(SKKN CHẤT 2020) một số bài toán về tích của vectơ với một số

MỤC LỤC I Lời giới thiệu ………………………………………………………… II Tên sáng kiến……………………………………………………… III Tác giả sáng kiến………………………………………………… IV Chủ đầu tƣ tạo sáng kiến……………………………………… V Lĩnh vực áp dụng sáng kiến……………………………………… VI Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu…………………………… VII Mô tả chất sáng kiến…………………………………… A Nội dung…………………………………………………………… Cơ sở lý luận……………………………………….………………… Các toán bản…………………………….…………………… Bài toán Chứng minh đẳng thức vectơ……………………… Bài toán Các toán trọng tâm tam giác, tứ giác…………… Bài toán Chứng minh điểm thẳng hàng, hai đƣờng thẳng song song…………………………………………………………………… Bài tốn Các tốn tìm điểm, tìm tập hợp điểm……………… B Về khả áp dụng sáng kiến……………………………… VIII Những thông tin cần đƣợc bảo mật (nếu có)……………………….52 IX Đánh giá lợi ích thu đƣợc kết kiểm nghiệm…………… X Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): ………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………… download by : skknchat@gmail.com BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN I Lời giới thiệu Hình học vectơ kiến thức lạ em học sinh lớp 10 làm quen Các em thường thấy khó khăn việc giải tập hình 10 Sáng kiến kinh nghiệm “Một số tốn tích vectơ với số” đề tài cung cấp cho em đa dạng dạng tập, phương pháp giải hình vec tơ, đặc biệt xoay quanh tích vectơ với số cho nhiều toán hay Đề tài viết dạng phân dạng dạng tập, có phương pháp, tập minh họa, tập trắc nghiệm Qua bổ xung cho em lượng kiến thức phong phú tập hình vectơ Các em thấy số tập hình phẳng giải phương pháp vectơ trở lên đơn giản, gọn nhẹ hay nhiều Đề tài có sử dụng tham khảo nhiều tài liệu nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi AI Tên sáng kiến: Một số toán tích vectơ với số III Tác giả sáng kiến: - Họ tên: NGUYỄN THỊ THẢO Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà – TT Gia Khánh – huyện Bình Xuyên – tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 03355001986 - E_mail: nguyenthithao.gvquangha@vinhphuc.edu.vn IV Chủ đầu tƣ tạo sáng kiến - Họ tên: NGUYỄN THỊ THẢO Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà – TT Gia Khánh – huyện Bình Xuyên – tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 03355001986 - E_mail: nguyenthithao.gvquangha@vinhphuc.edu.vn V Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đề tài “Một số tốn tích vectơ với số ” đề cập đến tốn liên quan đến tích vectơ với số để từ em có cách nhìn hướng giải tốn hình học vectơ đơn giản Đề tài áp dụng cho em học sinh lớp 10 Đề tài viết nhằm mục đích bổ xung nâng cao kiến thức hình học vectơ cho học sinh đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi VI Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu: Tháng năm 2015 VII Mô tả chất sáng kiến download by : skknchat@gmail.com A NỘI DUNG Cơ sở lý luận a, Định nghĩa: Tích vectơ a với số thực k vectơ, kí hiệu ka , a hướng với k > 0, ngược hướng với vectơ a k < có độ dài k a Qui ước: 0.a v¯ k 0 b, Tính chất: i) k ma ii) k a iii) k ma ka b ma ka km a k iv) ka 0 a v) 1a kb a , 1a a c, Tính chất trung điểm: M trung điểm đoạn thẳng AB MA MB M trung điểm đoạn thẳng AB OA OB 2OM (Với O điểm tuỳ ý) d, Tính chất trọng tâm: G trọng tâm tam giác ABC GA+ GB + GC = O G trọng tâm tam giác ABC OA+ OB + OC = OG (Với O điểm tuỳ ý) e, Điều kiện để hai véc tơ phƣơng: b phương với vectơ a có số k thỏa mãn b ka điểm phân Điều kiện cần đủ để ba biệt A, B, C thẳng hàng có số k cho AB kBC f, Phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phƣơng: Cho a không phương với vectơ b Khi với vectơ x ln biểu diễn x ma nb m, n số thực Các toán download by : skknchat@gmail.com Bài toán Chứng minh đẳng thức vectơ Phƣơng pháp giải Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế thành vế hai biểu thức hai vế biểu thức thứ ba biến đổi tương đương đẳng thức đúng: Các tính chất phép tốn vectơ Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành quy tắc phép trừ Tính chất trung điểm: M trung điểm đoạn thẳng AB MA MB M trung điểm đoạn thẳng AB OA OB 2OM (Với O điểm tuỳ ý) Tính chất trọng tâm: G trọng tâm tam giác ABC G trọng tâm tam giác ABC GA+ GB + GC = O OA+ OB + OC = OG (Với O điểm tuỳ ý) Các tập minh họa: Bài Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm AB, CD, O trung điểm IJ Chứng minh a, AB DC AC BD IJ b, OA OB OC OD c, MA MB MC MD MO , víi M l¯ ®iĨm bÊt kú a, )AB DC AD AC DB ( AD DA) AC +) Theo quy tắc ba điểm ta có AC AI IJ AI IJ JC DB (1) BD BD IJ JD download by : skknchat@gmail.com M¯ I , J lần lợt l trung điểm ca AB v CD nên AI BI ; JC JD VËy AC BD ( AI BI ) ( JC JD ) IJ IJ Tõ (1) v¯ (2 ta cã: AB DC AC BD IJ (®pcm) b, Theo hƯ thøc trung ®iĨm ta cã OA OB OI ; OC OD OJ Mặt khc O l trung điểm IJ nên ta cã OI OJ Suy OA OB OC OD c, Theo c©u ta cã OM OA OB OC OM OB MA MA MB MC OD OM MD OC OM OD OM (®fcm) Bài Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm AC, BD Chứng minh AB CD 2IJ Lời giải Ta cã IJ IB ID IA AB IC CD AB CD IA AB CD A VËy AB CD 2IJ (®pcm) Bài Cho ngũ giác ABCDE Các điểm M, N, P, Q, R, S theo thứ tự trung điểm đoạn EA, AB, BC, CD, MP, NQ Chứng minh rằng: a) b) RS RS Lời giải MN PQ AN B M ED P R E S C Q D download by : skknchat@gmail.com a) Ta cã MN PQ MR RS SN PR RS SQ 2RS MR PR SN SQ 2RS b) Theo c©u a) ta cã RS Vậy RS Bài Cho ba trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh AM BN CP Lời giải A P N M B C Vì M, N, P trung điểm BC, CA, AB nên ta có AM BN CP 1 AB AC BA BC 2ABBA CA CB 2ACCA 12BCCB Bài Cho tam giác ABC, M điểm cạnh BC Chứng minh AM MC BC AB MB AC BC Lời giải download by : skknchat@gmail.com a cã: MB MB MC MC C MB A MB MC C AB AM MB AC AM MB MC AM C AB MB AC AM BC BC Bài C h o t a m g i c A B C G ọ i H l đ i ể m đ ố i x ứng với B qua G với G trọng tâm tam giác Chứng minh a, AH AC AB CH d o w nl o a d b y : s k k n c h at @ g m l c o m AB AC b, MH cða BC AC AB , víi M l¯ trung ®iĨm Lời giải a, Ta cã AH AG AB AC AB AB AC AB CH AH AC 1AB AC 3 b, MH AH AB CH AC AB Bài Cho ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC, cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN a, Chứng minh AK = AB + AC b, Gọi D trung điểm BC Chứng minh KD = AB + AC Lời giải A M N K B C a, Vì K trung điểm MN nên: AK = (AM + AN)= (1 AB + AC)= AB + AC , đpcm 22346 b, Vì D trung điểm BC nên: AD = (AB+AC) từ đó, suy ra: KD =AD-AK = (đpcm) Bài Cho hai hình bình hành ABCD AB ' C ' D' có chung đỉnh A Chứng minh B ' B CC ' D ' D Lời giải C B B' A D C' D' Ta có: B'B CC' D'D AB AB' AC' AC AD AD' AB AD AC AB' AD' AC Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N trung điểm DC , AB ; P giao điểm AM, DB Q giao điểm CN , DB Chứng minh DM NB DP PQ Lời giải QB download by : skknchat@gmail.com 46 Lời giải A I M1 O B Gọi I đỉnh thứ tư hình bình hành ACBI , ta có IA IB - IC Suy : +) MA MB - MC nhà nhÊt MI nhà nhÊt M M1 MA MB MC lín nhÊt MI lín nhÊt M M2 Trong M1, M2 giao điểm đường thẳng IO với đường tròn, M phía, M2 khác phía với I I, (lưu ý tam giác ABC nhọn nên I nằm ngồi đường trịn ) Bài tập trắc nghiệm: Câu 1: Cho tam giác ABC Vị trí điểm M cho MA MB MC A M trùng C B M đỉnh thứ tư hình bình hành CBAM C M trùng B D M đỉnh thứ tư hình bình hành CABM Lời giải Chọn D A D MAMBMC0 BAMC0CMBA Vậy M thỏa mãn CBAM hình bình hành Câu 2: Cho tam giác MA MB MC A download by : skknchat@gmail.com Chọn D Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có MA MB Tập hợp điểm M MC MG thỏa mãn MG MG MA MB MC đường trịn tâm G bán kính R Câu 3: Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Chứng minh vectơ v MA MB 2MC ãy xác định vị trí điểm D cho CD v A D điểm thứ tư hình bình hành ABCD B D điểm thứ tư hình bình hành ACBD C D trọng tâm tam giác ABC D D trực tâm tam giác ABC Lời giải Chọn B Ta có: v MA MB MC MA MC MB MC CA CB 2CI (Với I trung điểm AB ) Vậy vectơ v không phụ thuộc vào vị trú điểm M Khi đó: CD v 2CI I trung điểm CD Vậy D D điểm thứ tư hình bình hành ACBD Câu 4: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N thuộc cạnh AC cho NC 2NA ãy xác định điểm K thỏa mãn: AB AC 12 AK điểm D thỏa mãn: AB AC 12 KD A K trung điểm MN D trung điểm BC B K trung điểm BC D trung điểm MN C K trung điểm MN D trung điểm AB D K trung điểm MN D trung điểm AC Lời giải Chọn A download by : skknchat@gmail.com 48 Ta có: AB 2AM AC 3AN 3.2AM 2.3AN 12AK AK Suy K trung điểm MN Lại có: 3AB 4AC 12KD 3AB AM AN 4AC 12 AD 3AB AK 4AC 12AK 12AD 12AD 3AB 4AC 3AB 2AC 12AD 6AB 6AC AD AB AC Suy D trung điểm BC Câu 5: Cho tam giác ABC đường thẳng d Gọi O điểm thỏa mãn hệ thức OA OB 2OC Tìm điểm M đường thẳng d cho vectơ v MA MB 2MC có độ dài nhỏ A Điểm M hình chiếu vng góc O d B Điểm M hình chiếu vng góc A d C Điểm M hình chiếu vng góc B d D Điểm M giao điểm AB d Lời giải Chọn A Gọi I trung điểm AB Khi đó: OA OB 2OC 2OI 2OC OI OC O trung điểm IC Ta có: v MA MB MC OA OM OA OB 2OC 4OM 4OM OB OM 2(OC Do v 4OM Độ dài vectơ v nhỏ 4OM nhỏ hay M hình chiếu vuong góc O d OM) download by : skknchat@gmail.com 49 Câu 6: Cho hai điểm cố định A, B ; gọi I trung điểm AB Tập hợp điểm M thoả: MA MB MA MB A Đường trịn đường kính AB B Trung trực AB C Đường tròn tâm I , bán kính AB D Nửa đường trịn đường kính AB Lời giải Chọn A Ta có: MA MB MA MB MI BA 2MI AB Vậy tập hợp điểm M đường tròn đường kính AB Câu 7: Cho MA A M cạnh AB cho IA 2IB B M nằm đường trung trực BC C M nằm đường trịn tâm I , bán kính R AC với I nằm cạnh AB cho IA 2IB D M nằm đường thẳng qua trung điểm AB song song với BC Lời giải Chọn A C I B A Gọi I điểm cạnh AB cho 3BI BA, ta có: MA 2MB MA MB MB BA 2MB 3MB BA 3MB BA MA 2MB MA MB 3MI BA MI 2AB 3BI 3MI Vậy M nằm đường tròn tâm I , bán kính R 2AB với I nằm cạnh AB cho IA 2IB download by : skknchat@gmail.com 50 Câu 8: Cho ABC Tìm tập hợp điểm M cho: y k A Tập hợp điểm M đường tròn B Tập hợp điểm M đường thẳng C Tập hợp điểm M tập rỗng D Tập hợp điểm M điểm trùng với A Lời giải Chọn A A Gọi I điểm thỏa mãn IA 3IB IC MA 3MB 2MC 2M 2MI IA 3IB 2IC BA CA Gọi N trung điểm I , A, N cố định nên kính AN Câu 9: ChotamgiácABC OA OB 2OC A Tam giác ABC đề C Chọn C Gọi I trung điểm AB Ta có: OA OB OA OB OA OC OB OC BA CA CB AB 2OC 2.CI AB 2CI AB CI AB Tam giác ABC vuông C download by : skknchat@gmail.com Câu 10: Cho tam giác ABC , trọng tâm G , gọi I trung điểm BC , M điểm thoả mãn: MA MB MC MB MC Khi đó, tập hợp điểm M là: A Đường trung trực BC B Đường tròn tâm G , bán kính BC C Đường trung trực IG D Đường tròn tâm I , bán kính BC Lời giải Chọn C Ta có: MA MB MC MB MC 23MG 32MI MG MI MG MI Vậy tập hợp điểm M thoả hệ thức đường trung trực IG B Về khả áp dụng sáng kiến: Đề tài viết bao gồm lý thuyết dạng tập phong phú từ dễ đến khó Đồng thời có bổ xung số tập nâng cao dành cho học sinh giỏi Đề tài thích hợp cho việc dạy cho học sinh giỏi đặc biệt bồi dưỡng hoc sinh giỏi + VIII Những thông tin cần đƣợc bảo mật (nếu có): Khơng IX Đánh giá lợi ích thu đƣợc kết kiểm nghiệm: *Qua thực tế dạy chuyên đề nhận thấy rằng: ọc sinh thấy hứng thú tích cực việc học hình Khả áp dụng giải tập nâng cao ọc sinh giải số tập có đề thi học sinh giỏi Kết kiểm nghiệm hai lớp 10A, 10B có khả nhận thức tương đương Lớp 10B dạy theo đề tài này, lớp 10A không dạy, kết thu sau * download by : skknchat@gmail.com 52 Lớp Năm học 2015 2016 Lớp 10B Năm học Lớp 2015 2016 10B X Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số TT download by : skknchat@gmail.com 53 Trong viết đề tài ,tôi chân thành cảm ơn thầy cô,đặc biệt thầy giáo tổ tốn động viên, đóng góp nhiều ý kiến quý báu để đề tài hồn thành Trong q trình thực hiện, cẩn trọng song đề tài khơng tránh khỏi sai sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp em học sinh để đề tài hoàn thiện tốt Một lần xin chân thành cảm ơn! Bình xuyên, ngày tháng năm 2019 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ Bình xuyên, ngày 14 tháng năm 2019 Tác giả sáng kiến Nguyễn Thị Thảo download by : skknchat@gmail.com 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao số chuyên đề 10 – Nguyễn Minh Bồi dưỡng hình học 10 – Phạm Quốc Phong Phân dạng phương pháp giải hình học 10 – Nguyễn Phú Khánh Tốn nâng cao cho học sinh T PT hình học 10 – Phan uy Khải download by : skknchat@gmail.com 55 ... có số k cho AB kBC f, Phân tích vectơ theo hai vectơ không phƣơng: Cho a không phương với vectơ b Khi với vectơ x biểu diễn x ma nb m, n số thực Các toán download by : skknchat@gmail.com Bài toán. .. Số điện thoại: 03355001986 - E_mail: nguyenthithao.gvquangha@vinhphuc.edu.vn V Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đề tài ? ?Một số tốn tích vectơ với số ” đề cập đến tốn liên quan đến tích vectơ với số. .. VII Mô tả chất sáng kiến download by : skknchat@gmail.com A NỘI DUNG Cơ sở lý luận a, Định nghĩa: Tích vectơ a với số thực k vectơ, kí hiệu ka , a hướng với k > 0, ngược hướng với vectơ a k