skkn TOÁN THCS Phân loại dạng toán vi ét và ứng dụng

Phân loại dạng toán Viét và ứng dụng” ở trường THTHCS Phân loại dạng toán Viét và ứng dụng” ở trường THTHCS Phân loại dạng toán Viét và ứng dụng” ở trường THTHCS Phân loại dạng toán Viét và ứng dụng” ở trường THTHCS Phân loại dạng toán Viét và ứng dụng” ở trường THTHCS Phân loại dạng toán Viét và ứng dụng” ở trường THTHCS

MỤC LỤC Tóm tắt sáng kiến Các từ viết tắt I MỞ ĐẦU Lý chọn sáng kiến Mục tiêu sáng kiến Phạm vi sáng kiến II CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn 2.1 Đối với giáo viên 2.2 Đối với học sinh III NỘI DUNG SÁNG KIẾN Nội dung kết nghiên cứu sáng kiến Đánh giá kết thu 2.1 Tính mới, tính sáng tạo 2.2 Khả áp dụng mang lại lợi ích thiết thực sáng kiến IV KẾT LUẬN DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO TRANG 4 4 4 5 6 25 27 27 28 30 TĨM TẮT SÁNG KIẾN Các tốn ứng dụng hệ thức Vi–ét có vị trí quan trọng chương trình dạy học tốn THCS đặc biệt trường TH&THCS Học sinh vận dụng ứng dụng hệ thức Vi-ét như: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai trường hợp a + b + c = ; a - b + c = trường hợp mà tổng tích hai nghiệm số nguyên với giá trị tuyệt đối khơng q lớn Tìm hai số biết tổng tích chúng Biết cách biểu diễn tổng bình phương, lập phương hai nghiệm qua hệ số phương trình cịn lúng túng, khó khăn q trình vận dụng vào giải tốn có liên quan Các tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét phong phú đa dạng, địi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức, cách giải linh hoạt, sáng tạo, độc đáo Yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư trường THCS huyện nói chung trường TH&THCS nói riêng Những ứng dụng hệ thức Vi-ét học sinh THCS khó mới, em thường gặp khó khăn việc tìm lời giải tốn Có tốn em khơng biết đâu? Vận dụng kiến thức chương trình học? Làm để tìm giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện toán ấy? Đặc biệt mang nội dung sâu sắc việc giáo dục tư tưởng qua mơn tốn, hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tối ưu cho công việc cụ thể sống sau Chính tốn thường xun có mặt kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9, kì thi tuyển sinh vào lớp 10 Qua số năm giảng dạy mơn tốn lớp phân cơng bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp nên tơi quan tâm đến dạng toán hệ thức Viét Với thời gian hạn chế nên đề tài tập trung vào vấn đề: “Phân loại dạng toán Vi-ét ứng dụng” trường TH&THCS CÁC TỪ VIẾT TẮT TT Ký hiệu chữ viết tắt TH&THCS THCS THPT SGK SBT Chữ viết đầy đủ Tiểu học trung học sở Trung học sở Trung học phổ thông Sách giáo khoa Sách tập I MỞ ĐẦU Lí chọn sáng kiến Là giáo viên giảng dạy mơn tốn lớp trường TH&THCS , nhiều năm nhà trường phân công bồi dưỡng học sinh giỏi ôn tập cho học sinh thi vào lớp 10 THPT Tôi nhận thấy hầu hết đề thi vào trường THPT thi học sinh giỏi mơn tốn lớp tỉnh Lạng Sơn có phần kiến thức hệ thức Viét, cụ thể số tốn có dạng tốn Vi-ét ứng dụng ln chiếm khoảng 20% số điểm đề thi nói Chính thế, tơi tiến hành nghiên cứu SGK, SBT, tài liệu bồi dưỡng thường xuyên toán lớp tài liệu tham khảo để tập hợp tập hệ thức Vi-ét Sau tơi tiến hành “Phân loại dạng toán Vi-ét ứng dụng” phù hợp với học sinh trường TH&THCS nói riêng học sinh huyện nói chung Mục tiêu sáng kiến - Sáng kiến giúp giáo viên có nhìn tổng thể vấn đề có liên quan đến hệ thức Vi-ét, rút kinh nghiệm giảng dạy học tập, đào sâu hồn thiện hiểu biết Từ có phương pháp dạy học có hiệu quả, giúp học sinh giảm bớt khó khăn lúng túng học