Tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng phương pháp sai phân51774

20 1 0
Tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng phương pháp sai phân51774

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

TÌM S H NG T NG QUÁT C A DÃY S B NG PH NG PHÁP SAI PHÂN ng trình sai phơn b c nh t: I-Ph  x0  const Tìm s h ng t ng quát c a dãy s ? ax n+1  bxn  D ng 1: Cho dãy s {xn} :  n b b b T công th c truy h i ta có : xn     xn1     xn2      x0  a  a  a n b Khi cơng th c t ng qt (CTTQ) c a dãy s đ c xác đ nh b i : xn  x0     a x  Thí d : Cho dãy s {xn} đ c xác đ nh b i :   xn 1  3xn  , n  ฀ Tìm s h ng t ng quát c a dãy s Gi i: T công th c truy h i ta có : xn  3xn1  32 xn2   3n x0 hay xn  5.3n  x0 , v i Pk (n) đa th c b c k c a n ax n+1  bxn  Pk (n) D ng 2: Cho dãy s {xn} :  Tìm s h ng t ng quát c a dãy s ? Gi i: Xét ph b a ng trình đ c tr ng : a   b      i v i d ng ta xét thêm m t giá tr xn* g i nghi m riêng c a ph ng trình sai phân Khi s h ng t ng quát c a dãy đ c xác đ nh b i : xn  c. n  xn* Trong nghi m riêng xn* đ c xác đ nh nh sau :  N u a + b ≠ nghi m riêng xn*  Qk (n) thay vào ph ng trình ta đ c: ng nh t h s ta tìm đ c Qk (n) a.Qk (n  1)  b.Qk (n)  Pk (n)  N u a + b = nghi m riêng xn*  n.Qk (n) thay vào ph ng trình ta đ c: a (n  1).Qk (n  1)  bn.Qk (n)  Pk (n) ng nh t h s ta tìm đ c n.Qk (n) x  Thí d 1: Cho dãy s {xn} :  Tìm s h ng t ng quát xn   xn 1  xn  3n  4n  , n  ฀ Gi i: Xét ph ng tình đ c tr ng       Ta có : a + b = – = -1 ≠ nên nghi m riêng pt có d ng : xn*  an2  bn  c Thay xn* vào pt, ta đ c : a (n  1)2  b(n  1)  c  2an2  2bn  2c  3n2  4n    an2  (2a  b)n  a  b  c  3n2  4n  ng nh t h s hai v ta đ c : a  a  3   2a  b   b  10 a  b  c  c  18    xn*  3n  10n  18 CTTQ c a s h ng dãy : xn  c.2n  3n2  10n 18 T x0   c 18   c  25 Suyra xn  25.2n  3n2 10n 18  x0  Tìm CTTQ c a xn  xn 1  xn  4n  , n  ฀ Thí d 2: Cho dãy s {xn} :  Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng  1     Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn Ta có : a + b = – = nên nghi m riêng c a pt có d ng xn*  n(an  b)  an2  bn xn* vào pt, ta đ c : a (n  1)2  b(n  1)  an2  bn  4n   2an  a  b  4n  ng nh t h s hai v ta đ c :  2a  a    xn*  2n2  3n  a  b  b  S h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn  c  2n2  3n T x0   c  Suy xn  2n2  3n   x0 ax n+1  bxn  d (d  const) , n  ฀ D ng 3: Cho dãy s {xn} :    b  n  d      1 n b  a       xn     x0   Khi s h ng t ng quát c a dãy s :   b    a a     1   a     xn  x0  nd neu a  b  neu a  b   x0  Tìm CTTQ c a xn     ฀ x x , n n  n  Thí d 1: Cho dãy s {xn} :  Gi i: T công th c truy h i ta có : xn  xn1   xn2  2.6  xn3  3.6   x0  6n hay xn  6n   x0  Tìm CTTQ c a xn  xn 1  xn  , n  ฀ Thí d 2: Cho dãy s {xn} :  Gi i: T công th c truy h i, ta có : xn  xn 1   8 xn 2     82.xn 2  8  1  82.xn 2  82  8n    8n.x 4 1 1 Suy xn  3.8n  8n  1  25 n  7 x D ng 4: Cho dãy s {xn} :  Tìm CTTQ c a xn n ฀      , ax bx d n  n  n 1 b Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng : a   b       q a  N u    nghi m riêng c a ph ng trình xn*  c. n thay vào pt, ta đ a c. n1  b.c. n  d  n  c  d d d  xn*   a  b a  b a   q  n S h ng t ng quát c a dãy : xn  c1.q n  xn*  c1.q n  T n  c: b  qa  d n a   q    n d d d d n d  n  qn n  c1  x0   xn   x0     q x q  a (  q) a (  q) a (  q)  a (  q) a  q   N u    nghi m riêng c a ph ng trình xn*  cn n thay vào pt, ta đ c : d d d   (do q   ) ac(n  1) n1  bcn n  d n  c  a (n  1)  bn a (n  1)  aqn aq x0  c1  Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn Suyra xn*  dnq n dnq n1  aq a dnq n 1 S h ng t ng quát c a dãy : xn  c1.q  x  c1.q  a dnq n 1 T x0  c1  xn  x0 q n  a  d qn   n neu q    a q  n V y t ta có : xn  x0 q   d  nq n 1 neu q    a n * n n x  Thí d 1: Cho dãy s {xn} :  n   xn 1  3xn  2.5 , n  ฀ Tìm CTTQ c a xn b a Ta có :   q    ; d  ;   Vì q   nên ta có s h ng t ng quát c a dãy s : 3n  5n d qn   n  5.3n   4.3n  5n xn  x0 q n  35 a q  x  Thí d 2: Cho