A A PhÇn më ®Çu I Lý do chän ®Ò tµi BÊt ®¼ng thøc ®¹i sè lµ mét trong nh÷ng vÊn ®Ò c¬ b¶n vµ t¬ng ®èi khã trong ch¬ng tr×nh ®¹i sè phæ th«ng C¸c bµi to¸n vÒ bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè rÊt phong phó, ®a d¹[.]
A I Phần mở đầu Lý chọn đề tài Bất đẳng thức đại số vấn đề tơng đối khó chơng trình đại số phổ thông Các toán bất đẳng thức đại số phong phú, đa dạng đòi hỏi cần vận dụng phơng pháp giải vào cách hợp lý để đem lại kết to¸n cho nhanh gän, dƠ hiĨu hay nhiỊu độc đáo bất ngờ Việc giải toán giúp tiếp cận làm quen dần với toán thực tế nh so sánh biểu thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Với giáo viên dạy môn toán, việc tìm tòi giải toán bất đẳng thức giúp củng cố lại kiến thức bất đẳng thức đồng thời sâu vào nghiên cứu số phơng pháp chứng minh toán khó Để từ nâng cao kiến thức cho thân tìm phơng pháp hay để truyền thụ cho học sinh Với tham vọng nội dung đề tài đợc phân phơng pháp giải sau: Phơng pháp 1: Dùng phép biến đổi tơng đơng Phơng pháp 2: Dùng phơng pháp phản chứng Phơng pháp 3: Dùng tính chất bất đẳng thức Phơng pháp 4: Bất đẳng thức tam giác Phơng pháp 5: Dùng pháp làm trội Phơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức Côsi Phơng pháp 7: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki Phơng pháp 8: Dùng biến đổi dạng Bunhiacopxki Phơng pháp 9: Dùng tam thức bậc hai 10 Phơng pháp 10: Dùng phơng pháp hình học Do tính da dạng phong phú tập bất đẳng thức đại số nên trình bày đợc số dạng thông qua phơng pháp giải Trong phơng pháp giải số toán tiêu biểu có kèm theo lời giải chi tiết II Đối tợng Phạm vi nghiên cứu đề tài - Học sinh giỏi trờng THCS - Phạm vi trờng THCS Hà vân- Hà Trung B Nội dung đề tài Những toán bất đẳng thức đại số I Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa Hai biểu thức A B số chữ liên hệ với quan hƯ lín h¬n (); bÐ h¬n (); lín h¬n (); bé (); khác (); gọi bất đẳng thức Viết là: A>B; AB B b b > c a > c (Tính chất bắc cầu) I.3 Tính chất 3: Nếu a > b c a + c > b + c tøc lµ nÕu céng vµo hai vÕ cđa bất đẳng thức với số bất đẳng thức không đổi chiều I.4Tính chất 4: NÕu a > b + c th× a – b > c I.5TÝnh chÊt 5: NÕu a > b vµ c > d th× a + c > b + d I.6TÝnh chÊt 6: NÕu a > b vµ c > th× ac > bc NÕu a > b c < ac < bc I.7tính chÊt 7: NÕu a > b > vµ b > c > ac > bất đẳng thức I.8NÕu a > b > th× < < I.9NÕu a > b > vµ n lµ mét số nguyên dơng an > bn I.10 Nếu a > b > n số nguyên đơng n > n II Những toán chứng minh bất đẳng thức đại số với phơng pháp giải Phơng pháp dùng phép biến đổi tơng đơng Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức ®· ®ỵc chøng minh Chđ u vËn dơng A ≥ B A–B≥0 VÝ dô: Cho a, b, c, d, e số thực, chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) Gi¶i Ta cã: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – ab – ac – ad – ae ≥ 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 – 4ab – 4ac – 4ad – 4ae (a2-4ab+4b2)+(a2-4ac+c2)+(a2-4ad+d2)+(a2-4ae+e2)0 (a-2b)2+(a-2c)2+(a-2d)2+(a-2e)20 Bất đẳng thức cuối ®óng víi mäi a, b, c, d, e nªn ta có điều phải chứng minh (ĐPCM) Dấu sảy vµ chØ a = 2b = 2c = 2d = 2e Phơng pháp dùng phơng pháp phản chứng Giả sử cần phải chứng minh bất đẳng thức đúng, ta hÃy giải sử bất đẳng thức sai kết hợp với giả thiết để suy điều vô lý Điều vô lý điều trái với giả thiết, ®iỊu tr¸i víi vÊn ®Ị ®óng, cịng cã thĨ sai Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ: Chứng minh a1a2 2(b1+b2)Thì hai phơng trình x2+a1x+b1=0 x2+a2x=b2=0 có nghiệm Giải Giả sử hai phơng trình đà cho vô nghiệm Khi = a12-4b1 vµ n lµ mét số nguyên đơng n > n II Những toán chứng minh bất đẳng thức đại số với phơng pháp giải Phơng pháp dùng phép biến đổi tơng đơng... Phơng pháp dùng bất đẳng thức tam giác Nếu a, b, c số đo ba cạnh tam giác a, b, c > và: Trong số toán mà đại lợng biểu thức vế bất đẳng thức dơng tồn tam giác mà cạnh giá trị đại lợng ta vận dụng