Tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng thông qua các số hạng của dãy số theo hướng phát triển năng lực lập luận toán học cho học sinh

26 CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP DẠY HỌC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC “TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ TÌM GIỚI HẠN CỦA MỘT TỔNG” .... Biện pháp phát triển

4 5

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––

NGUYỄN THẾ HUY

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

VÀ TÌM GIỚI HẠN CỦA MỘT TỔNG THÔNG QUA CÁC SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ” THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC LẬP LUẬN

TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2023

4 5

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––

NGUYỄN THẾ HUY

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

VÀ TÌM GIỚI HẠN CỦA MỘT TỔNG THÔNG QUA CÁC SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ” THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC LẬP LUẬN

TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT

Ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán

Mã số: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành với sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của PGS.TS Trịnh Thanh Hải Các số liệu, kết quả được trình bày trong luận văn là trung thực Những kết luận khoa học của luận văn chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2023

Tác giả luận văn

Nguyễn Thế Huy

LỜI CẢM ƠN

Em xin trân trọng cảm ơn thầy PGS.TS Trịnh Thanh Hải đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em trong quá trình thực hiện luận văn này Đó là những góp ý hết sức quý báu không chỉ trong quá trình thực hiện luận văn này mà còn là hành trang tiếp bước cho em trong quá trình học tập và lập nghiệp sau này

Em xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô khoa Toán - Trường ĐHSP Thái Nguyên

đã tận tâm giảng dạy, chỉ bảo và hướng dẫn em trong quá trình em học tập và nghiên cứu tại trường

Em xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2023

Học viên

Nguyễn Thế Huy

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Quy ước viết tắt iv

Danh mục các bảng v

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Câu hỏi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 3

6 Giả thuyết khoa học 3

7 Phương pháp nghiên cứu 3

8 Dự kiến cấu trúc của luận văn 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Năng lực toán học 5

1.1.1 Năng lực 5

1.1.2 Năng lực toán học 6

1.2 Năng lực lập luận toán học 8

1.2.1 Quan niệm về năng lực lập luận toán học 8

1.2.2 Cấu trúc của năng lực lập luận toán học 10

1.2.3 Biểu hiện của năng lực lập luận toán học 11

1.3 Dạy học môn toán theo hướng phát triển năng lực người học 11

1.3.1 Định hướng dạy học phát triển năng lực cho học sinh 11

1.3.2 Một số phương pháp, tình huống dạy học góp phần phát triển năng lực lập luận toán học 13

1.4 Cơ hội bồi dưỡng năng lực lập luận toán học trong dạy học chủ đề dãy số 16

1.4.1 Chủ đề dãy số trong chương trình môn toán lớp 11 16

1.4.2 Một số cơ hội bồi dưỡng năng lực lập luận toán học trong dạy học chủ

đề dãy số 17

1.4.3 Vấn đề đánh giá năng lực lập luận toán học của học sinh 21

1.5 Thực trạng dạy và học giải bài toán “Tìm số hạng tổng quát và tìm giới hạn của một tổng thông qua các số hạng của dãy số” ở lớp 11 trường THPT 22

1.5.1 Mục tiêu khảo sát 22

1.5.2 Phương pháp khảo sát 22

1.5.3 Kết quả khảo sát về quan điểm của học sinh, giáo viên trong dạy học chủ đề dãy số 23

1.5.4 Kết quả khảo sát về khả năng lập luận của học sinh trong giải toán 25

Kết luận chương 1 26

CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP DẠY HỌC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC “TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ TÌM GIỚI HẠN CỦA MỘT TỔNG” 27

2.1 Định hướng xây dựng biện pháp phát triển năng lực lập luận toán học cho học sinh 27

2.2 Biện pháp phát triển năng lực lập luận toán học cho học sinh dạy học chủ đề “Tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng” 27

2.2.1 Biện pháp 1: Trang bị cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản để học sinh có đủ kiến thức để lập luận để giải bài tập 27

2.2.2 Biện pháp 2: Chọn lọc các bài tập về chủ đề “Tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng” và sử dụng trong dạy học giải bài tập trên lớp và tự học 32

2.2.3 Biện pháp 3: Khai thác các bài toán thực tiễn có thể quy về các dạng bài toán “Tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng” 53

Kết luận chương 2 59

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 60

3.1 Mục đích, đối tượng, kế hoạch thực nghiệm sư phạm 60

3.1.1 Mục đích 60

3.1.2 Ý nghĩa 60

3.2 Quá trình tổ chức và nội dung thực nghiệm sư phạm 60

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 60

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 60

3.2.3 Phương pháp thực nghiệm 62

3.2.4 Đối tượng thực nghiệm 63

3.2.5 Thời gian tiến trình thực nghiệm 63

3.3 Nhận định về kết quả thực nghiệm sư phạm 63

3.3.1 Nhận xét về mặt định tính 63

3.3.2 Nhận xét về mặt định lượng 63

Kết luận chương 3 65

KẾT LUẬN 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

QUY ƯỚC VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Chủ đề dãy số trong chương trình môn toán lớp 11 16 Bảng 1.2 Kết quả khảo sát học sinh 23 Bảng 1.3 Thống kê về sự quan tâm của giáo viên khi đứng trước một bài toán

về chủ đề dãy số 25

Bảng 1.4 Kết quả bài kiểm tra khảo sát 25 Bảng 3.1 Kết quả bài kiểm tra trong quá trình thực nghiệm sư phạm 64

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Xuất phát từ định hướng đổi mới giáo dục đào tạo

Nghị quyết số 29 – NQ/TW về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo

đã đề ra: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học, khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực (NL)” [2]

Dạy học định hướng phát triển NL thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận NL của người học, không quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định kết quả đầu ra, khả năng vận dụng vào thực tiễn Vì vậy đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển NL cho học sinh (HS) là vấn

đề then chốt [2]

1.2 Xuất phát từ vai trò của năng lực lập luận toán học

Toán học là một trong những ngành khoa học đóng vai trò quan trọng, là yếu tố chủ chốt giúp ta có thể nghiên cứu nhiều ngành khoa học khác Các NL chuyên biệt trong môn Toán bao gồm: NL tư duy và lập luận toán học (LLTH), NL mô hình hóa toán học, NL giải quyết vấn đề toán học, NL giao tiếp toán học và NL sử dụng công

cụ, phương tiện học toán Trong đó NL tư duy và LLTH là một trong những NL quan trọng mà người học cần phải được rèn luyện và phát triển Nhờ tư duy con người mới

có thể tồn tại và phát triển Nó chính là con đường ngắn nhất dẫn đến mọi sự thành công của mỗi con người [3]

NL LLTH có vai trò quan trọng vì HS sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn

đề Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học… trong dạy học toán

1.3 Xuất phát từ mục đích, yêu cầu cần đạt trong dạy học dãy số

Trong chương trình toán THPT phần dãy số chiếm một vị trí quan trọng, hay gặp trong đề thi HS giỏi đặc biệt là các kì thi chọn HS giỏi thì câu liên quan đến dãy

số thường xuyên xuất hiện (tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm giới hạn của một tổng liên quan đến các số hạng của dãy số,…) Vì vậy việc bồi dưỡng cho HS chuyên

đề dãy số một yêu cầu cấp thiết

Bài toán về dãy số rất đa dạng như tìm số hạng tổng quát của dãy số, bài toán tìm giới hạn của một tổng liên quan đến các số hạng của dãy số,…và bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số là bài toán quan trọng nhất, tìm được số hạng tổng quát sẽ giúp giải quyết các bài toán còn lại trở nên nhẹ nhàng hơn Mặc dù có nhiều tài liệu viết về chuyên đề này, nhưng các tài liệu đó nội dung kiến thức chưa phù hợp với HS

đi thi HS giỏi dẫn đến HS còn lúng túng khi gặp bài toán về dãy số, đặc biệt bài toán về: tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm giới hạn của một tổng liên quan đến các số hạng của dãy số…

Để giải quyết được các dạng bài tập về dãy số, yêu cầu HS phải có NL tư duy

và LLTH

Xuất phát từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu dạy học chủ đề:

Dạy học chủ đề “Tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng thông qua các số hạng của dãy số theo hướng phát triển năng lực lập luận toán học cho học sinh” làm hướng nghiên cứu cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn từ đó đề ra được các biện pháp sư phạm nhằm phát triển NL LLTH cho HS trong dạy học chủ đề: Tìm số hạng tổng quát của dãy

số và tìm giới hạn của một tổng thông qua các số hạng của dãy số

3 Câu hỏi nghiên cứu

Câu hỏi 1: Quan niệm, biểu hiện của NL LLTH trong dạy học toán của HS THPT? Câu hỏi 2: Thực trạng dạy học theo hướng phát triển NL LLTH của HS THPT? Câu hỏi 3: Làm thế nào để phát triển NL LLTH cho HS thông qua quá trình dạy học chủ đề tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng thông qua các số hạng của dãy số?

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm rõ: Quan niệm, biểu hiện của NL LLTH của HS trong dạy học toán ở THPT Cơ hội bồi dưỡng NL LLTH cho học sinh trong dạy học chủ đề dãy số

Tìm hiểu, phân tích thực trạng dạy học theo hướng phát triển NL LLTH của

HS THPT?

Đưa ra các biện pháp để phát triển NL LLTH cho HS thông qua quá trình dạy học chủ đề tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng thông qua các số hạng của dãy số

5 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Dạy học toán theo hướng phát triển NL LLTH cho HS Phạm vi nghiên cứu: Dạy học chủ đề tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới

hạn của một tổng thông qua các số hạng của dãy số theo định hướng phát triển NL LLTH

Giới hạn phạm vi nghiên cứu: Trong luận văn này tập trung nghiên cứu dạy học

giải bài tập của chủ đề: “Tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng thông qua các số hạng của dãy số theo hướng phát triển năng lực lập luận toán học cho học sinh”

6 Giả thuyết khoa học

Có thể đề xuất được các biện pháp dạy học chủ đề giải toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng thông qua các số hạng của dãy số theo hướng phát triển NL LLTH cho HS THPT

7 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu có liên quan trực tiếp đến đề tài như: Các phương pháp dạy học phát triển NL cho HS; NL tư duy và LLTH của HS trong dạy học toán; Mục đích, yêu cầu của chương trình toán THPT nói chung, chủ đề tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng thông qua các số hạng của dãy số nói riêng

- Điều tra - quan sát

Dự giờ, quan sát việc dạy của GV và việc học của HS trong quá trình khai thác các bài tập liên quan đến tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng thông qua các số hạng của dãy số Khảo sát, lấy ý kiến GV HS bằng phiếu hỏi để tìm hiểu thực trạng dạy học chủ đề đến tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng thông qua các số hạng của dãy số theo định hướng phát triển NL LLTH

- Thực nghiệm sư phạm

Tổ chức thực nghiệm sư phạm trên hai đối tượng: Thực nghiệm và đối chứng; Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm theo góc độ định tính và định lượng để xem xét tính khả thi và hiệu quả của luận văn

8 Dự kiến cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm

có 3 chương:

Chương 1 - Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Biện pháp dạy học phát triển năng lực lập luận toán học cho học sinh trong dạy học “Tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng”

Chương 3 - Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực toán học

1.1.1 Năng lực

Khái niệm NL có nguồn gốc tiếng La tinh “Competentia” có nghĩa là “gặp gỡ”

NL được nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu, đã có nhiều cách hiểu, cách thể hiện khác nhau Theo quan điểm di truyền học yếu tố di truyền có sẵn và yếu tố môi trường sống xung quanh sẽ quyết định NL, xem nhẹ yếu tố học tập, rèn luyện Còn theo quan điểm các nhà tâm lý học yếu tố hoạt động và học tập sẽ quyết định NL, có thể coi NL là thuộc tính tâm lý phức hợp của cá nhân để hoàn thành tốt một hoạt động [1]

Từ điển Tiếng Việt: “NL là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có

để thực hiện một hoạt động nào đó, là phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo cho con người khả năng hoàn thành một hoạt động nào đó với chất lượng cao” Từ điển tâm lý học, bách khoa toàn thư, bách khoa Việt Nam đều cho rằng NL là đặc điểm đặc trưng của

cá nhân để thực hiện thành công một hoạt động [14]

Theo cách hiểu của Đặng Thành Hưng “NL là thuộc tính cá nhân cho phép cá nhân thực hiện thành công hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” [11] Có cùng quan điểm này Hoàng Hòa Bình, cho rằng “NL là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” [1]

Khẳng định tính mục đích và kết quả của NL tác giả Phạm Minh Hạc cho rằng: “NL là một tổ hợp đặc điểm tâm lí của một người, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy” [8]

Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (OECD), định nghĩa “NL là khả năng cá nhân đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện thành công nhiệm vụ trong một bối cảnh cụ thể” Nguyễn Văn Cường-Bernd Meier: “NL là khả năng thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động” Theo quan

niệm này NL là khả năng kết hợp kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo, kinh nghiệm, thái độ tích cực để hoàn thành các nhiệm vụ thuộc lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân

Như vậy đã có nhiều cách khác nhau trình bày định nghĩa về NL nhưng đều

có điểm chung là đều cho rằng NL là khả năng thực hiện, được gắn với kiến thức,

kĩ năng, ý thức, thái độ, để thực hiện thành công hoạt động trong điều kiện cụ thể

Trong luận văn này tác giả sử dụng khái niệm NL được nêu trong chương trình

giáo dục phổ thông tổng thể 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo: “NL là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”[2]

Yêu cầu cần đạt về NL trong CTGDPT tổng thể 2018 (ban hành kèm thông tư số: 32/2018/TT-BGDĐT), gồm có: “NL chung: NL tự chủ và tự học, NL giao tiếp và hợp tác, NL giải quyết vấn đề và sáng tạo NL đặc thù của HS: NL ngôn ngữ, NL tính toán,

NL khoa học, NL công nghệ, NL tin học, NL thẩm mĩ, NL thể chất Bên cạnh việc hình thành, phát triển các NL cốt lõi, CTGDPT còn góp phần phát hiện, bồi dưỡng năng khiếu của HS” [2]

Giáo dục toán học góp phần hình thành và phát triển cho HS các phẩm chất chủ yếu, NL chung và NLTH - biểu hiện tập trung của NL tính toán với các thành phần sau:

“Tư duy và LLTH, mô hình hoá toán học, giải quyết vấn đề toán học, giao tiếp toán học, sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn” [12]

1.1.2 Năng lực toán học

Theo V A Krutecxki [4], NL toán học được hiểu theo 2 ý nghĩa, 2 mức độ:

“Một là, theo ý nghĩa NL học tập (tái tạo) tức là NL đối với việc học Toán, đối

với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắm một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

Hai là, theo ý nghĩa NL sáng tạo (khoa học), tức là NL hoạt động sáng tạo Toán

học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đối với xã hội loài người” [4]

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không tồn tại một ranh giới cứng và nghiêm ngặt Khi nói về năng lực học tập Toán, không thể không đề cập đến khía cạnh

sáng tạo Có rất nhiều học sinh đã có khả năng tự nắm bắt giáo trình Toán một cách độc lập và sáng tạo, đã đề ra và giải quyết những bài toán không quá phức tạp; họ tự tìm ra những hướng tiếp cận và phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, tạo

ra các công thức độc lập, và tìm ra các phương pháp giải độc đáo cho những bài toán không theo mô-đun

Luận văn chủ yếu tiếp cận NL toán học tập theo góc độ thứ nhất như sau:

Định nghĩa 1: “NL toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là các

đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và giúp cho việc nắm nội dung học tập môn toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học” [4]

