SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ TRUY HỒI

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI MÃ SKKN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ TRUY HỒI MƠN: TỐN HỌC CẤP HỌC: THPT NĂM HỌC 2016 – 2017 Trang PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình học học sinh từ bậc Tiểu học đến Trung học sở (THCS) Trung học phổ thông (THPT), Tốn mơn quan trọng, trang bị cho em kiến thức cần thiết tốn phổ thơng nhằm giúp em tiếp tục học lên cao áp dụng vào ngành nghề sống em sau Bên cạnh kiến thức tốn cịn giúp học sinh học mơn tự nhiên khác có chương trình Riêng phân mơn Đại số lại có ba mảng lớn là: Số học, Đại số Giải tích Phần Số học Đại số em học tương đối nhiều kỹ lưỡng từ bậc Tiểu học, qua THCS hết học kì lớp 11 bậc THPT, phần cịn lại Giải tích, mảng kiến thức thuộc lĩnh vực Toán đại có nhiều ứng dụng thực tế giúp em học nghiên cứu lĩnh vực khác, chẳng hạn như: - Khảo sát vẽ đồ thị số hàm số quan trọng - Chứng minh phương trình có nghiệm khoảng - Tính diện tích hình thang cong, tam giác cong - Tính thể tích khối trịn xoay - Tính qng đường, vận tốc, gia tốc, cường độ dòng điện … Song học sang lĩnh vực Giải tích, đại đa số em học sinh gặp nhiều khó khăn số nguyên nhân sau: Thứ nhất: Đây lĩnh vực mà tiếp cận em phải thời gian làm quen, tìm hiểu, ghi nhớ, luyện tập, … nắm bắt thành thục Thứ hai: Thời lượng học mơn Giải tích lại tương đối ngắn học năm, chiếm khoảng 1/8 thời gian học từ Tiểu học đến hết THPT Cho nên nhiều em chưa kịp nắm bắt hết hay đẹp ý nghĩa thực tế mơn phải làm tốn ứng dụng chuyên sâu mảng kiến thức, nên nhiều em khơng nắm khơng có hứng thú học phần kiến thức Trang Thứ ba: Các em học nhiều Toán lớp lĩnh vực Số học Đại số Hai lĩnh vực có lối tư tương đối giống tư cụ thể Sang mảng Giải tích có lối tư khác tư trừu tượng Lối tư cụ thể in đậm, hằn sâu trí óc học trị Một vấn đề đặt sau phân tích đến cách giải quyết, cuối đưa kết kết em phải kiểm tra lại với yêu cấu vấn đề đặt Nhưng lĩnh vực giải tích lại khơng hồn tồn Một ví dụ đơn giản dãy số (un) với un = ta nói có giới hạn n   , em n học sinh lại khơng thể tìm số tự nhiên n để un = Vậy nhiều em học sinh học đến phần tỏ nghi ngờ không tin tưởng vào kiến thức Cuối lí em có q kiến thức thuộc lĩnh vực Giải tích xu giảm bớt tính hàn lâm sách giáo khoa bậc học phổ thông nên hầu hết định lí phần buộc em công nhận, mà không chứng minh phần làm cho tâm lí học sinh thiếu tin tưởng vào kết nảy sinh nghi ngờ toán thầy trò tiến hành giải Để giúp em học sinh thấy phần hay, đẹp nhiều ứng dụng thực tế Giải tích, củng cố, đào sâu thêm kiến thức dãy số để em tự tin giải tốt kiểm tra lớp, thi học kì thi học sinh giỏi nên chọn đề tài: Một số phƣơng pháp tìm số hạng tổng quát dãy số truy hồi để giảng dạy cho em lớp, buổi ngoại khóa hay bồi dưỡng học sinh giỏi Từ gợi mở hứng thú, khám phá, tìm tịi phân mơn: Giải tích mơn tốn em học sinh, giúp nâng cao chất lượng giáo dục tồn diện cho học sinh góp phần thực thắng lợi nhiệm vụ trị nhà trường năm học II MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM - Giúp em nắm khái niệm dãy số - Nắm số phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số - Từ học tốt phần giới hạn dãy số phần kiến thức - Khơi dậy lòng đam mê sáng tạo say mê với mơn Tốn Trang III PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1) Phƣơng pháp phân tích - Từ đề tốn cho trước cách phân tích lên để dãn đến cách giải tốn - Từ kinh nghiệm giải số toán gặp, phương pháp phân tích xuống ta tìm lời giải 2) Phƣơng pháp tổng hợp, tổng quát hóa Sau phân tích tốn ta có lời giải tổng hợp tốn Từ phương pháp tổng qt hóa ta có lời giải cho lớp toán tương tự 3) Phƣơng pháp so sánh, đối chứng IV ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng: Học sinh lớp 11A1 - Phạm vi nghiên cứu: Dùng thời lượng dạy lớp phần dãy số theo PPCT Bộ GD&ĐT Dạy tiết tự chọn theo chủ đề thống tổ chuyên môn Kết hợp với khoảng thời gian ôn tập cuối chương Dạy ngoại khóa bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 11 theo kế hoạch nhà trường PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI Dãy số phần lĩnh vực Giải tích mà em học sinh lớp 11 tiếp xúc, phần kiến thức khó đòi hỏi học sinh phải tư theo lối trừu tượng tầm suy nghĩ để giải toán tương đối xa khó đại đa số học sinh nên dạy lướt qua học sinh khó nắm vững phần dãy số - mà lại tảng kiến thức Giải tích, kéo theo khó khăn em học chương trình Giải tích lớp Do tơi chọn chun đề: Tìm số hạng tổng quát dãy số truy hồi để bồi dưỡng cho em với số lí sau đây: - Thứ nhất: Trang bị đầy đủ thêm kiến thức lí thuyết đặc biệt thủ thuật để giải tốn tìm số hạng tổng qt dãy số, giúp em Trang phân dạng loại tốn sau biết quy tốn cần giải dạng quen thuộc để đưa cách giải - Thứ hai: Khi nắm vững phần dãy số giúp em học tốt phần kiến thức như: Giới hạn dãy số, hàm số phần kiến thức giải tích sau - Thứ ba: Tạo hứng thú cho em học sinh, đối tượng học sinh khá, giỏi tìm tịi để phát tốn mới, dạng toán làm tiền đề cho phát minh sau Kích thích say mê, sáng tạo, đam mê phân mơn giải tích nói riêng mơn tốn nói chung I THỰC TRẠNG KHI CHƢA THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Sau dạy xong chương III: Dãy dố, cấp số cộng cấp số nhân lớp 11 Ban bản, theo PPCT cho em học sinh kiểm tra 45 phút với đề sau: Bài ( điểm) Cho n số tự nhiên Chứng minh rằng: 4  2n (1  )(1  ) (1  )  2n (2n  1) Bài ( điểm) Tìm u1, d S10 cấp số cộng Biết: u1  u  10 u  u  18 1)  u1  u  10 u u  28 2)  u1  Bài ( điểm) Cho dãy số (un) có: u  với n  N* u  3u  2u  n 1 n  n2 Tính u2011 Kết kiểm tra lớp 11A1 có sĩ số 44 học sinh sau: Diễn giải Loại Giỏi Số lƣợng Loại Khá Số lƣợng Cả Bài Kết Tỉ lệ % 37 11,4 84,1 Tỉ lệ % 11,4 Trang Ghi Số lƣợng Tỉ lệ % Loại Yếu Số lƣợng 0 Loại Kém Số lƣợng 39 Loại TB 4,5 Tỉ lệ Tỉ lệ 88,6 Nhìn bảng tổng hợp kết đặc biệt có cột thống kê kết (dãy số), ta có số nhận xét sau: - Chất lượng đại trà lớp 11A1( lớp điểm trường ) tương đối tốt, em nắm kiến thức biểu kết 95,5% đạt kế Khá Giỏi - Song bên cạnh tốn phân loại thuộc loại tốn dãy số cịn học sinh vượt qua Điều chứng tỏ rằng: Việc tự học, tự tìm hiểu sâu kiến thức em cịn hạn chế, phần khả em, phần chưa trang bị kiến thức chuyên sâu nên có 5/44 học sinh giải Số lại hết thời gan làm khơng có ý tưởng để giải tốn nên khơng vượt qua II CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN - Nhắc lại kiến thức cũ có liên quan để học phần - Bổ xung số kiến thức cần thiết - Đưa số mẫu toán mới, phân tích tìm lời giải, tổng qt hóa em học sinh ghi nhận III NHỮNG GIẢI PHÁP KHOA HỌC TIẾN HÀNH 1) Kiến thức cần nhắc lại + Dãy số: - Định nghĩa: Cho tập hợp số tự nhiên khác rỗng M = {1; 2; 3; ; m} dãy số hàm số u từ tập M vào R biến phần tử n  M thành u(n) - Cách cho dãy số: có cách liệt kê, nêu tính chất đặc trưng cho công thức truy hồi + Cấp số cộng: Trang - Định nghĩa: Là dãy số mà số hạng ( kể từ số thứ 2) số đứng trước cộng thêm số định - Tính chất: Số hạng tổng quát un = u1 + ( n - 1)d Tổng n số hạng đầu tiên: Sn = (u1  u n )n 2u1  (n  1)d .n  2 Tính chất trung bình cộng: uk-1 + uk+1 = 2uk + Cấp số nhân: - Định nghĩa: Là dãy số mà số hạng ( kể từ số thứ 2) số đứng trước nhân thêm số định - Tính chất: Số hạng tổng quát un = u1.qn-1 Tổng n số hạng đầu tiên: Sn = u1 (q n  1) q 1 Tính chất trung bình cộng: uk-1.uk+1 = uk2 2) Một số phƣơng pháp tìm số hạng tổng quát dãy số truy hồi 2.1 Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) biết u1 = a un = un-1 + b ( n >1) a) Cách giải - Từ giả thiết: un = un-1 + b  (un) cấp số cộng - Vậy: un = u1 + (n - 1).d = a + (n - 1).b b) Ví dụ: Ví dụ 1: Cho dãy số (un) biết: u1 = 1, un+1 = un + Tính un * Phân tích để tìm lời giải - Từ giả thiết un+1 = un + 3, ta có dãy số (un) cấp số cộng - Dựa vào tính chất cấp số cộng Tính un * Lời giải Từ giả thiết un+1 = un + 3, ta có dãy số (un) cấp số cộng có u1 = công sai d = Vậy un = u1 + (n – 1)d = + (n – 1).3 = 3n – u1  ( n>1) Tính un u n  u n 1  n Ví dụ 2: Cho dãy số (un) có:  * Phân tích để tìm lời giải Trang - Từ giả thiết: un = un-1 + n  un - un-1 = n - Nếu đặt: un - un-1 = vn-1 (vn) cấp số cộng Tính ta tính un * Lời giải Từ giả thiết: un = un-1 + n  un - un-1 = n Áp dụng công thức ta có: un - un-1 = n un-1 - un-2 = n - … u2 - u1 = un - u1 = n + ( n - 1) + + = Vậy un = (n  2)(n  1) (n  2)(n  1) +2 2.2 Dạng 2: Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) biết u1 = a un = un-1.b a) Cách giải - Từ giả thiết: un = un-1.b  (un) cấp số nhân - Vậy: un = u1.qn-1 = a.bn-1 b) Ví dụ: Ví dụ 3: Cho dãy số (un) có u1 = 1, un+1 = 3un Tính un * Phân tích để tìm lời giải - Từ giả thiết un+1 = 3.un , ta có dãy số (un) cấp số nhân - Dựa vào tính chất cấp số nhân Tính un * Lời giải Từ giả thiết un+1 = 3.un , ta có dãy số (un) cấp số nhân có u1 = cơng bội q = Vậy un = u1.qn-1 = 1.3n-1 =3n-1 u1  Ví dụ 4: Cho dãy số (un) có:  n u n  u n 1  * Phân tích để tìm lời giải - Từ giả thiết: un = un-1 + 3n  un - un-1 = 3n Trang Tính un - Nếu đặt: un - un-1 = vn-1 (vn) cấp số nhân Tính ta tính un * Lời giải Từ giả thiết: un = un-1 + 3n  un - un-1 = 3n Áp dụng công thức ta có: un - un-1 = 3n un-1 - un-2 = 3n-1 … u2 - u1 = un - u1 = 3n + 3n-1 + + 32 3n 1  3n 1  =3  2 n 1  +1 Vậy un = 2.3 Dạng 3: Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) biết: u1 = a1 un = a.un-1 + b với n N* n > a) Phân tích tìm lời giải - Giả sử un + x = a.( un-1 + x)  un = a.un-1 + ax - x - Ta có: x( a - 1) = b  x = b ( Nếu a = trở cấp số cộng) a 1 b) Lời giải Từ giả thiết: un = a.un-1 + b  un + x = a.( un-1 + x ) Đặt: un + x =  (vn) cấp số nhân có: v1 = a1 + x q = a n-1  = v1 q Vậy: un = - x = ( a1 + b b ).an-1 a 1 a 1 c) Ví dụ u1  Tính un u n  4u n 1  Ví dụ 5: Cho dãy số (un) có:  * Phân tích: Ta có: a = 4; b =  x = 5  1 Trang * Lời giải: Từ giả thiết: un = 4un - +  un + Đặt: un + 5 = 4(un - + ) 3 5 =  (vn) cấp số nhân có: v1 = + = q = 3 n-1  v n = v1 q Vậy: un = = n-1 n = 3 n - = ( 22n+1 - 5) 3 2.4 Dạng 4: Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) biết u1 = a1 ; u2 = a2 un = a.un-1 + b.un-2 với n N* n > a) Phân tích tìm lời giải - Giả sử un + x.un-1 = y.( un-1 + x.un-2 )  un = ( -x + y).un-1 + xy.un-2  x  y  a  x  y  a   xy  b  xy  b - Ta có:  Nên -x y nghiệm phương trình: t2 - at - b = Giả sử phương trình có nghiệm t1 t2  x = -t1 y = t2 - Do đó: un - t1 = t2.( un-1 - t1 ) Đặt un - t1 =  (vn) cấp số nhân có: v1 = a1 - t1 q = t2  = v1 qn-1 - Vậy: un = t1 + = t1 + ( a1 - t1).t2n-1 b) Lời giải Từ giả thiết: un = a.un-1 + b.un-2  un - t1 = t2.( un-1 - t1 ) Đặt un - t1 =  (vn) cấp số nhân có: v1 = a1 - t1 q = t2  = v1 qn-1 Vậy: un = t1 + = t1 + ( a1 - t1).t2n-1 c) Ví dụ: u1   Ví dụ 6: Cho dãy số (un) có: u  ( với n  N* n > 2) Tính un u  4u  3u n 1 n2  n + Phân tích tìm lời giải Ta có: a = 4; b = -3 Giải phương trình: t2 - 4t + = t1 = t2 =  x = -1 y = ( x = -3 y = 1) Trang 10 + Lời giải Từ giả thiết: un = 4un-1 - 3un-2  un - un-1 = 3( un-1 - un-2 ) v1  u  u1  q  Đặt: un - un-1 = vn-1 Ta có: = 3.vn-1  (vn) cấp số nhân có   = v1.q n-1 = 2.3n-1 Nên: un - un-1 = vn-1 = 2.3n-2 un-1 - un-2 = vn-2= 2.3n-3 u2 - u1 = v1 = 2.30 un - u1 = 2( 30 + 31 + + 3n-2 ) = n 1  = 3n-1 - 1 Vậy un = u1 + 3n-1 - = 3n-1 + Nhận xét: Nếu lấy x = -3 y = Từ giả thiết: un = 4un-1 - 3un-2  un - 3un-1 = 1( un-1 - 3un-2 ) Ta có cách giải tương tự 2.5 Dạng 5: Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) biết u1 = a1; u2 = a2 un = a.un-1 + b.un-2 + c Với n  N* n > a) Phân tích tìm lời giải - Giả sử un + x.un-1 = y.( un-1 + x.un-2 ) + c  un = ( -x + y).un-1 + xy.un-2 + c  x  y  a  x  y  a   xy  b  xy  b - Ta có:  Nên -x y nghiệm phương trình: t2 - at - b = Giả sử phương trình có nghiệm t1 t2  x = -t1 y = t2 - Do đó: un - t1 = t2.( un-1 - t1 ) Đặt un - t1 =  (vn) cấp số nhân có: v1 = a1 t1 q = t2  = v1 qn-1 - Nên: = y.vn-1 + c Quay dạng ta tìm kết b) Lời giải Từ giả thiết: un = a.un-1 + b.un-2 + c  un - t1 = t2.( un-1 - t1 ) + c Đặt un - t1 =  (vn) cấp số nhân có: v1 = a1 - t1 q = t2  = v1 qn-1 Trang 11 Nên: = y.vn- + c  x’ = c y 1 w1  u1  x ' Đặt un + x = wn  (wn) cấp số nhân có:  q  y ’  wn = w1.q n-1 = ( u1 + x’).yn-1 Vậy un = wn - x’ c) Ví dụ: u1  Ví dụ 7: Cho dãy số (un) có: u  ( với n  N* n > 2) u  3u  2u  n 1 n2  n Tính un + Phân tích tìm lời giải - Ta có a = 3; b = -2 Xét phương trình: : t2 - 3t + =  t1 = t2 =  x = -1 y = ( x = -2 y = 1) + Lời giải Từ giả thiết: un = 3un-1 - 2un-2 +  un - un-1 = 2( un-1 - un-2 ) + Đặt: un - un-1 = vn-1 Ta có: = 2.vn-1 +  (vn) 1dãy số dạng Từ giả thiết : = 2.vn-1 + ( có x = 4)  + = 2(vn-1 + 4) Đặt + = wn  Dãy số (wn ) cấp số nhân có w1 = v1 + = 6, công bội q=2  wn = w1.q n-1 = 6.2n-1 = 3.2n = + = un + – un +  un + = un + 3.2n - Nên: un = un-1 + 3.2n-1 - un-1 = un-2 + 3.2n-2 - u2 = u1 + 3.21 - un = u1 + 3( 21 + 22 + + 2n-1 ) – 4(n – 1)= 3.2n – 4n - Vậy un = 3.2n – 4n - 3) Bài toán dãy số đề thi HSG 12 thành phố Hà Nội từ năm 2008 3.1 Bài phần ( Đề thi năm 2008) Trang 12 Cho dãy số (un) với un = Thành lập dãy số (sn) với s1 = u1, s2 = u1 + u2, , sn = u1 + u2 + + un Tìm limsn Lời giải Ta có: sn =  = 1 )  2n  2n  = Vậy limsn = 3.2 Bài phần ( Đề thi năm 2009) Cho dãy số (un) với un = với n Đặt sn = u1 + u2 + + un Tìm limsn Lời giải Ta có : un = Nên : sn = Vậy limsn = 3.3 Bài ( Đề thi năm 2010) Cho dãy số (un) với un = Tìm limsn Dãy (sn) cho