dãy {xn} :  Tìm CTTQ c a xn n   xn 1  3xn  5.3 , n  ฀ b Ta có:   q    ;   ; d  Vì q   nên ta có s h ng t ng quát c a dãy s : a d xn  x0 q n  nq n 1  2.3n  5n.3n 1  (5n  6).3n 1 a x D ng 5: Cho dãy s {xn} :  Xác đ nh n n n (1) , n  ฀  axn 1  bxn  d11  d 2   d k k sô h ng t ng quát c a dãy G i xn*1 nghi m riêng c a ph ng trình axn1  bxn  d11n xn*2 nghi m riêng c a ph ng trình axn1  bxn  d2 2n *k xn nghi m riêng c a ph ng trình axn1  bxn  dk kn Khi nghi m riêng c a ph ng trình (1) s xn*  xn*1  xn*2   xn*k b Khi s h ng t ng quát xn  c. n  xn*       a x  Thí d : Cho dãy {xn} :  Tìm CTTQ c a xn n n   xn 1  xn  3.2  5.7 (*) , n  ฀ Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng :        Do 1   nên nghi m riêng xn*1  d1n.2n , thay vào ph ng trình, ta đ d1 (n  1).2n1  2d1n.2n  3.2n  d1   xn*1  3n.2n1 *2  Do    nên nghi m riêng xn  d2 7n , thay vào ph ng trình, ta đ d2 n 1 c: c:  2d2  5.7  d2   x  n n *2 n n S h ng t ng quát xn  c.2n  xn*1  xn*2  c.2n  3n.2n1  7n Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn T x0   c    c  Suyra xn  2n  3n.2n1  7n x D ng 6: Cho dãy s {xn} :  n  axn 1  bxn  Pk (n)  d , n  ฀ Ta g i xn*1 nghi m riêng c a axn1  bxn  Pk (n) Tìm CTTQ c a xn xn*2 nghi m riêng c a axn1  bxn  d n Công th c t ng quát c a dãy s đ c xác đ nh xn  c. n  xn*1  xn*2 T giá tr c a x0 ta tìm đ c giá tr c x  Thí d : Cho dãy s {xn} :  Gi i: Xét Ph n   xn 1  xn  3n   2.3 , n  ฀ ng trình đ c tr ng :       G i xn*1 nghi m riêng c a ph Tìm CTTQ c a xn ng trình xn1  5xn  3n   xn*1   n  xn*2 nghi m riêng c a ph ng trình xn1  5xn  2.3n  xn*2  3n 11 16 11 n 3 16 11 75 75 11 x0   c     c  Suyra xn  5n  n   3n 16 16 16 16 S h ng t ng quát c a dãy cho b i: xn  c. n  xn*  c.5n  n  T II-Ph ng trình sai phơn b c hai: D ng 1: D ng thu n nh t có ph ng trình đ c tr ng b c hai t n t i nghi m th c  x0 ; x1 Tìm CTTQ c a xn axn   bxn 1  cxn  , n  ฀ Cho dãy s {xn} :  Xét ph ng trình đ c tr ng a   b  c  (1)  Ph ng trình (1) có nghi m 1 ; 2 (1  2 ) s h ng t ng qt có d ng : xn  c1.1n  c2 2n T x0 ; x1 ta tìm đ c c1 c2  Ph ng trình (1) có nghi m 1  2   s h ng t ng qt có d ng : xn  (c1  nc2 ). n T x0 ; x1 ta tìm đ c c1 c2  x0  2; x1  Tìm CTTQ c a xn  xn   xn 1  xn , n  ฀ Thí d 1: Cho dãy {xn} :  Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng   5    1   2  S h ng t ng quát c a dãy có d ng xn  c1.2n  c2 3n T  x0  c1  c2  c    Suyra xn  2n  3n  2c1  3c2  c2   x1   x0  3; x1  10 Tìm CTTQ c a xn  xn   xn 1  xn , n  ฀ Thí d 2: Cho dãy {xn} :  Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng   4    1,2  S h ng t ng quát c a dãy có d ng xn  (c1  nc2 ).2n T  x0  c  c  Suyra xn  (2n  3).2n    2( ) 10    c c c 10  x    D ng 2: D ng thu n nh t ph ng trình đ c tr ng vô nghi m th c Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn  x0 ; x1 Tìm CTTQ c a xn axn   bxn 1  cxn  , n  ฀ Cho dãy s {xn} :  Xét ph ng trình đ c tr ng a   b  c  (2) Ta có ph ng trình (2) khơng t n t i nghi m th c, s h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn  r n (c1cosn +c2 sin n ) Trong r  A2  B2 ;   arctan T hai giá tr x0 x1 ta tìm đ  b B v i A  ; B  A 2a 2a c c1 c2  x  ; x1  3  Thí d : Cho dãy s {xn} :  Tìm CTTQ c a xn   xn   xn 1  16 xn , n  ฀ ng trình đ c tr ng   2  16  co   22  16  12  Gi i: Xét ph Suy ph ng trình sai phân khơng có nghi m th c  b B  1 ; B   r  A2  B2  ;   arctan  2a 2a A n  n Khi s h ng t ng quát c a xn có d ng : xn  2n  c1cos  c2 sin  3   c1   c   n n  x0   Suy xn  2n  cos    c1 c2    3sin T  3    x1  3  2     3  c2     x ; x D ng 3: Cho dãy s {xn} :  Tìm CTTQ c a xn axn   bxn 1  cxn  d , n  ฀ t A  G i xn* nghi m riêng c a ph ng trình Khi nghi m riêng xn* đ    c xác đ nh nh sau: d  *  xn  a  b  c a  b  c    x*  dn a  b  c  ; 2a  b   n 2a  b   xn*  n(n  1) d a  b  c  ; 2a  b   2a Xét ph ng trình đ c tr ng, xét nghi m c a ph ng trình đ c tr ng nh tr K t h p v i nghi m riêng ta có đ c cơng th c c a xn  x0  4 ; x1  Tìm CTTQ c a xn 2 xn   xn 1  xn  , n  ฀ Thí d 1: Cho dãy s {xn} :  d   3 Do a+b+c ≠ nên nghi m riêng c a ph ng trình xn*  a bc 25 S h ng t ng quát c a dãy s : xn  c1.2n  c2 n  c  c   4  x0  4  c  Suy xn  3.2n  n     T  c2 2c1    c2  4  x1    Xét ph ng trình đ c tr ng : 2  5    1   2  Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn ng h p 89   x0  5; x1  Thí d 2: Cho dãy s {xn} :  Tìm s h ng t ng quát xn  xn   xn 1  xn  11, n  ฀ Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng   7    1   2  dn 11n 11 Do a+b+c=0 2a+b ≠ nên nghi m riêng xn*     n 2a  b  11 S h ng t ng quát c a dãy có d ng xn  c1  c2 6n  n , n  ฀  x0  c1  c2  c1  11   T  Suy xn   3.6n  n 11 89   89   c1  6c2   x1  c2   5    x  3; x1  Thí d 3: Cho dãy {xn} :  Xác đ nh công th c t ng quát xn  xn   xn 1  xn  , n  ฀ Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng   2    1,2  d  3n(n  1) 2a S h ng t ng quát c a dãy : xn  c1  nc2  3n(n  1) , n  ฀ Có a+b+c=0 2a+b=0 nên nghi m riêng xn*  n(n  1) T  x0  c2  c  1    c2   x1  c1  c2  Suy xn  3n2  4n  , n  ฀ x ; x D ng 4: Cho dãy s {xn} :  n  axn   bxn 1  cxn  dq , n  ฀ G i xn* nghi m riêng c a ph Xác đ nh CTTQ c a xn ng trình sai phân Khi nghi m riêng đ  * dq  xn  aq  bq  c q  1  q  2   * ndq n 1 q  1  q  2 đinh nh sau :  xn  2aq  b   * d n2 q  1  2  xn  n(n  1) q 2a  c xác n Xét ph ng trình đ c tr ng, l p công th c nghi m ta có đ  x  ; x1  Thí d 1: Cho dãy s {xn} :  Gi i: Xét ph c công th c xn L p cơng th c tính xn n   xn   xn 1  15 xn  3.4 , n  ฀ ng trình đ c tr ng :   8  15   1   2  dq n 3.4n   3.4n Ta có q  1  q  2 nên nghi m riêng c a ph ng trình x  aq  bq  c 16  32  15 n n n S h ng t ng quát c a dãy : xn  c1.3  c2  3.4 , n  ฀ * n  x0  c1  c2   c  Suy xn  4.3n  5n  3.4 n , n  ฀   3c1  5c2  12  c2   x1  T   x  ; x1  Thí d 2: Cho dãy s {xn} :  Gi i: Xét ph Tìm CTTQ c a xn n   xn   11xn 1  28 xn  6.7 , n  ฀ ng trình đ c tr ng   11  28   1   2  Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn ndq n1 6n.7n1   2n.7n1 2aq  b 2.1.7  11 n n S h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn  c1.4  c2  2n.7n1 Ta có: q  2 nên nghi m riêng c a ph ng trình xn*   x0  c1  c2  c  10  Suy xn  10.4n  2.7 n  2n.7 n 1 , n  ฀  x1  4c1  7c2   28 c2  2 T   x  ; x1  5 Thí d 3: Cho dãy {xn} :  Gi i: Xét ph n   xn   10 xn 1  25 xn  2.(5) , n  ฀ ng trình đ c tr ng   10  25   1  2  5 Tìm CTTQ c a xn d n2 q  n(n  1).(5)n2 2a S h ng t ng quát c a dãy : xn   c1n  c2  (5)n  n(n  1).(5)n , n  ฀ Ta có q  1  2 nên nghi m riêng c a ph ng trình xn*  n(n  1) T  x0  c2  c  3 Suy xn  (3n  4).(5) n  n(n  1).(5) n  (n  76n  100).(5) n n  ฀    x1  5(c c2 )  5 c2  x ; x D ng 5: Cho dãy s {xn} đ c xác đ nh b i :  v i Pk (n) axn   bxn 1  cxn  Pk (n) , n  ฀ đa th c b c k theo n Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy s Nghi m riêng xn* cua ph ng trình đ xác đ nh nh sau:  xn*  Qk (n) a  b  c   *  xn  nQk (n) a  b  c   2a  b   x*  n 2Q (n) a  b  c   2a  b  k  n Xác đ nh công th c t ng quát theo trình t b c nh trình bày  x  31 ; x1  60 Thí d : Cho dãy s {xn} :  ví d Tìm CTTQ c a xn n   xn   xn 1  10 xn  8n  12n  14, n  ฀ ng trình đ c tr ng c a dãy :   7  10   1   2  Gi i: Xét ph Ta có : a+b+c ≠ nên nghi m riêng c a ph ng trình xn*  an2  bn  c Thay vào công th c truy h i, ti n hành đ ng nh t h s ta đ c : xn*  2n2  8n  15 S h ng t ng quát c a dãy : xn  c1.2n  c2 5n  2n2  8n  15  x0  c1  c2  15  31 c  15  Suyra xn  15.2n  5n  2n2  8n  15, n  ฀   c     x c c 25 60  2  x ; x D ng 6: Cho dãy xác đ nh b i {xn} :  Tìm CTTQ xn n  axn   bxn 1  cxn  Pk (n). , n  ฀ Nghi m riêng xn* c a ph ng trình d ng đ c xác đ nh nh sau : T  xn*  Qk (n). n   1    2  * n  xn  n.Qk (n).   1    2 T tìm đ  x*  n Q (n). n      k  n  x  5; x1  18 Thí d : Cho dãy {xn} :  c công th c t ng quát c u xn n2   xn   xn 1  xn  2(3n  1).3 , n  ฀ Xác đ nh công th c xn Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng   6    1  2  Ta có   1  2 nên nghi m riêng c a pt xn*  n2  an  b  3n Thay xn* vào công th c truy h i, rút g n đ ng nh t h s , ta đ c xn*   n3  2n2  3n S h ng t ng quát c a dãy xn  (c1n  c2 ).3n  (n3  2n2 ).3n , n  ฀ T  x0  c2  c  Suyra xn  (2n  5).3n  (n3  2n ).3n   n3  2n  2n   3n   c  x 3( c c ) 18      2  D ng 7: Cho dãy s đ c xác đ nh b i {xn} :  x0 ; x1 Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy  axn   bxn 1  cxn   cosn + sinn , n  ฀ i v i ph ng trình d ng này, nghi m riêng c a có d ng : xn*  Acosn +Bsinn Thay xn* vào công th c truy h i đ xác đ nh đ c hai h s A B Thí d : Cho dãy {xn} : đ c xác đ nh b i :  x0  4 ; x1  4   Tìm s h ng t ng quát c a dãy  n n , n  ฀  sin  xn   3xn 1  xn   cos 4  Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng :   3    1   2  n n Nghi m riêng c a ph ng trình có d ng : xn*  Acos  B sin Thay vào công th c truy 4  h i, ta đ  c: n  (n+2) (n  2)   (n+1) (n  1)  n     Acos  B sin   Acos  B sin    Acos  B sin     4  4   n n  cos  sin 4  Phân tích v trái rút g n ta đ  c: n n A 3B n  A 3B n      A cos    A   B  sin   cos  sin  B  4 2 2    A 3B   B    A   A n n   xn*  cos  sin ng nh t h s , ta đ c :  4 B    A  A  3B  A   2 n n S h ng t ng quát c a dãy : xn  c1  c2 2n  cos  sin 4 x  c  c     c  6 n n T  Suy xn  2n   cos , n  ฀   sin 4  c2   x1  c1  2c2   4     x0 ; x1 axn   bxn 1  cxn  d n1  d n   d nk (1), n  ฀ D ng 8: Cho dãy s d ng sau { xn} :  Trong d ni m t d ng sau : h ng s d, d  n , Pk (n) ,  n Pk (n) , Khi ta g i xn*i nghi m riêng c a ph ng trình axn2  bxn1  cxn  dni Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn Nghi m riêng c a (1) đ k c xác đ nh x   xn*i Sau ta thi t l p đ * n quát nh thí d cho III-Ph ng trình sai phơn b c ba: Lo i 1: Ph ng trình thu n nh t : c công th c t ng i 1  x0 ; x1 ; x2 Xác đ nh s h ng t ng quát axn 3  bxn   cxn 1  dxn  n  ฀ D ng 1: Cho dãy {xn} :  xn c a dãy s Xét ph ng trình đ c tr ng a  b  c  d  Ph ng trình có nghi m phân bi t 1 ; 2 va 3 Khi s h ng c a dãy đ c xác đ nh : xn  c1.1n  c2 2n  c3 3n T giá tr x0 ; x1 ; x2 ta xác đ nh đ c giá tr c1 ; c2 va c3  x0  1; x1  ; x2  Tìm CTTQ c a xn  xn3  xn   11xn 1  xn  n  ฀ Thí d : Cho dãy s {xn} :  Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng :   6  11    1  ; 2  ; 3  S h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn  c1  c2 2n  c3.3n 11  c1    x0  c1  c2  c3   11 T  x1  c1  2c2  3c3   c2  Suy xn    9.2n  3n n  ฀ 2  x  c  4c  9c    c3    x ; x ; x D ng 2: : Cho dãy {xn} :  Xác đ nh s h ng t ng axn 3  bxn   cxn 1  dxn  n  ฀ quát xn c a dãy s Xét ph ng trình đ c tr ng a  b  c  d  có hai nghi m phân bi t 1 va 2  3   Khi s h ng t ng quát c a dãy s cho b i : xn  c1.1n   c2 n  c3   n T giá tr x0 ; x1 ; x2 ta xác đ nh đ c giá tr c1 ; c2 va c3  x0  5; x1  11 ; x2  16 Tìm CTTQ c a dãy  xn 3  11x n  32 xn 1  28 xn  , n  ฀ Thí d : Cho dãy s {xn} :  Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng   11  32  28   1   2  3  S h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn  c1.7n   c2n  c3  2n  c1   35  x0  c1  c3   13 181  n    13 Suy xn   n   n  T  x1  7c1  2c2  2c3  11  c2   , n  ฀ 14 35 35   14  x  49c  4c  4c  16   181  c3  35  x ; x ; x D ng 3: Cho dãy {xn} :  Xác đ nh s h ng t ng quát axn 3  bxn   cxn 1  dxn  n  ฀ xn c a dãy s Xét ph ng trình đ c tr ng a  b  c  d  có nghi m kép 1  2  3   Khi cơng th c nghi m t ng quát có d ng : xn   c1n2  c2n  c3   n Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn T giá tr x0 ; x1 ; x2 ta xác đ nh đ c giá tr c1 ; c2 va c3  x0  ; x1  ; x2  Xác đ nh s h ng t ng  xn 3  3xn   3xn 1  xn  , n  ฀ Thí d : Cho dãy s {xn} :  quát c a dãy Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng :   3  3 1   1  2  3  S h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn  c1n2  c2 n  c3   c   x0  c3   9 T  x1  c1  c2  c3   c2   Suy xn  n  n  3, n  ฀ 2  x  4c  2c  c     c    x ; x ; x D ng 4: Cho dãy {xn} :  Xác đ nh s h ng t ng quát axn 3  bxn   cxn 1  dxn  n  ฀ xn c a dãy s Xét ph ng trình đ c tr ng a  b  c  d  có nghi m th c  hai nghi m ph c Khi s