Dạy học hình học không gian ở lớp 12 theo định hướng gắn với các tình huống thực nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ HẠNH DẠY HỌC HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Ở LỚP 12 THEO ĐỊNH HƯỚNG GẮN VỚI CÁC TÌNH HUỐNG THỰC NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ HẠNH

DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở LỚP 12 THEO ĐỊNH HƯỚNG GẮN VỚI CÁC TÌNH HUỐNG THỰC NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ HẠNH

DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở LỚP 12 THEO ĐỊNH HƯỚNG GẮN VỚI CÁC TÌNH HUỐNG THỰC NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đào Thái Lai

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của PGS.TS Đào Thái Lai, luận văn chuyên ngành “Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán” với đề tài

“Dạy học hình học không gian ở lớp 12 theo định hướng gắn với các tình huống thực nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh” được hoàn thành bởi

nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả Các số liệu được trích dẫn trong luận văn là trung thực Kết quả nghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào được công bố trước đó

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2021

Tác giả luận văn

Trần Thị Hạnh

Xác nhận của Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS Đào Thái Lai

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên tôi xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của PGS.TS Đào Thái Lai đã giúp tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn Tôi gửi lời cảm ơn đến toàn thể các thầy cô giáo của trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy, chỉ bảo tôi trong quá trình học tập tại trường

Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Huệ đã tạo điều kiện cho tôi

về thời gian, điều kiện học tập và hoàn thiện luận văn Cảm ơn các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập Cảm ơn các em học sinh đã đồng hành cùng tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Tôi cũng gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi và động viên tôi trong suốt quá trình tôi hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2021

Tác giả luận văn

Trần Thị Hạnh

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN vi

DANH MỤC CÁC HÌNH, BẢNG, BIỂU vii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

3.1 Đối tượng nghiên cứu 2

3.2 Phạm vi nghiên cứu 2

4 Giả thiết khoa học 2

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Đóng góp của luận văn 4

7.1 Về lý luận 4

7.2 Về thực tiễn 4

8 Cấu trúc của luận văn 4

CHƯƠNG 1 CƠ CỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Năng lực, năng lực giải quyết vấn đề 5

1.1.1 Năng lực 5

1.1.2 Các thành phần, cấu trúc của năng lực 6

1.1.3 Năng lực giải quyết vấn đề 7

1.1.4 Năng lực toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học 10

1.1.5 Đánh giá năng lực giải quyết vấn đề của học sinh 11

1.2 Tình huống thực, dạy toán gắn với các tình huống thực theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh 14

1.2.1 Tình huống thực 14

1.2.2 Dạy học toán dựa trên tình huống thực 17

1.2.3 Dạy toán gắn với các tình huống thực theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh 20

1.3 Nội dung dạy học chủ đề hình học không gian lớp 12 và cơ hội tổ chức các tình

huống thực cho học sinh 22

1.3.1 Nội dung dạy học chủ đề hình học không gian lớp 12 22

1.3.2 Những cơ hội tổ chức các tình huống thực nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong chủ đề hình học không gian lớp 12 35

1.4 Thực trạng dạy học chủ đề hình học không gian lớp 12 gắn với các tình huống thực theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh 36

1.4.1 Mục đích khảo sát 36

1.4.2 Đối tượng, nội dung và phương pháp khảo sát 36

1.4.3 Kết quả khảo sát 37

1.4.4 Đánh giá chung 43

1.5 Kết luận chương 1 43

CHƯƠNG 2 45

MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở LỚP 12 GẮN VỚI CÁC TÌNH HUỐNG THỰC NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH 45

2.1 Định hướng xây dựng biện pháp 45

2.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 12 qua dạy học chủ đề hình học không gian gắn với các tình huống thực 45

2.2.1 Biện pháp 1: Liên hệ các hình không gian trong thực tế cuộc sống, sử dụng các mô hình hình học vào bài học giúp học sinh dễ tiếp cận với các kiến thức về các đối tượng hình học 45

2.2.2 Biện pháp 2: Tổ chức cho học sinh tăng cường luyện tập kĩ năng sử dụng, chế tạo mô hình một cách linh hoạt để giải quyết vấn đề 50

2.2.3 Biện pháp 3: Giúp học sinh học tập chủ đề hình học không gian thông qua việc tổ chức hoạt động trải nghiệm, tìm hiểu và giải quyết các bài toán xuất hiện trong đời sống thực của học sinh (ở trường, lớp, cộng đồng, địa phương) 60

2.3 Tổ chức dạy học vận dụng tình huống thực để dạy học hình học không gian lớp 12 70

2.3.1 Kế hoạch dạy học số 1: 70

2.3.2 Kế hoạch bài dạy số 2: 83

CHƯƠNG 3 92

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 92

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 92

3.2 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 92

3.3 Nội dung thực nghiệm sư phạm 93

3.3.1 Nội dung thực nghiệm sư phạm 93

3.3.2 Chuẩn bị tài liệu thực nghiệm 94

3.4 Nội dung tổ chức thực nghiệm sư phạm 94

3.5 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 94

3.5.1 Đánh giá định tính 94

3.5.2 Phân tích định lượng 97

3.4 Kết luận Chương 3 101

KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 102

TÀI LIỆU THAM KHẢO 104

PHỤ LỤC 107

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN STT Chữ viết tắt, kí hiệu Ý nghĩa chữ viết tắt, kí hiệu

DANH MỤC CÁC HÌNH, BẢNG, BIỂU

Trang

Hình

Hình 1.1 Phẩm chất và năng lực cốt lõi của học sinh cần đạt trong chương trình giáo

dục phổ thông tổng thể……… ………7

Hình 1.2 Hình ảnh về một mô hình bài học theo giáo dục toán thực……….19

Hình 2.1 Một số đồ vật thực tế mặt ngoài có dạng mặt tròn xoay……….47

Hình 2.2 Ghép khối hộp chữ nhật……… ……… ………….48

Hình 2.3 Một số nguyên vật liệu chuẩn bị cho tiết học……….…………52

Hình 2.4 Một số mô hình thực hành…… ……….……… 53

Hình 2.5 Hình ảnh gợi ý về khối đa diện……….……….……54

Hình 2.6 Học sinh thực hành……….………….………… 54

Hình 2.7 Hội thi sáng tạo đồ dùng dạy học trong huyện Đại Từ……… ….………….55

Hình 2.8 Một số sản phẩm tự làm của học sinh sau các tiết học……….….…………57

Hình 2.9 Hộp đựng chè…….……… ………… 58

Hình 2.10 Trải hình hình hộp chữ nhật……….………59

Hình 2.11 Học sinh làm hộp dựng hình trụ ……… …….…… 59

Hình 2.12 Khai thác than hình lòng chảo……… ……….…62

Hình 2.13 Sử dụng điện thoại thông minh đo độ dài………64

Hình 2.14 Đất trồng chè tại gia đình, địa phương……….………66

Hình 1.2 Nhà bia ghi dấu cơ quan chỉ huy chiến khu Nguyễn Huệ……… …….68

Bảng

Bảng 1.1 Yêu cầu cần đạt của học sinh THPT về NLGQVĐ và sáng tạo…….….……9

Bảng 1.2 Nội dung dạy học Chương 1, 2 trong chương trình Hình học lớp 12………22

Bảng 3.1 Bảng kết quả kiểm tra khi bắt đầu khảo sát của HS…… 92

Bảng 3.2 Thống kê kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 100

Biểu đồ 3.1 Thống kê kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng………100

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giáo dục toán học thực tế hay Giáo dục toán thực (RME-Realistic Mathematics Education) [15], là một cách tiếp cận giáo dục toán học được viện Freudenthal phát triển từ năm 1971 tại Hà Lan Trải qua nhiều thập kỉ nghiên cứu và phát triển, đến nay

đã có rất nhiều quốc gia tiếp cận, nghiên cứu và sử dụng thành công các thành tựu của Giáo dục toán thực vào chương trình giáo dục của họ, ví dụ: Hà Lan, Anh, Mỹ, Singapore, Indonesia,… Giáo dục toán thực là một trong những xu hướng nghiên cứu nổi bật và có nhiều đóng góp trong lĩnh vực giáo dục toán học, theo quan điểm coi toán học như “một hoạt động của con người” Theo giáo sư Hans Freudenthal- nhà tâm lý học, nhà toán học, người sáng lập ra phong trào toán học mới ở Hà Lan năm 1971- thì toán học phải được kết nối với thực tế, gần gũi với trẻ em và phù hợp với xã hội, để trở thành giá trị của con người, toán học không đơn thuần là một môn học phải giảng dạy

mà ta nên xem nó như một hoạt động của con người, cần cung cấp cho người học cơ hội để “tái phát minh” toán học bằng cách thực hiện nó [26]

Ở Việt Nam trong mỗi giai đoạn khác nhau, giáo dục luôn xác định các yêu cầu

về chương trình giảng dạy môn Toán nhằm phát triển năng lực người học, tạo điều kiện cho học sinh vận dụng các kiến thức toán học vào thực tế, “học đi đôi với hành”,

“lý thuyết gắn liền với thực tiễn” Đặc biệt, mục tiêu đổi mới chương trình giáo dục phổ thông được nêu rõ trong nghị quyết 88/2014/QH13 của Quốc hội: “Đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện về phẩm chất và năng lực; hài hòa đức, trí, thể, mĩ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh” [5] Hơn nữa, chương trình giáo dục phổ thông môn Toán rất quan tâm đến quá trình phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ và phương tiện toán học nhằm phát huy hết năng lực sở trường của người học Với mục tiêu đổi mới như trên, việc tiếp cận và triển khai

“Giáo dục toán học thực” vào chương trình môn Toán ở các cấp học tại Việt Nam là

phù hợp và cần thiết, yêu cầu cần có những nghiên cứu về lý thuyết Giáo dục toán học thực và những hướng dẫn cụ thể cho việc áp dụng Giáo dục toán học thực tế để phù hợp với điều kiện hoàn cảnh thực tiễn của giáo dục Việt Nam

Kế thừa những thành tựu từ các công trình nghiên cứu về “Giáo dục toán thực” cùng với thực tế giảng dạy môn Toán tại trường phổ thông và tinh thần ham học hỏi của bản thân, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Dạy học hình học không gian ở lớp 12 theo định hướng gắn với các tình huống thực nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn

đề cho học sinh” Hi vọng, việc lựa chọn nội dung hình học lớp 12 với rất nhiều tình huống thực có thể khai thác và phát triển, luận văn của tôi sẽ góp phần cung cấp các ý tưởng cho việc giảng dạy Toán học được hiệu quả và giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề Để người học có thể khám phá các cấu trúc toán học trong môi trường sống của chính mình dẫn đến yêu thích toán học và góp phần đưa Toán học thực sự trở thành một phần của cuộc sống con người

2 Mục đích nghiên cứu

Từ việc nghiên cứu các vấn đề lý luận và thực tiễn có liên quan, luận văn đề xuất một số biện pháp dạy học hình học không gian ở lớp 12 theo định hướng gắn với các tình huống thực góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy học hình học không gian lớp 12 theo hướng gắn với các tình huống thực, góp phần phát triển năng lực GQVĐ cho học sinh

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Tập trung nghiên cứu dạy học các chương: Chương I Khối đa diện và Chương

II Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của nội dung hình học không gian ở lớp 12 Địa bàn nghiên cứu thực trạng và thực nghiệm sư phạm là trường trung học phổ thông trên địa bàn huyện Đại Từ, tỉnh Thái Nguyên

4 Giả thiết khoa học

Trên cơ sở lý luận và thực tiễn về vấn đề được nêu, nếu sử dụng một cách hợp lý các biện pháp dạy học được đề xuất trong luận văn thì có thể phát triển năng lực giải

quyết vấn đề, tăng hứng thú học tập môn Toán cho học sinh và nâng cao hiệu quả dạy học nội dung hình học không gian ở lớp 12

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực, năng lực giải quyết vấn đề, tình huống thực, dạy toán gắn với các tình huống thực nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho HS

- Tìm hiểu nội dung Hình học không gian ở lớp 12 ban cơ bản và những cơ hội tổ chức dạy học chủ đề này theo định hướng gắn với các tình huống thực nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

- Điều tra thực trạng dạy, học hình học không gian ở lớp 12 và khả năng giải quyết vấn đề trong thực tế của học sinh liên quan đến nội dung này Việc dạy hình học không gian ở lớp 12 theo định hướng gắn với các tình huống thực nhằm phát triển NLGQVĐ cho HS ở trường THPT

- Đề xuất một số biện pháp dạy học hình học không gian ở lớp 12 gắn với các tình huống thực nhằm phát triển NLGQVĐ cho HS

- Xây dựng cách tổ chức dạy học một số tình huống điển hình trong dạy học hình học không gian ở lớp 12 theo hướng gắn với các tình huống thực

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp dạy

học môn Toán, tài liệu về năng lực, bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề, tài liệu về giáo dục toán học thực liên quan đến đề tài của luận văn

- Phương pháp điều tra, quan sát: Điều tra tình hình dạy và học chủ đề hình học

không gian cho học sinh ở trường phổ thông nói chung cũng như tình hình dạy học chủ

đề hình học không gian gắn với các tình huống thực theo định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 12 nói riêng thông qua trực tiếp giảng dạy, phỏng vấn, dự giờ, sử dụng phiếu hỏi, bài kiểm tra, trao đổi

- Phương pháp thống kê: thu thập, xử lý, phân tích các số liệu điều tra

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: tổ chức dạy học, kiểm tra theo các biện

pháp luận văn đề ra tại trường THPT, có đối chứng nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đó

7 Đóng góp của luận văn

- Cung cấp một số giáo án dạy học cụ thể về dạy học gắn với tình huống thực

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, thì luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp dạy học hình học không gian ở lớp 12 theo định

hướng gắn với các tình huống thực nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ CỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực, năng lực giải quyết vấn đề

1.1.1 Năng lực

Khái niệm “năng lực” đã có lịch sử phát triển lâu đời và xuyên suốt mọi thời đại Trong những thập kỉ gần đây, khái niệm năng lực đã được sử dụng trong phát triển giáo dục và đào tạo nghề nghiệp Thuật ngữ năng lực được các nhà nghiên cứu đưa ra với những định nghĩa và ý nghĩa khác nhau, tùy thuộc vào mục đích và bối cảnh sử dụng Thuật ngữ "năng lực" đã xuất hiện trong bài báo của một nhà tâm lý học người

Mỹ RW White vào năm 1959 như một khái niệm về động lực thực hiện Năm 1970, Craig C Lundberg định nghĩa năng lực trong "Lập kế hoạch Chương trình Phát triển Điều hành" Thuật ngữ này đã đạt được sức hút lớn vào năm 1973, khi David McClelland viết một bài báo có tựa đề "Kiểm tra năng lực thay vì trí thông minh" [20] Theo Hayes (1979): “Năng lực nói chung bao gồm kiến thức, động lực, đặc điểm

xã hội, vai trò, kĩ năng của một người phù hợp với nhu cầu của tổ chức mà họ tham gia” Weinert (2001) đưa ra định nghĩa: “năng lực là những khả năng và kĩ xảo, học được hoặc sẵn có của cá thể nhằm giải quyết các tình huống xác định, cũng như sự sẵn sàng về động cơ, xã hội và khả năng vận dụng các cách giải quyết vấn đề một cách có trách nhiệm và hiệu quả trong những tình huống linh hoạt”[1]

Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể của Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt

Nam (2018): "Năng lực là thuộc tính của cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động, tổng hợp kiến thức, kĩ năng và các các thuộc tính của cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”[4]

Theo tài liệu tập huấn hướng dẫn thực hiện chương trình môn Toán trong chương trình giáo dục phổ thông 2018 thì “Năng lực có thể hiểu là sự kết hợp của kiến thức, kĩ năng, phẩm chất, thái độ và hành vi của một cá nhân để thực hiện hiệu quả một công việc nào đó Năng lực không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo, mà còn cả giá trị, động cơ, đạo đức và hành vi xã hội” [12]

Các nghiên cứu về năng lực đã chỉ ra rằng năng lực bao hàm một khái niệm rất phức tạp và bao quát, là điểm hội tụ của nhiều yếu tố như kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo, thái độ, kinh nghiệm, sự hiệu quả

Theo quan điểm của tác giả thì “Năng lực có thể hiểu là sự kết hợp của kiến thức,

kĩ năng, phẩm chất, thái độ và hành vi của một cá nhân để thực hiện hiệu quả một công việc nào đó”

1.1.2 Các thành phần, cấu trúc của năng lực

Để hình thành và phát triển năng lực cần xác định các thành phần và cấu trúc của chúng Có nhiều loại năng lực khác nhau, việc mô tả cấu trúc và các thành phần của năng lực cũng khác nhau Cấu trúc chung của năng lực được mô tả là sự kết hợp của bốn năng lực thành phần như: năng lực chuyên môn, năng lực phương pháp, năng lực

xã hội và năng lực cá thể Mô hình bốn thành phần năng lực trên phù hợp với bốn mục tiêu giáo dục mà tổ chức giáo dục, khoa học và văn hóa Liên Hợp Quốc UNESCO đưa ra: “học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để tự khẳng định Phát triển năng lực chính là mục tiêu của giáo dục Mô hình cấu trúc năng lực trên có thể cụ thể hóa trong từng lĩnh vực chuyên môn, nghề nghiệp khác nhau Theo tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD mô hình năng lực được chia thành hai nhóm chính đó là: các năng lực chung và các năng lực chuyên môn Nhóm năng lực chung bao gồm khả năng hành động độc lập thành công; khả năng sử dụng các công cụ giao tiếp và công cụ tri thức một cách tự chủ; khả năng hành động thành công trong các nhóm xã hội không đồng nhất Năng lực chuyên môn liên quan đến từng môn học riêng biệt [1]

Theo chương trình giáo dục phổ thông 2018 thì HS cần hình thành và phát triển những năng lực chung thông qua tất cả các môn học và hoạt động giáo dục gồm có: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo Những năng lực đặc thù được hình thành phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định như: năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mỹ, năng lực thể chất Bên cạnh việc hình thành phát triển các năng lực cốt lõi chương trình giáo dục phổ thông còn góp phần phát hiện bồi dưỡng năng khiếu của học sinh [4]

Hình 1.1 Phẩm chất và năng lực cốt lõi của học sinh cần đạt trong chương trình

giáo dục tổng thể

Mô hình cấu trúc năng lực ở trên có thể cụ thể hóa trong từng lĩnh vực chuyên môn, nghề nghiệp khác nhau Mặt khác, trong mỗi lĩnh vực chuyên môn, nghề nghiệp người ta cũng mô tả các loại năng lực khác nhau Ví dụ nhóm năng lực chuyên môn trong môn toán bao gồm các năng lực: giải quyết các vấn đề toán học; lập luận toán học; mô hình hóa toán học; giao tiếp toán học; tranh luận về các nội dung toán học; vận dụng các cách trình bày toán học; sử dụng các kí hiệu, công thức, các yếu tố thuật toán

1.1.3 Năng lực giải quyết vấn đề

Theo chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA) của OECD, một cuộc khảo sát quốc tế về kỹ năng và kiến thức của học sinh độ tuổi 15 trong ba lĩnh vực toán học, đọc hiểu và khoa học, dựa trên các ý nghĩa thường được chấp nhận của "vấn đề" và

"giải quyết vấn đề" thì năng lực giải quyết vấn đề là: năng lực của một cá nhân tham gia vào quá trình xử lý nhận thức để hiểu và giải quyết tình huống có vấn đề khi mà chưa có một phương pháp giải quyết rõ ràng nào ngay lập tức Nó bao gồm sự sẵn sàng tham gia vào giải quyết tình huống đó, thể hiện tiềm năng của một con người tích cực

và sáng tạo Năng lực này liên quan tới việc tái tạo cơ bản kiến thức tích lũy Nó liên quan đến việc huy động kỹ năng, nhận thức và thực hành, khả năng sáng tạo và các nguồn lực tâm lý xã hội khác như thái độ, động lực và giá trị [25]

Tiếp cận theo quá trình giải quyết vấn đề, theo Phan Thị Tình, [14] NLGQVĐ gồm có 4 thành tố:

- Năng lực hiểu vấn đề: là khả năng của cá nhân xác định và hiểu được vai trò của các thông tin, đưa ra các phán đoán có cơ sở, gắn kết các thông tin và kiến thức đã biết Năng lực hiểu vấn đề gồm các thành phần: năng lực nhận dạng và phát biểu vấn đề, năng lực xác định và giải thích thông tin (bao gồm hiểu ngôn ngữ diễn đạt của vấn đề

và toán học hóa vấn đề)

- Năng lực tìm ra giải pháp: là khả năng của cá nhân sử dụng các thông tin và kiến thức

đã biết để rút ra những kết luận và đưa ra những quyết định đi đến giải pháp Năng lực tìm giải pháp gồm các năng lực thành phần: năng lực thu thập và đánh giá thông tin (là khả năng phân tích mối liên hệ giữa các đối tượng), năng lực xác định các cách thức giải quyết vấn đề (là khả năng định hướng kết nối các kiến thức kỹ năng đã có với yếu

tố cần tìm)

- Năng lực thực hiện giải pháp: là khả năng của cá nhân sắp xếp các thông tin và kiến thức đã biết để triển khai giải pháp, năng lực này gồm hai thành phần là: năng lực xây dựng kế hoạch và năng lực trình bày giải pháp và điều chỉnh

- Năng lực nghiên cứu sâu giải pháp: là khả năng của cá nhân xem xét, kiểm nghiệm

để đưa ra giải pháp mới và vấn đề mới trên cơ sở các thông tin có được từ hoạt động giải quyết vấn đề Năng lực nghiên cứu sâu giải pháp gồm các thành phần: năng lực đề xuất giải pháp mới, năng lực xây dựng vấn đề mới, năng lực vận dụng giải pháp và tình hình mới, năng lực phát triển giải pháp

Từ những định nghĩa trên, chúng ta có thể hiểu năng lực giải quyết vấn đề của học sinh là khả năng của học sinh phối hợp, vận dụng những kinh nghiệm bản thân, kiến thức, kĩ năng về các môn học trong chương trình trung học phổ thông để giải quyết thành công các tình huống có vấn đề trong học tập và trong cuộc sống của các em với thái độ tích cực

Theo thông tư ban hành chương trình giáo dục phổ thông mới [5] thì yêu cầu cần đạt về năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo của học sinh trung học phổ thông như sau:

Bảng 1.1 Yêu cầu cần đạt của học sinh THPT về NLGQVĐ và sáng tạo

Nhận ra ý tưởng mới - Biết xác định và làm rõ thông tin, ý tưởng mới và phức

tạp từ các nguồn thông tin khác nhau

- Biết phân tích các nguồn thông tin độc lập để thấy được khuynh hướng và độ tin cậy của ý tưởng mới

Phát hiện và làm rõ vấn

đề

- Phân tích được tình huống trong học tập, trong cuộc sống phát hiện và nêu được tình huống có vấn đề trong học tập, trong cuộc sống

Hình thành và triển khai

ý tưởng mới

- Nêu được nhiều ý tưởng mới trong học tập và cuộc sống suy nghĩ không theo lối mòn tạo ra các yếu tố mới dựa trên ý tưởng khác nhau hình thành và kết nối các ý tưởng nghiên cứu để thay đổi giải pháp trước sự thay đổi của bối cảnh, đánh giá rủi ro và có dự phòng

Đề xuất, lựa chọn giải

pháp

- Biết thu thập và làm rõ các thông tin có liên quan đến vấn đề, biết đề xuất và phân tích được một số giải pháp giải quyết vấn đề, lựa chọn được giải pháp phù hợp nhất Thiết kế và tổ chức hoạt

- Đánh giá được hiệu quả của giải pháp và hoạt động

Tư duy độc lập - Biết đặt nhiều câu hỏi có giá trị, không dễ dàng chấp

nhận thông tin một chiều, không thành kiến khi xem xét, đánh giá vấn đề

- Biết quan tâm tới các lập luận và minh chứng thuyết phục, sẵn sàng xem xét, đánh giá lại vấn đề

1.1.4 Năng lực toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học

Năng lực toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học

Có rất nhiều quan điểm khác nhau về năng lực toán học Theo Niss (1999): “năng lực toán học như khả năng của cá nhân để sử dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả các lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học [13]

Theo tài liệu tập huấn, hướng dẫn thực hiện chương trình môn toán trong Chương trình giáo dục phổ thông 2018 đã nêu việc hình thành và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ phương tiện toán học [12] Mỗi một thành tố của năng lực toán học được biểu hiện cụ thể bằng các tiêu chí và chỉ báo khác nhau Các tiêu chí, chỉ báo này phải được xây dựng sao cho có thể hoạch định được kế hoạch dạy học và quan sát, đánh giá được hiệu quả học tập của từng học sinh

Năng lực giải quyết vấn đề đặc biệt là năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn của người học có vai trò rất quan trọng trong học tập và trong cuộc sống Giải quyết vấn đề

đề theo nghĩa thông thường là tìm kiếm giải pháp thích ứng để giải quyết những khó khăn, trở ngại với một vấn đề cụ thể có thể có một số giải pháp giải quyết Trong đó sẽ

có giải pháp tối ưu Việc thực hiện năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong học toán là tổ hợp năng lực được thể hiện qua các hoạt động trong quá trình giải quyết vấn

đề

Năng lực giải quyết vấn đề toán học thể hiện qua việc: nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học; lựa chọn đề xuất được cách thức giải pháp giải quyết vấn đề; sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra; đánh giá được giải pháp đề ra và khái quát hóa được cho các vấn đề tương tự [13]

Cụ thể, yêu cầu cần đạt về năng lực toán học đối với cấp trung học phổ thông là: xác định được tình huống có vấn đề; thu thập, sắp xếp giải thích và đánh giá được độ tin cậy của thông tin; chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác; lựa chọn và thiết lập được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề; thực hiện và trình bày được giải pháp giải

quyết vấn đề; đánh giá được giải pháp đã thực hiện; phản ánh được giá trị của giải pháp; khái quát hóa được cho vấn đề tương tự

Năng lực giải quyết vấn đề là trọng tâm của toán học trong trường học Giải quyết vấn đề vừa được coi là mục tiêu vừa là công cụ cho quá trình học tập môn toán Năng lực giải quyết vấn đề được hình thành và phát triển thông qua nhiều môn học lĩnh vực

và hoạt động giáo dục khác nhau nhưng có thể thấy môn toán có vai trò quan trọng và

có ưu thế để phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh phổ thông

1.1.5 Đánh giá năng lực giải quyết vấn đề của học sinh

Muốn đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới cách thức tổ chức dạy học, đổi mới chương trình,…thì cần phải tập trung, nỗ lực và đầu tư vào khâu tổ chức kiểm tra đánh giá cho HS Đối với người GV khi tiến hành quá trình dạy học phải xác định rõ mục tiêu của bài học, nội dung và phương pháp cũng như kỹ thuật tổ chức quá trình dạy học sao cho hiệu quả Muốn biết quá trình dạy học có hiệu quả hay không, người giáo viên phải thu thập thông tin phản hồi từ học sinh để đánh giá và qua đó điều chỉnh phương pháp, kỹ thuật dạy của mình cũng như giúp HS điều chỉnh phương pháp học tập Nếu thực hiện được việc kiểm tra đánh giá hướng vào đánh giá quá trình, giúp phát triển năng lực người học thì khi đó quá trình dạy học trở nên tích cực hơn rất nhiều

Theo chương trình đánh giá HS quốc tế (PISA) của OECD, một cuộc khảo sát quốc tế về kỹ năng và kiến thức của HS 15 tuổi trong ba lĩnh vực toán học, đọc hiểu và khoa học, năm 2012 cho thấy PISA đã bao gồm cả việc đánh giá khả năng giải quyết vấn đề của học sinh Đánh giá này dựa trên máy tính về khả năng giải quyết vấn đề của học sinh cùng với đánh giá kỹ năng đọc hiểu và toán học Trong đó NL GQVĐ của HS được đánh giá theo 6 mức độ như sau [25]:

- Mức độ 1: Chỉ khám phá một vấn đề ở một mức độ hạn chế, dựa trên các tình huống quen thuộc tương tự đã từng gặp trước đây, HS này chỉ có thể mô tả một phần của giải pháp GQVĐ Những HS ở cấp độ này chỉ có thể giải quyết các vần đề đơn giản chỉ có một điều kiện cần thỏa mãn, chỉ có một hoặc hai bước cần thực hiện để đạt được mục tiêu HS cấp độ 1 có xu hướng không thể lập kế hoạch trước và đặt ra các mục tiêu phụ

- Mức độ 2: Khám phá được một vấn đề không quen thuộc và hiểu một phần nhỏ của

HS có thể kiểm tra một giải thuyết đơn giản được đưa ra và có thể giải quyết một vấn

đề có một ràng buộc cụ thể, duy nhất HS có thể lập kế hoạch và thực hiện từng bước một để đạt được mục tiêu phụ và có một số năng lực để giám sát tổng thể tiến tới một giải pháp cho vấn đề

- Mức độ 3: Xử lý thông tin được trình bày dưới nhiều dạng khác nhau Có thể khám phá một vấn đề và suy ra các mối quan hệ đơn giản giữa các thành phần của nó HS có thể điều khiển các thiết bị kỹ thuật số đơn giản, nhưng gặp sự cố với các thiết bị phức tạp hơn Ở Cấp độ 3 HS hoàn toàn có thể đối phó với một điều kiện, chẳng hạn như bằng cách tạo ra một số giải pháp và kiểm tra xem liệu những giải pháp này có đáp ứng được tình trạng hay không HS có thể đưa ra và thực hiện các kiểm tra để xác nhận hoặc bác bỏ một giả thuyết nào đó HS hiểu sự cần thiết phải lập kế hoạch trước và theo dõi tiến độ, đồng thời có thể thử tùy chọn khác nếu cần thiết

- Mức độ 4: Khám phá một tình huống vấn đề phức tạp vừa phải một cách tập trung

HS nắm bắt các liên kết giữa các thành phần của tình huống được yêu cầu để giải quyết vấn đề HS có thể kiểm soát các thiết bị kỹ thuật số phức tạp vừa phải, nhưng không phải lúc nào chúng cũng hoạt động hiệu quả Những HS này có thể lập kế hoạch trước một vài bước và theo dõi sự tiến bộ của mình HS đó thường có thể điều chỉnh các kế hoạch này hoặc định dạng lại mục tiêu dựa trên phản hồi HS có thể thử một cách có

hệ thống các khả năng khác nhau và kiểm tra cho dù nhiều điều kiện đã được thỏa mãn

HS có thể hình thành một giả thuyết về lý do tại sao một hệ thống bị trục trặc và mô tả cách kiểm tra nó

- Mức độ 5: Khám phá một cách có hệ thống một kịch bản vấn đề phức tạp để hiểu được thông tin liên quan được cấu trúc như thế nào Khi đối mặt với vấn đề không quen thuộc HS đáp ứng nhanh chóng để đạt được một giải pháp Ở cấp độ 5 HS suy nghĩ trước để tìm ra chiến lược tốt nhất giải quyết tất cả các ràng buộc đã cho HS có thể ngay lập tức điều chỉnh kế hoạch của mình hoặc lùi thời gian, HS phát hiện ra những khó khăn bất ngờ hoặc khi HS mắc sai lầm khiến HS chệch hướng

- Mức độ 6: Phát triển các giải pháp hoàn chỉnh, mạch lạc của các tình huống vấn đề

đa dạng, cho phép HS giải quyết các vấn đề phức tạp một cách hiệu quả HS có thể khám phá một kịch bản theo một cách thức chiến lược cao để hiểu tất cả thông tin liên

quan đến vấn đề Thông tin có thể được trình bày ở các định dạng khác nhau, yêu cầu diễn giải và tích hợp các phần liên quan Khi đối mặt với rất các vấn đề phức tạp hoặc theo cách bất ngờ, HS nhanh chóng điều chỉnh để đạt được mục tiêu một cách tối ưu

Ở cấp độ 6, HS có thể đặt ra các giả thuyết chung về một hệ thống và kiểm tra kỹ lưỡng chúng HS có thể theo dõi một tiền đề thông qua một kết luận hợp lý hoặc nhận ra khi không có đủ thông tin để đạt được giải pháp Những người giải quyết vấn đề rất thành thạo này có thể tạo các kế hoạch phức tạp, linh hoạt, nhiều bước mà vẫn liên tục theo dõi trong quá trình thực hiện Khi cần thiết, HS có thể sửa đổi chiến lược của mình, sử dụng tất cả ràng buộc