nội dung - Thực sáng kiến thấy thuận lợi khó khăn dạy học nội dung hệ thức Vi-ét Qua có định hướng nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường TH&THCS - Giúp học sinh nâng cao kết việc giải toán hệ thức Vi-ét củng cố nhiều kiến thức tốn học khác Từ góp phần nâng cao kết thi kì thi chọn học sinh giỏi thi vào lớp 10 THPT cho học sinh trường tạo tiền đề vững cho em trình học tập sau Phạm vi sáng kiến - Đối tượng: Học sinh lớp - Không gian: Lớp trường TH&THCS - Thời gian thực hiện: Từ tháng 01 năm học 2017 – 2018 II CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận Như biết mục tiêu giáo dục THCS “Nhằm giúp học sinh củng cố phát triển kết giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS hiểu biết ban đầu kỹ thuật hướng nghiệp, học nghề vào sống lao động” Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS thiết kế theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học lớp, tăng thời gian tự học hoạt động ngoại khóa Trong chương trình mơn tốn lớp 9, học sinh học tiết: - tiết lý thuyết: học sinh học định lý Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn, lập phương trình bậc hai tìm hai số biết tổng tích chúng - tiết luyện tập: học sinh làm tập củng cố tiết lý thuyết vừa học Theo chương trình trên, học sinh học Định lý Vi-ét khơng có nhiều tiết học sâu khai thác ứng dụng hệ thức Vi-ét nên em nắm vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Là giáo viên cần phải bồi dưỡng hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần Cơ sở thực tiễn 2.1 Đối với giáo viên Khi dạy hệ thức Vi-ét, chương trình mơn tốn THCS thời lượng khơng nhiều có tiết lí thuyết tiết luyện tập Thông thường giáo viên thực nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK mà không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng tập hệ thức Vi-ét Bên cạnh tập thể SGK SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết dạng cần thiết để học sinh có đủ kiến thức giải tập dạng đề thi vào THPT Do kết học tập học sinh tập hệ thức Vi-ét thường khơng cao giáo viên khơng có tập hợp xếp đầy đủ khoa học 2.2 Đối với học sinh Trong năm học trước sau hoàn thành việc giảng dạy ơn tập tốn hệ thức Vi-ét chưa áp dụng áp dụng sáng kiến, nhận thấy đa số học sinh trường tơi thường bỏ qua câu có vận dụng hệ thức Vi–ét kì thi tuyển sinh vào trường THPT thi chọn học sinh giỏi lớp Nguyên nhân: - Học sinh không nắm hệ thức Vi-ét ứng dụng - Học sinh làm để xuất mối liên hệ kiện cần tìm với yếu tố, điều kiện biết để giải tập III NỘI DUNG SÁNG KIẾN Nội dung kết nghiên cứu sáng kiến Trong chương trình sách giáo khoa mơn Tốn lớp THCS, học sinh làm quen với phương trình bậc hai: Cơng thức tính nghiệm phương trình bậc hai, đặc biệt định lý Vi-ét ứng dụng việc giải tốn như: Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng tích chúng, lập phương trình bậc hai có nghiệm cho trước, tìm mối liên hệ nghiệm phương trình bậc hai Trước trình lên lớp, giáo viên thường nhắc lại kiến thức học theo chương trình sách giáo khoa, tuân thủ gần tuyệt đối sách giáo khoa, lên lớp tiết học lý thuyết tiết luyện tập giáo viên trọng hướng dẫn, giải tập theo trình tự sách giáo khoa, sách tập không trọng, không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng tập hệ thức Vi-ét Bên cạnh tập thể SGK SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết dạng cần thiết để học sinh có đủ kiến thức giải tập dạng này, nên trình giải tập đặc biệt dạng tập thường xuyên có đề thi vào lớp 10 THPT đề thi chọn học sinh