h ng t ng quát c a ph ng trình có d ng : xn  c1. n  c2 cosn +c3 sin n T giá tr x0 ; x1 ; x2 ta xác đ nh đ c giá tr c1 ; c2 va c3  x  3; x1   ; x2   Thí d : Cho dãy s {xn} :  Gi i: Xét ph Tìm CTTQ c a xn   xn 3  xn   22 xn 1  48 xn  , n  ฀ ng trình đ c tr ng   5  22  48      3    2  16      Ph  2 16 VN          ng trình sai phân b c hai   2  16  khơng có nghi m th c nên theo thí d d ng c a ph ng trình sai phân b c hai ta có s h ng t ng n n n n quát xn'  c2 cos  c3 sin V y s h ng t ng quát xn  c1.3n  c2 cos  c3 sin 3 3   x0  c1  c2  c1   c2 c3 n  n       c2  Suy xn  3n   cos  sin T  x1  3c1    , n  ฀ 2 3    c    c2 c3 x c       2  Lo i 2: Ph ng trình khơng thu n nh t  x0 ; x1 ; x2 axn 3  bxn   cxn 1  dxn  d n , n  ฀ Cho dãy s d ng {xn} :  Trong d n có th h ng s , m n , đa th c b c k theo n Pk (n) , Ta ti n hành tìm nghi m riêng nh d ng đ i v i ph ng trình b c trình bày IV-Ph ng trình sai phơn b c cao D ng 1: Ph ng trình thu n nh t : a0 xnk  a1 xnk1   ak xn  Xét ph ng trình đ c tr ng : a0 k  a1 k1   a k  TH1: có k nghi m th c phân bi t, s h ng t ng quát c a dãy s có d ng : Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn k xn  c1.  c2   c3    ck    ci in n n n n k i 1 TH2: Có s nghi m b ng , (k – s) nghi m khác khác v i s nghi m Khi k  s 1 p n s h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn    c p 1.n     ci in i  s 1  p 0  TH3: N u ph ng trình đ c tr ng có nghi m ph c : xj  A Bi  r  cos +isin  r  A2  B2 ;   arctan B k – nghi m th c khác s h ng t ng quát c a dãy A k 2 s s có d ng : xn   ci in  r n  c1' cosn +c'2 sin n  i 1 D ng 2: Ph ng trình khơng thu n nh t: a0 xnk  a1 xnk1   ak xn  bn Ta xét thêm nghi m riêng xn* tu theo d ng c a bn h s Thi t l p công th c t ng quát c a xn t gi thi t c a V-M t s d ng đ c bi t khác th ng g p c a dƣy s kì thi D ng 1: Ph ng trình sai phân d ng " H ph Cho dãy s {xn} , {yn} đ ng trình sai phân n tính c p m t"  xn 1  axn  byn  yn 1  cxn  dyn c xác đ nh nh sau :  Tìm s h ng t ng quát xn yn a h v ph ng trình sai phân n tính c p c a t ng dãy {x n} {yn} : xn2  axn1  byn1  axn1  b(cxn  dyn )  axn1  bcxn  d ( xn1  axn )  (a  d ) xn1  (bc  ad ) xn yn2  cxn1  dyn1  c(axn  byn )  dyn1  dyn1  bcyn  a ( yn1  dyn )  (a  d ) yn1  (bc  ad ) yn a đ c h v d ng ph t ng dãy cho ng trình c b n, t ta d dàng tìm đ c CTTQ c a s h ng u0  2; un 1  2un  n  ฀ v0  1; 1  un  2vn Thí d : Tìm CTTQ c a dãy s {xn} {yn} :  Gi i: Ta có : un2  (a  d )un1  (bc  ad )un  4un1  3un u1  1 T đây, ta có : un  D ng 2: Ph n1   un 1  2un  1  3n 1 ng trình sai phân d ng phân th c n tính: Tìm CTTQ c a dãy s có cơng th c xác đ nh nh sau : x0   ; xn1  Cách 1: yn 1 zn 1 t xk  yk ( zk  0) Khi dãy đ zk axn  b n  ฀ cxn  d c bi n đ i thành : yn b  yn 1  ayn  bzn  yn   (a  d ) yn 1  (bc  ad ) yn zn ay  bzn   n   n  ฀ yn ( ) ( )       z cy dz z a d z bc ad z  cy dz    n n n n n n   n n c  d zn a T công th c t ng quát c a {yn} {zn} ta suy CTTQ c a {xn} Cách 2: t xn  un  t , thay vào công th c truy h i c a dãy ta có : (a  ct ) xn  ct  (a  d )t  b aun  at  b un 1  t  cun  ct  d cun  ct  d (*) Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn Ta ch n t cho ct  (d  a )t  b  Khi ta chuy n (*) v d ng : T ta tìm đ c 1 m  n un un 1 , suy un un u1  Thí d : Tìm CTTQ c a dãy s {un} :  9un 1  24 un  5u  13 n  n 1  x Cách 1: t un  n , thay vào công th c truy h i ta đ c : yn x 9 n 1  24  xn 1  9 xn  24 yn  xn   xn 1  3xn 9 xn 1  24 yn 1 xn yn 1     n  ฀ x xn 1  13 yn 1 yn  yn 1  xn  13 yn  yn   yn 1  yn n 1  13 yn 1  x  ; x2  42 42 Ta ch n  23  y1  ; y2  23  x  22.3n 1  24 22.3n 1  24 T ta tìm đ c :  n  n  Suy u n n 1 n 1 11.3 10  11.3 10   y   n Cách 2: t un  xn  t , thay vào công th c truy h i ta đ c : T u1   u2   9 xn  9t  24 (9  5t ) xn 1  5t  22t  24 xn  t   xn  xn  5t  13 xn 1  5t  13 Ta ch n t : 5t  22t  24   t  2  x1   xn  xn1 11.3n 1  10 22.3n 1  24   5   xn      u x n n xn 1  11.3n 1  10 11.3n 1  10 xn xn 1 xn D ng 3: H ph ng trình n tính b c un  un21  