Khung đánh giá này chỉ rõ bốn quy trình liên quan đến giải quyết vấn đề:

• Khám phá vấn đề, tình huống (quan sát nó, tương tác với nó, tìm kiếm thông tin và tìm ra những hạn chế và chướng ngại vật); hiểu thông tin đã cho và thông tin được phát hiện trong khi tương tác với tình huống vấn đề; thể hiện sự hiểu biết về các khái niệm

có liên quan

• Trình bày và xây dựng mô hình của vấn đề Để làm được điều này, thông tin liên quan phải được chọn lọc, sắp xếp hợp lý và tích hợp với kiến thức trước đây có liên quan Điều này có thể liên quan đến trình bày vấn đề thông qua các biểu diễn dạng bảng, đồ thị, biểu tượng hoặc bằng lời nói, chuyển đổi giữa các định dạng biểu diễn này; hình thành giả thuyết bằng cách xác định các yếu tố liên quan trong vấn đề và mối quan hệ qua lại của chúng; tổ chức và phê bình đánh giá thông tin

• Lập kế hoạch và thực hiện, bao gồm thiết lập mục tiêu (làm rõ mục tiêu tổng thể, thiết lập các mục tiêu phụ khi cần thiết); đề ra một kế hoạch hoặc chiến lược để đạt được mục tiêu (các bước sẽ được thực hiện); thực hiện giải pháp

• Giám sát và phản ánh, bao gồm giám sát tiến độ đạt được mục tiêu ở mỗi giai đoạn (kiểm tra kết quả trung gian và cuối cùng, phát hiện các sự kiện bất ngờ, thực hiện các biện pháp khắc phục hậu quả khi được yêu cầu); phản ánh các giải pháp từ các quan điểm, đánh giá phê bình các giả định và giải pháp thay thế, xác định nhu cầu để biết thêm thông tin hoặc làm rõ và truyền đạt tiến độ theo cách phù hợp Tham gia vào các quá trình giải quyết vấn đề này đòi hỏi phải sử dụng các kỹ năng lập luận Ví dụ về các

kỹ năng lập luận làm nền tảng cho quá trình giải quyết vấn đề bao gồm suy luận, quy nạp, định lượng, lập luận tương quan, loại suy, tổ hợp và đa chiều [25]

Theo chúng tôi cách đánh giá trên có thể áp dụng để đánh giá NLGQVĐ cho

HS trung học phổ thông Để sử dụng chúng để giá NLGQVĐ của HS, giáo viên cần sử dụng tình huống có vấn đề, đặt câu hỏi, giao nhiệm vụ cho HS thực hiện Trong quá trình thực hiện GV hướng dẫn HS trả lời các nhiệm vụ theo các thành tố của NLGQVĐ, quan sát quá trình GQVĐ, phân tích và ghi vào sổ nhật kí trong quá trình đánh giá

Yêu cầu của đổi mới kiểm tra đánh giá là phải áp dụng đa dạng các hình thức đánh giá: đánh giá bằng trắc nghiệm, bằng bài kiểm tra viết kiểu tự luận, vấn đáp, đánh giá thông qua sản phẩm, qua hồ sơ HS, qua thuyết trình, trình bày, thông qua tương tác nhóm, thông qua các sản phẩm của nhóm, đánh giá bằng các tình huống bài tập,…trên đây chỉ là một số cách đánh giá mà tác giả tham khảo để góp phần đánh giá NLGQVĐ của HS

1.2 Tình huống thực, dạy toán gắn với các tình huống thực theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

1.2.1 Tình huống thực

Theo Nguyễn Bá Kim [9] một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và khách thể, trong đó chủ thể có thể là người, còn khách thể lại là một hệ thống nào đó, dựa theo quan điểm của Nguyễn Bá Kim ta có thể hiểu tình huống thực tiễn là tình huống mà khách thể của nó chứa đựng các yếu tố mang nội dung thực tiễn, tức là mang nội dung các hoạt động của con người

Theo từ điển tiếng Việt của Viện ngôn ngữ học [19] thì tình huống là toàn thể những sự việc xảy ra tại một nơi, trong một thời gian hoặc một thời điểm, buộc con người phải suy nghĩ, hành động, đối phó, chịu đựng

Theo tác giả thì thực tiễn là toàn bộ những hoạt động có tính lịch sử và xã hội của con người Thực tiễn chỉ là những hoạt động vật chất - cảm tính của con người hay nói khác đi là những hoạt động vật chất mà con người cảm giác được, quan sát được, trực quan được Hoạt động vật chất - cảm tính là những hoạt động mà con người phải sử dụng lực lượng vật chất, công cụ vật chất tác động vào các đối tượng vật chất để biến đổi chúng; trên cơ sở đó, con người làm biến đổi thế giới khách quan và biến đổi chính

bản thân mình Thực tiễn là hoạt động chỉ ra trong xã hội, là hoạt động có mục đích nhằm cải tạo tự nhiên và xã hội

Theo tác giả Đặng Nguyễn Xuân Hương[9], thì tình huống thực tiễn trong dạy học là những tình huống do giáo viên lựa chọn từ những hoạt động của con người, ưu tiên những hoạt động trong lao động sản xuất, chọn lọc, thiết kế phù hợp với mục đích của bài học nhằm hình thành và khắc sâu tri thức cho học sinh Những tình huống thực tiễn được vận dụng một cách hợp lý trong việc tổ chức thành các hoạt động cho học sinh góp phần vào việc thúc đẩy sự tích cực nhận thức, khám phá kiến thức, cũng như gợi nhu cầu nhận thức từ bên trong trong hoạt động lĩnh hội kiến thức của học sinh Theo những nghiên cứu về Giáo dục toán thực, nhiều tác giả cũng quan niệm: toán học được xem như một hoạt động của con người kết nối với thực tế Thực tế nói đến trong toán học là sự liên quan với các tình huống hàng ngày và tình huống vấn đề

có thật trong não học sinh Bối cảnh vấn đề thực tế là những vấn đề được nhúng trong các tình huống thực tế mà trong đó không có sẵn các thuật toán [17]

Theo các quan điểm trên có thể hiểu tình huống thực tiễn bao gồm tình huống giả định và tình huống thực (gắn với cuộc sống thực của học sinh tại nhà trường, tại địa phương)

Theo ý kiến riêng của tác giả thì thì tình huống thực trong dạy học được đề cập trong luận văn chính là tình huống được hiểu theo nghĩa: gồm các tình huống có thực gắn liền với cuộc sống hàng ngày của người học, những tình huống người học có thể tưởng tượng, đảm bảo phải cụ thể, dễ tiếp nhận, không phải là một chủ đề rộng mà là một sự kiện, kinh nghiệm cụ thể hoặc một vấn đề đương đại Chúng có thể được lấy từ kinh nghiệm, sở thích của chính học sinh hoặc các môn học mà học sinh được học Tình huống thực không thể mơ hồ hay mang tính phi thực tế, tình huống phải hữu ích với học sinh, đem lại giá trị cho người học

Tình huống thực trong dạy học phải được kết hợp với việc giảng dạy một kiến thức hoặc một kỹ năng nhất định Tình huống thực đó có thể là một tình huống thực tế tồn tại bên ngoài lớp học gắn bó với đời sống của HS, cũng có thể là những tình huống

HS được làm việc với những vật thật, đồ dùng thực tế hay mô hình trực quan thật ngay

Chẳng hạn như khi xây dựng tình huống thực trong dạy học trong bài học “Khái niệm về thể tích khối đa diện”, GV có thể đưa ra tình huống tính thể tích của một bể nước, lượng bê tông của một công trình,… tại gia đình hoặc cũng có thể cho HS làm việc với những mô hình vật thật hoặc mô hình trực quan liên quan đến các khối đa diện ngay tại trong lớp học HS có thể thao tác trực tiếp với các đối tượng vật thật trong các tình huống đó và thể hiện được kĩ năng, kĩ xảo cũng như kiến thức về đối tượng hình học được đề cập đến

Trong dạy học không thể lúc nào cũng có đủ các tình huống thực phù hợp chứa nội dung bài học mà lại đảm bảo các yếu tố như: thu hút học sinh, thời lượng tiết dạy, điều kiện về cơ sở vật chất,…Nên nhiều khi GV phải thiết kế các tình huống giả định hoặc sử dụng môi trường ảo (trên các phần mềm máy tính) để giúp HS có thể tưởng tượng ra đối tượng hoặc tình huống thực tế có liên quan Mặc dù các tình huống hoặc bối cảnh đó không được coi là tình huống thực nhưng cũng là một công cụ hỗ trợ đặc lực trong việc dạy học dựa trên các tình huống thực Tuy nhiên, cần đảm bảo các tình huống giả định và môi trường ảo tương đối gần gũi với HS, phải có tính chất đặc trưng giống với đối tượng thực để giúp HS có thể tưởng tượng được đối tượng thực và nắm bắt được tình huống thực

Tình huống thực có thể dùng để gợi động cơ học tập, được nêu ra khi bắt đầu một khái niệm kiến thức mới Tình huống này phải đảm bảo tính chân thực, tạo niềm tin gây hứng thú cho học sinh Khi thiết kế những tình huống thực dùng để gợi động cơ học tập có thể có câu trả lời ngay để dẫn vào khái niệm kiến thức hay có thể bỏ lửng câu trả lời cho đến khi học sinh tiếp thu đủ kiến thức và tự tìm câu trả lời Tình huống thực cũng có thể dùng trong hoạt động hình thành kiến thức, giúp học sinh rút ra được kiến thức, khái niệm hay quy tắc lý thuyết, thực hành Tình huống được nêu ra khi bắt đầu quá trình khám phá kiến thức Trong hoạt động luyện tập, vận dụng và tìm tòi mở rộng, tình huống thực sẽ được nêu ra sau khi đã học xong phần kiến thức nào đó nhằm giúp học sinh ghi nhớ, nắm vững những kiến thức đã học trước đó

Tình huống thực trong dạy học có thể là những tình huống thực tế chứa dựng nội dung của một môn học nhất định hoặc những tình huống liên môn chứa nội dung của nhiều môn học, nhiều lĩnh vực trong đời sống thực

1.2.2 Dạy học toán dựa trên tình huống thực

Toán học là một môn khoa học về những quan hệ số lượng và những hình dạng không gian của thế giới thực Để có thể nghiên cứu các quan hệ và hình dạng đó dưới dạng thuần túy cần tách chúng ra khỏi cái vỏ cụ thể chứa đựng chúng, vì vậy đặc điểm của Toán học là hết sức trừu tượng Song tính trừu tượng này không có nghĩa là toán học tách rời khỏi hiện thực vật chất [11] Toán học có nguồn gốc từ thực tế cuộc sống nên sự phát triển toán học sẽ hướng tới mục tiêu là phục vụ cuộc sống của con người Ngày nay có rất nhiều phương pháp giáo dục toán học mới được hình thành, với mong muốn môn Toán trong trường học trở nên thực tiễn hơn, phù hợp hơn, có ý nghĩa hơn với đông đảo học sinh Giáo dục toán thực là một trong những lý thuyết giáo dục đáp ứng được nhu cầu trên

Giáo dục toán thực là một lý thuyết giáo dục toán học được bắt đầu hình thành và nghiên cứu ở Hà Lan vào khoảng năm 1968 dựa trên quan điểm của nhà toán học, nhà tâm lý học Hans Freudenthal Ông coi toán học như một hoạt động của con người và học sinh cần được học toán trong “bối cảnh”, toán học phải được kết nối với thực tế, gần gũi với trẻ em và phù hợp với xã hội, để trở thành giá trị của con người

Theo nhiều nghiên cứu thì giáo dục toán thực chính là việc dạy học toán học với

5 yếu tố cơ bản: sử dụng bối cảnh (contexts), chiến lược hoạt động (strategies), sử dụng

mô hình hay sơ đồ biểu diễn (models and diagram), sự tương tác (interation), vật liệu

và đồ dùng đặc biệt (structured materials) Từ tình huống thực tiễn hay bối cảnh thực tiễn, người học sẽ tiến hành hoạt động hiểu tình huống và đưa về mô hình của tình huống, sau đó người học sẽ tiến hành hoạt động toán học hóa để đưa mô hình của tình huống về mô hình toán học của tình huống Tiếp đó là hoạt động toán học (giải toán,

tư duy toán học, ), hoạt động thông dịch (chuyển dịch kết quả toán học về kết quả thực của tình huống) và hoạt động xác nhận [16]

Trong các yếu tố trên thì “học toán trong bối cảnh” được đặc biệt quan tâm Việc

sử dụng bối cảnh trong giảng dạy toán học không phải là một ý tưởng mới, các bối cảnh thường được sử dụng như một phương tiện để cung cấp những lời giới thiệu thú

vị về các chủ đề của tiết học và sau đó để thử nghiệm xem học sinh có thể sử dụng các

dục toán học thực thì ngữ cảnh không chỉ được sử dụng như một phương tiện để áp dụng toán học mà nó còn được coi là điểm khởi đầu và là nguồn gốc cho học toán Các ngữ cảnh được cẩn thận lựa chọn để khuyến khích học sinh phát triển các chiến lược

và các mô hình hữu ích trong quá trình học toán, những ngữ cảnh này cần phải thực tế

về mặt kinh nghiệm đối với học sinh để chúng có thể tham gia vào hoạt động toán học

có mục đích Ở các cấp học thấp thì chúng ta thường có thể đễ dàng sử dụng các tình huống thực tế làm bối cảnh, nhưng ở các cấp học cao hơn không phải lúc nào cũng có sẵn các tình huống trong thực tế phù hợp với nội dung toán học mà chúng ta giảng dạy Trong tình huống này chúng ta nên nhìn nhận sự phát triển lịch sử của chủ đề và cố gắng xem nơi mà nhu cầu về toán học lần đầu tiên xuất hiện, điều này phù hợp với ý tưởng coi giáo dục là nơi tạo cơ hội để học sinh được hướng dẫn “phát minh lại” Ngữ cảnh có tiềm năng tạo ra các mô hình toán học linh hoạt, ngữ cảnh có thể được lấy từ thế giới thực, từ sự tưởng tượng, hoặc một lĩnh vực toán học mà học sinh đã quen thuộc, quan trọng là học sinh có thể tưởng tượng và tham gia vào các tình huống này

Các yếu tố còn lại cũng đóng vai trò hết sức quan trọng Trong giáo dục toán thực,

mô hình thể hiện sự “hiểu” thực tế Ban đầu người học có thể sử dụng mô hình hoạt động cá nhân, giống thực tế nhưng sau đó chúng có thể phát triển thành những mô hình phù hợp với lập luận toán học ngày càng trừu tượng Một thuật ngữ thường được quan tâm trong giáo dục toán thực đó là “hình thức hóa lũy tiến”, nó mô tả một trình tự học bắt đầu bằng các chiến lược và kiến thức không chính thức về mặt toán học, sau đó nó phát triển thành các phương pháp gần chính thức vẫn được liên kết với những kinh nghiệm thực tiễn, cuối cùng chúng sẽ tạo thành các kiến thức chính thức và trừu tượng

Để quan tâm đến yếu tố “chiến lược” khi dạy toán cho học sinh có phải chúng ta nên tự hỏi: học sinh có những suy nghĩ như thế nào? Chúng thực sự giải quyết các vấn

đề toán học như thế nào? Cách giải quyết đó có như chúng ta hướng dẫn cho chúng không? Học sinh có hứng thú với các chiến lược hay không? Học sinh có tự chọn chiến lược giải quyết riêng cho mình hay không? Có phải tất cả các học sinh đều phải học các chiến lược khác nhau không?

“Sự tương tác” ở đây được hiểu gồm hai loại: tương tác dọc (vertical interation) giữa giáo viên với các học sinh, người học đặt câu hỏi và giáo viên là người giải thích,

giáo viên cố gắng kích hoạt người học bằng các câu hỏi kích thích và câu hỏi mở; tương tác ngang (horizontal interation) giáo viên đưa ra một vấn đề cho người học, người học

cố gắng giải quyết vấn đề này bằng cách hợp tác với nhau, giáo viên quan sát các thành viên để sau đó đưa ra những nhận xét, đánh giá Cuối cùng, giáo dục toán thực sẽ sử dụng các vật liệu đặc trưng với mục đích xây dựng các cấu trúc trong tâm trí học sinh, học sinh cần phải có được hình ảnh của các đại lượng để tạo ra sự tưởng tượng cần thiết Mỗi chủ đề toán học lại đòi hỏi có những vật liệu, đồ dùng thích hợp [26]

Hình 1.2 Hình ảnh về một mô hình bài học theo giáo dục toán thực

Có thể hình dung việc học tập theo giáo dục toán thực như phép ẩn dụ “tảng băng trôi” Trong đó, toán học chính thức có thể nhìn thấy trên mặt nước, còn phía dưới có rất nhiều ngữ cảnh ấn chứa làm nền tảng cho nó Các nhà nghiên cứu đã đưa ra 4 mức

độ của mô hình bài học toán thực tế: mức độ tình huống- concrete level (những kiến thức, chiến lược được tình huống hóa trong bối cảnh của tình huống); mức độ mô hình của tình huống (những mô hình toán học và chiến lược của tình huống được mô tả trong vấn đề, tình huống); mức độ mô hình cho bối cảnh, tình huống-model level (hỗ trợ suy nghĩ, chiến lược thông qua các mô hình); mức độ toán học thuần túy-formal level (trừu tượng hóa kinh nghiệm, giải toán với các quy tắc và kí hiệu toán học)[15]

V=a.b.c; V=a 3

Dạy học gắn với các tình huống thực về bản chất chính là giáo dục toán thực nhìn theo hướng quan tâm đến học toán gắn với bối cảnh thực Thông qua các tình huống thực HS có thể lĩnh hội kiến thức toán học và phát triển năng lực của bản thân

1.2.3 Dạy toán gắn với các tình huống thực theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

“Bản chất của giáo dục theo hướng phát triển năng lực là lấy năng lực làm cơ

sở (tham chiếu) để tổ chức chương trình và thiết kế nội dung học tập Điều này cũng

có nghĩa là năng lực của học sinh sẽ là kết quả cuối cùng cần đạt được của quá trình dạy học hay giáo dục, nói cách khác thành phần cuối cùng và cơ bản của mục tiêu giáo dục là các phẩm chất và năng lực của người học Năng lực vừa được coi là điểm xuất phát đồng thời là sự cụ thể hóa của mục tiêu giáo dục Vì vậy những yêu cầu về phát triển năng lực học sinh cần được đặt đúng chỗ của chúng trong mục tiêu giáo dục” [12] Dạy học phát triển năng lực cho học sinh cần chú ý:

- Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành phát triển nhờ tố chất có sẵn và quá trình học tập, rèn luyện do đó học sinh phải được học tập và rèn luyện trong hoạt động và bằng hoạt động, không chỉ ở nhà trường mà còn dưới tác động của gia đình,

xã hội, chính trị, tôn giáo, văn hóa

- Dạy học theo hướng phát triển năng lực của học sinh cần lấy việc học của học sinh làm trung tâm; chú ý tới mỗi cá nhân học sinh giúp họ tự tin phát triển

- Cần chú ý đến những gì người học có thể làm được sau khi kết thúc chương trình học hoặc kết thúc bài học, nhấn mạnh đến khả năng thực tế

- Giáo viên là người thiết kế, tổ chức và hướng dẫn học sinh tích cực, tự lực thực hiện các nhiệm vụ học tập Mỗi học sinh sẽ tự tìm tòi, khám phá làm chủ tri thức và vận dụng giải quyết các tình huống trong thực tế cuộc sống, có thể tổ chức cho cá nhân

tự học hoặc theo nhóm hoặc theo sở thích, mối quan tâm riêng của người học

- Môi trường học tập phải tạo điều kiện tương tác tích cực giữa học sinh với học sinh, giữa giáo viên với học sinh thúc đẩy và tạo cho học sinh hiện thực hóa năng lực của mình thông qua quan sát, tìm tòi và khám phá, sáng tạo

- Tăng cường việc sử dụng công nghệ, thiết bị dạy học hiện đại nhằm tối ưu hóa

việc phát huy năng lực của người học

Một số đặc điểm dạy học môn Toán theo hướng phát triển năng lực [12]:

- Năng lực toán học không chỉ bao hàm kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mà còn cả động cơ, thái độ, hứng thú và niềm tin trong học toán Muốn có năng lực toán học học sinh phải rèn luyện thực hành, trải nghiệm trong học tập môn Toán

- Nhấn mạnh đến kết quả đầu ra dựa trên những gì người học làm được, có tính đến khả năng thực tế của học Khuyến khích người học khám phá tri thức toán học và vận dụng vào thực tiễn Đích cuối cùng cần đạt là phải hình thành được năng lực học tập môn Toán ở học sinh

- Nhấn mạnh đến cách học, yếu tố tự học của người học Giáo viên là người hướng dẫn và thiết kế, còn học sinh phải tự xây dựng kiến thức và hiểu biết toán học

- Xây dựng môi trường dạy học tương tác tích cực Phối hợp các hoạt động tương tác của học sinh giữa các cá nhân, cặp đôi, nhóm hoặc hoạt động chung cả lớp và hoạt động tương tác giữa giáo viên và học sinh trong quá trình dạy học môn Toán

- Khuyến khích việc ứng dụng công nghệ, thiết bị dạy học môn Toán đặc biệt là ứng dụng công nghệ và thiết bị dạy học hiện đại nhằm tối ưu hóa việc phát huy năng lực của người học

- Do đặc điểm dạy học môn toán theo hướng phát triển năng lực như trên nên trong quá trình dạy học khi biết vận dụng hợp lý các tình huống thực buộc học sinh phải phân tích, thảo luận, tự rút ra những khái niệm liên quan và vận dụng kiến thức để giải quyết vấn đề trong thực tiễn cuộc sống Lưu ý rằng việc tổ chức tạo ra bối cảnh sư phạm, trong đó HS làm việc, tương tác với các đồ vật thật, mô hình hình học dạng vật chất như các lọ hoa, khối gỗ, các mô hình bằng bìa,…cũng sẽ là những bối cảnh thực Quá trình suy nghĩ, tranh luận, bảo vệ các giải pháp chính là học sinh đã tham gia vào quá trình nhận thức và giúp học sinh phát triển năng lực của bản thân

Dạy học gắn với các tình huống thực sẽ giúp học sinh thực hành, luyện tập nhiều hơn; học sinh sẽ có kĩ năng lắng nghe và đặt câu hỏi; giáo viên sẽ tạo điều kiện cho học sinh có thời gian suy nghĩ và thảo luận giữa các học sinh; học sinh sẽ học hỏi được lẫn nhau, học sinh sẽ được đóng góp ý kiến và tự tin tham gia vào các cuộc tranh luận dân

chủ, toán học; học sinh lí giải được toán học là gì và từ đó sáng tạo toán học theo cách của bản thân; học sinh được tiếp xúc với thử nghiệm và khám phá việc giải quyết vấn

đề toán học, toán học trở thành kinh nghiệm và quan điểm hàng ngày của học sinh Một số yêu cầu khi xây dựng tình huống thực khi dạy học:

1/ Tình huống phải gắn tới cuộc sống thực của HS tại trường, tại địa phương của trường đóng

2/ Tình huống phải có vấn đề, HS phải phân tích tình huống, quan sát, từ đó rút ra các

dữ liệu cần thiết để đi đến một mô hình Toán học

3/ Tình huống và việc tổ chức cho HS giải quyết tình huống phải nhằm mục đích hình thành một khái niệm mới, tính chất mới hoặc củng cố một phương pháp, công thức tính toán theo quy định của chương trình dạy học chủ đề đã cho

4/ Tình huống được xây dựng phải mang tính tích hợp, ngoài vận dụng các kiến thức toán học, HS vận dụng kinh nghiệm thực tiễn của từng cá nhân, sử dụng các kĩ năng thực tế như quan sát, tưởng tượng không gian, huy động các kĩ năng như thực hiện đo đạc, sử dụng một số công cụ,…

1.3 Nội dung dạy học chủ đề hình học không gian lớp 12 và cơ hội tổ chức các tình huống thực cho học sinh

1.3.1 Nội dung dạy học chủ đề hình học không gian lớp 12

Trong chương trình Toán trung học phổ thông hiện hành [2], nội dung hình học

không gian lớp 12 cụ thể như sau:

Bảng 1.2 Nội dung dạy học Chương I, II trong chương trình Hình học lớp 12

- Biết khái niệm

khối lăng trụ, khối

Hình đa diện là hình được

tạo thành từ một số hữu hạn các miền đa giác thỏa mãn hai tính chất:

- Hai miền đa giác bất kỳ hoặc không có điểm chung

- Chứng minh tính chất liên quan đến số đỉnh, cạnh, mặt của một khối đa diện

- Chứng minh hai đa diện bằng nhau

- Phân chia lắp ghép các khối

đa diện

hai khối đa diện

hoặc có một điểm chung hoặc có một cạnh chung

- Mỗi cạnh của một miền đa giác là cạnh chung của đúng hai miền đa giác

Mỗi miền đa giác như trên gọi là một mặt của đa diện, các đỉnh, các cạnh của các miền đa giác ấy theo thứ tự cũng gọi là đỉnh, cạnh của đa diện

- Một đa diện chia không gian thành hai phần, một phần có thể chứa chọn một đường thẳng, còn phần kia thì không Phần có thể chứa chọn một đường thẳng được gọi là miền ngoài, phần còn lại gọi là miền trong của đa diện đó

Khối đa diện là phần không

gian do một hình đa diện giới hạn cùng với miền trong của

nó kể cả hình đa diện đó

- Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện, những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình

đa diện tương ứng với khối

- Biết phân chia một khối chóp, khối lăng trụ thành một

số khối tứ diện cho trước

Ví dụ:

Hãy phân chia một khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bởi hai mặt phẳng

Ví dụ:

Hãy phân chia khối hộp thành

6 khối tứ diện mà các đỉnh của các khối tứ diện trùng với đỉnh của khối hộp

Ví dụ:

ABCD.A’B’C’D’,

a) Chỉ ra cách chia hình hộp đó thành 2 lăng trụ, 4 lăng trụ b) Chỉ ra cách chia hình hộp đó thành các hình chóp

đa diện ấy gọi là điểm trong của khối đa diện

- Tập hợp các điểm trong chính là miền trong của khối

đa diện tập hợp các điểm ngoài chính là miền ngoài của khối đa diện Mỗi khối

đa diện được hoàn toàn xác định theo hình đa diện tương ứng với nó và ngược lại

- Phân chia và lắp ghép các khối đa diện: nếu một khối

đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H 1 ) và (H 2 ) sao cho (H 1 ) và (H 2 ) không

có điểm trong nào chung thì

ta có thể chia được khối đa

diện (H) thành hai khối đa diện (H 1 ) và (H 2 ), có thể lắp ghép được hai khối (H 1 ) và (H 2 ) với nhau để được khối

đa diện (H)

2 Khối đa diện lồi

và khối đa diện

đều

Về kiến thức:

- Biết khái niệm

khối đa diện đều

- Biết 5 loại khối đa

diện đều

Khối đa diện lồi:

Khối đa diện (H) được gọi là

khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối 2 điểm bất kì của

(H) luôn luôn thuộc (H) Khi

đó hình đa diện (H) được gọi

là hình đa diện lồi

- Tính các yếu tố góc, độ dài,…của khối đa diện đều

- Chứng minh tính chất của khối đa diện đều

- Chứng minh một khối đa diện là khối đa diện đều Lưu ý có 5 loại khối đa diện đều, đó là các khối đa diện đều

trong không gian

Một khối đa diện là lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó

Khối đa diện đều:

Một khối đa diện lồi được gọi là một khối đa diện đều

loại {p; q} nếu mỗi mặt của

nó là một đa diện đều p cạnh,

mỗi đỉnh của nó là đỉnh

chung của đúng q mặt Khối

đa diện đều có các mặt là những đa giác đều và bằng nhau

loại: {3; 3} loại {4; 3}, loại {3; 4}, loại {5; 3}, loại {3; 5}

Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo thứ tự được gọi là: khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều, khối 12 mặt đều và khối 20 mặt đều

Ví dụ:

Cho một khối tứ diện đều Hãy chứng minh rằng:

a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều

b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều

3 Khái niệm về thể

tích khối đa diện

Về kiến thức:

- Biết khái niệm về

thể tích khối đa diện

- Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó:

- Dùng phương pháp thể tích

để giải toán hình học

khối chóp S.ABCD

Ví dụ:

Cho khối hộp ABCD.EFGH có thể tích V Tính thể tích của khối tứ diện G.ABC theo V

Ví dụ:

Trên cạnh PQ của tứ diện MNPQ lấy điểm I sao cho

13

- Tỉ số thể tích của hai khối đa diện đồng dạng bằng lập phương tỉ số đồng dạng

- Cho khối chóp S.ABC trên các đường thẳng SA, SB, SC

lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác S, khi đó:

' ' '

 tạo nên một mặt tròn xoay nhận  làm trục

Đường  sinh ra mặt tròn xoay nên gọi là đường sinh sinh của mặt tròn xoay đó

Tính chất của mặt tròn xoay:

- Nếu cắt mặt tròn xoay bởi một mặt phẳng vuông góc với trục  ta được giao tuyến là một đường tròn có tâm trên 

- Mỗi điểm M trên mặt tròn xoay đều nằm trên một đường tròn thuộc mặt tròn

xoay và đường tròn này có tâm thuộc trục tròn xoay 

Điểm O được gọi là đỉnh,

đường thẳng gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh, góc 2là góc ở đỉnh

của mặt nón tròn xoay

Hình nón tròn xoay:

Cho tam giác OAB vuông tại

I khi quay tam giác đó xung

- Chứng minh một đường thẳng thuộc một mặt nón tròn xoay

- Tìm thiết diện của mặt phẳng với khối nón

- Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón

13 2 Cho biết độ dài các cạnh và diện tích thiết diện tạo thành

Ví dụ: cho một hình nón có

đường cao bằng 12, bán kính đáy bằng 16 Tính diện tích xung quanh của hình nón đó

mặt đáy, điểm O gọi là đỉnh,

độ dài OI gọi là chiều cao và

độ dài OM gọi là đường sinh

là r, độ dài đường sinh bằng

l, thì diện tích xung quanh

của hình nón bằng

xq

S rl

Diện tích toàn phần của hình

nón: diện tích toàn phần của

a, góc SAB bằng 30o Tính diện tích xung quanh và thể tích của

hình nón đỉnh O, đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

Ví dụ: cắt một hình nón bởi

mặt phẳng đi qua trục của nó

ta được thiết diện là tam giác

có một góc bằng 120o và đường cao thuộc góc đó có độ

dài bằng a Tính diện tích xung

quanh của hình nón đó

V  B h

Nếu bán kính đáy bằng r ta

có: 1 2

.3

song với nhau, cách nhau

một khoảng bằng r, khi quay mặt phẳng (P) xung quanh

trục  góc 360o thì đường

thẳng l sinh ra mặt trụ tròn

xoay và được gọi tắt là mặt trụ Đường thẳng  gọi là trục của mặt trụ và đường

thẳng l gọi là đường sinh của

mặt trụ đó

Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay:

- Chứng minh một đường thẳng thuộc một mặt trụ tròn xoay

- Tìm thiết diện của một mặt phẳng với khối trụ

- Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ

Ví dụ:

Cho mặt phẳng (P) và một đường tròn tâm O, điểm M di động trên (O), đường thẳng d

đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) Chứng minh rằng đường thẳng d thuộc mặt trụ

cố định

Ví dụ:

Một khối trụ có chiều cao bằng

12 và bán kính đáy bằng 5 Một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng

là 3 cắt khối trụ theo thiết diện

Ta hãy xét hình chữ nhật

ABCD khi quay hình trụ đó

xung quanh đường thẳng

giữa hai mặt phẳng song

song dựa chứa hai đáy là

chiều cao của hình trụ

Ta gọi mặt đáy, chiều cao,

đường sinh của một hình trụ

theo thứ tự là mặt đáy, chiều

cao, đường sinh của khối trụ

quanh và thể tích của khối trụ

đó

Ví dụ:

Cho hình trụ có bán kính r và đường cao 2r So sánh diện

tích xung quanh của hình trụ

và diện tích mặt cầu có cùng bán kính