giỏi đa số học sinh, đặc biệt học sinh trung bình yếu thường lúng túng khơng nhận dạng dạng toán áp dụng cách máy móc bước giải phải biến đổi qua nhiều bước đến kết cuối Chính tiến hành phân dạng tập hệ thức Vi-ét với dạng rõ ứng dụng 1.1 Dạng tốn 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn 1.1.1 Phương pháp: Để thực việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai ẩn ax2 + bx + c = ( a �0 ), ta áp dụng nhận xét sau: * Trường hợp (Trường hợp đặc biệt): - Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = c a - Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1, cịn nghiệm x2 = - c a Chú ý: Thuật toán hiểu sau: - Nếu tìm cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b dừng lại đưa lời kết luận nghiệm - Nếu tìm cặp (m, n) không thỏa mãn điều kiện m + n = - b dừng lại trường hợp không nhẩm nghiệm * Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = Ta thực theo bước: - Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho nghiệm x x2 x1  x   b � � x1.x  c � - Bước 2: Thực phân tích c thành tích hai thừa số (c = m.n), từ ta tính m + n Khi đó: - Nếu m + n = - b ta chuyển sang bước (kết luận) - Nếu m + n �- b, ta chuyển sang bước - Bước 3: Kết luận: Phương trình x2 + bx + c = có hai nghiệm x1 = m x2 = n 1.1.2 Ví dụ: Ví dụ (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2018-2019 năm học 2012-2013): Dùng điều kiện a + b + c = a – b + c = để tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x  x   b) x2 - 2x - = Giải a) x  x   Nhận thấy phương trình có a + b+ c = + (-5) + = Do phương trình có nghiệm x1 = 1, x2 = c   a b) x2 - 2x - = Nhận thấy phương trình có a - b + c = - (-2) + (-3) = Do phương trình c  3  có nghiệm x1 = - 1, x2 = -   a Ví dụ (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2017-2018): Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm phương trình: x2 - 12x +35= Giải x2 - 12x + 35 = Ta thấy    12   4.1.35  144  140   Do phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1  x   �x1  x  12 � � � � x1.x  35  5.7 �x1.x  35  5.7 � Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = x2 = * Nhận xét: Đối với phương trình có dạng ví dụ giải phương trình nhẩm nghiệm nhanh gọn việc vận dụng công thức nghiệm (công thức nghiệm thu gọn) 1.2 Dạng tốn 2: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn 1.2.1 Phương pháp: Trước áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm hay khơng (tức kiểm tra a �0,  �0   ' �0  có thỏa mãn khơng) 1.2.2 Ví dụ: Ví dụ (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2015-2016) Không giải phương trình bậc hai Hãy tính tổng tích hai nghiệm phương trình: a) x2 + x - = b) 25x2 + 10x + = Giải a) x2 + x - = (a = �0, b = 1, c = -2) Ta có:    1  4.1.(2)   � Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b c 2  2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x     , x1.x   a a b) 25x2 + 10x + = (a = 25 �0, b = 2b’ = 10, c = 1) Ta có:  '  52  25.1  � Phương trình có hai nghiệm x 1, x2 Theo hệ thức b 10 c Vi-ét, ta có: x1  x       , x1.x   a 25 a 25 1.3 Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm cịn lại phương trình bậc hai ẩn cho biết trước nghiệm 1.3.1 Phương pháp: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) cho biết nghiệm x1 = m Tìm nghiệm cịn lại x2 ? b Ta làm sau: Dùng hệ thức Vi-ét x1  x =  Thay x1 = m vào hệ thức, a b b c ta có x    x1    m ta dùng hệ thức x1.x  Thay x1 = m a a a �c � �c � : x1  � � :m vào hệ thức, ta có x  � � �a � �a � 1.3.2 Ví dụ: (Bài 40/SBT-Trang 44): Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 phương trình, tìm giá trị m trường hợp sau: a) x2 + mx - 35 = 0, biết nghiệm x1 = 7; b) 3x2 – 2(m – 3)x + = 0, biết nghiệm x1 = Giải a) x2 + mx - 35 = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x  c 35   35 Mà x1 = nên suy ra: a x  35: x1  35 :  5 Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x =  b m   m �   5    m � m  2 = a Vậy x2 = 5 , m = 2 b) 3x2 – 2(m – 3)x + = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x  c  Mà x1 = nên suy ra: a 3 5 x  : x1  :  3 Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x =  b  m  3  m  3 = � 5 � 16  2m  � m  11 a 3 Vậy x2 = 5, m = 11 * Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng hệ thức Vi-ét x1.x  tìm x2 trước, sau sử dụng hệ thức Vi-ét x1  x =  c trước để a b (vì lúc biết x1 x2) a để suy giá trị tham số 1.4 Dạng tốn 4: Tìm hai số biết tổng tích chúng 1.4.1 Phương pháp: uvS � Nếu hai số u, v thỏa mãn � hai số hai nghiệm phương u.v  P � trình x2 – Sx + P = (1) * Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 (điều kiện S2 - 4P �0) ta được: u  x1 u  x2 � � � � �v  x �v  x1 1.4.2 Ví dụ: 10 a) Phương trình có nghiệm �  ' �0 �  m  1  7m �0 (đúng với m) Vậy với giá trị m phương trình ln có nghiệm b) Gọi x1 x2 nghiệm phương trình � 2  m x1  x  S  � � (I) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: �  m �x x  P  � � Theo bài, ta có hệ thức: x12  x 22 =  x1  x   2x1x (II) Thay (I) vào (II), 2   m  � �m � 18m  8m  � ta có: x12  x 22  � � � 2.� 7 49 � � � � Ví dụ (Bài 44/SBT-Trang 44): Cho phương trình x2 - 6x + m = Tính giá trị m, biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  x  Giải Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi: � ��� '   3  m m m (1) �x1  x  Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x1x  m (2) Theo bài: x1  x  (3) Giải hệ gồm (1) (3), ta được: 2x1  10 � x1  � x   x1    Thay x1 = 5, x2 = vào (2), ta có: 5.1 = m � m = (thỏa mãn điều kiện) Vậy với m = x1  x  Ví dụ (Dạng tốn nâng cao dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi) Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (có ẩn số x) a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt 17 b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm giá trị nhỏ y = x12  x 22 Giải a) Ta có  '   m  1   2m    m  2m   2m    m     2 với m Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt �x1  x  2(m 1)  2m  (1) b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: � (2) �x1 x  2m  Theo bài: y = x12  x 22 =  x1  x   2x1x (3) Thay (1) (2) vào (3), ta có: y =  2m     2m    4m  12m  12   2m    2 Vì  2m  3 �0 với m nên suy y =  2m  3  �3 Dấu “=” xảy � 2m   � m  3 Vậy ymin = � m  2 * Nhận xét: Ngoài việc phải kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm để chọn giá trị m cần ý trường hợp tốn cịn có điều kiện ràng buộc khác (như ví dụ 3) ta cần đối chiếu giá trị m để loại bỏ giá trị khơng thích hợp 1.8 Dạng toán 8: Xét dấu nghiệm 1.8.1 Phương pháp: Dùng hệ thức Vi-ét ta xét dấu nghiệm x 1, x2 phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) dựa kết quả: - Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1   x � P  c  a �  �0   ' �0  - Phương trình có hai nghiệm dấu � � P  �  �0   ' �0  � � P0 - Phương trình có hai nghiệm dương � � � S0 � 18  �0   ' �0  � � P0 - Phương trình có hai nghiệm âm � � � S0 � 1.8.2 Ví dụ: Ví dụ Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x – m + = Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm dương phân biệt Giải a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu � P  c 1 m  � m 1 a Vậy với m < phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  x1  x � '  m  3m  � � � �� P0 � � 1 m  �  m  � � S0  m  1  � � Vậy với < m < phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Ví dụ Cho phương trình mx2 - 6x + m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm Giải: Để phương trình có hai nghiệm âm x1 �x  a �0 � �  ' �0 � �� P0 � � S0 � m �0 � � m �0  m �0 � � � 3 �m �3 �m � �� 0 �� � 3 �m   �m � �6 � m0 � � 0 �m Vậy với 3 �m  phương trình có hai nghiệm âm 19 1.9 Dạng tốn 9: Lập phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước 1.9.1 Phương pháp: - Bước 1: Tìm tổng S tích P hai nghiệm phương trình bậc hai muốn lập - Bước 2: Áp dụng định lí Vi-ét đảo lập phương trình dạng X2 – SX + P = 1.9.2 Ví dụ: Ví dụ (Bài 42, 43/SBT-Trang 44) a) Lập phương trình có hai nghiệm hai số  b) Cho phương trình x + px – = có nghiệm x x2 Hãy lập phương trình có hai nghiệm hai số cho trường hợp sau: 1) -x1 -x2 2) 1 x1 x2 Giải   a) Ta có S = x1 + x2 = +  =  , P = x1x2 =  Vậy hai số  nghiệm phương trình:   x2 – (  )x +  = b) Phương trình x2 + px – = có   p   Do phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo định lí Vi-ét, ta có: x1 + x2 = p 5   p , x1x2 =  5 1 1) Ta có -x1 + (-x2) = - (x1 + x2 ) = p -x1(-x2) = x1x2 = - Vậy phương trình cần lập : x2 - px - = 2) Ta có: 1 1 x1  x  p p 1   ,   + = = x1 x2 x 1x 5 x1 x x1x 5 Vậy phương trình cần lập : x2 - p x  = hay 5x2 - px - = 5 Ví dụ Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x – 3x + = Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm: 20 y1  x  1 ; y  x1  x1 x2 Giải Phương trình x2 – 3x + = có    3  4.1.2     Suy phương trình có hai nghiệm phân biệt �x1  x  Theo định lí Vi-ét, ta có: � �x1x  �1 �x  x � � Ta có: y1  y   x  x1   �  �  x  x1   � �   2 �x1 x � � x1 x � � � 1� � 1 y1y  �x  � x1  � x x1  22 2 � x1x 2 � x1 � � x2 � Vậy phương trình bậc hai cần lập y2 - 9 y + = hay 2y2 – 9y + 9= 2 Nhận xét: Mặc dù tốn có nói x 1, x2 nghiệm phương trình cho trước (như ví dụ phần b, ví dụ 2) Tuy nhiên ta phải tính biệt thức   ' để khẳng định phương trình cho trước có hai nghiệm, từ áp dụng định lí Vi-ét Điều đảm bảo tính chặt chẽ tốn học lời giải coi đầy đủ, chọn vẹn 1.10 Dạng toán 10: Một vài ứng dụng khác hệ thức Vi-ét Ở đề cập dạng toán liên quan đến đến hệ thức Vi-ét ứng dụng Tuy nhiên tìm hiểu sâu rộng chút tơi thấy có vài ứng ứng khác hệ thức Vi-ét hay hiệu Sau vài ứng dụng khác hệ thức Vi-ét 1.10.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 1.10.1.1 Phương pháp: Phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có nghiệm x1, x2 tam thức ax2 + bx + c phân tích thành nhân tử sau: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) 1.10.1.2 Ví dụ: Ví dụ Phân tích đa thức x2 – 5x + thành nhân tử 21 Giải Phương trình x2 – 5x + = có a + b + c = – + = Do phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = Vì đa thức x2 – 5x + = (x – 1)(x – 4) Ví dụ (Bài 33/SGK-Trang 54) Phân tích đa thức 2x2 – 5x + thành nhân tử Giải Phương trình 2x2 – 5x + = có a + b + c = – + = Do phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = Vì đa thức 2x2 – 5x + = 2(x – 1)(x – ) 1.10.2 Lập phương trình đường thẳng y = ax + b ( a �0 ) (d) quan hệ với Parabol y = mx2 ( m �0 ) (P) 1.10.2.1 Phương pháp: - Để lập phương trình đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm A  x A ; y A  B  x B ; y B  , ta làm sau: Do đường thẳng (d) Parabol (P) có hai giao điểm nên hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình: mx2 = ax + b  mx2 - ax - b = a � xA  xB  � � m (I) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x x  b �A B m Từ hệ (I) tìm a b  Phương trình (d) cần lập - Để lập phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) điểm A  x A ; y A  , ta làm sau: Do (d) (P) có giao điểm nên phương trình mx2 - ax - b = có nghiệm kép: x1 = x2 22 a � x1  x  � m � b � x 1x  Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � m � x1  x  x A � � � (II) Từ hệ (II) tìm a b  Phương trình (d) cần lập 1.10.2.2 Ví dụ: Ví dụ Cho parabol (P) có phương trình: y = x2 Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ x A = -1; xB = Lập phương trình đường thẳng qua A B Giải: Gọi phương trình đường thẳng qua A B có dạng y = ax + b (kí hiệu: (AB)) Phương trình hồnh độ giao điểm (AB) (P) là: x2 = ax + b  x2 - ax - b =0 (1) Ta có: xA = - 1; xB = nghiệm phương trình (1) 1   a a 1 �x A  x B  a � � �� �� Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � (1).2  b b2 � � �x A x B  b Vậy phương trình đường thẳng qua A B là: y = x + Ví dụ Cho parabol (P): y  x2 ; điểm A thuộc (P) có hồnh độ xA = Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A Giải Gọi phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A (d): y = ax + b Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x2 = ax + b  x2 - 4ax - 4b = (*) Ta có: xA = nghiệm kép (*) (x1 = x2 = xA ) Áp dụng hệ thức Vi-ét đề bài, ta có: 23 �x1  x  4a  4a a 1 � � � �� �� �x1x  4b  4b � b  1 � �x  x  x  �1 A Vậy phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A là: y = x - 1.10.3 Áp dụng hệ thức Vi-ét giải phương trình hệ phương trình (Dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi) �5  x ��  x � �x  Ví dụ Giải phương trình x.� � � (*) �x  �� x  � Giải Điều kiện: x �1 � � �5  x � �5  x � �  x � u  x u  v  x � � � � �x  � � � � �x  � � �x  � � x  � (1) � � Đặt: �  x � � 5 x � �v  �x  �u.v  x.�5  x � � � � ��x  � � � �x  �� x  � � � x 1 � � uv5 � �� u.v  � � u, v nghiệm phương trình: t2 – 5t + = � t1  3; t  Do u = v = u = v = u 3 � - Với � (1) trở thành: x2 - 2x + = �v  Ta có ' = – = - < � Phương trình vơ nghiệm u2 � - Với � (1) trở thành: x2 - 3x + = �v  Ta có a + b + c = – + = � x1 = 1; x2 = Vậy phương trình (*) có hai nghiệm x1 = 1; x2 = Ví dụ Giải hệ phương trình: �x  y  xy  a) � (Hệ đối xứng loại 1) �xy  x y  12 � �3 x  y  b) � �xy  27 Giải 24 �x  y  xy  �x  y  xy  � a) � �  x  xy  xy  12 �xy  x y  12 � S P  � Đặt S = x + y, P = xy Ta có hệ � SP  12 � Khi S P hai nghiệm phương trình: t2 – 7t + 12 = Giải phương trình t1 = 4; t2 = - Nếu S = P = x, y nghiệm phương trình: u2 -4u+3=0  u = u = Suy (x = 1; y = 3) (x = 3; y = 1) - Nếu S = P = x, y nghiệm phương trình: v2 –3v+4=0 Phương trình vơ nghiệm  = - 16 = - < Vậy hệ cho có hai nghiệm là: (1; 3); (3; 1) � � u3x u3  x � � � �3 b) Đặt � Khi hệ phương trình có dạng: �v  y �v  y uv4 � uv4 � � �� � u, v nghiệm phương trình: �  uv   27 �uv  � t2 – 4t + =  t1 = 1; t2 = Suy u = 1, v = u = 3, v = - Với u = 1, v = x = 1, y = 27 - Với u = 3, v = x = 27, y = Vậy hệ cho có hai nghiệm là: (1; 27); (27; 1) Trên 10 dạng toán thường gặp, dạng tốn có đặc điểm khác cịn chia thành dạng nhỏ dạng Trong trình phân loại dạng tốn, tơi cố gắng đưa phương pháp giải dạng cụ thể Đánh giá kết thu Sau thực sáng kiến, thấy thu số kết sau: - Đối với giáo viên + Giúp giáo viên tìm phương pháp dạy loại “giải toán ứng dụng định lý Vi-ét” phù hợp với đối tượng học sinh, làm cho học sinh có thêm hứng thú học mơn tốn Đổi phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng dạy học 25 môn, cụ thể chất lượng mũi nhọn, từ nâng dần chất lượng giáo dục địa phương Giáo viên biết thêm số kỹ giải toán ứng dụng định lý Vi-ét vận dụng với đối tượng học sinh + Giáo viên: Hiểu sâu sắc kiến thức, giáo viên tự tin giảng dạy đạt hiệu cao - Đối với học sinh - Học sinh: Khi chưa giảng dạy theo hệ thống trình bày trên, học sinh lúng túng gặp dạng toán Từ việc chưa định hướng cách làm nên em thường làm vòng vo, lúng túng Qua q trình áp dụng chun đề tơi thấy học sinh tự tin hơn, tích cực học tập khơng cịn tình trạng thụ động, biết tìm tịi khám phá, biết tạo liên kết cho kiến thức học với yêu cầu đòi hỏi tốn Và có em học sinh giỏi nghĩ nhiều cách giải khác cho tốn từ chọn cho cách giải đẹp, sáng tạo cụ thể là: - Học sinh trung bình rèn kỹ Vận dụng định lý tính chất học vào giải tập, có phương pháp để giải đại số Các em bước đầu biết khám phá điều mẻ tập thơng qua tình có vấn đề - Học sinh giỏi sôi hướng thú học tập, em biết tìm tịi khám phá tập tương tự, em biết chủ động đề xuất vấn đề liên quan, có em biết sáng tạo giải tập, có cách làm khác tìm hướng giải theo nhiều cách khác nhau, học quan hệ thầy trò, trò trò chủ động tích cực việc khám phá kiến thức việc vận dụng kiến thức học vào giải tốn + Tỉ lệ học sinh trung bình, yếu giảm so với khảo sát đầu năm; số lượng học sinh khá, giỏi tăng lên Tỉ lệ học sinh đạt giải kì thi chọn học sinh giỏi trường, huyện tăng so với năm học trước * Kết với học sinh: áp dụng với học sinh lớp (với 24 em) Thông qua kiểm tra 15 phút kiểm tra tiết tháng 2/2019 mà có dạng tốn trên, tơi thu kết sau: Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu 26 Số học SL % SL % SL % SL % sinh 24 33,3 12 50 16,7 0 Kết thực nghiệm cho thấy áp dụng đề tài giảng dạy học sinh có khả giải tốn liên quan đến ứng dụng định lý Vi-ét tốt không áp dụng đề tài, trình vận dụng đề tài lớp 9, nhận thấy đa số em u thích học Tốn, nhiều học sinh tích cực xây dựng bài, hiệu tiết học nâng lên rõ rệt Trong công tác ôn luyện học sinh giỏi, áp dụng đề tài vào giảng dạy, qua trình áp dụng, tơi nhận thấy em học sinh dễ dàng giải dạng tập định lý Vi-ét số dạng tập sử dụng ứng dụng định lý Vi-ét, đồng thời nhờ phân dạng tập có phương pháp giải cụ thể dạng mà em khắc sâu kiến thức vận dụng tốt q trình học tập Kết ơn luyện đội tuyển học sinh giỏi năm học 2018 - 2019 sau: - Ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi giải Tốn máy tính cầm tay lớp 9: + 03 học sinh đạt giải cấp huyện, chiếm tỉ lệ 75% (trong có 01 giải nhì, 01 giải ba, 01 giải khuyến khích) + 01 học sinh đạt giải khuyến khích cấp tỉnh - Ơn luyện đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9: + 02 học sinh đạt giải ba cấp huyện, chiếm tỉ lệ 67% 02 học sinh tham gia đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện dự thi cấp tỉnh (chưa có kết quả) 2.1 Tính mới, tính sáng tạo - Phân loại dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng qua giúp giáo viên có định hướng tốt việc hướng dẫn học sinh nghiên cứu kiến thức - Đưa cách giải tổng quát số dạng tập, qua khắc sâu phương pháp giải tập cho học sinh - Thấy vai trò hệ thức Vi-ét chương trình Tốn THCS đặc biệt dạng tốn có liên quan 27 - Giảm bớt khó khăn, lúng túng em nghiên cứu nội dung có liên quan đến hệ thức Vi-ét Học sinh xác định cách giải số dạng toán 2.2 Khả áp dụng mang lại lợi ích thiết thực sáng