a vn21 ; u1    c xác đ nh b i :   vn  2un 1.un 1 ; v1   Tìm CTTQ c a dãy s (un) (vn) đ         2  un  u  a v un  a  un 1  a 1   u1  a v1   2n1 a v a u v  u  av  u  a v n n 1 n 1    u1  a v1 n n 1 n 1  n 2n1 2n1   1 u a a          n 2      n1 n1 v      a     a    n a   n 1 n 1      n1    Thí d : Xác đ nh CTTQ c a hai dãy s {un} {vn} tho : u1   v1  Gi i: 2  un  un 1  2vn 1 n   v u v   n 1 n 1  n    2  un  un 1  2vn 1 un  2vn  un 1  2vn 1  Ta có:   2vn  2un 1vn 1 u  2vn  un 1  2vn 1   n   2 Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn a  ฀      un  2vn  u1  2v1  u  2v  u  2v n 1  n   2n1 2n1    2    2 2n1 2n1 2n1 2n1   1     u 2 2  n 2      2n1 2n1   v   2 2   n 2           D ng 4: D ng phân th c b c b c 1:  x1   n  Tìm CTTQ c a dãy {xn} :  xn21  a  x a ฀     n  xn 1  u t xn  n , dãy đ c chuyên v hai dãy {un} {vn} nh un  u  a v    vn  2un 1vn 1 n 1 n 1 ; u1   ; v1  n  Khi xn      a   a un  a 2n1 2n1 sau :      a    a 2n1 2n1  x1  Thí d : Xác đ nh CTTQ c a dãy s {xn} :  xn21   n  x  n xn 1  un  un21  2vn21 u1   Gi i: Xét hai dãy s {un} {vn} :   n   v1  vn  2un 1vn 1 u Ta d dàng ch ng minh đ c b ng quy n p xn  n Theo k t qu tốn trên, ta có : xn    2   2 2n1 n1    2    2 2n1 2n1 D ng 5: D ng có c n th c công th c truy h i u1   a) V i dãy s {un} :  , v i a  b  ta xác đ nh CTTQ nh sau: un  aun 1  bu  c n   T dãy truy h i   un  aun1   bun21  c  un2  2aunun1  un21  c  n 1 Thay n b i n – 1, ta đ c un22  2aun2un1  un21  c  Ta ta d th y un un2 nghi m c a ph ng trình b c hai X  2aun1 X  un21  c  Theo đ nh lý Vi-et, ta có un  un2  2aun1 T ta d dàng xác đ nh CTTQ c a xn b) M t cách bi u di n khác : Cho dãy s {un} :   0; a  ; a  b  ta xác đ nh CTTQ nh sau : Ta vi t l i công th c t ng quát d i d ng : u1    un 1 u  n  n    a cu b n 1  a b   c un un 1 un 1 Ta có xn  axn1  bxn21  c dãy mà ta xét u1  Thí d : Cho dãy s {un} :  t xn  un , un  5un 1  24un 1  n   Tìm un ? Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn Gi i: T công th c truy h i c a dãy ta có :  un  5un1   24un21  (1) Thay n b i n – ta đ c : un22  10un2un1  un21   (2) T (1) (2)  un2 , un hai nghi m c a ph ng trình : Áp d ng đ nh lý Vi-et, ta có : un  un2  10un1  un2  10unun1  un21   Ta d dàng tìm đ t  10un1t  un21   n 1 n 1 c un           6 D ng 6: Công th c truy h i b c hai d ng phân th c u1   ; u2   Cho dãy s {un} :  Tìm un ? un21  a u  n   n un   i v i d ng t cơng th c truy h i u3, u4, u5 Ta gi s un  xun1  yun2  z L p h ph u3  xu2  yu1  z ng trình u4  xu3  yu2  z  x, y, z u  xu  yu  z  T công th c truy h i ta d dàng tìm đ c công th c t ng quát c a un u1  u2  Thí d : Tìm CTTQ c a dãy s {un} :  un21   n  u  n un   Gi i: Ta có : u3  3; u4  11; u5  41 Ta gi s un  xun1  yun2  z u3  xu2  yu1  z x  y  z  x     Ta có h pt : u4  xu3  yu2  z  3x  y  z  11   y  1  un  4un1  un2  11x  y  z  41  z    u5  xu4  yu3  z n n 95 95 2  2 n  Ta d d ng tìm đ c xn  6  VI-S d ng l    ng giác đ tìm cơng th c t ng quát c a dƣy s : u1 D ng 1: Xác đ nh công th c dãy s d ng {un} :  un  2un 1  n   N u u1  : ta đ t u1  cos Khi ta có : ta làm nh sau : un  cos2n-1 1  N u u1  : ta đ t u1   a    a  va au1  0 Khi 2 a 1 1  1   n1   u2   a       a    u3   a    un   a  2n1  a a  a  2 2 2 2  a  V i cách xác đ nh s a, ta có a nghi m (cùng d u v i u1) c a ph a  2u1a   Do tích hai nghi m la nên n u a nghi m nghi m l i c a ph sau :  1 un   u1  u12  2 a ng trình s ng trình Khi cơng th c t ng qt có th vi t nh   u  2n1 u 1  2n1    Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn  u1  Thí d 1: Cho dãy s {un}:  Xác đ nh CTTQ c a dãy {un} u  2u  n  n 1  n 2 2 22   Gi i: Ta có u1   cos  u2  2cos2   cos  u3  2cos   cos 3 3 n-1  B ng quy n p ta ch ng minh đ c r ng un  cos n  u  Thí d 2: Cho dãy s {un} :  Xác đ nh CTTQ c a un un  2un 1  n  1 Gi i: G i a nghi m l n c a ph ng trình :  a     a  6a    a   2 2 a 1 1 Ta có a  6a    u1   a    , u2   a     a  2 a a 2 a k 1 k 1 Gi s xk  a  2k1 xk 1  a  2k a a 2n1 2n1 n1 Theo nguyên lý quy n p, ta đ c xn  a  2n1   2   2 a Thí d 3: Cho dãy s {xn} đ c xác đ nh nh sau : x1  5, xn1  xn2  n  xn 1 Tìm giá tr c a S  nlim  x x .x n 2  Gi i: Ch n a nghi m l n c a ph   ng trình x2  x    a    21  2 1 Ta có a  5a    x1  a   ; x2  x12    a     a  a a a  n1 B ng quy n p ta ch ng minh đ c xn  a  2n1 n  a k  k  k 1    Chú ý r ng  a  2k1   a  2k1    a  2k  , a  a   a    n  1   a    a  2n   n a   xn 1   xn 1 a  a a  a  a      ta có  1  1 x1 x2 .xn  a 2n   a  a x x x n n   n a a2 a2  1  2n xn 1 a  a    a   21  lim Do S  nlim   x x x n   a a n  2n  a u  p D ng 2: Tìm CTTQ c a dãy s {un} :  , ta làm nh sau : u u u n     n 1 n 1  n  N u p  ,   0;   : cos =p Khi b ng quy n p ta ch ng minh đ c : un  cos3n-1 Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn 1  N u p  ta đ t u1   a   2  au1   B ng quy n p ta ch ng minh đ c a     3  1  n1   u1  u12   un   a  3n1  hay un   u1  u12  2 2 a    u1  Thí d 1: Xác đ nh CTTQ c a dãy {un} :  u  4u  3u , n  n 1 n  n n1 n1    3 3 3 32  cos  u2  4cos3  3cos  cos  u3  4cos3  3cos  cos 4 4 4 3n-1 B ng quy n p ta ch ng minh đ c un  cos n  x  Thí d 2: Tìm CTTQ c a dãy {xn} :   xn  xn 1  3xn 1 n  Gi i: G i a nghi m l n c a ph ng trình x2 14 x    a   Gi i: Ta có u1  1 1 1 Ta có u1   a     u2   a     a     a   2 a 2 a  2 a  2 a  n1 1 B ng quy n p ta d dàng ch ng minh đ c un   a  3n1  n  2 a  n1 3n1 V y công th c t ng quát c a dãy : un       n  2  u  p D ng 3: Cho dãy {un} :  xác đ nh công th c t ng quát c a un  4un 1  3un 1 , n      ta có th làm nh sau : 1 Ta đ t u1   a   Khi b ng n p ta ch ng minh đ 2 a  n1 un   a  3n1 2 a   1    u1  u1      u  3n1 u 1  3n1 c:     u1  Thí d : Xác đ nh CTTQ c a dãy {un} :  u  24u  12 6u  15u  n  n 1 n 1 n 1  n t un  xvn  y Thay vào công th c truy h i c a dãy, bi n đ i rút g n ta đ     xvn  y  24 x3vn31  12 x2 y  x2 vn21  24 xy2  xy  x vn1  24 y3  12 y2  15 y  6 x2 y  x2  Ta ch n y cho :   24 y  12 y  15 y   y  y Khi : xvn  24 x3vn31  3xvn1   24 x2vn31  3vn1 Ta ch n x    4vn31  3vn 1 ; v1     1 2   3n1   2  3n1    Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn c:   Suyra un  2   3n1   2  3n1    n    u1    1 D ng 4: Xác đ nh CTTQ c a dãy {un} :  v i a un  a  bun 1 n   ab   Khi ta đ t u1    acos  u  a  b  acos   a 1  2cos2   acos2 c un  acos  2n-1  n  B ng quy n p ta ta ch ng minh đ  u1  Thí d 1: Xác đ nh CTTQ c a {un} :  u   u n  n 1  n  Gi i: t   cos ,    ;   , : u1  2cos  u  2(1  2cos2 )  2cos2 2  B ng quy n p ta ch ng minh đ c un  2cos2n-1 n  1   x1  {xn} :    un21  n   xn  Thí d 2: Tìm CTTQ c a dãy s  Gi i: Ta có : u1   sin  u2    sin B ng quy n p ta ch ng minh đ Thí d 3: Cho a, b hai s d c : un  sin   1  cos  6     sin 2.6   n 1 n  ng không đ i tho mãn a < b hai dãy {an} , {bn} a b  a1  ; b1  ba1 đ c xác đ nh nh sau :  Tìm CTTQ c a an bn  a b n  n  1 a  ; bn  a nbn 1 n   n a a  Gi i: Ta có   nên ta đ t  cos v i    0;  b b   Khi : a1  a b a2  1     bcos +b b 1  cos    bcos2 b1  b.bcos2  bcos 2 2 bcos   bcos   bcos  cos  b  bcos  cos  2 22 22 B ng quy n p ta ch ng minh đ a n  bcos  cos  2 .cos  n c:   2 bn  bcos cos .cos  2n u1  a D ng 5: tìm CTTQ c a dãy {un} :  un 1  b n  un   bu n 1  Ta đ t a  tan  b  tan  , ta d dàng ch ng minh đ c un  tan   (n  1)  Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn u1   Thí d : Cho dãy {un} :  Tính giá tr c a u2011 un 1   n  un    u n 1   Gi i: Ta có tan  tan   u1   tan   tan     tan      B ng quy n p ta ch ng minh đ c :     3 8  tan tan       5  un  tan   (n  1)  n  Suy u2011  tan   2010   tan     2  8 8 3 3 3  u1   Thí d 2: Tìm CTTQ c a dãy s {un} :  un 1 n  un    un21  1 1  1 Gi i: Ta có :  t xn  , ta đ c dãy {xn} d c xác đ nh nh un un 1 un 1 un xn  xn1   xn21 sau : x1  Khi đó, u2       cos  Vì x1   cot  x2  cot   cot   cot  3 2.3 sin B ng quy n p ta ch ng minh đ c : xn  cot  n 1 BÀI T P DÀNH CHO  un  tan  n 1 C GI T n  1, 2,3  LUY N Bài 1: Xác đ nh công th c t ng quát c a dãy s sau : 3xn1  xn  n0 a) Cho x0  1; n b) Cho x0  1; 5xn1  xn  n  n  c) Cho x0  2; xn1  xn  2n2  n  4 xn1  xn  6n  n  d) Cho x0  5; xn1  xn  13 n  e) Cho x0  3; 3xn1  xn  23 n  f) Cho x0  4; n g) Cho x0  7; xn1  3xn  2.3 n  xn1  xn  2n2 n  h) Cho x0  15; n  n  j) Cho x0  1; x1  4; xn1  xn1  xn1  n  k) Cho x0  4; x1  ; xn1  xn  xn1  0; n 1 l) Cho x0  3; x1   ; xn1  xn  13xn1  i) Cho x0  ; 11xn1  xn  2.3n  4n m) Cho x0  5; x1  1; xn1  xn  3xn1  14 n 1 Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn n) o) p) q) r) s) t) u) Cho x0  4; x1  3; xn1  xn  3xn1  n  Cho x0  2; x1  4; xn1  xn  xn1  11 n  n Cho x0  1; x1  5; xn1  8xn  15n1  4.2 n  Cho x0  1; x1  4; xn1  3xn  xn1  3.4n n  Cho x0  4; x1  2; xn1  6xn  9xn1  5.3n ; n  Cho x0  1; x1  3; xn1  xn  12 xn1  (2n  3n 1).2n n  Cho x0  2; x1  3; xn1  xn  10 xn1  (3n 1).5n n  Cho x0  1; x1  3; xn1  8xn  16xn1  (2n2  3).4n n  n n  2sin 3 n n w) Cho x0  ; x2  ; xn1  xn  5xn1   n  v) Cho x0  1; x1  ; xn1  3xn  xn1  3cos  xn 1  xn  yn  yn 1  xn  yn x) Cho x1  3; y1  ;  y) Cho x1  2; xn1  xn  xn  n  n  n  ; Bài 2: Xác đ nh Công th c t ng quát c a dãy s đ c bi t sau : xn xn 2002 xn1  2001xn  2000 xn 1 xn a) Cho x0  1; x1  ; xn  b) Cho x0  1; xn2  xn21.xn3 xn x1  2; c) Cho x1  1; xn1  d) Cho u0  2;   xn2 u1   33 ; v i n  n  n 1 un1  3un  8un2  n 1  u1   e) Cho  u 2 un  n 1 n     un 1    un  ฀  , n  ฀  Bài 3: Cho dãy s {un} tho mãn nh sau : u0  1, u1  u  10.u  u n 1 n  n  ฀ , n   n Ch ng minh r ng k  ฀ , k  a) uk2  un21  10ukuk1  8 b) 5uk  uk1  3.uk2  1  x0  1; x1   xn  xn 1  xn 2  n  Bài 4: Cho dãy {xn} xác đ nh nh sau :  Xác đ nh s t nhiên n cho : xn1  xn  22685 Bài 5: Cho day {xn} đ  x0  1; x1   xn 1  xn  xn 1 n  c xác đ nh b i :  Tìm nlim  xn  ( TH&TT T7/253)  Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn 1  2    1  a n   Bài 6: Xét dãy {an} : a1  a n 1    n  2     Ch ng minh r ng : a1  a2  a3   a2005  1,03 (TH&TT T10/335) Bài 7: Cho dãy s {an} : a0  2; a n1  4a n  15a n2  60 n  Hãy xác đ nh CTTQ c a an ch ng minh r ng s  a 2n  8 có th bi u di n thành t ng bình ph ng c a s nguyên liên ti p v i n  (TH&TT T6/262) Bài 8: Cho dãy s  p(n) đ c xác đ nh nh sau : p(1)  1; p(n)  p(1)  p(2)   (n 1) p(n 1) n  Xác đ nh p(n) (TH&TT T7/244) u  Bài 9: Xét dãy {un} :  Ch ng minh r ng v i m i s un  3un 1  2n  9n  9n  n  p 1 nguyên t p 2009 ui chia h t cho p (TH&TT T6/286) i 1 x  a Bài 10: Dãy s th c {xn} :    xn 1  xn  n  Tìm t t c giá tr c a a đ xn  n  (TH&TT T10/313) xn1.xn Bài 11: Dãy s {xn} : x0  1; x1  xn2  n  2002 xn1  2001xn  2000 xn 1.xn Hãy tìm CTTQ c a xn (TH&TT T8/298)  a1  Bài 12: Cho dãy s {an} đ c xác đ nh nh sau {an} :  a n 1 a n  n  2na n 1   Tính t ng S  a1  a   a 2010 Bài 13: Cho dãy s đ c xác đ nh b i : a1  1.2.3; a2  2.3.4; ; an  n(n  1)(n  2) t Sn  a1  a   a n Ch ng minh r ng 4Sn  s ph ng ( HSG Qu c Gia ậ 1991 B ng B) Bài 15: Cho hai dãy s {an} {bn} đ c xác đ nh nh sau : a  ; b0   2a nbn  a n 1  a  b ; bn 1  a n 1bn n  n n  Ch ng minh r ng dãy {an} {bn} có gi i h n chung n   Tìm gi i h n chung ( HSG Qu c Gia ậ 1993 B ng A ngƠy th 2) Bài 16: Cho s nguyên a, b Xét dãy s nguyên {an} đ c xác đ nh nh sau : a  a ; a1  b; a  2b  a   a n 3  3a n   3a n 1  a n n  a) Tìm CTTQ c a an b) Tìm s nguyen a, b đ an s ph ng v i n  1998 (HSG Qu c Gia ậ 1998 B ng B) Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn ... 3xn 1  xn  , n  ฀ Thí d : Cho dãy s {xn} :  quát c a dãy Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng :   3  3 1   1  2  3  S h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn  c1n2  c2 n  c3 ... * n n x  Thí d 1: Cho dãy s {xn} :  n   xn 1  3xn  2.5 , n  ฀ Tìm CTTQ c a xn b a Ta có :   q    ; d  ;   Vì q   nên ta có s h ng t ng quát c a dãy s : 3n  5n d qn  ... 35 a q  x  Thí d 2: Cho dãy {xn} :  Tìm CTTQ c a xn n   xn 1  3xn  5.3 , n  ฀ b Ta có:   q    ;   ; d  Vì q   nên ta có s h ng t ng quát c a dãy s : a d xn  x0 q n  nq

Ngày đăng: 01/04/2022, 01:57

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan