Tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng phương pháp sai phân51774

TÌM S H NG T NG QUÁT C A DÃY S B NG PH NG PHÁP SAI PHÂN ng trình sai phơn b c nh t: I-Ph  x0  const Tìm s h ng t ng quát c a dãy s ? ax n+1  bxn  D ng 1: Cho dãy s {xn} :  n b b b T công th c truy h i ta có : xn     xn1     xn2      x0  a  a  a n b Khi cơng th c t ng qt (CTTQ) c a dãy s đ c xác đ nh b i : xn  x0     a x  Thí d : Cho dãy s {xn} đ c xác đ nh b i :   xn 1  3xn  , n  ฀ Tìm s h ng t ng quát c a dãy s Gi i: T công th c truy h i ta có : xn  3xn1  32 xn2   3n x0 hay xn  5.3n  x0 , v i Pk (n) đa th c b c k c a n ax n+1  bxn  Pk (n) D ng 2: Cho dãy s {xn} :  Tìm s h ng t ng quát c a dãy s ? Gi i: Xét ph b a ng trình đ c tr ng : a   b      i v i d ng ta xét thêm m t giá tr xn* g i nghi m riêng c a ph ng trình sai phân Khi s h ng t ng quát c a dãy đ c xác đ nh b i : xn  c. n  xn* Trong nghi m riêng xn* đ c xác đ nh nh sau :  N u a + b ≠ nghi m riêng xn*  Qk (n) thay vào ph ng trình ta đ c: ng nh t h s ta tìm đ c Qk (n) a.Qk (n  1)  b.Qk (n)  Pk (n)  N u a + b = nghi m riêng xn*  n.Qk (n) thay vào ph ng trình ta đ c: a (n  1).Qk (n  1)  bn.Qk (n)  Pk (n) ng nh t h s ta tìm đ c n.Qk (n) x  Thí d 1: Cho dãy s {xn} :  Tìm s h ng t ng quát xn   xn 1  xn  3n  4n  , n  ฀ Gi i: Xét ph ng tình đ c tr ng       Ta có : a + b = – = -1 ≠ nên nghi m riêng pt có d ng : xn*  an2  bn  c Thay xn* vào pt, ta đ c : a (n  1)2  b(n  1)  c  2an2  2bn  2c  3n2  4n    an2  (2a  b)n  a  b  c  3n2  4n  ng nh t h s hai v ta đ c : a  a  3   2a  b   b  10 a  b  c  c  18    xn*  3n  10n  18 CTTQ c a s h ng dãy : xn  c.2n  3n2  10n 18 T x0   c 18   c  25 Suyra xn  25.2n  3n2 10n 18  x0  Tìm CTTQ c a xn  xn 1  xn  4n  , n  ฀ Thí d 2: Cho dãy s {xn} :  Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng  1     Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn Ta có : a + b = – = nên nghi m riêng c a pt có d ng xn*  n(an  b)  an2  bn xn* vào pt, ta đ c : a (n  1)2  b(n  1)  an2  bn  4n   2an  a  b  4n  ng nh t h s hai v ta đ c :  2a  a    xn*  2n2  3n  a  b  b  S h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn  c  2n2  3n T x0   c  Suy xn  2n2  3n   x0 ax n+1  bxn  d (d  const) , n  ฀ D ng 3: Cho dãy s {xn} :    b  n  d      1 n b  a       xn     x0   Khi s h ng t ng quát c a dãy s :   b    a a     1   a     xn  x0  nd neu a  b  neu a  b   x0  Tìm CTTQ c a xn     ฀ x x , n n  n  Thí d 1: Cho dãy s {xn} :  Gi i: T công th c truy h i ta có : xn  xn1   xn2  2.6  xn3  3.6   x0  6n hay xn  6n   x0  Tìm CTTQ c a xn  xn 1  xn  , n  ฀ Thí d 2: Cho dãy s {xn} :  Gi i: T công th c truy h i, ta có : xn  xn 1   8 xn 2     82.xn 2  8  1  82.xn 2  82  8n    8n.x 4 1 1 Suy xn  3.8n  8n  1  25 n  7 x D ng 4: Cho dãy s {xn} :  Tìm CTTQ c a xn n ฀      , ax bx d n  n  n 1 b Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng : a   b       q a  N u    nghi m riêng c a ph ng trình xn*  c. n thay vào pt, ta đ a c. n1  b.c. n  d  n  c  d d d  xn*   a  b a  b a   q  n S h ng t ng quát c a dãy : xn  c1.q n  xn*  c1.q n  T n  c: b  qa  d n a   q    n d d d d n d  n  qn n  c1  x0   xn   x0     q x q  a (  q) a (  q) a (  q)  a (  q) a  q   N u    nghi m riêng c a ph ng trình xn*  cn n thay vào pt, ta đ c : d d d   (do q   ) ac(n  1) n1  bcn n  d n  c  a (n  1)  bn a (n  1)  aqn aq x0  c1  Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn Suyra xn*  dnq n dnq n1  aq a dnq n 1 S h ng t ng quát c a dãy : xn  c1.q  x  c1.q  a dnq n 1 T x0  c1  xn  x0 q n  a  d qn   n neu q    a q  n V y t ta có : xn  x0 q   d  nq n 1 neu q    a n * n n x  Thí d 1: Cho dãy s {xn} :  n   xn 1  3xn  2.5 , n  ฀ Tìm CTTQ c a xn b a Ta có :   q    ; d  ;   Vì q   nên ta có s h ng t ng quát c a dãy s : 3n  5n d qn   n  5.3n   4.3n  5n xn  x0 q n  35 a q  x  Thí d 2: Cho dãy {xn} :  Tìm CTTQ c a xn n   xn 1  3xn  5.3 , n  ฀ b Ta có:   q    ;   ; d  Vì q   nên ta có s h ng t ng quát c a dãy s : a d xn  x0 q n  nq n 1  2.3n  5n.3n 1  (5n  6).3n 1 a x D ng 5: Cho dãy s {xn} :  Xác đ nh n n n (1) , n  ฀  axn 1  bxn  d11  d 2   d k k sô h ng t ng quát c a dãy G i xn*1 nghi m riêng c a ph ng trình axn1  bxn  d11n xn*2 nghi m riêng c a ph ng trình axn1  bxn  d2 2n *k xn nghi m riêng c a ph ng trình axn1  bxn  dk kn Khi nghi m riêng c a ph ng trình (1) s xn*  xn*1  xn*2   xn*k b Khi s h ng t ng quát xn  c. n  xn*       a x  Thí d : Cho dãy {xn} :  Tìm CTTQ c a xn n n   xn 1  xn  3.2  5.7 (*) , n  ฀ Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng :        Do 1   nên nghi m riêng xn*1  d1n.2n , thay vào ph ng trình, ta đ d1 (n  1).2n1  2d1n.2n  3.2n  d1   xn*1  3n.2n1 *2  Do    nên nghi m riêng xn  d2 7n , thay vào ph ng trình, ta đ d2 n 1 c: c:  2d2  5.7  d2   x  n n *2 n n S h ng t ng quát xn  c.2n  xn*1  xn*2  c.2n  3n.2n1  7n Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn T x0   c    c  Suyra xn  2n  3n.2n1  7n x D ng 6: Cho dãy s {xn} :  n  axn 1  bxn  Pk (n)  d , n  ฀ Ta g i xn*1 nghi m riêng c a axn1  bxn  Pk (n) Tìm CTTQ c a xn xn*2 nghi m riêng c a axn1  bxn  d n Công th c t ng quát c a dãy s đ c xác đ nh xn  c. n  xn*1  xn*2 T giá tr c a x0 ta tìm đ c giá tr c x  Thí d : Cho dãy s {xn} :  Gi i: Xét Ph n   xn 1  xn  3n   2.3 , n  ฀ ng trình đ c tr ng :       G i xn*1 nghi m riêng c a ph Tìm CTTQ c a xn ng trình xn1  5xn  3n   xn*1   n  xn*2 nghi m riêng c a ph ng trình xn1  5xn  2.3n  xn*2  3n 11 16 11 n 3 16 11 75 75 11 x0   c     c  Suyra xn  5n  n   3n 16 16 16 16 S h ng t ng quát c a dãy cho b i: xn  c. n  xn*  c.5n  n  T II-Ph ng trình sai phơn b c hai: D ng 1: D ng thu n nh t có ph ng trình đ c tr ng b c hai t n t i nghi m th c  x0 ; x1 Tìm CTTQ c a xn axn   bxn 1  cxn  , n  ฀ Cho dãy s {xn} :  Xét ph ng trình đ c tr ng a   b  c  (1)  Ph ng trình (1) có nghi m 1 ; 2 (1  2 ) s h ng t ng qt có d ng : xn  c1.1n  c2 2n T x0 ; x1 ta tìm đ c c1 c2  Ph ng trình (1) có nghi m 1  2   s h ng t ng qt có d ng : xn  (c1  nc2 ). n T x0 ; x1 ta tìm đ c c1 c2  x0  2; x1  Tìm CTTQ c a xn  xn   xn 1  xn , n  ฀ Thí d 1: Cho dãy {xn} :  Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng   5    1   2  S h ng t ng quát c a dãy có d ng xn  c1.2n  c2 3n T  x0  c1  c2  c    Suyra xn  2n  3n  2c1  3c2  c2   x1   x0  3; x1  10 Tìm CTTQ c a xn  xn   xn 1  xn , n  ฀ Thí d 2: Cho dãy {xn} :  Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng   4    1,2  S h ng t ng quát c a dãy có d ng xn  (c1  nc2 ).2n T  x0  c  c  Suyra xn  (2n  3).2n    2( ) 10    c c c 10  x    D ng 2: D ng thu n nh t ph ng trình đ c tr ng vô nghi m th c Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn  x0 ; x1 Tìm CTTQ c a xn axn   bxn 1  cxn  , n  ฀ Cho dãy s {xn} :  Xét ph ng trình đ c tr ng a   b  c  (2) Ta có ph ng trình (2) khơng t n t i nghi m th c, s h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn  r n (c1cosn +c2 sin n ) Trong r  A2  B2 ;   arctan T hai giá tr x0 x1 ta tìm đ  b B v i A  ; B  A 2a 2a c c1 c2  x  ; x1  3  Thí d : Cho dãy s {xn} :  Tìm CTTQ c a xn   xn   xn 1  16 xn , n  ฀ ng trình đ c tr ng   2  16  co   22  16  12  Gi i: Xét ph Suy ph ng trình sai phân khơng có nghi m th c  b B  1 ; B   r  A2  B2  ;   arctan  2a 2a A n  n Khi s h ng t ng quát c a xn có d ng : xn  2n  c1cos  c2 sin  3   c1   c   n n  x0   Suy xn  2n  cos    c1 c2    3sin T  3    x1  3  2     3  c2     x ; x D ng 3: Cho dãy s {xn} :  Tìm CTTQ c a xn axn   bxn 1  cxn  d , n  ฀ t A  G i xn* nghi m riêng c a ph ng trình Khi nghi m riêng xn* đ    c xác đ nh nh sau: d  *  xn  a  b  c a  b  c    x*  dn a  b  c  ; 2a  b   n 2a  b   xn*  n(n  1) d a  b  c  ; 2a  b   2a Xét ph ng trình đ c tr ng, xét nghi m c a ph ng trình đ c tr ng nh tr K t h p v i nghi m riêng ta có đ c cơng th c c a xn  x0  4 ; x1  Tìm CTTQ c a xn 2 xn   xn 1  xn  , n  ฀ Thí d 1: Cho dãy s {xn} :  d   3 Do a+b+c ≠ nên nghi m riêng c a ph ng trình xn*  a bc 25 S h ng t ng quát c a dãy s : xn  c1.2n  c2 n  c  c   4  x0  4  c  Suy xn  3.2n  n     T  c2 2c1    c2  4  x1    Xét ph ng trình đ c tr ng : 2  5    1   2  Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn ng h p 89   x0  5; x1  Thí d 2: Cho dãy s {xn} :  Tìm s h ng t ng quát xn  xn   xn 1  xn  11, n  ฀ Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng   7    1   2  dn 11n 11 Do a+b+c=0 2a+b ≠ nên nghi m riêng xn*     n 2a  b  11 S h ng t ng quát c a dãy có d ng xn  c1  c2 6n  n , n  ฀  x0  c1  c2  c1  11   T  Suy xn   3.6n  n 11 89   89   c1  6c2   x1  c2   5    x  3; x1  Thí d 3: Cho dãy {xn} :  Xác đ nh công th c t ng quát xn  xn   xn 1  xn  , n  ฀ Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng   2    1,2  d  3n(n  1) 2a S h ng t ng quát c a dãy : xn  c1  nc2  3n(n  1) , n  ฀ Có a+b+c=0 2a+b=0 nên nghi m riêng xn*  n(n  1) T  x0  c2  c  1    c2   x1  c1  c2  Suy xn  3n2  4n  , n  ฀ x ; x D ng 4: Cho dãy s {xn} :  n  axn   bxn 1  cxn  dq , n  ฀ G i xn* nghi m riêng c a ph Xác đ nh CTTQ c a xn ng trình sai phân Khi nghi m riêng đ  * dq  xn  aq  bq  c q  1  q  2   * ndq n 1 q  1  q  2 đinh nh sau :  xn  2aq  b   * d n2 q  1  2  xn  n(n  1) q 2a  c xác n Xét ph ng trình đ c tr ng, l p công th c nghi m ta có đ  x  ; x1  Thí d 1: Cho dãy s {xn} :  Gi i: Xét ph c công th c xn L p cơng th c tính xn n   xn   xn 1  15 xn  3.4 , n  ฀ ng trình đ c tr ng :   8  15   1   2  dq n 3.4n   3.4n Ta có q  1  q  2 nên nghi m riêng c a ph ng trình x  aq  bq  c 16  32  15 n n n S h ng t ng quát c a dãy : xn  c1.3  c2  3.4 , n  ฀ * n  x0  c1  c2   c  Suy xn  4.3n  5n  3.4 n , n  ฀   3c1  5c2  12  c2   x1  T   x  ; x1  Thí d 2: Cho dãy s {xn} :  Gi i: Xét ph Tìm CTTQ c a xn n   xn   11xn 1  28 xn  6.7 , n  ฀ ng trình đ c tr ng   11  28   1   2  Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn ndq n1 6n.7n1   2n.7n1 2aq  b 2.1.7  11 n n S h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn  c1.4  c2  2n.7n1 Ta có: q  2 nên nghi m riêng c a ph ng trình xn*   x0  c1  c2  c  10  Suy xn  10.4n  2.7 n  2n.7 n 1 , n  ฀  x1  4c1  7c2   28 c2  2 T   x  ; x1  5 Thí d 3: Cho dãy {xn} :  Gi i: Xét ph n   xn   10 xn 1  25 xn  2.(5) , n  ฀ ng trình đ c tr ng   10  25   1  2  5 Tìm CTTQ c a xn d n2 q  n(n  1).(5)n2 2a S h ng t ng quát c a dãy : xn   c1n  c2  (5)n  n(n  1).(5)n , n  ฀ Ta có q  1  2 nên nghi m riêng c a ph ng trình xn*  n(n  1) T  x0  c2  c  3 Suy xn  (3n  4).(5) n  n(n  1).(5) n  (n  76n  100).(5) n n  ฀    x1  5(c c2 )  5 c2  x ; x D ng 5: Cho dãy s {xn} đ c xác đ nh b i :  v i Pk (n) axn   bxn 1  cxn  Pk (n) , n  ฀ đa th c b c k theo n Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy s Nghi m riêng xn* cua ph ng trình đ xác đ nh nh sau:  xn*  Qk (n) a  b  c   *  xn  nQk (n) a  b  c   2a  b   x*  n 2Q (n) a  b  c   2a  b  k  n Xác đ nh công th c t ng quát theo trình t b c nh trình bày  x  31 ; x1  60 Thí d : Cho dãy s {xn} :  ví d Tìm CTTQ c a xn n   xn   xn 1  10 xn  8n  12n  14, n  ฀ ng trình đ c tr ng c a dãy :   7  10   1   2  Gi i: Xét ph Ta có : a+b+c ≠ nên nghi m riêng c a ph ng trình xn*  an2  bn  c Thay vào công th c truy h i, ti n hành đ ng nh t h s ta đ c : xn*  2n2  8n  15 S h ng t ng quát c a dãy : xn  c1.2n  c2 5n  2n2  8n  15  x0  c1  c2  15  31 c  15  Suyra xn  15.2n  5n  2n2  8n  15, n  ฀   c     x c c 25 60  2  x ; x D ng 6: Cho dãy xác đ nh b i {xn} :  Tìm CTTQ xn n  axn   bxn 1  cxn  Pk (n). , n  ฀ Nghi m riêng xn* c a ph ng trình d ng đ c xác đ nh nh sau : T  xn*  Qk (n). n   1    2  * n  xn  n.Qk (n).   1    2 T tìm đ  x*  n Q (n). n      k  n  x  5; x1  18 Thí d : Cho dãy {xn} :  c công th c t ng quát c u xn n2   xn   xn 1  xn  2(3n  1).3 , n  ฀ Xác đ nh công th c xn Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng   6    1  2  Ta có   1  2 nên nghi m riêng c a pt xn*  n2  an  b  3n Thay xn* vào công th c truy h i, rút g n đ ng nh t h s , ta đ c xn*   n3  2n2  3n S h ng t ng quát c a dãy xn  (c1n  c2 ).3n  (n3  2n2 ).3n , n  ฀ T  x0  c2  c  Suyra xn  (2n  5).3n  (n3  2n ).3n   n3  2n  2n   3n   c  x 3( c c ) 18      2  D ng 7: Cho dãy s đ c xác đ nh b i {xn} :  x0 ; x1 Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy  axn   bxn 1  cxn   cosn + sinn , n  ฀ i v i ph ng trình d ng này, nghi m riêng c a có d ng : xn*  Acosn +Bsinn Thay xn* vào công th c truy h i đ xác đ nh đ c hai h s A B Thí d : Cho dãy {xn} : đ c xác đ nh b i :  x0  4 ; x1  4   Tìm s h ng t ng quát c a dãy  n n , n  ฀  sin  xn   3xn 1  xn   cos 4  Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng :   3    1   2  n n Nghi m riêng c a ph ng trình có d ng : xn*  Acos  B sin Thay vào công th c truy 4  h i, ta đ  c: n  (n+2) (n  2)   (n+1) (n  1)  n     Acos  B sin   Acos  B sin    Acos  B sin     4  4   n n  cos  sin 4  Phân tích v trái rút g n ta đ  c: n n A 3B n  A 3B n      A cos    A   B  sin   cos  sin  B  4 2 2    A 3B   B    A   A n n   xn*  cos  sin ng nh t h s , ta đ c :  4 B    A  A  3B  A   2 n n S h ng t ng quát c a dãy : xn  c1  c2 2n  cos  sin 4 x  c  c     c  6 n n T  Suy xn  2n   cos , n  ฀   sin 4  c2   x1  c1  2c2   4     x0 ; x1 axn   bxn 1  cxn  d n1  d n   d nk (1), n  ฀ D ng 8: Cho dãy s d ng sau { xn} :  Trong d ni m t d ng sau : h ng s d, d  n , Pk (n) ,  n Pk (n) , Khi ta g i xn*i nghi m riêng c a ph ng trình axn2  bxn1  cxn  dni Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn Nghi m riêng c a (1) đ k c xác đ nh x   xn*i Sau ta thi t l p đ * n quát nh thí d cho III-Ph ng trình sai phơn b c ba: Lo i 1: Ph ng trình thu n nh t : c công th c t ng i 1  x0 ; x1 ; x2 Xác đ nh s h ng t ng quát axn 3  bxn   cxn 1  dxn  n  ฀ D ng 1: Cho dãy {xn} :  xn c a dãy s Xét ph ng trình đ c tr ng a  b  c  d  Ph ng trình có nghi m phân bi t 1 ; 2 va 3 Khi s h ng c a dãy đ c xác đ nh : xn  c1.1n  c2 2n  c3 3n T giá tr x0 ; x1 ; x2 ta xác đ nh đ c giá tr c1 ; c2 va c3  x0  1; x1  ; x2  Tìm CTTQ c a xn  xn3  xn   11xn 1  xn  n  ฀ Thí d : Cho dãy s {xn} :  Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng :   6  11    1  ; 2  ; 3  S h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn  c1  c2 2n  c3.3n 11  c1    x0  c1  c2  c3   11 T  x1  c1  2c2  3c3   c2  Suy xn    9.2n  3n n  ฀ 2  x  c  4c  9c    c3    x ; x ; x D ng 2: : Cho dãy {xn} :  Xác đ nh s h ng t ng axn 3  bxn   cxn 1  dxn  n  ฀ quát xn c a dãy s Xét ph ng trình đ c tr ng a  b  c  d  có hai nghi m phân bi t 1 va 2  3   Khi s h ng t ng quát c a dãy s cho b i : xn  c1.1n   c2 n  c3   n T giá tr x0 ; x1 ; x2 ta xác đ nh đ c giá tr c1 ; c2 va c3  x0  5; x1  11 ; x2  16 Tìm CTTQ c a dãy  xn 3  11x n  32 xn 1  28 xn  , n  ฀ Thí d : Cho dãy s {xn} :  Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng   11  32  28   1   2  3  S h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn  c1.7n   c2n  c3  2n  c1   35  x0  c1  c3   13 181  n    13 Suy xn   n   n  T  x1  7c1  2c2  2c3  11  c2   , n  ฀ 14 35 35   14  x  49c  4c  4c  16   181  c3  35  x ; x ; x D ng 3: Cho dãy {xn} :  Xác đ nh s h ng t ng quát axn 3  bxn   cxn 1  dxn  n  ฀ xn c a dãy s Xét ph ng trình đ c tr ng a  b  c  d  có nghi m kép 1  2  3   Khi cơng th c nghi m t ng quát có d ng : xn   c1n2  c2n  c3   n Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn T giá tr x0 ; x1 ; x2 ta xác đ nh đ c giá tr c1 ; c2 va c3  x0  ; x1  ; x2  Xác đ nh s h ng t ng  xn 3  3xn   3xn 1  xn  , n  ฀ Thí d : Cho dãy s {xn} :  quát c a dãy Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng :   3  3 1   1  2  3  S h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn  c1n2  c2 n  c3   c   x0  c3   9 T  x1  c1  c2  c3   c2   Suy xn  n  n  3, n  ฀ 2  x  4c  2c  c     c    x ; x ; x D ng 4: Cho dãy {xn} :  Xác đ nh s h ng t ng quát axn 3  bxn   cxn 1  dxn  n  ฀ xn c a dãy s Xét ph ng trình đ c tr ng a  b  c  d  có nghi m th c  hai nghi m ph c Khi s h ng t ng quát c a ph ng trình có d ng : xn  c1. n  c2 cosn +c3 sin n T giá tr x0 ; x1 ; x2 ta xác đ nh đ c giá tr c1 ; c2 va c3  x  3; x1   ; x2   Thí d : Cho dãy s {xn} :  Gi i: Xét ph Tìm CTTQ c a xn   xn 3  xn   22 xn 1  48 xn  , n  ฀ ng trình đ c tr ng   5  22  48      3    2  16      Ph  2 16 VN          ng trình sai phân b c hai   2  16  khơng có nghi m th c nên theo thí d d ng c a ph ng trình sai phân b c hai ta có s h ng t ng n n n n quát xn'  c2 cos  c3 sin V y s h ng t ng quát xn  c1.3n  c2 cos  c3 sin 3 3   x0  c1  c2  c1   c2 c3 n  n       c2  Suy xn  3n   cos  sin T  x1  3c1    , n  ฀ 2 3    c    c2 c3 x c       2  Lo i 2: Ph ng trình khơng thu n nh t  x0 ; x1 ; x2 axn 3  bxn   cxn 1  dxn  d n , n  ฀ Cho dãy s d ng {xn} :  Trong d n có th h ng s , m n , đa th c b c k theo n Pk (n) , Ta ti n hành tìm nghi m riêng nh d ng đ i v i ph ng trình b c trình bày IV-Ph ng trình sai phơn b c cao D ng 1: Ph ng trình thu n nh t : a0 xnk  a1 xnk1   ak xn  Xét ph ng trình đ c tr ng : a0 k  a1 k1   a k  TH1: có k nghi m th c phân bi t, s h ng t ng quát c a dãy s có d ng : Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn k xn  c1.  c2   c3    ck    ci in n n n n k i 1 TH2: Có s nghi m b ng , (k – s) nghi m khác khác v i s nghi m Khi k  s 1 p n s h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn    c p 1.n     ci in i  s 1  p 0  TH3: N u ph ng trình đ c tr ng có nghi m ph c : xj  A Bi  r  cos +isin  r  A2  B2 ;   arctan B k – nghi m th c khác s h ng t ng quát c a dãy A k 2 s s có d ng : xn   ci in  r n  c1' cosn +c'2 sin n  i 1 D ng 2: Ph ng trình khơng thu n nh t: a0 xnk  a1 xnk1   ak xn  bn Ta xét thêm nghi m riêng xn* tu theo d ng c a bn h s Thi t l p công th c t ng quát c a xn t gi thi t c a V-M t s d ng đ c bi t khác th ng g p c a dƣy s kì thi D ng 1: Ph ng trình sai phân d ng " H ph Cho dãy s {xn} , {yn} đ ng trình sai phân n tính c p m t"  xn 1  axn  byn  yn 1  cxn  dyn c xác đ nh nh sau :  Tìm s h ng t ng quát xn yn a h v ph ng trình sai phân n tính c p c a t ng dãy {x n} {yn} : xn2  axn1  byn1  axn1  b(cxn  dyn )  axn1  bcxn  d ( xn1  axn )  (a  d ) xn1  (bc  ad ) xn yn2  cxn1  dyn1  c(axn  byn )  dyn1  dyn1  bcyn  a ( yn1  dyn )  (a  d ) yn1  (bc  ad ) yn a đ c h v d ng ph t ng dãy cho ng trình c b n, t ta d dàng tìm đ c CTTQ c a s h ng u0  2; un 1  2un  n  ฀ v0  1; 1  un  2vn Thí d : Tìm CTTQ c a dãy s {xn} {yn} :  Gi i: Ta có : un2  (a  d )un1  (bc  ad )un  4un1  3un u1  1 T đây, ta có : un  D ng 2: Ph n1   un 1  2un  1  3n 1 ng trình sai phân d ng phân th c n tính: Tìm CTTQ c a dãy s có cơng th c xác đ nh nh sau : x0   ; xn1  Cách 1: yn 1 zn 1 t xk  yk ( zk  0) Khi dãy đ zk axn  b n  ฀ cxn  d c bi n đ i thành : yn b  yn 1  ayn  bzn  yn   (a  d ) yn 1  (bc  ad ) yn zn ay  bzn   n   n  ฀ yn ( ) ( )       z cy dz z a d z bc ad z  cy dz    n n n n n n   n n c  d zn a T công th c t ng quát c a {yn} {zn} ta suy CTTQ c a {xn} Cách 2: t xn  un  t , thay vào công th c truy h i c a dãy ta có : (a  ct ) xn  ct  (a  d )t  b aun  at  b un 1  t  cun  ct  d cun  ct  d (*) Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn Ta ch n t cho ct  (d  a )t  b  Khi ta chuy n (*) v d ng : T ta tìm đ c 1 m  n un un 1 , suy un un u1  Thí d : Tìm CTTQ c a dãy s {un} :  9un 1  24 un  5u  13 n  n 1  x Cách 1: t un  n , thay vào công th c truy h i ta đ c : yn x 9 n 1  24  xn 1  9 xn  24 yn  xn   xn 1  3xn 9 xn 1  24 yn 1 xn yn 1     n  ฀ x xn 1  13 yn 1 yn  yn 1  xn  13 yn  yn   yn 1  yn n 1  13 yn 1  x  ; x2  42 42 Ta ch n  23  y1  ; y2  23  x  22.3n 1  24 22.3n 1  24 T ta tìm đ c :  n  n  Suy u n n 1 n 1 11.3 10  11.3 10   y   n Cách 2: t un  xn  t , thay vào công th c truy h i ta đ c : T u1   u2   9 xn  9t  24 (9  5t ) xn 1  5t  22t  24 xn  t   xn  xn  5t  13 xn 1  5t  13 Ta ch n t : 5t  22t  24   t  2  x1   xn  xn1 11.3n 1  10 22.3n 1  24   5   xn      u x n n xn 1  11.3n 1  10 11.3n 1  10 xn xn 1 xn D ng 3: H ph ng trình n tính b c un  un21  a vn21 ; u1    c xác đ nh b i :   vn  2un 1.un 1 ; v1   Tìm CTTQ c a dãy s (un) (vn) đ         2  un  u  a v un  a  un 1  a 1   u1  a v1   2n1 a v a u v  u  av  u  a v n n 1 n 1    u1  a v1 n n 1 n 1  n 2n1 2n1   1 u a a          n 2      n1 n1 v      a     a    n a   n 1 n 1      n1    Thí d : Xác đ nh CTTQ c a hai dãy s {un} {vn} tho : u1   v1  Gi i: 2  un  un 1  2vn 1 n   v u v   n 1 n 1  n    2  un  un 1  2vn 1 un  2vn  un 1  2vn 1  Ta có:   2vn  2un 1vn 1 u  2vn  un 1  2vn 1   n   2 Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn a  ฀      un  2vn  u1  2v1  u  2v  u  2v n 1  n   2n1 2n1    2    2 2n1 2n1 2n1 2n1   1     u 2 2  n 2      2n1 2n1   v   2 2   n 2           D ng 4: D ng phân th c b c b c 1:  x1   n  Tìm CTTQ c a dãy {xn} :  xn21  a  x a ฀     n  xn 1  u t xn  n , dãy đ c chuyên v hai dãy {un} {vn} nh un  u  a v    vn  2un 1vn 1 n 1 n 1 ; u1   ; v1  n  Khi xn      a   a un  a 2n1 2n1 sau :      a    a 2n1 2n1  x1  Thí d : Xác đ nh CTTQ c a dãy s {xn} :  xn21   n  x  n xn 1  un  un21  2vn21 u1   Gi i: Xét hai dãy s {un} {vn} :   n   v1  vn  2un 1vn 1 u Ta d dàng ch ng minh đ c b ng quy n p xn  n Theo k t qu tốn trên, ta có : xn    2   2 2n1 n1    2    2 2n1 2n1 D ng 5: D ng có c n th c công th c truy h i u1   a) V i dãy s {un} :  , v i a  b  ta xác đ nh CTTQ nh sau: un  aun 1  bu  c n   T dãy truy h i   un  aun1   bun21  c  un2  2aunun1  un21  c  n 1 Thay n b i n – 1, ta đ c un22  2aun2un1  un21  c  Ta ta d th y un un2 nghi m c a ph ng trình b c hai X  2aun1 X  un21  c  Theo đ nh lý Vi-et, ta có un  un2  2aun1 T ta d dàng xác đ nh CTTQ c a xn b) M t cách bi u di n khác : Cho dãy s {un} :   0; a  ; a  b  ta xác đ nh CTTQ nh sau : Ta vi t l i công th c t ng quát d i d ng : u1    un 1 u  n  n    a cu b n 1  a b   c un un 1 un 1 Ta có xn  axn1  bxn21  c dãy mà ta xét u1  Thí d : Cho dãy s {un} :  t xn  un , un  5un 1  24un 1  n   Tìm un ? Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn Gi i: T công th c truy h i c a dãy ta có :  un  5un1   24un21  (1) Thay n b i n – ta đ c : un22  10un2un1  un21   (2) T (1) (2)  un2 , un hai nghi m c a ph ng trình : Áp d ng đ nh lý Vi-et, ta có : un  un2  10un1  un2  10unun1  un21   Ta d dàng tìm đ t  10un1t  un21   n 1 n 1 c un           6 D ng 6: Công th c truy h i b c hai d ng phân th c u1   ; u2   Cho dãy s {un} :  Tìm un ? un21  a u  n   n un   i v i d ng t cơng th c truy h i u3, u4, u5 Ta gi s un  xun1  yun2  z L p h ph u3  xu2  yu1  z ng trình u4  xu3  yu2  z  x, y, z u  xu  yu  z  T công th c truy h i ta d dàng tìm đ c công th c t ng quát c a un u1  u2  Thí d : Tìm CTTQ c a dãy s {un} :  un21   n  u  n un   Gi i: Ta có : u3  3; u4  11; u5  41 Ta gi s un  xun1  yun2  z u3  xu2  yu1  z x  y  z  x     Ta có h pt : u4  xu3  yu2  z  3x  y  z  11   y  1  un  4un1  un2  11x  y  z  41  z    u5  xu4  yu3  z n n 95 95 2  2 n  Ta d d ng tìm đ c xn  6  VI-S d ng l    ng giác đ tìm cơng th c t ng quát c a dƣy s : u1 D ng 1: Xác đ nh công th c dãy s d ng {un} :  un  2un 1  n   N u u1  : ta đ t u1  cos Khi ta có : ta làm nh sau : un  cos2n-1 1  N u u1  : ta đ t u1   a    a  va au1  0 Khi 2 a 1 1  1   n1   u2   a       a    u3   a    un   a  2n1  a a  a  2 2 2 2  a  V i cách xác đ nh s a, ta có a nghi m (cùng d u v i u1) c a ph a  2u1a   Do tích hai nghi m la nên n u a nghi m nghi m l i c a ph sau :  1 un   u1  u12  2 a ng trình s ng trình Khi cơng th c t ng qt có th vi t nh   u  2n1 u 1  2n1    Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn  u1  Thí d 1: Cho dãy s {un}:  Xác đ nh CTTQ c a dãy {un} u  2u  n  n 1  n 2 2 22   Gi i: Ta có u1   cos  u2  2cos2   cos  u3  2cos   cos 3 3 n-1  B ng quy n p ta ch ng minh đ c r ng un  cos n  u  Thí d 2: Cho dãy s {un} :  Xác đ nh CTTQ c a un un  2un 1  n  1 Gi i: G i a nghi m l n c a ph ng trình :  a     a  6a    a   2 2 a 1 1 Ta có a  6a    u1   a    , u2   a     a  2 a a 2 a k 1 k 1 Gi s xk  a  2k1 xk 1  a  2k a a 2n1 2n1 n1 Theo nguyên lý quy n p, ta đ c xn  a  2n1   2   2 a Thí d 3: Cho dãy s {xn} đ c xác đ nh nh sau : x1  5, xn1  xn2  n  xn 1 Tìm giá tr c a S  nlim  x x .x n 2  Gi i: Ch n a nghi m l n c a ph   ng trình x2  x    a    21  2 1 Ta có a  5a    x1  a   ; x2  x12    a     a  a a a  n1 B ng quy n p ta ch ng minh đ c xn  a  2n1 n  a k  k  k 1    Chú ý r ng  a  2k1   a  2k1    a  2k  , a  a   a    n  1   a    a  2n   n a   xn 1   xn 1 a  a a  a  a      ta có  1  1 x1 x2 .xn  a 2n   a  a x x x n n   n a a2 a2  1  2n xn 1 a  a    a   21  lim Do S  nlim   x x x n   a a n  2n  a u  p D ng 2: Tìm CTTQ c a dãy s {un} :  , ta làm nh sau : u u u n     n 1 n 1  n  N u p  ,   0;   : cos =p Khi b ng quy n p ta ch ng minh đ c : un  cos3n-1 Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn 1  N u p  ta đ t u1   a   2  au1   B ng quy n p ta ch ng minh đ c a     3  1  n1   u1  u12   un   a  3n1  hay un   u1  u12  2 2 a    u1  Thí d 1: Xác đ nh CTTQ c a dãy {un} :  u  4u  3u , n  n 1 n  n n1 n1    3 3 3 32  cos  u2  4cos3  3cos  cos  u3  4cos3  3cos  cos 4 4 4 3n-1 B ng quy n p ta ch ng minh đ c un  cos n  x  Thí d 2: Tìm CTTQ c a dãy {xn} :   xn  xn 1  3xn 1 n  Gi i: G i a nghi m l n c a ph ng trình x2 14 x    a   Gi i: Ta có u1  1 1 1 Ta có u1   a     u2   a     a     a   2 a 2 a  2 a  2 a  n1 1 B ng quy n p ta d dàng ch ng minh đ c un   a  3n1  n  2 a  n1 3n1 V y công th c t ng quát c a dãy : un       n  2  u  p D ng 3: Cho dãy {un} :  xác đ nh công th c t ng quát c a un  4un 1  3un 1 , n      ta có th làm nh sau : 1 Ta đ t u1   a   Khi b ng n p ta ch ng minh đ 2 a  n1 un   a  3n1 2 a   1    u1  u1      u  3n1 u 1  3n1 c:     u1  Thí d : Xác đ nh CTTQ c a dãy {un} :  u  24u  12 6u  15u  n  n 1 n 1 n 1  n t un  xvn  y Thay vào công th c truy h i c a dãy, bi n đ i rút g n ta đ     xvn  y  24 x3vn31  12 x2 y  x2 vn21  24 xy2  xy  x vn1  24 y3  12 y2  15 y  6 x2 y  x2  Ta ch n y cho :   24 y  12 y  15 y   y  y Khi : xvn  24 x3vn31  3xvn1   24 x2vn31  3vn1 Ta ch n x    4vn31  3vn 1 ; v1     1 2   3n1   2  3n1    Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn c:   Suyra un  2   3n1   2  3n1    n    u1    1 D ng 4: Xác đ nh CTTQ c a dãy {un} :  v i a un  a  bun 1 n   ab   Khi ta đ t u1    acos  u  a  b  acos   a 1  2cos2   acos2 c un  acos  2n-1  n  B ng quy n p ta ta ch ng minh đ  u1  Thí d 1: Xác đ nh CTTQ c a {un} :  u   u n  n 1  n  Gi i: t   cos ,    ;   , : u1  2cos  u  2(1  2cos2 )  2cos2 2  B ng quy n p ta ch ng minh đ c un  2cos2n-1 n  1   x1  {xn} :    un21  n   xn  Thí d 2: Tìm CTTQ c a dãy s  Gi i: Ta có : u1   sin  u2    sin B ng quy n p ta ch ng minh đ Thí d 3: Cho a, b hai s d c : un  sin   1  cos  6     sin 2.6   n 1 n  ng không đ i tho mãn a < b hai dãy {an} , {bn} a b  a1  ; b1  ba1 đ c xác đ nh nh sau :  Tìm CTTQ c a an bn  a b n  n  1 a  ; bn  a nbn 1 n   n a a  Gi i: Ta có   nên ta đ t  cos v i    0;  b b   Khi : a1  a b a2  1     bcos +b b 1  cos    bcos2 b1  b.bcos2  bcos 2 2 bcos   bcos   bcos  cos  b  bcos  cos  2 22 22 B ng quy n p ta ch ng minh đ a n  bcos  cos  2 .cos  n c:   2 bn  bcos cos .cos  2n u1  a D ng 5: tìm CTTQ c a dãy {un} :  un 1  b n  un   bu n 1  Ta đ t a  tan  b  tan  , ta d dàng ch ng minh đ c un  tan   (n  1)  Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn u1   Thí d : Cho dãy {un} :  Tính giá tr c a u2011 un 1   n  un    u n 1   Gi i: Ta có tan  tan   u1   tan   tan     tan      B ng quy n p ta ch ng minh đ c :     3 8  tan tan       5  un  tan   (n  1)  n  Suy u2011  tan   2010   tan     2  8 8 3 3 3  u1   Thí d 2: Tìm CTTQ c a dãy s {un} :  un 1 n  un    un21  1 1  1 Gi i: Ta có :  t xn  , ta đ c dãy {xn} d c xác đ nh nh un un 1 un 1 un xn  xn1   xn21 sau : x1  Khi đó, u2       cos  Vì x1   cot  x2  cot   cot   cot  3 2.3 sin B ng quy n p ta ch ng minh đ c : xn  cot  n 1 BÀI T P DÀNH CHO  un  tan  n 1 C GI T n  1, 2,3  LUY N Bài 1: Xác đ nh