sn = u1 + u2 + + un Lời giải Ta có : un+1 – un+2 = Nên un = 4(un+1 – un+2) Suy ra: sn = 4( u2 – un+2) = Vậy limsn = 3.4 Bài ( Đề thi năm 2011) 1) Cho dãy số (un) xác định : un = 1, un+1 = un + n với n 2) Cho dãy số (vn) xác định : v1 = vn+1 = vn2 – với n minh lim Lời giải 1) Ta có: u1 = ; u2 = u1 + ; ; un = un-1 + n – Cộng vế n đẳng thức un = + Vậy: Trang 13 Tìm lim Chứng 2) Ta có vk+1 = vk2 – vk+12 – = vk2( vk2 – 4) Áp dụng công thức ta Nên Ta chứng minh limvn = + Vậy: lim 3.5 Bài ( Đề thi năm 2012) Cho dãy số (un): 1) Chứng minh (un) giảm bị chặn 2) Tìm un Lời giải 1) + Dùng phương pháp qui nạp chứng minh : 1< un + Ta có: un+1 – un = Vậy (un) dãy số giảm 2) Dùng phương pháp qui nạp chứng minh + Với n = Ta có u1 = (*) ( đúng) + Giả sử công thức (*) với n = k Tức ta có : = Cơng thức (*) với n = k + Vậy (*) với 3.6 Bài ( Đề thi năm 2013) Cho dãy số (un) với u1 = 2; a) Chứng minh (un) tăng b) Đặt Chứng minh v1 + v2 + + < 2014 Lời giải a) Chứng minh: un < un+1 ( dùng qui nạp) + Với n = Ta có + Giả sử uk < uk+1 với k , ta có : uk+1 < uk+2 (uk - uk+1)( uk + uk+1 + 2013) < Vậy (un) tăng Trang 14 ( đúng) uk < uk+1 ( ln đúng) b) + Ta có: Áp dụng đẳng thức (*), ta có : v1 + v2 + + = 2014.( - ) (**) + Dùng qui nạp chứng minh un > với n N* Từ kết (**) ta suy ĐPCM 3.7 Bài ( Đề thi năm 2014) Cho dãy số (un): a) Chứng minh un+2 = 4un+1 - un b) Chứng minh u2015 chia hết cho Lời giải a) Từ giả thiết, ta có (un+1 – 2un)2 = 3un2 +1 Tương tự: Nên un+2 un nghiệm phương trình: x2 – 4.un+1 x + un+12 – = Áp dụng định lí Viét : un+2 + un = 4.un+1 Vậy un+2 = 4.un+1 - un b) Ta có : un+2 = 4.un+1 – un = 15.un – 4.un-1 = 5(3.un – un-1) + un-1 Mà u2 = 15 Vậy u2015 3.8 Bài ( Đề thi năm 2015) Cho dãy số (xn) với x1 = 1; Trang 15 Xét dãy số (yn) với 1) Chứng minh yn = 2) Tìm limyn Lời giải 1) Từ giả thiết, ta có : xn+1 = xn( xn2015 + 1) Áp dụng đẳng thức (*) với n = 1, 2, , n ta : yn = 2) Ta có xn > Giả sử limxn = a > a = a2016 + a a = ( vơ lí ) Vậy: limyn = lim( - limxn = + ) = 3.9 Bài ( Đề thi năm 2016) Cho dãy số (un) với u1 = 1; 1) Xác định cơng thức tính số hạng tổng quát un 2) Chứng minh: u1 + u2 + + u2016 < 20163 Lời giải 1) Ta chứng minh: un = n2 ( qui nạp) + Với n = 1, ta có u1 = ( đúng) + Giả sử công thức với n = k Tức uk = k2 Ta có: uk+1 = Công thức với n = k + Vậy ta có Đpcm 2) Chứng minh: u1 + u2 + + u2016 < 20163 12 + 22 + + 20162 < 20163 2017.4033 < 20162 ( ln đúng) Vậy có Đpcm 4) Một số tập áp dụng Bài Trang 16 Cho dãy số (un) thỏa mãn: u1 = 2002, un+1 = 2001un + 2000 với n  N* a) Hãy biểu diễn số hạng tổng quát un qua n b) Tìm tổng n số hạng dãy số ĐS: a) un = 2003.2001n-1 - b) S n  2003(2001n  1) n 2000 Bài a  Tìm số hạng tổng quát dãy số (an) biết: a1  (k  N , k  2) a  3a  2a k 1 k 2  k ĐS: an = 3.2n + Bài Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 3, u2 = 7, un = 6un-1 - un-2 (n  N n > 2) a) Rút gọn biểu thức: u n21  6u n u n1  u n2 b) u n2 có số phương không? Chứng minh ĐS: a) -8 u n2 b) không số tự nhiên Bài Cho dãy số (xn) xác định bởi: x1  12 , x2  12  12 ; xn  12  12  12 (n dấu căn) Chứng minh dãy (xn) hội tụ Tìm giới hạn ĐS: limun = Bài a0  cos  (0     ) Cho dãy số (an) xác định bởi:   cos  (n  N * ) a n   Tìm giới hạn dãy số An Bn với An = - an Bn = a1a2…an ĐS: limAn = 0; limBn = Bài Trang 17 sin   Cho dãy số (un) xác định sau: u1  ; u n1  un   (1  )u n  Tính u1993 Phần III KẾT LUẬN 1) Kết sau thực hiên đề tài - Sau thực đề tài lớp 11A1, hầu hết em học sinh lớp nắm tương đối tốt dạng tốn tìm số hạng tổng quát dãy số truy hồi mà số hạng tổng quát viết dạng biểu thức tuyến tính số hạng đứng trước Kết kiểm tra sau đợt học tự chọn tương đối cao - Sau đề kiểm tra cuối phần dãy số đại số tổ hợp: ĐỀ KIỂM TRA LỚP 11 Môn: Đại số - Thời gian: 90 phút **** Bài ( điểm) Giải phương trình sau: 1) 23 Ax4 = 24( Ax31  Cxx  ) 2) 1  x  x x C4 C5 C6 Bài ( điểm) Một hộp có 12 viên bi, có viên bi màu đỏ viên màu trắng 1) Lấy ngẫu nhiên lúc viên bi Tính xác suất viên bi lấy có viên bi trắng 2) Lấy ngẫu nhiên lần, lần viên bi Tính xác suất để viên bi thứ màu đỏ, viên bi thứ màu trắng Bài ( điểm) 1) Ba số lập thành cấp số nhân có tổng 93, xem chúng số hạng thứ nhất, thứ hai thứ bảy cấp số cộng Tìm ba số 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng: x4 - (3m + 5)x2 + (m + 1)2 = Bài ( điểm) Cho dãy số (un) xác định bởi: Trang 18 u1 = 1, u2 = un+2 = 2.un+1 - un + ( với n  N* ) Tính u2011 - Kết sau: Diễn giải Loại Giỏi Số lƣợng Loại Khá Số lƣợng Loại TB Loại Yếu Loại Kém Cả Bài Kết 38 Tỉ lệ % Ghi 37 86,4 84,1 Tỉ lệ % 15,9 Số lƣợng 0 Tỉ lệ % Số lƣợng 0 Tỉ lệ % Số lƣợng Tỉ lệ % 13,6 - Từ bảng tổng hợp ta thấy đại phận học sinh nắm tốt kiến thức - Đặc biệt toán dãy số có gần 90% học sinh giải tốt - Từ em có sở để giải toán khác dãy số 2) Đề xuất kiến nghị - Tổ Toán nhà trường nên tổ chức Họp tổ chuyên môn ngoại khóa chủ đề Tốn liên quan đến số chun đề khó có chun đề tìm số hạng tổng quát dãy số dạng truy hồi - Việc biên soạn SGK nên chứng minh định lí phạm vi kiến thức phổ thơng cho phép, giúp em học sinh tự tin việc áp dụng vào giải tốn Xin trân trọng cảm ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ Hà Nội, ngày 16 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác NGƢỜI VIẾT Trang 19 Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Trang 20