(SKKN CHẤT 2020) một số bài toán về giới hạn của dãy số truy hồi

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƢỜNG THPT TAM DƢƠNG II TRƢỜNG THPT TAM DƢƠNG II BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TRUY HỒI Tác giả sáng kiến: Phùng Thế Bằng Mã sáng kiến Tác giả sáng: 08.52 kiến: Phùng Thế Bằng Mã sáng kiến : 08.52.01 Tam dƣơng năm 2018 Vĩnh phúc, năm 2019 download by : skknchat@gmail.com BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu 1.1 Lí chọn sáng kiến Trong chương trình tốn học THPT tốn liên quan đến giới hạn dãy số mảng kiến thức hay khó, đặc biệt tốn chưa cho công thức số hạng tổng quát dãy Một kiểu dãy số dãy cho hệ thức truy hồi Đây dạng tốn khó, địi hỏi nhiều kĩ thuật; tốn thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia quốc tế Trong trình giảng dạy chương trình tốn lớp 11 bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi tìm tịi đúc kết rút số kỹ thuật tìm giới hạn toán dạng Với mong muốn cung cấp công cụ gần gũi cho học sinh, đề tài “Một số toán giới hạn dãy số truy hồi ” cho ta phương pháp để giải phần vấn đề đặt dãy số cho hệ thức truy hồi Hi vọng đề tài cung cấp cho học sinh kiến thức bổ ích tài liệu tham khảo tốt cho bạn bè, đồng nghiệp 1.2 Mục đích nghiên cứu Xây dựng phương pháp giải số dạng toán liên quan tính giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TRUY HỒI Tác giả sáng kiến - Họ tên: Phùng Thế Bằng - Địa chỉ: Trường THPT Tam Dương II - Tam Dương - Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0912 911 921 - Email: phungthebang.gvtamduong2@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tƣ tạo sáng kiến: Phùng Thế Bằng download by : skknchat@gmail.com - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho học sinh khối 11 ôn thi HSG, thi THPT QG - Phạm vi nghiên cứu thuộc Chương III, IV mơn Tốn Đại số Giải tích 11 Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu: 10/3/2017 Mô tả chất sáng kiến: Phần 1: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Trong nhiều năm giảng dạy tơi nhận thấy học sinh cịn gặp nhiều khó khăn giải tập liên quan đến giới hạn dãy số cho công thức truy hồi, đặc biệt toán mức độ vận dụng vận dụng cao Trong sách giáo khoa, sách tập dạng tốn khơng nhiều thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi Các tài liệu tham khảo, loại tập đa dạng sử dụng nhiều phương pháp sai phân, xa lạ với học sinh phổ thông download by : skknchat@gmail.com Phần NỘI DUNG A CƠ SỞ LÍ THUYẾT I Dãy số Định nghĩa a) Mỗi hàm số u xác định tập số tự nhiên gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) u : n Đặt u n un un gọi số hạng tổng quát dãy số un b) Mỗi hàm số u xác định tập M = {1, 2, 3, …,m}, với m ∈ ℕ*, gọi dãy số hữu hạn c) Dãy số cho công thức truy hồi, tức là: + Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu) + Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu diễn số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng đứng trước nó) Ví dụ: Dãy Fibonaxi xác định Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn - Dãy số un - Dãy số - Dãy số un gọi dãy số bị chặn tồn số M cho: un n , un M - Dãy số un gọi dãy số bị chặn tồn số m cho: n - , un m Dãy số un gọi dãy số bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, nghĩa tồn số M m cho : n ,m un M Giới hạn dãy số download by : skknchat@gmail.com Dãy số có giới hạn - Ta nói dãy số un có giới hạn với số dương nhỏ tùy ý cho a) trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Khi ta viết : lim un Định lí 1: Cho hai dãy số un với n lim Nếu un Định lí 2: Nếu q b) lim qn lim un 0 Dãy số có giới hạn hữu hạn - Ta nói dãy số un có giới hạn số thực L lim un L ta viết : lim un số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn Định lí 3: Giả sử lim un lim un lim un lim Định lí 4:(Tổng cấp số nhân lùi vô hạn) Cấp số nhân vô hạn u1, u1q, u1q , , u1qn , có cơng bội q q gọi với cấp số nhân lùi vơ hạn Khi S u1 u1 q u1 q u1 qn u1 q c Dãy số có giới hạn vơ cực - Ta nói dãy số un có giới hạn với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Khi ta viết : Lim un - Ta nói dãy số (un) có giới hạn số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, bé số âm Khi ta viết: Lim un Định lí 5: Nếu lim un limun lim hay un download by : skknchat@gmail.com Các dãy số đặc biệt Cấp số cộng AI a) Định nghĩa: Dãy số un (a, d hai số thực cho trước) gọi cấp số cộng Trong đó: a số hạng đầu tiên, d cơng sai Đặc biệt d un dãy số tất số hạng gọi dãy số không đổi b) Các tính chất: Tính chất 1: Ba số un , un 1,un nếu: un Tính chất 2: Số hạng thứ n cấp số cộng un u1 n 1d, n Tính chất 3: Tổng số hạng (kí hiệu Sn ) cấp số cộng un n cho công thức: S n u1 Cấp số nhân u n u a) Định nghĩa: Dãy số un (a, q hai số thực cho trước) gọi cấp số nhân Trong đó: a số hạng đầu tiên, q cơng bội Các tính chất: Tính chất 1: Ba số un , un 1,un ba số hạng liên tiếp cấp số nhân un b) nếu: u2 n Tính chất 2: Số hạng thứ n cấp số nhân un u1 qn download by : skknchat@gmail.com Tính chất 3: Tổng n số hạng (kí hiệu Sn ) cấp số nhân un với công bội q Một số tổng đặc biệt Với số tự nhiên n ta ln có: a) b) 12 c) 13 B NỘI DUNG Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách xác định công thức tổng quát (CTTQ) dãy DẠNG 1: Cho dãy số số Ta xét với trường hợp q ba trường hợp dãy cho CSC, dãy không đổi, CSN Ta đưa dãy CSN, cách đặt un truy hồi dãy ta có: v n Ta chọn c cho CSN Ví dụ 1: Cho dãy số un Tính lim un Giải: download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 5: Cho dãy số lim un Trước hết ta chứng minh un minh un (1) Giả sử (1) Với n n k với n Ta chứng minh u n un (do un Vậy tồn giới hạn hữu hạn Ta đ truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim u lim n a Do Nhận xét : Ta tính giới hạn cách sử dụng dạng mục Ví dụ 6: Cho dãy số un u1 xác định bởi: u2 u n 1 u n u n , n Chứng minh dãy số cho có giới hạn tính giới hạn Giải : Dễ thấy un 0, n Ta chứng minh un un , (1) n 19 download by : skknchat@gmail.com Với n (1) Giả sử (1) đú Với n với n k Ta lại có un Vậy un tồn giới hạn hữu hạn Ta đặt lim un truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim u n a Do Ví dụ 7: Cho dãy số n Chứng minh dãy Giải: Trước hết ta nhận xét un > 0, với n, Thật vậy, ta có u1 Từ hệ thức truy hồi suy 2uk uk Do ta có un u u n 2u n n Mặt khác ta có 2, (vì u n n Nên un hạn Giả sử lim un Và ta có u un có giới hạn hữu a a2 2a 20 download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 8: (HSG 11 Vĩnh phúc năm 2015-2016) Cho dãy số (xn ) xác định bởi: x = 2016, x a) Chứng minh dãy (xn ) tăng lim xn = +∞ b) Với số nguyên dương n , đặt a) Ta có x n x n Giả sử dãy bị chặn trên, dãy tồn giới hạn hữa hạn Đặt lim xn = a ⇒ a ≥ 2016 Chuyển qua giới hạn với hệ thức truy hồi ta có phương trình: a a a a 2a a (Vơ lí a ≥ 2016 ) Vậy (xn ) không bị chặn lim xn = +∞ b) Từ hệ thức truy hồi ta có: xn +1 = xn2 − xn + ⇔ xn +1 − = ( xn − 1)xn Nên ta có   yn = 2016   x −  x 1 = 2016 1 Từ lim y n Ví dụ 9: Cho dãy số n Tính lim( u1 u2 21 download by : skknchat@gmail.com Giải: Từ hệ thức truy hồi ta có u u n n u số tăng n Từ (*) suy 2019 u u hay u n n u u u Do lim u2 Giả sử un (Vì un 1, n Từ hệ thức truy hồi suy lim un un Vậy không bị chặn trên, lim u n Ví dụ 10: sau: dãy đơn điệu tăng khơng bị chặn Tìm giới hạn dãy số xác định công thức: (HSG 11 Vĩnh phú x ∗ Ta có ∀n ∈ x n x1 download by : skknchat@gmail.com , xn +1 − Giả sử dãy bị chặn trên, dãy tồn giới hạn hữa hạn Đặt lim xn = a ⇒ a ≥ Chuyển qua giới hạn với hệ thức truy hồi ta có phương trình: a a 3a a 4a a (Vơ lí a ≥ 3) Vậy (xn ) khơng bị chặn lim xn = +∞ Từ hệ thức truy hồi ta có: xn +1 = xn2 − xn + ⇔ xn +1 − = ( xn − 1)(xn − 2) ⇔ = x −2 x − n n Do yn Khi lim yn BÀI TẬP TỰ LUYỆN Cho dãy Chứng minh dãy số cho có giới hạn tính giới hạn Chứng minh Cho dãy dãy số cho có giới hạn tính giới hạn Cho dãy (un ) xác định Tính lim n 23 download by : skknchat@gmail.com Cho dãy (un ) xác định Tính lim Cho dãy (un ) xác định Tính lim Cho dãy (un ) xác định Tính lim Cho dãy (un ) xác định Tính lim u n 1) 1)2 , n 7un 25), n C THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhà trường +) Nhóm thực nghiệm : Đội tuyển học sinh giỏi +) Lớp đối chứng : 11A1 Kết quả: Các học sinh đội tuyển HSG đa phần làm tập dạng này, em khơng đội tuyển chưa tìm hiểu kỹ thuật giải tốn khó khăn giải yêu cầu tốn Điều cho thấy học sinh nhóm thực nghiệm lĩnh hội, tiếp thu vận dụng kiến thức tốt Khả nhìn nhận giải toán tốt so với đối chứng 24 download by : skknchat@gmail.com Những thông tin cần bảo mật: Không có Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến Mơn Tốn mơn học phục vụ trực tiếp cho việc thi cử học sinh, quan tâm nhà trường, em học sinh bậc phụ huynh Không cịn mơn học nhiều lĩnh vực khác áp dụng Đối với học sinh: Cần rèn luyện tư logic, nắm kỹ thuật giải để nhận dạng nhanh áp dụng vào giải tập Đối với giáo viên: Cần giảng dạy theo chủ đề, phân dạng tập, có phương pháp tập tự luyện Thường xuyên cập nhật kỳ thi học sinh giỏi tỉnh, kỳ thi THPT Quốc Gia để bổ sung kiến thức kịp thời phù hợp với chương trình cấu trúc đề thi Đối với nhà trường: Cho phép giáo viên linh hoạt việc thực phân phối chương trình chuyên đề Điều giúp giáo viên thuận tiện việc áp dụng dạy học kiểm tra đánh giá theo yêu cầu đổi Đánh giá lợi ích thu đƣợc dự kiến thu đƣợc áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau 10 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Sau học xong chuyên đề em cảm thấy tự tin có khả giải số tốn tính giới hạn dãy số truy hồi 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: Với kết đạt sáng kiến khẳng định tính khả thi, hiệu đề tài góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nói chung chất lượng dạy học mơn Tốn nói riêng Kết thực nghiệm cho thấy học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo học, phần lớn em làm tập phức tạp giải số về tính giới hạn dãy số truy hồi đề HSG, thi THPT QG 25 download by : skknchat@gmail.com Đề tài rút số phương pháp tính tính giới hạn dãy số truy hồi Với mục đích nâng cao lực tư duy, tính sáng tạo giải tốn học sinh THPT Hy vọng với kết nhỏ bổ sung phần kiến thức cho học sinh, giúp em nhận thức đầy đủ rèn luyện tốt kỹ giải toán giới hạn dãy số Với kinh nghiệm thân cịn hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót nên tác giả mong muốn nhận nhiều ý kiến đóng góp bạn bè đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu 11 Số TT Lớp 11A1 Đội tuyển HSG toán 11 Tam Dương, ngày … tháng … năm 2019 Thủ trưởng đơn vị (Ký tên, đóng dấu) Phùng Thế Bằng 26 download by : skknchat@gmail.com ... Ví dụ: Dãy Fibonaxi xác định Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn - Dãy số un - Dãy số - Dãy số un gọi dãy số bị chặn tồn số M cho: un n , un M - Dãy số un gọi dãy số bị chặn tồn số m cho:... có giới hạn với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Khi ta viết : Lim un - Ta nói dãy số (un) có giới hạn số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, bé số. .. ℕ*, gọi dãy số hữu hạn c) Dãy số cho công thức truy hồi, tức là: + Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu) + Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu diễn số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng