu thức Cách giải: uu r uur r Gọi I ( a; b;c ) điểm thỏa mãn đẳng thức : IA + 3IB = r ⇒ ( − a; −2 − b; − c ) + ( −3 − a;3 − b; −1 − c ) = 4 − 2a − − 3a = −5a − = a =    ⇒ −4 − 2b + − 3b = ⇔ −5a + = ⇔ b = ⇒ I ( −1;1;1) 8 − 2c − − 3c = −5c + = c =    Ta có : uuuur uuuur MA + 3MB = MA2 + 3MB uuu r uu r uuu r uur = MI + IA + MI + IB uuu r uu r uur = 5MI + ( IA2 + 3IB ) + MI IA + 3IB ( ) ( ) = 5MI + ( IA2 + 3IB ) ( ) Do I, A, B cố định nên IA2 + 3IB = const ⇒ ( MA2 + 3MB ) ⇔ 5MI ⇔ M hình chiếu I (P)  x = −1 + 2t  Gọi (∆) đường thẳng qua I vng góc với (P) , ta có phương trình ( ∆ ) :  y = − t  z = + 2t  M hình chiếu I lên (P) ⇒ M ∈ ( ∆ ) ⇒ M ( −1 + 2t ;1 − t ;1 + 2t ) Lại có M ∈ P ⇒ ( −1 + 2t ) − 1( − t ) + ( + 2t ) − = ⇒ −2 + 4t − + t + + 4t − = ⇒ 9t − = ⇔ t = ⇒ M ( 1;0;3) Khi ta có MI = + + = ; IA2 = + + = 27 ; IB = + + = 12 ⇒ ( MA2 + 3MB ) = 5.9 + 2.27 + 3.12 = 135 Câu 42: B Phương pháp: +) Gọi số phức z = a + bi ⇒ z = a − bi +) Từ giải thiết cho, tìm đường biểu diễn số phức z +) Tìm giao điểm đường biểu diễn số phức z giả thiết thứ thứ Cách giải : Gọi số phức z = a + bi ⇒ z = a − bi Từ giả thiết thứ ta có:  a + b − 4a − = z = z + z + ⇔ a + b = a + bi + a − bi + ⇔ a + b − 2.2 a − = ⇔  2  a + b + 4a − = 2 2 ⇒ Tập hợp số phức z đường tròn ( C1 ) : x + y − x − = ( C2 ) : x + y + x − = Từ giả thiết thứ hai ta có: z − − i = z − + 3i ⇔ a − + bi − i = a − + bi + 3i ⇔ ( a − 1) + ( b − 1) = ( a − 3) + ( b + 3) 2 ⇔ −2a + − 2b + = −6a + + 6b + ⇔ 4a − 8b − 16 = ⇔ a − 2b − = ⇒ Tập hợp số phức z đường thẳng x − y − = ( d ) Vậy số phức thỏa mãn giả thiết số giao điểm d với (C1 ) (d ) với (C2 ) Dựa vào hình vẽ ta thấy có giao điểm d với (C1 ) (d ) với (C2 ) Vậy có số phức thỏa mãn u cầu tốn Câu 43: D Phương pháp: +) Đặt t = sin x , dựa vào khoảng giá trị x xác định khoảng giá trị t +) Cô lập m, đưa phương trình dạng f ( t = m ) , số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( t ) y = m Cách giải: Đặt t = sin x Với x ∈ ( 0; π ) ⇒ t ∈ (0;1] Khi phương trình ban đầu trở thành f ( t = m ) có nghiệm t ∈(0;1] Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( t ) y = m Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, để phương trình f ( t = m ) có nghiệm t ∈(0;1] ⇒ m∈ [ −1;1) Câu 44: A Phương pháp: N ( + r ) r n Áp dụng cơng thức lãi kép cho tốn trả góp A = ( 1+ r ) n −1 Trong A số tiền phải trả tháng, N số tiền nợ, r lãi suất, n số tháng Cách giải: Số tiền tháng phải trả là: A = 100 ( + 1% ) ( 1+ r ) 5×12 5×12 1% −1 ≈ 2, 22 (triệu) Câu 45: C Phương pháp: +) Gọi I tâm mặt cầu, xác định hình chiếu H điểm I lên (P) +) Để đường thẳng (∆) cắt mặt cầu (S) điểm cho chúng có khoảng cách nhỏ đường thẳng (∆) qua E vng góc với HE Cách giải: Dễ thấy E ∈ ( P ) Gọi I ( 3;2;5) tâm khối cầu  x = + 2t  Đường thẳng qua I vng góc với (P):  y = + 2t ( d ) z = − t  Gọi H hình chiếu I lên (P) ⇒ H ∈ ( d ) ⇒ H ( + 2t ; + 2t ;5 − t ) Lại có H ∈ ( P ) ⇒ ( + 3t ) + ( + 2t ) − + t − = ⇔ + 4t + + 4t − + t − = ⇔ 9t + = ⇔ t = −2  23 14 47  ⇒H ; ; ÷  9  uuur  5 20  r ⇒ EH  ; ; ÷ = ( 1;1; ) / / ( 1;1; ) = a 9 9  Để đường thẳng (∆) cắt mặt cầu (S) điểm cho chúng có khoảng cách nhỏ đường thẳng (∆) qua E vng góc với HE uur uur uur uur r u∆ ⊥ nP  − −1 2  ; ; Ta có:  uur r ⇒ u∆ =  nP ; a  =  ÷ = ( 9; −9;0 ) = ( 1; −1;0 ) 4 u ⊥ a    ∆ Vậy đường thẳng (∆) qua E nhận (1; 1;0 − ) VTCP x = + t  Vậy phương trình đường thẳng (∆):  y = − t z =  Câu 46: A Phương pháp: +) Viết phương trình Elip, tính diện tích Elip +) Tính diện tích phần trắng, ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng +) Tính diện tích phần xanh sau tính chi phí để sơn Cách giải: (E) cho có độ dài trục lớn 2a = ⇒ a = , độ dài trục bé 2b = ⇒ b = Ta có diện tích (E) bằng: S( E ) = π 4.3 = 12π ( m ) Phương trình ( E ) : x2 y 16 − x 16 − x + = ⇒ y2 = ⇔ y=± 16 16 Ta có M ∈ ( E ) ; yM = 3  MQ = ⇒ xM = −2 ⇒ M  −2 3; ÷ 2 2  Diện tích phần giới hạn (E), trục Ox, đường thẳng MQ có diện tích: S AMQ = −2 ∫ −4 16 − x 2 dx ≈ 1, 087 => Diện tích phần trắng là: Strang = 2S AMQ = 2,174 ( m ) Khi diện tích phần xanh S xanh = S( E ) − Strang = 12π − 2,174 = 6,525 ( m ) Vậy chi phí để sơn biển quảng cáo 2,174.100 + 35,525.200 ≈ 7322 (nghìn đồng) ≈ 7322000 đồng Câu 47: D Phương pháp: Phân chia khối đa diện: VA ' MPB ' NQ = VC C ' PQ − VC ABB ' A Xác định tỉ số chiều cao diện tích đáy để suy tỉ số chóp, lăng trụ,… Cách giải: Gọi diện tích đáy, chiều cao, thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’ S ; h;V ⇒ V = Sh Ta có ∆A ' B ' C ' : ∆PQC ' theo tỉ số ⇒ SC ' PQ = S A ' B ' C ' = S ⇒ VC C ' PQ = h.4 S = V 3 Ta có: S ABNM = 1 S ABB 'A' ⇒ VC ABNM = VC ABB ' A ' 2 2 V V Mà VC ABB ' A ' = V ⇒ VC ABNM = V = ⇒ VCC ' A ' B ' NM = V − = V 3 3 2 Vậy VA ' MPB ' NQ = V − V = V 3 Câu 48: C Phương pháp: Hàm số y = f ( x ) đồng biến ( a; b ) f ' ( x ) ≥ 0∀x ∈ ( a; b ) hữu hạn điểm Lưu ý cơng thức tính đạo hàm hàm hợp Sau thử đáp án để chọn kết Cách giải: Ta có: y = f ( x + ) − x + x ⇒ y ' = f ' ( x + ) − x + 1 < x + < ⇒ f ' ( x + ) > ⇒ f ' ( x + ) − x + > ∀x ∈ ( 0;1) Xét −1 < x < ta có:  2  x < ⇔ x − < Vậy hàm số cho đồng biến (−1;0) Câu 49: C Phương pháp: +) Đưa phương trình cho dạng tích, có nhân tử f ( x ) = ( x − 1) g ( x ) +) Để bất phương trình ln với x ta xét trường hợp: 2 2 TH1: Phương trình m x + m x + ( m + m ) x + m + m − = nghiệm với x 2 2 TH2: Đa thức m x + m x + ( m + m ) x + m + m − có nghiệm x = +) Thử lại kết luận Cách giải: f ( x ) = m ( x − 1) + m ( x − 1) − ( x − 1) ≥ 0, ∀x ⇔ m ( x − 1) ( x + 1) + m ( x − 1) ( x + 1) − ( x − 1) ≥ 0, ∀x ⇔ ( x − 1)  m x + m x + ( m + m ) x + m + m − 6 ≥ 0, ∀x Để bất phương trình ln với x suy ra: 2 2 + TH1: Phương trình nghiệm với m x + m x + ( m + m ) x + m + m − =0 nghiệm với x   m = m =  m =   m = ⇔ ⇔  (vô nghiệm) m + m =   m = −1 m + m − = m =     m = −3 2 2 2 + TH2: Đa thức m x + m x + ( m + m ) x + m + m − có nghiệm x = m = Khi đó: m + m + m + m + m + m − = ⇔ 4m + 2m − = ⇔  m = −  2 2 2 Thử lại: + Với m = ( x − 1)  x + x + x −  ≥ ⇔ ( x − 1) (x + x + ) ≥ (luôn đúng) 21  9 3 + Với m = − ( x − 1)  x + x + x − ÷ ≥ ⇔ ( x − 1) ( 3x + x + x − ) ≥ 4 4 4 ⇔ ( x − 1) ( 3x + x + ) ≥ (ln đúng) Do m = 1; m = − Tổng S = − giá trị cần tìm =− 2 Câu 50: B Phương pháp: - Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) tìm mối quan hệ m, n, p, q - Thay vào phương trình cho, giải phương trình tìm nghiệm Cách giải: f ( x ) = mx + mx + px + qx + r + Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) dễ thấy m ≠ x = Phương trình f ( x ) = r ⇔ mx + nx + px + qx = ⇔   mx + nx + px + q = ( *) Xét f ' ( x ) = 4mx + 3nx + px + q = có ba nghiệm x1 = −1; x2 = ; x3 = b   x1 + x2 + x3 = − a  c  Theo hệ thức Vi-et:  x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = ta có a  d   x1 x2 x3 = − a  3n 13 13   = − 4m n=− m     2p ⇔  p = −m − =  4m  q = 15m q  15    − = − 4m   x=− 13 13  Thay vào (*) mx − mx − mx + 15m = ⇔ x − x − x + 15 = ⇔  3 x =  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 = 0; x2 = 3; x3 = − ... diện nhau, dãy có ba ghế Xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm nam nữ, ngồi vào hai dãy ghế cho ghế có học sinh ngồi Xác suất để học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ A B 20 C D 10 Câu 41: Trong... Chọn chỗ cho học sinh nam thứ có cách Chọn chỗ cho học sinh nam thứ có cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất) Chọn chỗ cho học sinh nam thứ có cách (không ngồi đối diện học sinh nam... bảng biến thi? ?n để xác định điểm cực trị Hoặc ta xét nghiệm phương trình f '' ( x ) = qua nghiệm bậc lẻ f '' ( x ) đổi dấu, qua nghiệm bội bậc chẵn f '' ( x ) không đổi dấu Hay nghiệm bội lẻ điểm