kiến 2.2.1 Khả áp dụng áp dụng thử, nhân rộng Tôi thiết nghĩ đề tài có khả áp dụng năm học Bởi áp dụng đề tài “Phân loại dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng” vào q trình giảng dạy, tơi nhận thấy học sinh có hứng thú học tập, giảng huy động nhiều học sinh tham gia, học sinh trung bình, yếu làm tập đơn giản Bên cạnh giáo viên đỡ phải vất vả thuyết trình, mà gợi ý cho em toán cho vận dụng kiến thức nào, áp dụng biến đổi sao, từ em độc lập suy nghĩ tự phát kiến thức sau vận dụng vào làm tập liên quan Bên cạnh đó, Trong trình ơn luyện học sinh giỏi, nhờ ứng dụng định lý Vi-ét mà việc giải số dạng tập khó (như số ví dụ nêu trên) trở nên dễ dàng học sinh 2.2.2 Khả mang lại lợi ích thiết thực Hiệu kinh tế: - Tổ chức buổi sinh hoạt chuyên đề chuyên môn nhà trường khơng tốn chi phí - Sáng kiến khơng tốn nhiều thời gian, không tốn mặt kinh tế Hiệu mặt xã hội: - Tạo động lực cho học sinh u thích mơn tốn, góp phần nâng cao kiến thức cho học sinh qua nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng yêu cầu ngày cao xã hội IV KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu kết hợp với kinh nghiệm giảng dạy công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi vào lớp 10 THPT với giúp đỡ bạn bè đồng nghiệp hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm: “Phân loại dạng tốn Vi-ét ứng dụng” 28 Tơi thấy đa số em học sinh tự giác, tích cực học tập, vận dụng tương đối linh hoạt ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải tập có liên quan; tập tương tự nâng cao ứng dụng thực tế tốn học sống Tuy nhiên q trình thực đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót kính mong góp ý xây dựng đồng nghiệp để đề tài ngày phong phú đầy đủ tạo hứng thú học tập học sinh phát huy tính tích cực chủ động em q trình học tập Từ giúp em thêm u thích mơn Tốn Đối với giáo viên cần đầu tư thời gian, với tìm tịi lựa chọn xây dựng hệ thống toán, phân dạng tập, xây dựng cách giải tổng quát trình giảng dạy rèn luyện kĩ vận dụng, trình bày lời giải, tư sáng tạo học sinh qua giúp em tự tin, phấn khởi trình học tập Với kết trên, tin việc áp dụng đề tài vào giảng dạy phương trình bậc hai đem lại hiệu cao so với phương pháp giảng dạy truyền thống, qua nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn./ 29 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi vào lớp 10 THPT năm, trường chuyên tỉnh Sách giáo khoa Toán (tập 2) - NXB giáo dục – 2005 Sách Nâng cao phát triển Toán (tập 2) - NXB giáo dục - - Vũ Hữu Bình – 2005 Sách Toán nâng cao chuyên đề Đại số 9- NXB giáo dục – 2005 - Vũ Dương Thụy - Nguyễn Ngọc Đạm Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS - Đại số - NXB giáo dục - 2005 Nguyễn Vũ Thanh Internet XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ TÁC GIẢ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (Ký tên) (Ký tên, đóng dấu) 30 31 ... định lí Vi- ét Điều đảm bảo tính chặt chẽ tốn học lời giải coi đầy đủ, chọn vẹn 1.10 Dạng toán 10: Một vài ứng dụng khác hệ thức Vi- ét Ở đề cập dạng toán liên quan đến đến hệ thức Vi- ét ứng dụng. .. sinh giỏi, áp dụng đề tài vào giảng dạy, qua trình áp dụng, tơi nhận thấy em học sinh dễ dàng giải dạng tập định lý Vi- ét số dạng tập sử dụng ứng dụng định lý Vi- ét, đồng thời nhờ phân dạng tập có... nên đề tài tập trung vào vấn đề: ? ?Phân loại dạng toán Vi- ét ứng dụng? ?? trường TH &THCS CÁC TỪ VI? ??T TẮT TT Ký hiệu chữ vi? ??t tắt TH &THCS THCS THPT SGK SBT Chữ vi? ??t đầy đủ Tiểu học trung học sở Trung