Định nghĩa 2: “NL toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước

hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo Toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học” [17]

Nói đến HS có NL toán học là nói đến HS có trí thông minh trong việc học Toán Tất cả mọi HS đều có khả năng và phải nắm được chương trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ HS này qua HS khác Các khả năng này không phải cố

định, không thay đổi: “Các NL này không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng; vì vậy,

cần nghiên cứu để nắm được bản chất của NL và các con đường hình thành, phát triển, hoàn thiện NL” [4]

Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ NL toán học Do vậy,

trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phương pháp thích hợp

để sao cho mọi đối tượng HS đều được nâng cao dần về mặt NL toán học vấn đề này

nhà Toán học Xô Viết nổi tiếng, Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv cho rằng: “NL bình thường của HS trung học đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm được toán học trong trường trung học với sự hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”

1.2 Năng lực lập luận toán học

1.2.1 Quan niệm về năng lực lập luận toán học

Vấn đề NL LLTH và bồi dưỡng NL LLTH đã được nhiều chuyên gia như: Theo Nguyễn Bá Kim, Nurdalilah, Lithner, Depdiknas… quan tâm, nghiên cứu

Theo Nurdalilah và cộng sự (2013), lập luận là một trong những lối tư duy liên

hệ hai trường hợp trở lên dựa trên tính chất và quy tắc nhất định đã truyền đạt chân lý bằng cách sử dụng các bước chứng minh cho đến khi đi đến kết luận [30] Theo Lithner (2008), lập luận là một hoạt động, là quá trình lập luận, trong đó sử dụng tư duy để đi đến một kết luận hoặc đưa ra một nhận định mới đúng [29] Về cơ bản, ứng dụng lập luận đã được HS sử dụng trong quá trình học toán trên lớp Có thể thấy điều đó từ phát biểu của Depdiknas (2006) , “tư duy toán học và LLTH là hai thứ không thể tách rời nhau” [28] LLTH là cơ sở để đạt được hoặc xây dựng khoa học toán học Sử dụng lập luận theo khuôn mẫu, thực hiện các thao tác toán học để khái quát hóa, sắp xếp chứng minh hoặc giải thích ý tưởng và phát biểu toán học là một điều quan trọng để nâng cao khả năng tư duy của HS

Theo Nguyễn Bá Kim, môn Toán vừa có tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng, vừa có tính logic và tính thực nghiệm; môn Toán có vai trò quan trọng trong phát triển NL trí tuệ cho HS [12]:

“Thứ nhất là rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác Do đặc điểm của

khoa học Toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để rèn luyện cho HS tư duy logic Nhưng tư duy không thể tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi bằng ngôn ngữ của con người

và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy Vì vậy, việc phát triển tư duy logic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác Có thể thực hiện việc rèn luyện này theo ba hướng có liên hệ chặt chẽ với nhau là làm cho HS hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic; phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa; phát triển khả năng chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến hành chứng minh

Thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng thông qua việc làm cho

HS quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự, KQH, quy lạ

về quen tập cho HS khả năng hình dung được những đối tượng, quan hệ không gian

và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những hình phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành, sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đời sống

Thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản Môn Toán đòi hỏi HS phải

thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, KQH do đó có tác dụng rèn luyện cho HS những hoạt động này

Thứ tư là hình thành những phàm chất trí tuệ Qua dạy học môn Toán, có thể rèn

luyện cho HS các phẩm chất trí tuệ là: Tính linh hoạt; tính độc lập; tính sáng tạo” [12]

Từ những đặc điểm trên, có thể thấy, trong dạy học môn Toán, việc phát triển LLTH cho HS là một việc rất quan trọng

Theo Nurdalilah (2012), “lập luận là một trong những lối tư duy liên hệ hai trường hợp trở lên dựa trên tính chất và quy tắc nhất định đã truyền đạt chân lý bằng cách sử dụng các bước chứng minh cho đến khi đi đến kết luận” [30] Theo Lithner (2008), “lập luận là một hoạt động, là quá trình lập luận, trong đó sử dụng tư duy để đi đến một kết luận hoặc đưa ra một nhận định mới đúng Về cơ bản, ứng dụng lập luận

đã được HS sử dụng trong quá trình học toán trên lớp” [29] Có thể thấy điều đó từ phát biểu của Depdiknas “tư duy toán học và LLTH là hai thứ không thể tách rời nhau” LLTH là cơ sở để đạt được hoặc xây dựng khoa học toán học Sử dụng lập luận theo khuôn mẫu, thực hiện các thao tác toán học để khái quát hóa, sắp xếp chứng minh hoặc giải thích ý tưởng và phát biểu toán học là một điều quan trọng để nâng cao khả năng

tư duy của HS

Trần Mạnh Sang và Nguyễn Văn Thái Bình xem lập luận là một thành phần, một phương thức đặc thù của tư duy toán học và là một thành phần của NL toán học, tập trung vào khả năng của HS thực hiện hoạt động suy luận và chứng minh (hoặc bác bỏ) - từ đó lựa chọn được đúng đắn đối tượng, cách thức và kết quả quy luật toán học khi học Toán

Trên cơ sở mối liên hệ khăng khít giữa tư duy và LLTH trong dạy học toán (Depdiknas (2006), Nurdalilah (2012) đã khẳng định: “Lập luận là một trong những lối

tư duy liên hệ hai trường hợp trở lên dựa trên tính chất và quy tắc nhất định đã truyền

đạt chân lý bằng cách sử dụng các bước chứng minh cho đến khi đi đến kết luận” [28], [29] Lithner (2008) cũng cho rằng: Lập luận là một hoạt động, là quá trình lập luận, trong đó sử dụng tư duy để đi đến một kết luận hoặc đưa ra một nhận định mới đúng

Kế thừa các kết quả nghiên cứu trên, chúng tôi cho rằng: “NL LLTH là khả năng trình bày một vấn đề toán học một cách hợp lý, sắp xếp chứng minh và đưa ra bằng chứng cho một giải pháp đúng đắn, kiểm tra tính hợp lệ của một lập luận và đưa ra kết luận của một vấn đề toán học”

1.2.2 Cấu trúc của năng lực lập luận toán học

Trần Mạnh Sang, Nguyễn Văn Thái Bình (2020) đã xác định cấu trúc của NL

tư duy và LLTH của HS trong học Toán bao gồm 05 thành tố:

(1) Kĩ năng lập luận để xác định cấu trúc bài toán và phân chia các trường hợp; (2) Kĩ năng lập luận để nhận diện bài toán và kiến thức có liên quan;

(3) Kĩ năng lập luận để tìm đoán và lựa chọn đường lối giải;

(4) Kĩ năng lập luận để thực hiện quá trình giải bài toán;

(5) Kĩ năng lập luận để đánh giá quá trình giải và nghiên cứu sâu bài toán

Từ kết quả nghiên cứu này cho thấy rõ vai trò của lập luận trong cấu trúc của

NL TD và LLTH

Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng, Nguyễn Thị Xoan (2023) căn cứ vào Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 của Bộ trưởng Bộ GD-ĐT làm rõ các thành tố của NL tư duy và LLTH của HS THPT bao gồm [3]:

“(1) Thực hiện được các thao tác tư duy như so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự; quy nạp, diễn dịch;

(2) Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận; sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề;

(3) Giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề, nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề; giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện Như vậy, vai trò của lập luận đã được các tác giả làm rõ qua việc đưa ra các yêu cầu cần đạt đối với HS” [3]

1.2.3 Biểu hiện của năng lực lập luận toán học

Một trong những biểu hiện quan trọng của NL tư duy và LLTH ở cấp THPT được nêu rõ trong Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán 2018 là [2]:

“(1) Thực hiện được các thao tác tư duy như: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự; quy nạp, diễn dịch, cụ thể: Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát;

(2) Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận, cụ thể:

Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề;

(3) Giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học, cụ thể: Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học” [2]

Trong dạy học chủ đề dãy số, NL LLTH thường có các biểu hiện sau:

(1) “Lập luận để nhận dạng được dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn, đưa ra được cách mô tả dãy số bằng liệt kê các số hạng; bằng công thức tổng quát; bằng hệ thức truy hồi; bằng cách mô tả, chỉ ra được tính chất tăng, giảm, bị chặn của dãy số” [6]

(2) “Lập luận để nhận dạng được một dãy số là cấp số cộng, chỉ ra được công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng, cách tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng Lập luận để vận dụng cấp số cộng vào giải quyết được một số vấn đề thực tiễn (ví dụ: một số vấn đề trong Sinh học, trong Giáo dục dân số )” [6]

(3) “Lập luận để nhận dạng được một dãy số là cấp số nhân, cách xác định công thức của số hạng tổng quát của cấp số nhân, cách tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân Lập luận để giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số nhân…” [6]

1.3 Dạy học môn toán theo hướng phát triển năng lực người học

1.3.1 Định hướng dạy học phát triển năng lực cho học sinh

Nghị quyết Hội nghị TW 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục đã nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới phương pháp dạy học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng người học Tập trung dạy

cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật, đổi mới tri thức, kĩ năng, phát triển NL” [17]

Dạy học phát triển NL cho HS là một quá trình thiết kế, tổ chức, lên kế hoạch phối hợp giữa các hoạt động dạy và hoạt động học, tập trung vào kết quả của quá trình này Trong đó cần nhấn mạnh người học đạt được những mức NL như thế nào sau khi kết thúc một quá trình dạy học

Để thực hiện được việc dạy học phát triển NL cho HS một cách có hiệu quả cần phải chú ý đến một số đặc điểm sau [24]:

- “Về mục tiêu: Luôn chú trọng hình thành nhân cách, phẩm chất và NL Mục tiêu dạy học là kết quả có thể đo lường và đánh giá được Dạy học để biết cách làm việc và ứng dụng để giải quyết vấn đề

- Về nội dung dạy và học: Nội dung phải được lựa chọn nhằm đạt các NL đầu

ra Chú trọng khâu thực hành, vận dụng được kiến thức vào thực tiễn Nội dung học tập phải có tính mở để người học thoải mái tính sáng tạo, giúp họ chủ động cập nhật kiến thức mới

- Về phương pháp tổ chức: Người dạy đóng vai trò tư vấn, thiết kế và tổ chức hoạt động dạy và học, hỗ trợ tối đa người học chiếm lĩnh tri thức ngay ở trên lớp Đẩy mạnh đa dạng hóa các hình thức dạy và học để người học khai phá và tìm tòi nhiều kiến thức mới trong thực tế Bên cạnh đó, giáo án lên lớp cần phân chia rõ theo NL và trình độ nhận thức của người học

- Về không gian: Không gian dạy học có tính linh hoạt, sáng tạo, không khí vui tươi, cởi mở Lớp học có thể trong trường, ngoài trường, các khu vui chơi

-Về đánh giá: Tiêu chí đánh giá phải dựa trên kết quả thực của hành động và sự tiến bộ của người học Không những thế, người học còn được nâng cao khả năng giao tiếp.” [24]

Để việc dạy học phát triển NL cho HS diễn ra thuận lợi và có hiệu quả thì trực tiếp những người đứng lớp cần có những phương pháp cụ thể hóa sau:

- Cải tiến các phương pháp dạy học truyền thống

“Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát triển NL cho HS không có nghĩa là bỏ đi các phương pháp dạy học truyền thống như: thuyết trình, vấn đáp, đàm

thoại, mà ở đây ta đang cải tiến, nâng cấp để loại bỏ những nhược điểm của chúng Bên cạnh những phương pháp dạy học đã có, người GV cần tăng cường tính tích cực trong nhận thức của HS để HS thấy rằng chính các em mới là tiêu điểm trong quá trình dạy học” [24]

- Kết hợp đa dạng đan xen các phương pháp dạy học

“Việc phối hợp đa dạng các phương pháp dạy học là phương pháp phát huy tính tích cực và nâng cao chất lượng giờ dạy của mỗi GV Trong thực tiễn dạy học ở trường THCS hiện nay, nhiều GV đã cải tiến bài lên lớp theo hướng kết hợp giữa thuyết trình gợi mở của GV đan xen các hoạt động nhóm hoặc hoạt động vấn đáp trực tiếp để huy động lập tức suy nghĩ của các em dành cho bài học” [24]

- Sử dụng các kĩ thuật dạy học phát triển NL cho HS

“Kĩ thuật dạy học nói cụ thể là những hành động của GV đối với mỗi đơn vị bài học trong các tình huống nhằm thực hiện mục tiêu và điều khiển hoạt động học Có những kỹ thuật dạy học chung, cũng có những kĩ thuật dạy học đặc thù GV bám vào

đó để lựa chọn sao cho phù hợp nhất để mỗi HS phát triển tối đa NL của mình” [24]

- Chú trọng phương pháp dạy học đặc thù cho từng bộ môn

“Cụ thể đối với môn Toán THPT nói chung thì việc lựa chọn các phương pháp dạy trong từng chủ đề là rất cần thiết và quan trọng Môn Toán là môn đặc thù, đòi hỏi phải lựa chọn đúng phương pháp để làm ra được vấn đề toán học, tránh trường hợp áp dụng bừa bãi, gây hoang mang cho HS” [24]

1.3.2 Một số phương pháp, tình huống dạy học góp phần phát triển năng lực lập luận toán học

(1) Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Qua tổng hợp một số nghiên cứu về tâm lí học, giáo dục học, chúng tôi cho rằng, trong dạy học môn Toán, cần rèn luyện các thành phần của NL LLTH và vận dụng vào thực tiễn trên cơ sở thiết kế các hoạt động giáo dục tương thích Quan điểm này hoàn toàn có thể thực hiện thuận lợi nếu GV vận dụng PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề

Theo Nguyễn Bá Kim PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề là PPDH mà trong

đó thầy giáo tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển HS phát hiện ra vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực để giải quyết vấn đề và thông qua đó lĩnh hội tri thức, KN

và đạt được những mục tiêu học tập khác [12]

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có bản chất cơ bản sau:

“Thứ nhất, HS được đặt vào một tình huống có vấn đề chứ không phải được thông báo dưới dạng tri thức có sẵn: Thầy cho HS phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm, tham gia vào quá trình giải toán để rút ra tri thức phương pháp…

Thứ hai, HS hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không chỉ tiếp thu một cách thụ động từ thầy

Thứ ba, mục đích dạy học không chỉ làm cho HS lĩnh hội được kết quả của bài toán mà HS dần có khả năng giải quyết nhiều việc khác trong thực tế cuộc sống” [12]

Trong quá trình phân tích để tìm hướng giải quyết vấn đề, trình bày cách giải quyết vấn đề… đòi hỏi HS phải có khả năng tư duy lập luận Đây chính là cơ hội để bồi dưỡng NL LLTH

(2) Dạy học đàm thoại phát hiện

Phương pháp đàm thoại phát hiện lại có những đặc điểm riêng cụ thể như sau:

“Thứ nhất, HS lĩnh hội kiến thức thông qua việc trao đổi giữa GV với cả lớp hoặc giữa

HS với nhau Thứ hai, phương pháp đàm thoại phát hiện có yếu tố tìm tòi, nghiên cứu của HS GV giống như người tổ chức, HS đóng vai trò phát hiện Khi kết thúc đàm thoại, HS có vẻ như người tự lực tìm ra chân lý Thứ ba, thông qua phương pháp này,

HS không những lĩnh hội được nội dung trí dục chủ yếu của bài học mà hơn thế HS còn được học cả phương pháp nhận thức và cách diễn đạt tư tưởng bằng lời nói” [12]

Như vậy, thông qua quá trình đàm thoại, HS có nhiều cơ hội để thể hiện khả năng tư duy và lập luận qua đó sẽ phát triển được NL LLTH

(3) Dạy học giải bài tập theo quy trình của G Polya

Dạy học giải toán là một trong những tình huống dạy học điển hình có vai trò quan trọng trong môn Toán G Polya cho rằng: “Bài tập đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay” [19]

Nhấn mạnh ý nghĩa của việc giúp HS phát hiện được vấn đề G.Polya cho rằng:

“Cách giải này thật đúng, nhưng làm sao để nghĩ ra một cách giải khác Sự kiện này đã được kiểm nghiệm, nhưng làm thế nào để phát hiện ra các sự kiện như vậy, và làm thế nào để tự mình phát hiện ra được” [19]

Theo tư tưởng của Polya, cần giúp HS biết tiến hành hoạt động giải toán thông qua các thao tác trí tuệ, ông đã đưa ra phương pháp chung để giải bài toán theo quy trình bốn bước:

Bước 1: Tìm hiểu bài toán

Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán

Bước 4: Nghiên cứu và kiểm tra kết quả bài toán

“Trong dạy học nói chung và trong dạy học giải bài tập nói riêng, bài tập có vai trò định hướng hoạt động tư duy của HS, giúp HS phát huy tính tích cực, NL chủ động sáng tạo trong học tập Đặc biệt ở những nội dung kiến thức có nhiều mối quan hệ thì việc giải bài tập có thể giúp HS mở rộng được kiến thức Vì vậy KN giải bài tập có một vai trò rất quan trọng trong biện pháp tổ chức hoạt động học tập cho HS hiện nay HS có KN giải bài tập sẽ rất thuận lợi cho việc tổ chức hoạt động nhận thức và củng cố mở rộng kiến thức Thực tế ở một số môn học khoa học tự nhiên như đặc biệt là môn Toán việc hình thành

KN giải bài tập là một việc làm thường xuyên và không thể thiếu được” [24]

Các yêu cầu đối với một lời giải toán [19]:

“Thứ nhất: Kết quả đúng kể cả kết quả ở các bước trung gian Kết quả cuối cùng

phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ… thỏa mãn yêu cầu

đề ra Kết quả các bước trung gian cũng phải đúng Như vậy lời giải không thể chứa những sai lầm về tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức

Thứ hai: Lập luận phải chặt chẽ Điều này được thể hiện cụ thể là lời giải phải

tuân thủ các yêu cầu: Luận đề phải nhất quán; Luận cứ phải đúng; Luận chứng phải hợp logic

Thứ ba: Lời giải phải đầy đủ Lời giải không được bỏ sót các trường hợp Thứ tư: Ngôn ngữ phải chính xác, lời giải trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật Thứ năm: Lời giải ngắn gọn, hợp lý nhất trong tất cả các cách giải bài toán đó;

lời giải đó có thể mở ra một bài toán mới” [19]

Như vậy, dạy học giải bài tập là môi trường rất thuận lợi để HS phát triển NL tư duy và LLTH

1.4 Cơ hội bồi dưỡng năng lực lập luận toán học trong dạy học chủ đề dãy số

1.4.1 Chủ đề dãy số trong chương trình môn toán lớp 11

Bảng 1.1 Chủ đề dãy số trong chương trình môn toán lớp 11

1 Dãy số

Dãy số tăng, dãy

số giảm

- Nhận biết được dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn

- Thể hiện được cách cho dãy số bằng liệt kê các số hạng; bằng công thức tổng quát; bằng hệ thức truy hồi; bằng cách mô tả

- Nhận biết được tính chất tăng, giảm, bị chặn của dãy

số trong những trường hợp đơn giản

- Nhận biết được một dãy số là cấp số cộng

- Giải thích được công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng

- Tính được tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số

cộng

- Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp

số cộng để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn (ví dụ: một số vấn đề trong Sinh học, trong Giáo dục dân số )

- Nhận biết được một dãy số là cấp số nhân

- Giải thích được công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân

- Tính được tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số

nhân

- Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp

số nhân để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn (ví dụ: một số vấn đề trong Sinh học, trong Giáo dục dân số )

1.4.2 Một số cơ hội bồi dưỡng năng lực lập luận toán học trong dạy học chủ đề dãy số

(1) Khi HS đứng trước các bài tập mà chưa có ngay lời giải

HS sẽ có cơ hội lập luận, lý giải, để nhận diện bài toán, chỉ ra các kiến thức liên quan đến bài toán… trên cơ sở đó HS huy động, sắp xếp các kiến thức đã biết một cách lôgic, để đưa ra cách giải quyết cho bài toán

Ví dụ: Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy:

(𝑢𝑛): {𝑢𝑢1 = 1.

𝑛+1 = 3𝑢𝑛+ 2 (𝑛 ∈ ℕ∗) Dãy số đã cho ở dạng công thức truy hồi Cần đưa ra công thức biểu diễn số hạng tổng quát 𝑢𝑛 của dãy số

Đây là bài toán mà HS chưa thể áp dụng ngay các định nghĩa, tính chất của dãy

số để đưa ra ngay lời giải GV gợi ý cho HS 2 vấn đề cần làm rõ: Trước hết phải nhận dạng dãy số đã cho, tiếp theo tìm cách đưa dãy số về dạng những dãy số mà HS đã gặp

HS sẽ lần lượt giải quyết từng vấn đề:

- Để nhận dạng dãy số (𝑢𝑛), HS sẽ lập luận:

- Dãy (𝑢𝑛) không phải là cấp số cộng vì xuất hiện số 3 trước 𝑢𝑛

- Dãy (𝑢𝑛) không phải là cấp số nhân vì xuất hiện số 2 ở vế trái của hệ thức truy hồi

- Đưa được dãy số về dạng đã gặp (dãy cấp số cộng, dãy cấp số nhân), HS trao đổi, lập luận:

Trước hết phải tìm cách làm “ẩn” hệ số 2 trong công thức truy hồi Muốn vậy ta

Ta có

𝑢𝑛+1 = 3𝑢𝑛+ 2 ⇒ 𝑣𝑛+1− 1 = 3(𝑣𝑛− 1) + 2 ⇔ 𝑣𝑛+1 = 3𝑣𝑛

Vậy (𝑣𝑛) là một cấp số nhân có công bội 𝑞 = 3 và 𝑣1 = 𝑢1+ 1 = 2

⇒ 𝑣𝑛 = 𝑣13𝑛−1= 2 3𝑛−1 ⇒ 𝑢𝑛 = 𝑣𝑛− 1 = 2 3𝑛−1− 1

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 𝑢𝑛 = 2 3𝑛−1− 1, ∀𝑛 ∈ ℕ∗

(2) HS đứng trước bài toán có yếu tố thực tiễn:

Đây cơ hội để HS thể hiện, rèn luyện khả năng lập luận của mình trong các khâu: Toán học hóa bài toán: đưa được bài toán ban đầu về bài toán ở dạng toán học; Giải quyết bài toán, đưa ra lời giải cho bài toán; Phân tích ý nghĩa lời giải của bài toán trong thực tiễn; Kiểm tra, nhận xét ý nghĩa kết quả của bài toán trong thực tiễn

Ví dụ 2 (bài toán Hunggary): Một hình vuông đơn vị được chia thành 9 hình

vuông bằng nhau, hình vuông ở giữa được

tô màu, 8 hình vuông còn lại sẽ được chia

theo cách trên Nếu ta tiếp tục như thế đến

vô tận thì giới hạn của phần diện tích được

tô này là bao nhiêu?

+ Trước tiên, HS toán học hóa bài toán với 2 yếu tố thực: Diện tích được tô mầu

ở mỗi lượt chia và tổng diện tích đã được tô mầu GV có thể gợi ý cho HS lập luận trên

cơ sở hình ảnh trực quan để giải quyết bài toán, cụ thể, HS sẽ nhận thấy:

- Với mỗi bước chia thứ i ta sẽ tô mầu một số hình vuông nên có thể đặt diện tích tô mầu với mỗi bước chia là 𝑈𝑖

- Sau n lần chia thì tổng diện tích được tô mầu là 𝑆𝑛

Vậy bài toán ban đầu được đưa về bài toán: tìm giới hạn của 𝑆𝑛 khi 𝑛 → +∞ (với

𝑆𝑛 là tổng diện tích được tô mầu sau n lần chia)

+ Tiếp tục, với 𝑈𝑖 là diện tích tô mầu ứng với bước chia thứ i Vậy 𝑈𝑖 được xác định như thế nào? HS đặt ra các câu hỏi:

- Diện tích được tô mẫu ở lần chia đầu tiên: 𝑈1=?

- Gọi 𝑈𝑛 là phần diện tích được tô mầu ở lần chia thứ n, vậy 𝑈𝑛được xác định như thế nào?

Từ hình ảnh trực quan HS sẽ lập luận để lần lượt giải quyết từng vấn đề:

- Ta có 𝑈1 =1

9 (vì hình vuông đơn vị nên cạnh là 1 đơn vị)

- Nếu đặt 𝑈𝑛 là phần diện tích được tô mầu sau mỗi lần chia vào lần thứ n: ta

Để hoàn thành nhiệm vụ, HS sẽ phải tìm được công thức xác định 𝑆𝑛 sau đó đi tìm giới hạn của 𝑆𝑛 khi 𝑛 → +∞ HS dựa vào kiến thức đã biết để tiếp tục lập luận:

- Vì {𝑈𝑛} là cấp số nhân với công bội là 8

9 < 1 nên tổng diện tích 𝑆𝑛 là:

𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2+ ⋯ + 𝑈𝑛 = 𝑈1.1−(

8

9 )n 1−(89) = 1 − (8

9)𝑛 Vậy: lim

𝑛→+∞𝑆𝑛 = 1, hay tổng diện tích được tô mầu sau vô hạn lần chia là 1 (đvdt) + Cuối cùng, GV cho HS về nhà tiếp tục thảo luận về ý nghĩa hình học của giới hạn Sn để trao đổi với lớp trong giờ học tiếp sau

(3) GV vận dụng dạy học giải quyết vấn đề vào dạy học nội dung dãy số một cách hợp lí

Theo Nguyễn Hữu Châu (1995): Dạy học giải quyết vấn đề, nhìn chung thường chia thành 3 giai đoạn:

- Nêu vấn đề

- Nỗ lực giải quyết vấn đề

- Thảo luận bài toán và lời giải

Như vậy việc vận dụng dạy học giải quyết vấn đề không chỉ bồi dưỡng NL giải quyết vấn đề cho HS mà còn góp phần bồi dưỡng NL LLTH, cụ thể để thực hiện các bước trên, HS được bồi dưỡng các khả năng: sử dụng các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề; Giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề; Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận

Ví dụ 3: cho dãy số: (𝑥𝑛): {𝑥 𝑥1 = 2

𝑛+1=1

2(𝑥𝑛2+ 1), 𝑛 ≥ 1Gọi 𝑆𝑛 = 1

Bước 1: Nêu vấn đề:

HS đứng trước bài toán tìm giới hạn của một tổng mà mỗi số hạng của một tổng lại liên quan đến một dãy số được cho ở dạng công thức truy hồi Như vậy HS cần phải hoàn thành các nhiệm vụ: Nhận dạng dãy số; Nhận dạng tổng 𝑆𝑛 từ đó tìm cách tính giới hạn 𝑆𝑛

Bước 2: Nỗ lực giải quyết vấn đề:

- Nhận dạng dãy số: GV đặt ra các câu hỏi: Dãy số trên là dãy số tăng hay dãy

số giảm? Dãy số này có bị chặn hay không? Để trả lời câu hỏi của GV, HS lập luận:

Căn cứ công thức truy hồi xác định dãy số (𝑥𝑛), ta có:

Ta có: 𝑥𝑛+1 =1

2(𝑥𝑛2+ 1) suy ra 2 (𝑥𝑛+1− 1) =( 𝑥𝑛 − 1)(𝑥𝑛+ 1) suy ra 1

Với kiến thức về giới hạn mà HS đã biết, HS sẽ vận dụng để đưa ra kết quả, cụ thể:

𝑛→+∞

1

𝑥 𝑛+1 −1 = 0)

Bước 3: Thảo luận bài toán và lời giải:

GV cho đại diện HS trình bày lời giải trước lớp, các HS còn lại trao đổi thêm về các kiến thức đã sử dụng, cách lập luận… để đưa ra lời giải Kết thúc, GS sẽ đưa ra một số bài tập tương tự để HS về nhà tiếp tục hoàn thiện

1.4.3 Vấn đề đánh giá năng lực lập luận toán học của học sinh

“Việc đánh giá NL là một vấn đề hết sức phức tạp Ta có thể vận dụng kết hợp nhiều hình thức đánh giá (đánh giá quá trình, đánh giá định kì), nhiều phương pháp đánh giá (quan sát, ghi lại quá trình thực hiện, vấn đáp, trắc nghiệm khách quan, tự luận, kiểm tra viết, bài tập thực hành, các dự án/sản phẩm học tập, thực hiện nhiệm vụ thực tiễn, ) và vào những thời điểm thích hợp” [24]

Trong Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (ban hành kèm theo Thông

tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 của Bộ trưởng Bộ GD-ĐT) đã đưa ra định hướng để đánh giá NL tư duy và LLTH: “có thể sử dụng một số phương pháp, công cụ đánh giá như các câu hỏi (nói, viết), bài tập,… mà đòi hỏi HS phải trình bày, so sánh, phân tích, tổng hợp, hệ thống hoá kiến thức; phải vận dụng kiến thức toán học để giải

thích, lập luận” [2]

Để đánh giá NL LLTH của HS trong dạy học chủ đề dãy số, có thể:

- Dựa kết quả giải toán (Tìm đúng dạng của số hạng tổng quát, tính đúng tổng, tính đúng giới hạn… của dãy số)

- Căn cứ vào việc HS đã thể lập luận trong quá trình giải toán như thế nào? trú trọng đến nội dung HS trình bày, so sánh, phân tích, tổng hợp, hệ thống hoá kiến thức; lập luận để vận dụng kiến thức toán học, làm rõ cách giải quyết vấn đề

Ví dụ 4: Cho bài toán: Cho 2 dãy số (an) và (bn) xác định như sau:

Chứng minh rằng: 2𝑛+2𝑎𝑛 < 𝜋 < 2𝑛+2𝑏𝑛 với mọi 𝑛 ∈ 𝑁

Ta có thể nhận xét, đánh giá về NL LLTH của HS căn cứ vào: Lập luận của HS trong các khâu của quá trình giải quyết vấn đề: HS lập luận để xác định, nhận dạng bài toán, xác định đúng những tính chất của dãy số có thể vận dụng để giải quyết bài toán; Lập luận để chỉ ra mối liên hệ giữa các yếu tố của dãy số, từ đó chỉ ra được những kiến thức, phương pháp giải toán đã biết… để đưa ra lời giải của bài toán, cụ thể:

- Với kiến thức lượng giác đã có, HS lập luận đúng để đưa được các số hạng của dãy số về dạng lượng giác:

1 𝑐𝑜𝑠𝜋22

−1 𝑡𝑎𝑛22𝜋 = 𝑡𝑎𝑛 𝜋

Khảo sát nhằm mục tiêu: Đánh giá quan điểm của GV và HS về việc giảng dạy

và học tập nội dung chủ đề dãy số; Đánh giá mức độ nhận thức của HS về việc tìm số hạng tổng quát của một dãy số, tìm giới hạn của một tổng; Từ kết quả điều tra, khảo sát, rút ra những định hướng trong giảng dạy và học tập nội dung này và đề xuất các biện pháp sư phạm phù hợp

1.5.2 Phương pháp khảo sát

+ Phương pháp điều tra bảng hỏi: Tác giả tiến hành phát phiếu hỏi điều tra quan điểm của HS thông qua công cụ Google Form Phiếu hỏi gồm 8 câu hỏi liên quan đến nhận thức quan điểm của HS về việc học môn Toán nói chung và việc học tập nội dung dãy số trong chương trình Toán 11 nói riêng (Xem Phụ lục 2) Việc gửi link khảo sát được thực hiện thông qua GV chủ nhiệm tại các lớp mục tiêu

+ Phương pháp phỏng vấn: Được thực hiện để tìm hiểu quan điểm của các GV

về sự quan tâm của những GV đó khi đứng trước những bài toán về dãy số cũng như việc bồi dưỡng NL suy luận cho HS khi dạy Toán

+ Phương pháp kiểm tra, đánh giá: Tác giả luận văn thiết kế đề kiểm tra chất lượng, nội dung liên quan đến chủ đề dãy số Nội dung này có lồng ghép vào bài kiểm

tra, đánh giá thường xuyên của HS Sau đó, tiến hành đánh giá kết quả thông qua việc phân tích bài làm của HS

1.5.3 Kết quả khảo sát về quan điểm của học sinh, giáo viên trong dạy học chủ đề dãy số

* Đối với HS

Tiến hành khảo sát việc dạy học chủ đề dãy số cho HS khối lớp 11 trên địa bàn huyện Ninh Giang, Hải Dương, chúng tôi thu được 174 phản hồi hợp lệ từ các HS tham gia khảo sát Cụ thể: THPT Ninh Giang với 89 HS và THPT Khúc Thừa Dụ với 85 HS, kết quả thống kê mô tả thể hiện trong Bảng 1.1 dưới đây

Bảng 1.2 Kết quả khảo sát học sinh Câu

Theo em, mức độ nội dung

của chủ đề dãy số lớp 11 như

Không quan trọng

5

Theo em, chủ đề dãy số có yêu

cầu em phải lập luận hay

Thỉnh thoảng Không

7

Theo em, việc phải biết lập

luận trong việc giải các bài

toán về dãy số có quan trọng

không?

Rất quan trọng Quan trọng

Không quan trọng

Với nội dung khảo sát liên quan đến sở thích của HS trong học tập môn Toán nói chung và nội dung dãy số ở lớp 11, chỉ có một tỉ lệ khá thấp các HS thích học môn Toán (30 HS/17,2%) và nội dung dãy số lớp 11 (24HS/13,8%), trong khi số HS trả lời không thích với hai nội dung trên tương ứng là 45 HS/25,9% và 56 HS/32,2% Hơn nửa số HS tham gia khảo sát không tỏ ra thích thú hay không trong nội dung câu hỏi này (56,9% và 54,0%)

Kết quả trên khá phù hợp với kết quả khảo sát về sự đánh giá mức độ khó về nội dung của chủ đề dãy số lớp 11 58 HS (33,3%) cho rằng đây là một nội dung khó, trong khi chỉ 28 HS (16,1%) không cho rằng đây là nội dung khó đối với HS Một nửa

số HS (88/174) đánh giá mức độ khó của nội dung này ở mức bình thường

Kết quả này cũng khá tương đồng với đánh giá của HS về mức độ quan trọng của nội dung này Hơn một nửa số HS (96HS/55,2%) cho rằng nội dung này rất quan trọng và quan trọng

Ba phần tư số HS (75/174 = 75,9%) tham gia khảo sát cho rằng chủ đề dãy số yêu cầu HS phải lập luận trong quá trình giải toán Trong khi đó 73,6% số HS cho biết thỉnh thoảng cũng có tham gia phát biểu xây dựng bài

Phần lớn HS (130/174 = 74,7%) cho rằng việc phải biết lập luận trong việc giải các bài toán về dãy số là rất quan trọng và quan trọng

Hơn nửa số HS (104/174 = 59,8%) cho biết, trong quá trình học chủ đề dãy số,

HS có gặp khó khăn và sai lầm trong suy luận

* Đối với GV

Để tìm hiểu về thái độ của GV, chúng tôi đã có các cuộc trao đổi, tìm hiểu một

số GV dạy toán lớp 11 ở các trường THPT trên địa bàn huyện Ninh Giang, tỉnh Hải Dương (21 GV) về sự quan tâm của những GV đó khi đứng trước những bài toán về dãy số cũng như việc bồi dưỡng NL suy luận cho HS khi dạy Toán Sau khi điều tra, kết quả thu được như sau:

Bảng 1.3 Thống kê về sự quan tâm của giáo viên khi đứng trước một bài toán về chủ

đề dãy số

3 Cách lập luận của HS trong quá trình giải bài toán 10 47,6%

4 Cách để phát triển NL LLTH cho HS 15 71,4% Phần lớn GV quan tâm đến nội dung về cách giải các bài toán thuộc chủ đề này 17/21 GV (81,0%) lựa chọn phương án trả lời này Trong khi đó, số GV ưu tiên lựa chọn nội dung giải các dạng bài tập tương tự chỉ là 13/21 (61,9%) Mặc dù, cách lập luận của

HS trong quá trình giải toán là một kỹ năng rất quan trọng, song đây lại là nội dung được

ít GV lựa chọn ưu tiên Với 10/21 GV lựa chọn (chiếm 47% tổng số GV tham gia trả lời), đây là nội dung được ít sự quan tâm nhất Tuy nhiên, phần lớn các GV đều quan tâm đến Cách thức để phát triển NL LLTH cho HS với 15/21 GV lựa chọn (71,4%)

1.5.4 Kết quả khảo sát về khả năng lập luận của học sinh trong giải toán

Để đánh giá mức độ nhận thức của HS về việc tìm số hạng tổng quát của một dãy số, tìm giới hạn của một tổng, từ đó định hướng cách dạy và học phù hợp, tôi tiến

hành kiểm tra chất lượng HS lớp 11A thông qua bài kiểm tra 45 phút

- Cho HS làm đề kiểm tra (Đề 1 - phần phụ lục)

- GV thống kê, phân tích kết quả và nhận xét, đánh giá

Kết quả được thể hiện trong Bảng 1.4

Bảng 1.4 Kết quả bài kiểm tra khảo sát

Phân tích kết quả bài kiểm tra cho thấy:

- Đa số HS chỉ giải được bài tập cơ bản liên quan đến dãy số đặc biệt (cấp số cộng, cấp số nhân) và một bài tập đơn giản tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi

hệ thức truy hồi

- Có một số em biết hướng giải một số bài tập vận dụng cao tuy nhiên lại không

biết cách trình bày hoặc trình bày còn có những thiếu sót nên dễ mất điểm

Nguyên nhân:

- Kỹ năng giải toán còn chậm Đặc biệt là khả năng lập luận của HS còn nhiều

hạn chế

- Một số HS bị rỗng kiến thức từ lớp dưới Một số em ý thức học tập chưa tốt,

khả năng tư duy về môn tự nhiên còn hạn chế

- Dạy các tiết chính khóa trên lớp không có nhiều thời gian dạy các nội dung

chuyên sâu để đáp ứng nhu cầu học tập của nhóm đối tượng HS khá, HS mũi nhọn

- Chưa dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu tham khảo, trong khi sách giáo

khoa kiến thức viết về dãy số còn ít, kiến thức chỉ rất cơ bản

- Ít tài liệu để nghiên cứu, có những tài liệu thì nội dung lại không phù hợp với

đối tượng HS của trường

Kết luận chương 1

Trong chương này tác giả đã tổng quan một số vấn đề về cơ sở lí luận và thực

tiễn của đề tài: NL lập luận toán học; Những biểu hiện của NL lập luận toán học Các

phương pháp và tình huống dạy học có thể phát triển NL lập luận toán học cho HS

Tác giả đã tiến hành một cuộc khảo sát để đánh giá tình hình giảng dạy chủ đề

dãy số lớp 11 theo hướng bồi dưỡng năng lực lập luận toán học cho học sinh tại một số

trường THPT ở huyện Ninh Giang, Hải Dương Một trong những nguyên nhân ảnh hưởng

đến NL LLTH của học sinh là HS chưa nắm được hệ thống các kiến thức nền tảng liên

quan đến dãy số trong chương trình phổ thông, GV chưa thực sự quan tâm đầu tư chọn lựa

các bài tập có yêu cầu tăng dần về mức độ lập lận để HS rèn luyện Mặt khác, nhưng bài

toán về dãy số ít sức thu hút với HS vì các bài tập trong SGK vẫn “thiên” về kiến thức toán

học mà chưa chỉ ra rõ được ý nghĩa của bài toán trong cuộc sống

Kết quả khảo sát cho thấy việc áp dụng phương pháp giảng dạy hướng tới bồi

dưỡng năng lực lập luận toán học cho học sinh đã có những thay đổi, tuy nhiên, chưa đạt

được sự đồng nhất và hiệu quả cao Giáo viên vẫn chưa đặc biệt chú trọng và đầu tư đủ để

có cái nhìn tổng thể, do đó cần xác định rõ mục tiêu chính là nâng cao năng lực lập luận

toán học cho học sinh và đề xuất các biện pháp cần thiết để đạt được điều này

Với những tình trạng trên, việc xây dựng và nghiên cứu cẩn thận các biện pháp cụ

thể để bồi dưỡng năng lực lập luận toán học thông qua chủ đề dãy số là vô cùng cần thiết

CHƯƠNG 2 BIỆN PHÁP DẠY HỌC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC “TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA

DÃY SỐ VÀ TÌM GIỚI HẠN CỦA MỘT TỔNG”

2.1 Định hướng xây dựng biện pháp phát triển năng lực lập luận toán học cho học sinh

Dựa trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết và thực tế, luận văn đã định rõ một số hướng

cơ bản để xây dựng và triển khai các biện pháp giảng dạy nhằm phát triển kỹ năng lập luận toán học trong việc giảng dạy chủ đề dãy số cho học sinh:

(1): Hệ thống các biện pháp sư phạm được xây dựng dựa trên mục tiêu và chuẩn kiến thức kỹ năng của chủ đề dãy số nói chung, và nội dung chương trình "tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng" nói riêng tại trường THPT

(2): Các biện pháp xây dựng phải căn cứ vào việc đổi mới phương pháp dạy học, nhằm khuyến khích sự tích cực và chủ động của học sinh, và đồng thời khuyến khích khả năng lập luận toán học trong quá trình khám phá và nắm bắt kiến thức mới

(3): Hệ thống các biện pháp sư phạm cần có tính khả thi, có thể được áp dụng trong quá trình dạy học tại trường THPT để phát triển khả năng lập luận toán học của học sinh

2.2 Biện pháp phát triển năng lực lập luận toán học cho học sinh dạy học chủ đề

“Tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng”

2.2.1 Biện pháp 1: Trang bị cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản để học sinh có

đủ kiến thức để lập luận để giải bài tập

2.2.1.1 Cơ sở và ý nghĩa của biện pháp

Việc trang bị cho HS nền tảng lý thuyết làm cơ sở cho các lập luận trong giải toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng là rất quan trọng

để giúp các HS hiểu được cách thức hoạt động của các khái niệm toán học này, từ đó

áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán khác nhau một cách chính xác và hiệu quả

Thực tế khảo sát cũng đã cho thấy: Khi giải toán tìm số hạng tổng quát của dãy

số, tìm giới hạn của một tổng, HS cần phải hiểu rõ khái niệm dãy số, số hạng tổng quát,… Nếu HS không có nền tảng lý thuyết tốt về các khái niệm này, họ sẽ khó có thể

giải quyết các bài toán liên quan đến chúng Bên cạnh đó, khi có kiến thức lý thuyết, HS cũng có thể phát hiện được các quy luật, tính chất của các dãy số, từ đó áp dụng chúng vào việc lập luận tìm số hạng tổng quát của dãy số một cách dễ dàng và chính xác

2.2.1.2 Cách thức thực hiện và ví dụ minh họa

Để hệ thống hóa các kiến thức nền cần trang bị cho HS khi giải toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và tìm giới hạn của một tổng, GV có thể yêu cầu HS tự tổng hợp các kiến thức liên quan dưới dạng một sổ tay toán học mini, dạng sơ đồ tư duy tổng hợp kiến thức…

Các kiến thức cơ bản bao gồm các nội dung sau:

2 Dãy số tăng, dãy số giảm

a) Dãy số (𝑢𝑛) được gọi là tăng nếu 𝑢𝑛+1> 𝑢𝑛 với mọi 𝑛 ∈ ℕ∗

b) Dãy số (𝑢𝑛) được gọi là giảm nếu 𝑢𝑛+1 < 𝑢𝑛 với mọi 𝑛 ∈ ℕ∗

*) Cấp số cộng

1 Định nghĩa:

“Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi 𝑑” [10]

“Số không đổi 𝑑 được gọi là công sai của cấp số cộng

Đặc biệt, khi 𝑑 = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau)

Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

1) Nếu (𝑢𝑛)là một cấp số cộng với công sai 𝑑, ta có công thức truy hồi

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑑,  𝑛 ∈ ℕ∗ 2) Cấp số cộng (un) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d>0

3) Cấp số cộng (un) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d<0”[10]

“Số 𝑞 được gọi là công bội của cấp số nhân

Nếu (𝑢𝑛) là cấp số nhân với công bội 𝑞, ta có công thức truy hồi:

4 Tổng 𝑛 số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Định lí 3 Cho cấp số nhân (𝑢𝑛) với công bội 𝑞 ≠ 1 Đặt 𝑆𝑛 = 𝑢1+ 𝑢2+⋅⋅⋅ +𝑢𝑛 Khi đó 𝑆𝑛 =𝑢1(1−𝑞𝑛)

1−𝑞 Chú ý: Nếu 𝑞 = 1 thì cấp số nhân là 𝑢1, 𝑢1, 𝑢1, , 𝑢1, khi đó 𝑆𝑛 = 𝑛𝑢1

*) Giới hạn của dãy số

“Định nghĩa Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là hằng số thực a hữu hạn nếu với mọi số dương 𝜀 (có thể bé tùy ý), luôn tồn tại chỉ số 𝑛0 ∈ 𝑁 (n 0 có thể phụ thuộc vào 𝜀 và vào dãy số (un) đang xét), sao cho với mọi chỉ số n ∈N, n≥n0 ta luôn có

|𝑢𝑛 − 𝑎| < 𝜀 Khi đó kí hiệu 𝑙𝑖𝑚

𝑛→+∞𝑢𝑛 = 𝑎 hoặc limun = a và còn nói rằng dãy số (un) hội tụ về a Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì” [10]

Định lý 4 Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

Định lý 5 (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass)

a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ

b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ

c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

i) Phương trình f(x)=x có nghiệm⇔phương trình fn(x)=x có nghiệm

ii) Gọi 𝛼, 𝛽 là các mút trái, mút phải của D Biết 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝛼+[𝑓(𝑥) − 𝑥] và 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝛽−[𝑓(𝑥) − 𝑥] cùng dương hoặc cùng âm Khi đó phương trình f(x) = x có nghiệm duy nhất ⇔ phương trình fn(x) = x có nghiệm duy nhất trong đó fn(x) = 𝑓(𝑓( (𝑓(𝑥) )

𝑛 𝑙ân

Định lý 11 Cho hàm f: D→D là hàm đồng biến Dãy (xn) thỏa mãn xn+1 = f(xn),

∀𝑥 ∈ 𝑁 ∗ Khi đó:

i) Nếu x 1 < x 2 thì dãy (x n ) tăng

ii) Nếu x 1 < x 2 thì dãy (x n ) giảm

Chứng minh (ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp)