Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trong dạy học hình học lớp 12 ở trường trung học phổ thông

Biểu hiện tập trung của năng lực toán học với các thành tố cốt lõi sau: tư duy và lập luận toán học, mô hình hoá toán học, giải quyết vấn đề toán học, giao tiếp toán học, sử dụng các côn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––

TRẦN THỊ THẢO

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 12

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2022

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––

TRẦN THỊ THẢO

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 12

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học Bộ môn Toán

Mã số: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS CAO THỊ HÀ

THÁI NGUYÊN - 2022

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Tất cả số liệu nghiên cứu trong Luận văn là trung thực, các trích dẫn trong Luận văn được thực hiện đúng theo các qui định hiện hành và đều tuân thủ nghiêm ngặt quy trình của một Luận văn khoa học Kết quả nghiên cứu này không trùng lặp với bất cứ công trình

nào đã được công bố trước đây

Nếu có dấu hiệu vi phạm, cắt xén tài liệu từ công trình khác, tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm trước Hội đồng khoa học của nhà trường

Tôi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2022

Tác giả luận văn

Trần Thị Thảo

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS.TS.Cao Thị Hà đã tận

tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các tập thể và cá nhân đã quan tâm và tạo điều

kiện để tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp đã ủng

hộ, động viên, cộng tác và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Xin chân thành cảm ơn!

Tác giả luận văn

Trần Thị Thảo

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 3

5 Giả thuyết khoa học 3

6 Phương pháp thực hiện 3

7 Đóng góp của luận văn 3

8 Cấu trúc của luận văn 4

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Năng lực và dạy học theo hướng tiếp cận phát triển năng lực 5

1.1.1 Năng lực 5

1.1.2 Dạy học theo hướng phát triển năng lực 13

1.2 Năng lực tư duy và lập luận toán học 17

1.2.1 Tư duy 17

1.2.2 Năng lực lập luận toán học 20

1.2.3 Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học 24

1.3 Thực trạng dạy học hình học lớp 12 theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học ở trường phổ thông 32

1.3.1 Mục đích khảo sát 32

1.3.2 Đối tượng khảo sát 32

1.3.3 Nội dung và hình thức khảo sát 32

1.3.4 Kết quả khảo sát 33

1.4 Kết luận chương 1 35

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌCLỚP 12 Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 37

2.1 Nội dung hình học lớp 12 ở trường trung học phổ thông 37

2.2 Một số biện pháp phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trong dạy học hình học lớp 12 ở trường trung học phổ thông 39

2.2.1 Biện pháp 1: Hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh các quy tắc suy luận logic 39

2.2.2 Biện pháp 2: Hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích bài toán, suy luận logic để tìm được nhiều cách giải khác nhau 45

2.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh thói quen không suy nghĩ rập khuôn, máy móc, biết so sánh, phân tích, tổng hợp để học sinh có tư duy logic, xử lí linh hoạt trước những tình huống mới 53

2.2.4 Biện pháp 4: Hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh khả năng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, khả năng lập luận Toán học để giải bài toán và phát biểu các bài toán mới 63

2.2.5 Biện pháp 5: Đưa ra các bài toán thực tế tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào thực tiễn, để học sinh rèn luyện tư duy và lập luận toán học 74

2.3 Kết luận chương 2 76

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 78

3.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 78

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 78

3.2.1 Các giáo án thực nghiệm 78

3.2.2 Bài kiểm tra đánh giá 78

3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 79

3.4 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 79

3.5 Đánh giá kết quả thực nghiệm 79

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1: Các thành tố của năng lực toán học với các tiêu chí, chỉ báo 9

Bảng 3.1: Thống kê các điểm số (Xi) của bài kiểm tra 81

Bảng 3.2: Bảng phân phối tần suất 81

Bảng 3.3: Bảng tổng hợp các tham số 82

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 3.1: Biểu đồ phân bố tần số điểm kiểm tra của hai lớp TN và ĐC 81 Biểu đồ 3.2: Biểu đồ phân phối tần suất 82

PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài

1.1 Ngày nay ở Việt Nam, cũng như ở nhiều nước trên thế giới, giáo dục được coi là quốc sách hàng đầu, là động lực để phát triển kinh tế xã hội Với nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người phát triển toàn diện, phát huy năng lực cá nhân, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng được kiến thức trong tình huống công việc

1.2 Trong chương trình giáo dục phổ thông năm 2018 (chương trình tổng thể)

[1] nêu rõ: “Giáo dục toán học góp phần hình thành và phát triển cho học sinh các

phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học Biểu hiện tập trung của năng lực toán học với các thành tố cốt lõi sau: tư duy và lập luận toán học, mô hình hoá toán học, giải quyết vấn đề toán học, giao tiếp toán học, sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn”

Trong [18] có nêu môn Toán cấp trung học phổ thông nhằm giúp học sinh đạt

mục tiêu:

“Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt:

nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề; sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để hiểu được những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề; thiết lập được mô hình toán học để mô tả tình huống, từ đó đưa ra cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hoá được cho vấn đề tương tự; sử dụng được công cụ, phương tiện học toán trong học tập, khám phá và giải quyết vấn đề toán học.” Như vậy việc phát triển năng lực nói chung và năng lực tư duy hay

lập luận nói riêng là một trong những mục tiêu và nhiệm vụ quan trọng của quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông

1.3 Toán học là môn học có nhiều cơ hội thuận lợi cho việc phát triển tư duy và khả năng lập luận cho học sinh Năng lực tư duy và lập luận toán học đóng một vai trò rất quan trọng đối với quá trình học tập môn toán của học sinh Để phát triển được

năng lực này học sinh cần được rèn luyện các kỹ năng tư duy, kĩ năng lập luận logic và có căn cứ; đây là những kĩ năng cơ bản để người học có thể học tốt môn Toán và qua đó phát triển năng lực trên

1.4 Môn hình học đóng vai trò lớn trong việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán cho học sinh Mặc dù môn hình học mang tính trực quan rõ nét nhưng độ trừu tượng cũng rất cao nên học sinh thường gặp khó khăn trong quá trình học tập Thực tế cho thấy sự yêu thích môn hình của học sinh ít hơn nhiều so với các phân môn toán khác ở phổ thông Do đó, khi dạy học hình học, với các nội dung kiến thức có tính trừu tượng cao, vấn đề cần thiết là giáo viên phải xây dựng hệ hệ thống bài tập để dạy học phù hợp quy luật nhận thức, trình độ, tâm lí của học sinh nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh và cho học sinh thấy được tính ứng dụng thực tiễn cao của môn hình học

1.5 Trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, câu hình học thường có tất cả các mức độ trong đó mức độ vận dụng sử dụng kiến thức tổng hợp nên yêu cầu học sinh phải có năng lực tư duy và lập luận toán học thì mới có thể giải quyết được

Chính vì những lí do trên đây nên tôi chọn đề tài “Phát triển năng lực tư duy

và lập luận toán học cho học sinh trong dạy học hình học lớp 12 ở trường trung học phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở làm rõ về lí luận, đề tài nhằm đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh ở trường trung học phổ thông trong dạy học Hình học lớp 12

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu khái niệm, đặc trưng của năng lực tư duy và lập luận toán học,

cơ sở lí luận của dạy học theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học

cho học sinh

- Nghiên cứu thực trạng dạy học phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh phổ thông

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm để phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua dạy học Hình học 12 ở trường THPT

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính hiệu quả và khả thi của các giải pháp đã đề xuất

4 Đối tượng nghiên cứu

- Khách thể nghiên cứu: Năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh

phổ thông

- Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp dạy học theo định hướng phát triển

năng lực tư duy và lập luận cho học sinh

5 Giả thuyết khoa học

Nếu thực hiện các biện pháp sư phạm đã nghiên cứu trong đề tài trong dạy học hình học lớp 12 hiệu quả thì sẽ phát triển được năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông

6 Phương pháp thực hiện

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về dạy học môn

Toán; các bài viết về khoa học Toán phục vụ cho đề tài; các công trình nghiên cứu về dạy học phát triển tư duy và lập luận toán học cho học sinh

- Phương pháp điều tra - quan sát: Dự giờ, quan sát, điều tra khảo sát bằng

phiếu để tìm hiểu thực trạng dạy học theo định hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận cho học sinh

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học tại trường THPT Minh Hà,

THPT Bạch Đằng để xem xét tính khả thi và hiệu quả của nghiên cứu đã được đề xuất

- Phương pháp thống kê toán học: Phân tích các số liệu điều tra thực trạng và

sau thực nghiệm sư phạm

7 Đóng góp của luận văn

7.1 Những đóng góp về mặt lý luận

- Làm rõ hơn cơ sở lí luận của việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán

học cho học sinh theo chương trình giáo dục phổ thông 2018

7.2 Những đóng góp về mặt thực tiễn

- Cung cấp một số số liệu về thực trạng dạy học Hình học ở lớp 12 trường THPT theo định hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh

- Đề xuất được một số biện pháp sư phạm mang tính khả thi nhằm phát triển năng tư duy và lập luận toán học cho học sinh trong việc dạy học hình học lớp 12 ở trường THPT

- Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập ở trường THPT và cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn đề có liên quan trong luận văn

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung chính của luận văn được trình bày thành ba chương

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp sư phạm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học trong dạy học hình học lớp 12 ở trường trung học phổ thông

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Năng lực và dạy học theo hướng tiếp cận phát triển năng lực

1.1.1 Năng lực

1.1.1.1 Khái niệm năng lực

Về nguồn gốc, khái niệm năng lực (Tiếng Anh: Competency) bắt nguồn từ

tiếng La tinh “competencia” Trên thế giới và tại Việt Nam, có rất nhiều các quan điểm về năng lực

- Theo từ điển Tiếng Việt, NL có hai nghĩa:

(1) Khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó

(2) Phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao [16, tr.656]

- Theo Tâm lí học: "Năng lực là tập hợp các tính chất hay phẩm chất của tâm

lí cá nhân, đóng vai trò là điều kiện bên trong, tạo thuận lợi cho việc thực hiện tốt một dạng hoạt động nhất định" [2]

Các NL hình thành trên cơ sở của các tư chất tự nhiên của cá nhân, nó đóng vai trò quan trọng NL của con người không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do làm việc, do tập luyện tạo nên Tâm lí học chia NL thành các dạng khác nhau như NL chung và NL chuyên môn NL chung và NL chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với nhau, NL chung là cơ sở của NL chuyên môn, nếu chúng càng phát triển thì càng dễ thành đạt được NL chuyên môn Ngược lại sự phát triển của NL chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hưởng đối với sự phát triển của NL chung NL của một người trong mọi hoạt động là nhờ khả năng tự điều khiển, tự quản lí, tự điều chỉnh ở mỗi cá nhân được hình thành trong quá trình sống và tự giáo dục của mỗi người Như vậy, NL là đặc điểm tâm sinh lí của con người chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo tối thiểu, là cái mà người đó có thể dùng khi hoạt động Để nắm được cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của NL ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau:

+ Năng lực là sự khác biệt tâm lí của cá nhân người này khác người kia, nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng như ai thì không thể nói về NL

+ Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kì những sự khác nhau cá biệt chung chung nào

+ Khái niệm NL không liên quan đến những kiến thức kĩ năng, kĩ xảo đã được hình thành ở một người nào đó NL chỉ làm cho việc tiếp thu các kiến thức kĩ năng, kĩ xảo trở nên dễ dàng hơn

Nhưng tựu chung lại, theo [1] “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”

Nghiên cứu về vấn đề phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trong dạy học hình học lớp 12 ở trường trung học phổ thông, tôi đồng tình với quan điểm trong chương trình giáo dục phổ thông 2018 để làm cơ sở cho các biện pháp thược hiện ở chương 2

1.1.1.2 Năng lực toán học

a) Khái niệm năng lực toán học

Trong công trình “Tâm lý năng lực toán học của học sinh” V.A.Cruchetxki định nghĩa: “Những năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học”

Năng lực toán học thì được hiểu theo hai cách

+ Theo cách hiểu thứ nhất, năng lực toán học là khả năng thể hiện những sáng tạo trong quá trình nghiên cứu toán học (coi toán học là một lĩnh vực khoa học), ở đó người nghiên cứu tức chủ thể sáng tạo bằng tài năng toán học của mình đúc kết ra những sản phẩm khoa học có ý nghĩa ứng dụng trongthực tế cũng như cung cấp thêm tri thức cho lĩnh vực nghiên cứu toán học, giúp lĩnh vực ngày càng phát triển

+ Ở cách hiểu thứ hai, gắn với lĩnh vực giáo dục, năng lực toán học của người học (học sinh) là khả năng nắm bắt những khái niệm, công thức, mối quan hệ, định lý, tính chất,…về toán học Khả năng này đều có ở mỗi học sinh nhưng khác nhau về mức độ, học sinh có năng lực toán học càng cao thì càng nhanh nhạy trong quá trình vận dụng kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo để tính toán và tính toán một cách chính xác cũng như có khả năng tiếp thu tri thức toán học mới một cách nhanh chóng

Năng lực toán học có nhiều cách biểu hiện khác nhau tùy theo cách nhìn nhận của mỗi người nhưng theo các tác giả [1] “Năng lực toán học” (mathematical competence) là một loại hình năng lực đặc thù, gắn liền với môn học Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học Hiệp hội giáo viên Toán Mĩ (NCTM) mô tả: “Năng lực toán là cách thức nắm bắt và sử dụng nội dung kiến thức toán” Theo [31] Blomhøj & Jensen cho rằng “Năng lực toán học là khả năng sẵn sàng hành động để đáp ứng với thách thức toán học của các tình huống nhất định” Theo [31] Niss đã viết “Năng lực toán học như khả năng của cá nhân để sử dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học (để hiểu, quyết định và giải thích)” Niss cũng xác định tám thành tố của năng lực toán học và chia thành hai cụm

+ Cụm thứ nhất bao gồm: năng lực tư duy toán học (mathematical thinking competency); năng lực giải quyết vấn đề toán học (problems tackling competency); năng lực mô hình hóa toán học (modelling competency); năng lực suy luận toán học (reasoning competency)

+ Cụm thứ hai bao gồm: năng lực biểu diễn (representing competency); năng lực sử dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức (symbols and formalism competency); năng lực giao tiếp toán học (communicating competency); năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán (aids and tools competency)

Tám năng lực đó tập trung vào những gì cần thiết để cá nhân có thể học tập và ứng dụng toán học Các năng lực này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau

b) Các thành tố và yêu cầu cần đạt của năng lực toán học

Theo [1] khi phân tích các nghiên cứu quốc tế, tác giả nhận thấy các nước đều xem xét việc phân chia thành một số thành tố then chốt của năng lực toán học Tổ

chức PISA coi các thành tố của năng lực toán học là: “Năng lực tư duy và suy luận; năng lực lập luận; năng lực mô hình hoá; năng lực đặt và giải quyết vấn đề; năng lực giao tiếp; năng lực biểu diễn; năng lực sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu hình thức; năng lực sử dụng các phương tiện hỗ trợ và công cụ” Trong khi đó Hiệp hội giáo viên toán của Mĩ thì lại chia thành: “giải quyết vấn đề; suy luận và chứng minh; giao tiếp; kết nối; biểu diễn” Singgapore lại đề cao tính ứng dụng trong thực tế nên chia thành “Năng lực suy luận; năng lực áp dụng kiến thức toán học và mô hình hoá; năng lực giao tiếp và kết nối”

Ở Việt Nam trong những năm gần đây, cũng có rất nhiều những công trình nghiên cứu về năng lực toán học Theo tác giả Trần Kiều [7] “Các NL cần hình thành và phát triển cho người học qua dạy học môn toán trong trường phổ thông Việt Nam là: năng lực tư duy; năng lực giải quyết vấn đề; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giao tiếp; năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện học tập; năng lực học tập độc lập và hợp tác”

Trước hết, mục đích then chết của việc học toán là để trở thành những con người “thông minh hơn”, biết cách suy nghĩ, giải quyết các vấn đề trong học tập và đời sống Muốn vậy, mỗi người cần biết cách “chuyển dịch”, mô tả các tình huồng (có ý nghĩa toán học) đặt ra trong thực tiễn phong phú sang một bài toán hay một mô hình toán học thích hợp, tìm cách giải quyết các vấn để toán học trong mô hình được thiết lập, từ đó đối chiếu, giải quyết các vấn đề thực tiễn đề ra Mặt khác, việc giải quyết các vấn để toán học gắn liền với việc đọc hiểu, ghi chép, trình bày, diễn đạt các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận, phản biện) với người khác, gắn liền với việc sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể Hơn nữa, năng lực toán học còn được thể hiện ở việc sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phương tiện học toán, đặc biệt là phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học

Cùng với những phân tích ở trên, để đưa ra quan niệm về năng lực toán học, tôi chọn cách tiếp cận phổ biến của các tổ chức và các quốc gia trên thế giới, đó là tiếp cận theo cách nghiên cứu các thành tố của năng lực toán học

Vì vậy, trong nghiên cứu này tôi dựa vào Chương trình Giáo dục phổ thông mới khi quan niệm năng lực toán học bao gồm các thành tố: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn để toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán Mỗi một thành tố của năng lực toán học cần được biểu hiện cụ thể bằng các tiêu chí, chỉ báo được minh hoạ trong bảng 1.1 [1]

Bảng 1.1 Các thành tố của năng lực toán học với các tiêu chí, chỉ báo

- Thực hiện được các thao tác tư duy như: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự; quy nạp, diễn dịch

- Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát trong việc giải quyết vấn đề

- Giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học

- Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học

Các thành tố của năng lực

toán học

Các tiêu chí, chỉ báo Yêu cầu cần đạt ở cấp THPT

- Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

- Giải quyết được vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập - Thể hiện và đánh giá được lời

giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

- Lý giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá, ) để đưa đến những bài toán giải được

3 Năng lực giải quyết vấn đề toán học

- Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học

- Xác định được tình huống có vấn đề; thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh giá được độ tin cậy của thông tin; chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác

- Lựa chọn, đề xuất được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề

- Lựa chọn và thiết lập được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề

- Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra

- Thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề

- Đánh giá được giải pháp đề ra và khái quát hoá được cho vấn đề tương tự

- Đánh giá được giải pháp đã thực hiện; phản ánh được giá trị của giải pháp; khái quát hoá được cho vấn đề tương tự

- Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin toán học cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc viết ra

- Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép (tóm tắt) được tương đối thành thạo các thông tin toán học cơ bản, trọng tâm trong văn bản nói hoặc viết Từ đó phân tích, lựa chọn, trích xuất được các thông tin toán học cần thiết từ văn bản nói hoặc viết

- Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác)

- Lý giải được ( một cách hợp lí) việc trình bày, diễn đạt, thảo luận, tranh luận các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác

- Sử dụng được hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic, ) kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác

- Sử dụng được một cách hợp lí ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường để biểu đạt cách suy nghĩ, lập luận, chứng minh các khẳng định toán học

- Thể hiện được sự tự tin khi trình bày, diễn đạt, nêu câu hỏi, thảo luận, tranh luận các nội dung, ý tưởng liên quan đến toán học

- Thể hiện được sự tự tin khi trình bày, diễn đạt, thảo luận, tranh luận, giải thích các nội dung toán học trong nhiều tình huống không quá phức tạp

bảo quản các đồ dùng, phương tiện trực quan thông thường, phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt là phương tiện sử dụng công nghệ thông tin), phục vụ cho số, mô hình góc và cung lượng giác, mô hình các hình khối, bộ dụng cụ tạo mặt tròn xoay, )

- Sử dụng được các công cụ, phương tiện học toán, đặc biệt là phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi)

- Sử dụng được máy tính cầm tay, phần mềm, phương tiện công nghệ, nguồn tài nguyên trên mạng Internet để giải quyết dụng các công cụ, phương tiện học toán trong tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học

Tùy vào từng đối tượng học sinh, yêu cầu cần đạt của từng khối lớp, năng lực toán học của mỗi học sinh được biểu hiện ở các mức độ khác nhau Cũng có nhiều năng lực có biểu hiện tương đồng với năng lực tư duy và lập luận toán học Để phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học, thông qua quá trình phân tích, lập luận và đưa ra phương án giải quyết học sinh có cơ hội được phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học Điều này cũng giống với biểu hiện của năng lực tư duy và lập lập toán học nhưng ở mức độ yêu cầu thấp hơn Đối với việc phát triển năng lực mô hình hóa toán học, yêu cầu học sinh phải biết tìm hiểu, phân tích vấn đề chưa có cách giải quyết, học sinh lập luận tìm cách đưa vấn đề về mô hình toán học để đưa ra cách giải

quyết, qua đó học sinh có cơ hội được phát triển năng lực mô hình hóa toán học Những biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học sẽ được phân tích, miêu tả

cụ thể theo các mức độ và sẽ trình bày ở các mục tiếp theo của luận văn

1.1.2 Dạy học theo hướng phát triển năng lực

1.1.2.1 Quan điểm dạy học theo hướng phát triển năng lực

Theo Đặng Thành Hưng (2014): “Bản chất của giáo dục theo tiếp cận năng lực là lấy năng lực làm cơ sở (tham chiếu) để tổ chức chương trình và thiết kế nội dung học tập Điều này cũng có nghĩa là năng lực của học sinh sẽ là kết quả cuối cùng cần đạt được của quá trình dạy học hay giáo dục Nói cách khác, thành phần cuối cùng và cơ bản của mục tiêu giáo dục là các phẩm chất và năng lực của người học Năng lực vừa được coi là điểm xuất phát đồng thời là sự cụ thể hoá của mục tiêu giáo dục Vì vậy, những yêu cầu về phát triển năng lực học sinh cầnđược đặt đúng chỗ của chúng trong mục tiêu giáo dục”

Theo Đỗ Đức Thái [22] Dạy học theo hướng tiếp cận phát triển năng lực nhấn mạnh:

+ Muốn có năng lực, học sinh phải học tập và rẻn luyện trong hoạt động và bằng hoạt động Mặt khác, các năng lực được hình thành trong quá trình dạy học và không chỉ ở nhà trường mà còn dưới tác động của gia đình, xã hội, của chính trị, tôn giáo, văn hoá,

+ “Lấy việc học của học sinh làm trung tâm”, chú ý tới mỗi cá nhân học sinh, giúp họ tự tìm tòi, khám phá, làm chủ tri thức và vận dụng vào giải quyết các tình huống thực tế cuộc sống, qua đó có thể rút ra kinh nghiệm và tri thức cho riêng mình + Kết quả đầu ra của người học, những gì người học làm được sau khi kết thúc chương trình học hoặc kết thúc bài học, nhấn mạnh đến khả năng thực tế của học sinh

+ Cách học, yếu tố tự học của người học Thay vì lối dạy truyền thống thầy giảng trò nghe có thể tổ chức cho cá nhân tự học, học theo nhóm, học theo sở thích và mỗi quan tâm riêng của người học,

+ Giáo viên là người thiết kế, tổ chức và hướng dẫn học sinh tích cực, tự lực thực hiện các nhiệm vụ học tập

+ Môi trường dạy học phải tạo điều kiện tương tác tích cực giữa học sinh với học sinh, giữa giáo viên và học sinh, thúc đẩy và tạo cho học sinh hiện thực hoá năng lực của mình thông qua quan sát, tìm tòi, khám phá, sáng tạo

+ Khuyến khích việc ứng dụng công nghệ, thiết bị dạy học (đặc biệt là ứng dụng công nghệ và thiết bị dạy học hiện đại) nhằm tối ưu hoá việc phát huy năng lực của người học

1.1.2.2 Đặc điểm của dạy học theo hướng phát triển năng lực toán học

Theo Đỗ Đức Thái [22] Dạy học theo tiếp cận năng lực toán học nhấn mạnh

các đặc điểm:

+ Năng lực toán học không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo, mà còn cả động cơ, thái độ, hứng thú và niềm tin trong học toán Muốn có năng lực toán học, học sinh phải rèn luyện, thực hành, trải nghiệm trong học tập môn Toán

+ Nhấn mạnh đến kết quả đầu ra, dựa trên những gì người học làm được (có tính đến khả năng thực tế của học sinh) Khuyến khích người học tìm tòi, khám phá trí thức toán học và vận dụng vào thực tiễn Đích cuối cùng cần đạt là phải hình thành được năng lực học tập môn Toán ở học sinh

+ Nhấn mạnh đến cách học, yếu tố tự học của người học Giáo viên là người hướng dẫn và thiết kế, còn học sinh phải tự xây dựng kiến thức và hiểu biết toán học của riêng mình

+ Xây dựng môi trường dạy học tương tác tích cực Phối hợp các hoạt động tương tác của học sinh giữa các cá nhân, cặp đôi, nhóm hoặc hoạt động chung cả lớp và hoạt động tương tác giữa giáo viên và học sinh trong quá trình dạy học môn Toán

+ Khuyến khích việc ứng dụng công nghệ, thiết bị dạy học môn Toán (đặc biệt là ứng dụng công nghệ và thiết bị dạy học hiện đại) nhằm tối ưu hoá việc phát huy năng lực của người học

1.1.2.3 Yêu cầu dạy học môn Toán theo hướng tiếp cận phát triển năng lực

Theo Đỗ Đức Thái [22], dạy học theo tiếp cận năng lực toán học đòi hỏi phải đáp ứng các yêu cầu sau:

+ Trước hết cần xác định các yêu cầu về năng lực toán học (mức độ phát triển ở từng lớp và của cả cấp Trung học phổ thông) mà người học cần phải có trong quá

trình học tập ở nhà trường và để hoạt động hữu ích, có hiệu quả trong thực tế đời sống Tiếp theo, khi xác định các yếu tố của quá trình dạy học như: mục tiêu dạy học, phạm vi và mức độ nội dung dạy học, phương pháp và hình thức tổ chức dạy học, cách thức đánh giá kết quả học tập đều phải được đối chiếu với các yêu cầu của năng lực toán học cần hình thành và phát triển ở học sinh và cái đích cuối cùng (kết quả đầu ra cần đạt là phải hình thành được năng lực học tập môn toán ở các em)

Trong chương trình môn toán 2018 đã chỉ rõ yêu cầu cần đạt của nội dung dạy học về quan hệ vuông góc, hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình chóp đều như sau:

- Nhận biết được hai mặt phẳng vuông góc trong không gian - Xác định được điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

- Giải thích được tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc

- Giải thích được tính chất cơ bản của hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình chóp đều

- Vận dụng được kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc để mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn

+ Chọn lựa và tổ chức nội dung dạy học không chỉ dựa vào tính hệ thống, logic của khoa học toán học mà ưu tiên những nội dung phù hợp trình độ nhận thức của học sinh trung học phổ thông, thiết thực với đời sống thực tế hoặc có tính tích hợp, liên môn, góp phân giúp học sinh hình thành, rèn luyện và làm chủ các “kĩ năng sống”.Trong chương trình môn toán 2018 đã xây dựng một số chuyên đề học tập để học sinh lựa chọn và trải nghiệm

- Lớp 10: Chuyên đề 10.3: Ba đường conic và ứng dụng - Lớp 11: Chuyên đề 11.1: Phép biến hình phẳng

Chuyên đề 11.2: Một số yếu tố vẽ kĩ thuật

+ Tập trung vào đánh giá sự phát triển năng lực học tập môn Toán của người học bằng nhiều hình thức: tự đánh giá, đánh giá thường xuyên, đánh giá định kì, đánh giá thông qua sản phẩm của học sinh, Tăng cường quan sát, nhận xét cụ thể bằng lời, động viên, giúp học sinh tự tin, hứng thú, tiến bộ trong học tập môn Toán

+ Ở Trung học phổ thông, việc tăng cường gắn kết giữa nhà trường và gia đình cũng là yếu tố quan trọng thúc đẩy sự phát triển năng lực học tập môn Toán của học sinh + Ngoài ra, do việc hình thành, phát triển các năng lực đòi hỏi sự vận dụng phối hợp các kiến thức, kĩ năng, nên khi xây dựng chương trình hoặc thiết kế bài học môn Toán cần chú ý tới tính tổng thể, tính tích hợp, liên môn Logic khoa học toán học không phải là yếu tố duy nhất chi phối việc tổ chức nội dung chương trình môn Toán và nội dung bài học môn Toán Không đặt vấn đề chú trọng tới việc cùng cấp nhiều kiến thức toán học thuần tuý mà chú ý lựa chọn, tổ chức các nội dung học toán một cách hợp lí, tạo cơ sở cho việc phát triển các năng lực của học sinh Cần đổi mới cách quản lí cũng như linh hoạt trong việc thực hiện chương trình dạy học Chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực không quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định những kết quả đầu ra mong muốn của quá trình dạy học, trên cơ sở đó đưa ra những hướng dẫn chung về việc lựa chọn nội dung, phương pháp, hình thức tổ chức và đánh giá kết quả dạy học nhằm đảm bảo thực hiện được mục tiêu dạy học Học sinh cần đạt được những kết quả theo yêu cầu đã quy định trong chương trình Việc đưa ra yêu cầu cần đạt về năng lực, phẩm chất, về nội dung cũng là công cụ nhằm đảm bảo quản lí chất lượng giáo dục theo định hướng kết quả đầu ra

Như chúng ta đều biết và thừa nhận rằng mỗi học sinh là một cá thể độc lập, có sự khác biệt về trình độ, năng lực, nhu cầu, sở thích và nền tảng xuất thân Dạy học theo định hướng phát triển năng lực thừa nhận thực tế này và tìm ra được những cách tiếp cận phù hợp nhằm phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất với mỗi học sinh thay vì giáo dục chủ yếu trang bị kiến thức như ở mô hình dạy học truyền thống

Theo đó, dạy học theo hướng phát triển năng lực là mô hình dạy học hướng

tới mục tiêu phát triển tối đa phẩm chất và năng lực của người học thông qua cách thức tổ chức các hoạt động học tập độc lập, tích cực, sáng tạo của học sinh dưới sự tổ chức, hướng dẫn và hỗ trợ hợp lý của giáo viên Trong mô hình này, người học có thể thể hiện sự tiến bộ bằng cách chứng minh năng lực của mình Điều đó có nghĩa là người học phải chứng minh mức độ nắm vững và làm chủ các kiến thức và kỹ năng (được gọi là năng lực); huy động tổng hợp mọi nguồn lực (kinh nghiệm, kiến thức, kĩ

năng, hứng thú, niềm tin, ý chí,…) trong một môn học hay bối cảnh nhất định, theo tốc độ của riêng mình

1.2 Năng lực tƣ duy và lập luận toán học

1.2.1 Tư duy

1.2.1.1 Khái niệm tư duy

Hiện nay, tư duy còn là một khái niệm chưa thống nhất bởi chưa có một định nghĩa nào thể hiện được trọn vẹn hết các đặc điểm, tính chất, vai trò ở tư duy Từ trước đến nay đã có nhiều công trình nghiên cứu về phát triển tư duy, xong người nghiên cứu cũng không hề đưa ra một định nghĩa tư duy cụ thể mà chỉ đưa ra cách hiểu của bản thân bởi như vậy sẽ không làm hạn chế năng lực tư duy hay gói gọn suy nghĩ trong một phạm vi cụ thể Mỗi lĩnh vực khác nhau lại nghiên cứu tư duy dưới

những góc nhìn khác nhau

Theo “Từ điển bách khoa Việt Nam”, tập 4 (Nhà xuất bản Từ điển bách khoa, Hà Nội): “Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt - bộ não con người Tư duy phản ánh tích cực hiện thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận”

Theo V.I Lê nin: “Tư duy của người ta - đi sâu một cách vô hạn, từ giả tưởng tới bản chất, từ bản chất cấp một, nếu có thể như vậy, đến bản chất cấp hai… đến vô hạn” [28] Tức là tư duy là sự phản ánh thế giới tự nhiên sâu sắc hơn, trung thành hơn, đầy đủ hơn, đi sâu một cách vô hạn, tiến gần đến chân lý khách quan hơn

Tựu chung lại, từ những nghiên cứu của các tác giả chúng tôi cho rằng: tư duy

có thể hiểu là quá trình tâm lý thể hiện khả năng nhận thức bậc cao diễn ra trong não bộ con người Quá trình này thu nhận thông tin từ xúc giác, thị giác, vị giác, khứu giác, thính giác qua các dây thần kinh đến được não bộ giúp con người có được tư duy rõ ràng, sâu sắc, trừu tượng,… về những sự vật, hiện tượng trong đời sống bằng con đường khái quát hoá, hướng sâu vào nhận thức bản chất, quy luật của đối tượng 1.2.1.2 Đặc điếm của tư duy

Trong cuốn “Tâm lý học đại cương’’ của tác giả Nguyễn Công Uẩn [26]: Tư duy ở con người chỉ xuất hiện khi gặp hoàn cảnh hay tình huống có vấn đề Những hoàn cảnh hay tình huống này chứa đựng vấn đề đòi hỏi con người phải tư duy tìm ra

cách giải quyết mới do những hiểu biết ban đầu và các phương thức giải quyết trước không thể giải quyết triệt để vấn đề vừa phát sinh Tư duy còn mang tính gián tiếp, thể hiện thông qua việc con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy Không chỉ vậy, ngôn ngữ và tư duy còn có mối quan hệ khăng khít với nhau, không có ngôn ngữ con người không thể tư duy và các kết quả của tư duy cũng không thể để cả chủ thể hay bản thân người khác tiếp nhận Ngoài ra, tư duy không thể hiện các sự vật, hiện tượng một cách riêng lẻ mà rút ra khỏi các sự vật, hiện tượng đó những gì cụ thể, cá biệt và chỉ giữ lại các thuộc tính bản chất chung rồi sắp xếp chúng thành một nhóm, một loại, một phạm trù Tư duy dựa vào nhận thức cảm tính nhưng chính nhận thức cảm tính lại chịu sự tác động ngược lại của tư duy và các sản phẩm của quá trình này nên ta nhận thấy hoạt động tư duy còn có hiện tượng không chịu chi phối từ những kinh nghiệm cảm tính

1.2.1.3 Các giai đoạn của tư duy

Quá trình tư duy của con người nhằm mục đích giải quyết một nhiệm vụ cụ thể phát sinh trong quá trình nhận thức hoặc trong hoạt động thực tiễn Đây là quá trình gồm nhiều giai đoạn, được nhà tâm lý học K.K.Platonôv sơ đồ hóa các giai đoạn của một hành động (quá trình) TD [26, tr 99]

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả

Kiểm tra giả thuyết

Giải quyết vấn đề Hoạt động tư duy

Như vậy, các giai đoạn của quá trình tư duy bắt đầu từ việc nhận thức được vấn đề trong các tình huống có vấn đề rồi thông qua các giai đoạn khác nhau nhằm mục đích giải quyết được vấn đề để từ đó bắt đầu một hành động tư duy mới

Nhận thức vấn đề là giai đoạn đầu tiên trong các giai đoạn (quá trình) của tư duy Nó chỉ nảy sinh trong những tình huống mà con người cho là “có vấn đề” Nhận định về tính có vấn đề của mỗi người lại khác nhau, tùythuộc vào góc nhìn, kinh nghiệm sống, kiến thức và nhu cầu cá nhân ở mỗi người Trong cùng một tình huống, có người thấy có vấn đề thì quá trình tư duy băt đầu và ngược lại nếu không thấy có vấn đề thì không có quá trình tư duy Đây là giai mở đầu và quan trọng nhất của cả quá trình tư duy Tiếp đến là giai đoạn cá nhân người tư duy huy động những kinh nghiệm và kiến thức sẵn có của bản thân và người khác vào vấn đề vừa được nhận thức để làm xuất hiện các liên tưởng có liên quan đến vấn đề Giai đoạn này được gọi là xuất hiện các liên tưởng Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết là giai đoạn thu hẹp phạm vi các kinh nghiệm, kiến thức tìm được trước đó để phù hợp với nhiệm vụ giải quyết vấn đề Từ đó, chủ thể tư duy có thể đưa ra các phương án giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng và tiết kiệm thời gian Kiểm tra giả thuyết là khâu kiểm tra tính khả thi và phù hợp thực tiễn của các phương án được đề xuất Trong quá trình kiểm tra, chủ thể tư duy sẽ phát hiện được đâu là phương án đem lại hiệu quả cao nhất Đây cũng là giai đoạn mà sau đó người kiểm tra đôi khi sẽ phát hiện nhiệm vụ mới cần giải quyết Giai đoạn cuối cùng là giải quyết vấn đề Bằng việc thực hiện phương án tối ưu nhất được lựa chọn trong các giả thuyết để giải quyết vấn đề thì việc giải quyết vấn đề được đặt ra lúc ban đầu sẽ có kết quả là câu trả lời hoặc đáp số Những vấn đề mới có thể nảy sinh sau khi đã giải quyết vấn đề ban đầu nên để giải quyết vấn đề mới phát sinh thì cũng cần một quá trình tư duy mới Những trường hợp khác nhau thì các giai đoạn của quá trình tư duy có thể đổi khác nhưng không được thay đổi thứ tự của các quá trình tư duy

1.2.1.4 Các thao tác của tư duy

Trong [26, tr 100], tác giả nhà tâm lý học K.K.Platonôv coi quá trình tư duy là một hành động thì các giai đoạn của quá trình hành động đó mới chỉ thể hiện được cấu trúc bên ngoài của việc tư duy Phần nội dung bên trong của từng giai đoạn lại

diễn ra dựa vào cơ sở các thao tác tư duy Đây là các thao tác trí tuệ được chủ thể thực hiện ở trong đầu, nên còn được gọi là những quy luật bên trong của tư duy, bao gồm

- Phân tích: là quá trình sử dụng não bộ phân tách đối tượng nhận thức thành những bộ phận, những thành phần khác nhau để có được cái nhìn một cách chi tiết và tổng quát Thông qua đó, xác định được đối tượng mang các đặc điểm, thuộc tính gì hoặc nhìn ra được các bộ phận của một tổng thể một cách rõ ràng, tường minh

- Tổng hợp: là quá trình sử dụng não bộ tổ hợp lại những thành phần được tách rời từ việc phân tích thành một chỉnh thể

- So sánh: là quá trình sử dụng não bộ để đối chiếu các đối tượng nhận thức nhằm tìm ra sự tương đồng, đồng nhất hay khác biệt giữa các đối tượng nhận thức đó mà rút ra những điểm chúng hay khác biệt của các đối tượng nhận thức (sự vật, hiện tượng)

- Trừu tượng hóa: là quá trình sử dụng não bộ làm đơn giản hóa các mặt, các liên hệ, các thuộc tính và các quan hệ thứ yếu không cần thiết đồng thời chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết sử dụng cho tư duy

- Khái quát hóa: là quá trình sử dụng não bộ để tổng hợp các đối tượng khác nhau thành một nhóm hay một loại dựa trên cơ sở phân loại là các thuộc tính, các mối liên hệ và quan hệ chung nhất định Các thao tác tư duy không hoạt động riêng rẽ mà tác động qua lại, đan xen vào với nhau không theo một trình tự cụ thể nào Chủ thể tư duy căn cứ vào các yếu tố về điều kiện và mục tiêu trong từng nhiệm vụ tư duy mà lựa chọn các thao tác tư duy phù hợp cũng như không cần phải sử dụng hết các thao tác tư duy trong một hoạt động tư duy

1.2.2 Năng lực lập luận toán học

1.2.2.1 Khái niệm lập luận

Khái niệm về “lập luận” đã được nếu trong nhiều tài liệu Trong cuốn Đại từ điển Tiếng Việt của Nguyễn Như Ý đưa khái niệm “lập luận là trình bày có lí lẽ,

hệ thống để chứng minh cho kết luận về vấn đề nào đó” [29; tr 997] Trong luận

án của tác giả Nguyễn Văn Lộc, tác giả đưa ra khái niệm “lập luận là sắp xếp lí lẽ

một cách có hệ thống để trình bày, nhằm chứng minh cho một kết luận về một vấn đề” [10; tr 29]

Như vậy có thể hiểu, trong môn Toán, năng lực lập luận logic là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học để đưa ra các kết luận đúng Đó là kết quả của quá trình tư duy logic, bằng một chuỗi các suy luận để giải quyết vấn đề Hay nói cách khác, năng lực lập luận ở mỗi các nhân lag khả năng vận dụng lập luận logic vào Toán học nói riêng và cuộc sống nói chung Với học sinh, trong mỗi hoạt động học tập hay nhiệm vụ học tập mà cá nhân học sinh phải hoàn thành, học sinh cần dựa vào các yếu tố đề bài cho trước , tư duy và suy luận để xác định chuỗi các thao tác nhằm giải quyết vấn đề và đưa ra kết luận đúng để hoàn thành nhiệm vụ học tập được đưa ra

Theo Niss Mogens [25], năng lực lập luận này liên quan đến các quá trình TD có lôgic, khám phá và liên kết các yếu tố của vấn đề để đưa ra các suy luận, lập luận toán học, nhưng đi xa hơn nó liên tục liên quan đến việc đánh giá tính hợp lệ của các yêu cầu toán học, bao gồm cả việc thuyết phục bản thân và những người khác và tính hợp lệ có thể có của việc đó Nó có thể cập đến cả tính chính xác của các quy tắc và các định lý, nhưng cũng để xác định xem một câu trả lời nhất định cho câu hỏi, bài tập hoặc vấn đề có chính xác và đầy đêu hay không Bằng cách này bào gồm sự biện minh của câu trả lời và giải pháp, năng lực lập luận được liên kết chặt chẽ với cả năng lực giải quyết vấn đề và mô hình hóa Nó bao gồm các khía cạnh pháp lý của những năng lực này Về nguyên tắc, khả năng thực hiện các hoạt động thường ngày thuần túy, ví dụ: các tính toán, có thể được cho là nằm trong khả năng suy luận vì nó liên quan đến việc biện minh cho kết quả tính toán Tuy nhiên, những gì có thể coi là một hoạt động thường xuyên, một người khác có thể coi là một vấn đề không thể vượt qua Do đó, việc thực hiện các hoạt động này được bao gồm trong khả năng được đề cập dưới đây liên quan đến các biểu tượng và hình thức toán học, trong khi có thể kích hoạt hoạt động thuộc về năng lực lập luận nếu kích hoạt này đòi hỏi sự sáng tạo, phân tích hoặc tổng quan, kiểm tra một biện minh được đưa ra hoặc đưa ra một sự biện minh, tranh biện cho các tuyên bố hay giải pháp cho các vấn đề

Theo Toulmin [34] cho rằng lập luận chặt chẽ là kĩ năng cơ bản của con người Chính vì vậy, ông đã dành nhiều thời gian nghiên cứu về bản chất của quá trình lập luận, đặc biệt là lập luận toán học Toulmin xem xét một lập luận gồm có ba thành tố

cơ bản là: luận cứ, kết luận và luận chứng Luận cứ là một hoặc nhiều dữ kiện xuất phát làm căn cứ cho lập luận, từ đó để suy ra kết luận, nó trả lời cho câu hỏi “chứng minh bằng cái gì?” Kết luận là một khẳng định có được trên cơ sở luận cứ đã cho, nó trả lời cho câu hỏi “chứng minh cái gì?” Luận chứng là những quy tắc, nguyên lý, định lý, mà nhờ đó từ tiền đề chúng ta suy ra kết luận, nó trả lời cho câu hỏi “chứng minh bằng cách nào?” Năng lực lập luận là về sự biện minh của các xác nhận, bao gồm cả cách tiếp cận hoặc quy trình nhất định có thể thực sự tạo ra một giải pháp chính xác hay không cho một vấn đề phát sinh từ một câu hỏi toán học Năng lực này bao gồm, một mặt là khả năng theo dõi và đánh giá lập luận toán học, tức là một chuỗi lập luận đưa ra bởi người khác, bằng bài viết hoặc bằng miệng, để hỗ trợ cho yêu cầu của người đó Điều đặc biệt là biết và hiểu thế nào là một chứng minh toán học và nó khác với các dạng lập luận toán học khác như thế nào, ví dụ: Tìm ra một chứng minh và đó cũng là về cách hiểu; khi nào toán học thực sự hình thành, khi nào không Điều này bao gồm sự hiểu biết về lôgic đằng sau một ví dụ phản biện Hơn nữa, năng lực bao gồm khả năng khám phá những ý tưởng cơ bản trong một chứng minh toán học, bao gồm phân biệt giữa các ý chính của một tranh luận và các chi tiết, và giữa ý tưởng Mặt khác, nó bao gồm khả năng đưa ra và thực hiện các lập luận không chính thức và chính thức (trên cơ sở trực giác) và từ đó chuyển đổi lập luận khám phá thành chứng minh thực tế (hợp lệ)

Theo Brodie.K [30], quá trình lập luận gồm hai giai đoạn lớn: - Xem xét các đối tượng và mối liên hệ giữa các đối tượng toán học

- Thiết lập các “lập luận”, cho phép lí giải tại sao “trạng thái”/ “hiện tượng” này lại đi sau “trạng thái”/ “hiện tượng” kia (sử dụng: quy tắc suy luận, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự, )

1.2.2.2 Các giai đoạn lập luận

Theo Nguyễn Văn Lộc [10] lập luận bao gồm 4 giai đoạn Giai đoạn 1: Xác định luận điểm

Chủ thể lập luận bằng khả năng liên tưởng, tưởng tượng cũng như vận dụng những tri thức liên quan và năng lực suy luận logic của bản thân nêu ra những quan

điểm tư tưởng là những điểm chính, trọng tâm nhằm chứng minh tính đúng đắn trong vấn đề mà chủ thể lập luận muốn đạt tới

Giai đoạn 2: Tìm luận cứ

Luận cứ là những lí lẽ, dẫn chứng mà người lập luận đưa ra nhằm thuyết phục người đọc/nghe tin vào luận điểm mà mình đưa ra

Giai đoạn 3: Lựa chọn phương pháp lập luận

Là lựa chọn cách thức tổ chức luận điểm và luận cứ một cách chặt chẽ nhằm tăng sức thuyết phục với đối tượng mà người lập luận hướng tới Một số phương pháp lập luận thường thấy như: diễn dịch, quy nạp, so sánh, tương tự, loại suy,…

Giai đoạn 4: Trình bày lập luận

Sau khi đã sắp xếp các luận điểm, luận cứ theo một thứ tự cụ thể cũng như lựa chọn được các phương pháp lập luận thích hợp cho từng từng luận điểm, luận cứ thì việc cuối cùng người lập luận cần thực hiện đó là trình bày lập luận thành một sản phẩm hoàn chỉnh có mở đầu và kết thúc

Theo [25]), Niss Mogens cho rằng năng lực lập luận liên quan đến các quá trình TD có lôgic, khám phá và liên kết các yếu tố của vấn đề để đưa ra các suy luận, lập luận toán học Lập luận để đánh giá tính hợp lệ của các yêu cầu toán học, bao gồm cả việc thuyết phục bản thân và những người khác và tính hợp lệ có thể có của việc đó Điều đó có nghĩa là phải sử dụng các quy tắc suy luận logic để kiểm tra và chứng minh cả tính chính xác của các quy tắc và các định lý, nhưng cũng để xác định xem một câu trả lời nhất định cho câu hỏi, bài tập hoặc vấn đề có chính xác và đầy đủ hay không Bằng cách này bao gồm sự biện minh của câu trả lời và giải pháp, năng lực lập luận được liên kết chặt chẽ với cả năng lực giải quyết vấn đề và mô hình hóa Do đó, việc thực hiện các hoạt động tư duy liên quan đến các biểu tượng, hình ảnh và hình thức toán học có thể hỗ trợ cho năng lực lập luận nếu kích hoạt này đòi hỏi sự sáng tạo, phân tích hoặc tổng quan, kiểm tra một biện minh được đưa ra hoặc đưa ra một sự biện minh, tranh biện cho các tuyên bố hay giải pháp cho các vấn đề Vì vậy năng lực tư duy và năng lực lập luận luôn song hành và bổ trợ cho nhau

1.2.3 Biểu hiện của năng lực tƣ duy và lập luận toán học

1.2.3.1 Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học trong Chương trình giáo dục phổ thông 2018

Theo [1], các biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học được thể hiện trong bảng sau:

Thành phần năng lực Cấp trung học cơ sở Cấp trung học phổ thông

Năng lực tư duy và lập luận toán học thể hiện hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự; quy nạp, diễn dịch

- Thực hiện được các thao tác tư duy, đặc biệt biết quan sát, giải thích

- Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc

- Thực hiện được việc lập luận hợp lí khi giải trong việc giải quyết vấn đề

- Giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học

- Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Chứng minh được mệnh đề toán học không quá phức tạp

- Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học

1.2.3.1 Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học trong học tập Hình học 12

Theo P.Ia.Galperin, hành động với đồ vật hay với vật chất hóa, tức là hành động với các biến thể của nó như hình vẽ, sơ đồ, mô hình, hình mẫu của vật thật đó

là nguồn gốc của mọi hành động trí tuệ trọn vẹn Mục đích của nó là phân tích, tách nội dung đích thực của hành động tâm lý nằm trong đối tượng vật thật (hay vật chất hóa) Nội dung của bước này là chủ thể dùng tay để triển khai hành động, luyện tập, khái quát và rút gọn nó Như vậy chính hành động với đồ vật, hành động bên ngoài là cơ sở để hình thành thao tác ở giai đoạn tiếp theo ở học sinh [5, tr.613] Từ đặc điểm của việc học tập hình học và những biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học được trình bày trong Chương trình giáo dục phổ thông 2018, chúng tôi xin mô tả các biểu hiện của năng lực này trong học tập Hình học như sau:

(L1) Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát

Các thao tác tư duy của TDHH được dựa trên tri giác không gian Trong tác phẩm tư duy bằng mắt nhìn Arnheim lập luận rằng “những thao tác trí tuệ quan trọng nhất bắt nguồn thẳng từ chúng ta tri giác thế giới, và sự nhìn được coi là hệ thống cảm quan thượng hạng bao bọc lấy và tạo thành những tiến trình nhận thức của chúng ta” [5, tr.227] Bản thân tri giác không gian chưa phải là tư duy nhưng là điều kiện cần để tiến hành TDHH, sẽ thật khó để giải bài toán Hình học nếu thiếu trong nó sự quan sát hình vẽ hay ít nhất là những liên tưởng về hình vẽ Tri giác không gian bao gồm những tri giác về đối tượng không gian và quan hệ không gian và cả những sự phối hợp vận động giữa các giác quan (chủ yếu là phối hợp tay và mắt) Trong dạy học hình học ở trường thì cơ sở trực quan xuất phát lại càng có ý nghĩa quan trọng bởi tư duy của học sinh bắt nguồn từ tư duy trực quan sinh động

Ví dụ 1.1: Hình biểu diễn của hình lập phương từ nhiều góc nhìn

Ví dụ 1.2: Câu hỏi trắc nghiệm trong quá trình củng cố kiến thức bài “khái niệm về

khối đa diện”

Học sinh cần phải quan sát, dựa vào khái niệm về hình đa diện để so sánh, lý

giải được tại sao hình 1 là hình đa diện? (nó thỏa mãn 2 tính chất yêu cầu) Giải

thích được ba hình còn lại vi phạm tính chất gì trong khái niệm?

(L2) Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề

Ví dụ 1.3: “Mỗi hình vẽ dưới đây có tất cả bao nhiêu khối lập phương? Tìm mối

quan hệ giữa các hình H0, H1, H2, H3”

Đây là bài toán đòi hỏi HS sử dụng TTTKG trong GQVĐ Tuy nhiên NL hình dung đó chỉ được hình thành là bởi quá trình quan sát, xếp hình, phân tích, so sánh các khối hình lập phương trong thực tiễn

Ví dụ 1.4: Đếm số cạnh của mỗi hình đa diện đều sau đây?

Đây là bài toán đòi hỏi HS phải có TTTKG Để làm được bài này, HS trước đó phải có những HĐ tập luyện về quan sát, phân tích - tổng hợp các đối tượng không gian trong đó là HĐ phân tích những gì HS “nhìn thấy” và những gì “biết ở đó nhưng không nhìn thấy”

TDHH và TTTKG hỗ trợ, bổ sung cho nhau trong quá trình GQVĐ Khi gặp vấn đề mà TDHH chưa thể giải quyết thì TTTKG giúp dự đoán trước kết quả, mang tính chất "gỡ nút" cho tình huống Hơn thế nó còn tạo một cái đích để tư duy hướng tới, hay nói cách khác là nhằm định hướng cho TDHH Như vậy những khó khăn của TDHH là tiền đề cho TTTKG, còn TTTKG lại trở thành cái đích cho TDHH phát triển

Ví dụ 1.5: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy Tứ giác ABCD

nội tiếp đường tròn đường kính AC Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A lên các cạnh SB và SD Tính góc giữa (AMN) và (ABCD) biết SA a BD a ;  ;BAD 0

Để tìm góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau học sinh thường sử dụng phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến Tuy nhiên trong tình huống hai mặt phẳng chưa xác định được giao tuyến hoặc việc xác định giao tuyến là khó khăn thì học sinh cần lập luận để đưa ra cách giải quyết khác là tính thông qua góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

Bài làm của học sinh như sau:

HS đã suy luận: “nếu hai mặt phẳng có 1 điểm chung là A thì còn có 1 điểm chung khác nữa và giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ là đường thẳng đi qua A” Tuy nhiên, nếu tìm ra hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến thì khó khăn nên đã tìm hướng giải quyết khác

HS đã suy diễn: nếu dùng cách khác thì phải tìm được 2 đường thẳng (đóng vai trò giá của vecto pháp tuyến) của hai mặt phẳng ấy Cách này thuận lợi vì giả thiết đã có sẵn SA vuông góc với mặt đáy là mặt phẳng (ABCD) Chỉ cần tìm 1 đường

 thì SC(AMN) Đây là suy luận quan trọng để tìm ra đường

thẳng vuông góc với mặt phẳng (AMN)

Như vậy bài toán đã được giải quyết khi chỉ cần tìm góc giữa hai đường thẳng SA và SC Gắn vào tam giác vuông SAC sẽ giải quyết được kết quả

Lời giải của học sinh đã thể hiện được quá trình suy luận và tư duy hình học, lập luận có cơ sở logic dựa trên yếu tố giả thiết đã cho Có liên hệ với hình học phẳng trong qua trình tính toán trải mặt đáy ra mặt phẳng

(L3) Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học

Ngôn ngữ là thành phần của TDHH Khi đề cập đến vai trò của ngôn ngữ đối với HĐ nhận thức trong [13, tr.203], tác giả có phân tích mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ như sau: “Đối với tư duy, ngôn ngữ có vai trò quan trọng trong việc hình thành, biểu đạt, và duy trì hình ảnh mới Ngôn ngữ giúp cho con người chính xác hóa các hình ảnh của tư duy đang nảy sinh, tách ra trong chúng những mặt cơ bản nhất, gắn chúng lại với nhau, cố định chúng lại bằng từ, gìn giữ chúng trong trí nhớ” [13, tr.223] Tóm lại ngôn ngữ làm cho tư duy trở thành một quá trình có ý thức và được điều khiển Trong đề tài nghiên cứu, tôi đặc biệt quan tâm tới ngôn ngữ của học sinh (khả năng lập luận) sử dụng trong quá trình HĐHH, bởi mặc dù học sinh chưa học nhiều khái niệm toán học nhưng việc sử dụng ngôn ngữ sinh động về không gian (ở cả ngôn ngữ thông thường và ngôn ngữ khoa học) cũng phản ánh một trình độ nhất

định về tư duy của học sinh THPT

Ví dụ 1.6:

Câu hỏi đặt ra: Nếu mỗi mặt là một tam giác (3 cạnh) thì M mặt sẽ có bao nhiêu

cạnh?

+ Nếu học sinh không lập luận sẽ chọn câu trả lời là đáp án C

+ Nếu học sinh lấy 1 ví dụ cụ thể để kiểm nghiệm (ví dụ như hình tứ diện) sẽ chọn đáp án B

+ Học sinh cần phải giải thích được nếu M mặt là tam giác để riêng biệt thì sẽ có số cạnh là 3M Nhưng vì mỗi cạnh đều là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh thực thế sẽ giảm đi một nửa Và đây là lời giải cho câu hỏi trên:

Qua các câu trả lời của học sinh giáo viên sẽ đánh giá được năng lực tư duy và lập luận toán của học sinh

(L4) Khả năng người học vận dụng làm được những gì trong thực tiễn là một cơ sở đánh giá TDHH Khả năng vận dụng vào thực tiễn là một tiêu chí quan trọng xác định NL TDHH Học sinh bắt đầu tiếp cận Hình học với những đối tượng và quan hệ cụ thể, thực hành các thao tác tư duy và trở lại áp dụng với các đối tượng cụ thể xung quanh chúng Qua dạy học các YTHH, không chỉ dạy chúng biết được