công th c t ng quát c a dãy s sau : 3xn1  xn  n0 a) Cho x0  1; n b) Cho x0  1; 5xn1  xn  n  n  c) Cho x0  2; xn1  xn  2n2  n  4 xn1  xn  6n  n  d) Cho x0  5; xn1  xn  13 n  e) Cho x0  3; 3xn1  xn  23 n  f) Cho x0  4; n g) Cho x0  7; xn1  3xn  2.3 n  xn1  xn  2n2 n  h) Cho x0  15; n  n  j) Cho x0  1; x1  4; xn1  xn1  xn1  n  k) Cho x0  4; x1  ; xn1  xn  xn1  0; n 1 l) Cho x0  3; x1   ; xn1  xn  13xn1  i) Cho x0  ; 11xn1  xn  2.3n  4n m) Cho x0  5; x1  1; xn1  xn  3xn1  14 n 1 Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn n) o) p) q) r) s) t) u) Cho x0  4; x1  3; xn1  xn  3xn1  n  Cho x0  2; x1  4; xn1  xn  xn1  11 n  n Cho x0  1; x1  5; xn1  8xn  15n1  4.2 n  Cho x0  1; x1  4; xn1  3xn  xn1  3.4n n  Cho x0  4; x1  2; xn1  6xn  9xn1  5.3n ; n  Cho x0  1; x1  3; xn1  xn  12 xn1  (2n  3n 1).2n n  Cho x0  2; x1  3; xn1  xn  10 xn1  (3n 1).5n n  Cho x0  1; x1  3; xn1  8xn  16xn1  (2n2  3).4n n  n n  2sin 3 n n w) Cho x0  ; x2  ; xn1  xn  5xn1   n  v) Cho x0  1; x1  ; xn1  3xn  xn1  3cos  xn 1  xn  yn  yn 1  xn  yn x) Cho x1  3; y1  ;  y) Cho x1  2; xn1  xn  xn  n  n  n  ; Bài 2: Xác đ nh Công th c t ng quát c a dãy s đ c bi t sau : xn xn 2002 xn1  2001xn  2000 xn 1 xn a) Cho x0  1; x1  ; xn  b) Cho x0  1; xn2  xn21.xn3 xn x1  2; c) Cho x1  1; xn1  d) Cho u0  2;   xn2 u1   33 ; v i n  n  n 1 un1  3un  8un2  n 1  u1   e) Cho  u 2 un  n 1 n     un 1    un  ฀  , n  ฀  Bài 3: Cho dãy s {un} tho mãn nh sau : u0  1, u1  u  10.u  u n 1 n  n  ฀ , n   n Ch ng minh r ng k  ฀ , k  a) uk2  un21  10ukuk1  8 b) 5uk  uk1  3.uk2  1  x0  1; x1   xn  xn 1  xn 2  n  Bài 4: Cho dãy {xn} xác đ nh nh sau :  Xác đ nh s t nhiên n cho : xn1  xn  22685 Bài 5: Cho day {xn} đ  x0  1; x1   xn 1  xn  xn 1 n  c xác đ nh b i :  Tìm nlim  xn  ( TH&TT T7/253)  Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn 1  2    1  a n   Bài 6: Xét dãy {an} : a1  a n 1    n  2     Ch ng minh r ng : a1  a2  a3   a2005  1,03 (TH&TT T10/335) Bài 7: Cho dãy s {an} : a0  2; a n1  4a n  15a n2  60 n  Hãy xác đ nh CTTQ c a an ch ng minh r ng s  a 2n  8 có th bi u di n thành t ng bình ph ng c a s nguyên liên ti p v i n  (TH&TT T6/262) Bài 8: Cho dãy s  p(n) đ c xác đ nh nh sau : p(1)  1; p(n)  p(1)  p(2)   (n 1) p(n 1) n  Xác đ nh p(n) (TH&TT T7/244) u  Bài 9: Xét dãy {un} :  Ch ng minh r ng v i m i s un  3un 1  2n  9n  9n  n  p 1 nguyên t p 2009 ui chia h t cho p (TH&TT T6/286) i 1 x  a Bài 10: Dãy s th c {xn} :    xn 1  xn  n  Tìm t t c giá tr c a a đ xn  n  (TH&TT T10/313) xn1.xn Bài 11: Dãy s {xn} : x0  1; x1  xn2  n  2002 xn1  2001xn  2000 xn 1.xn Hãy tìm CTTQ c a xn (TH&TT T8/298)  a1  Bài 12: Cho dãy s {an} đ c xác đ nh nh sau {an} :  a n 1 a n  n  2na n 1   Tính t ng S  a1  a   a 2010 Bài 13: Cho dãy s đ c xác đ nh b i : a1  1.2.3; a2  2.3.4; ; an  n(n  1)(n  2) t Sn  a1  a   a n Ch ng minh r ng 4Sn  s ph ng ( HSG Qu c Gia ậ 1991 B ng B) Bài 15: Cho hai dãy s {an} {bn} đ c xác đ nh nh sau : a  ; b0   2a nbn  a n 1  a  b ; bn 1  a n 1bn n  n n  Ch ng minh r ng dãy {an} {bn} có gi i h n chung n   Tìm gi i h n chung ( HSG Qu c Gia ậ 1993 B ng A ngƠy th 2) Bài 16: Cho s nguyên a, b Xét dãy s nguyên {an} đ c xác đ nh nh sau : a  a ; a1  b; a  2b  a   a n 3  3a n   3a n 1  a n n  a) Tìm CTTQ c a an b) Tìm s nguyen a, b đ an s ph ng v i n  1998 (HSG Qu c Gia ậ 1998 B ng B) Mai Xuân Vi t – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 DeThiMau.vn ... 3xn 1  xn  , n  ฀ Thí d : Cho dãy s {xn} :  quát c a dãy Gi i: Xét ph ng trình đ c tr ng :   3  3 1   1  2  3  S h ng t ng quát c a dãy có d ng : xn  c1n2  c2 n  c3 ... * n n x  Thí d 1: Cho dãy s {xn} :  n   xn 1  3xn  2.5 , n  ฀ Tìm CTTQ c a xn b a Ta có :   q    ; d  ;   Vì q   nên ta có s h ng t ng quát c a dãy s : 3n  5n d qn  ... 35 a q  x  Thí d 2: Cho dãy {xn} :  Tìm CTTQ c a xn n   xn 1  3xn  5.3 , n  ฀ b Ta có:   q    ;   ; d  Vì q   nên ta có s h ng t ng quát c a dãy s : a d xn  x0 q n  nq