(SKKN CHẤT 2020) một số bài toán cực trị trong cơ học lớp 10

Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Khi giải tập Vật lý, để tính giá trị cực đại cực tiểu đại lượng Vật lý, ta thường dùng số công thức, kiến thức tốn học Do đó, để giải tập cần nắm vững số kiến thức sau đây: Bất đẳng thức Cô si: ( a, b dương) ( a, b, c dương) - Dấu xảy số - Khi tích hai số khơng đổi, tổng nhỏ hai số - Khi tổng hai số khơng đổi, tích hai số lớn hai số Bất đẳng thức Bunhiacôpski: Dấu xảy Tam thức bậc hai: download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Nếu a > ymin đỉnh pa rabol + + Nếu a < ymax đỉnh parabol Tọa độ đỉnh: + Nếu +Nếu ; ( ) = phương trình : có nghiệm kép phương trình có hai nghiệm phân biệt Giá trị cực đại hàm số sin cosin: Khảo sát hàm số: - Dùù̀ng đạo hàm - Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu Ngoai môt sô bai toan không cân sử dụng cac công thưc toan ma từ lâp luân ta có thể giai quyết được download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Ví dụ ta có thể vân dụng công thưc công vân tôc va suy luân để giai bai toan cưc tri Vi vây đoc va phân tich đề ta phai lưa chon cach giai nao ngăn gon va hay đê thưc hiên AI BÀI TẬP VÍ DỤ VÂN DỤỤ̣NG: 1: Áp dụụ̣ng bất đẳng thức Cơsi: Bài tốn 1: Vật m1 chuyển động với vận tốc A đồng thời va chạm với vật m2 nằm yên Sau va chạm, m1 có vận tốc m1 để góc lệch lớn Hãy xác định tỉ số Cho m1 > m2, va chạm đàn hồi hệ xem hệ kín download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 BÀI GIẢI p1 * Động lượng hệ trước va chạm: p2 * Động lượng hệ sau va chạm : Vì hệ kín nên động lượng bảo tồn : Gọi Ta có: (1) Mặt khác, va chạm đàn hồi nên động bảo toàn: download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 (2) Từ(1)và(2) ta suy Đặt Để Theo bất đẳng thức Cơsi Tích hai số không đổi, tổng nhỏ hai số Vậy Khi đó, góc lệch cực đại Bai toán Trên đoan đương thăng AB dai s=200m, môt chiêc xe khởi hanh tư A chuyên đông nhanh dân đều vơi gia tôc a1 =1m/s2 sau đo chuyên đông châm download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 dân đều vơi gia tôc co đô lơn a2 =2m/s2 va dưng lai ở B Tinh thơi gian ngăn nhât đê xe tư A đên B Giai Goi s1 ,s2 la quang đương xe hai giai đoan ưng vơi gia tôc a1, a2 t1,, t2 la thơi gian xe hai giai đoan ưng vơi gia tôc s1, s2 ta co ; tông giơi gian xe t= Áp dụng bât đăng thưc Cô si ta co Đê thơi gian xe la ngăn nhât thi Măt khac s1 + s2 =200(2) suy s1= 66,67m, s2 = 33,33m Vây t = 15,63 s download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Bài tốn 3: Một vật nhỏ trượt khơng ma sát từ đỉnh nêm văng theo phương ngang rơi xuống mặt bàn Hỏi h vật rơi xuống mặt bàn ởở̉ xa nêm Biết khối lượng nêm lớn so với khối lượng vật Giải: Do khối lượng nêm lớn so với khối lượng vật nên ta coi nêm đứng yên ÁÁ́p dụụ̣ng định luật bảo tồn ta tính vận tốc vật rời nêm là: v = Vật văng xa theo phương nằm ngang, khoảng cách từ vật đến chân nêm vật chạm sàn l = v = Vật rơi xuống mặt bàn ởở̉ xa nêm l = lmax ÁÁ́p dụụ̣ng bất đẳng thức cosi ta có l = lmaxkhi khi: h = H - h hay download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 h= từ ta có lmax = H H h Áp dụụ̣ng bất đẳng thức Bunhia Cơpski: Bài tốn 1: download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Hai chuyển động AO BO cùù̀ng hướng vềù̀ O với Khi khoảng cách hai vật cực tiểu dmin khoảng cách từ vật đến O Hãy tính khoảng cách từ vật hai đến O BÀI GIẢI Gọi d1, d2 khoảng cách từ vật vật hai đến O lúc đầu ta xét ( t = ) ÁÁ́p dụụ̣ng định lý hàm sin ta có: A Vì nên ta có: B ÁÁ́p dụụ̣ng tính chất phân thức ta có: download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Mặt khác, tacó: Vậy Khoảng cách hai vật dmin ymax với y = ÁÁ́p dụụ̣ng bất đẳng thức Bunhia Côpski:  ymax= download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Lúc đó: Vậy, khoảng cách từ vật hai đến O lúc là: d2’ = 90(m) *Bài tập này ta có thể sử dụng cơng thức cợng vận tớc để giải Bài tốn : Cho hệ hình vẽ: Cho biết: Hệ số ma sát M sàn k2 Hệ số ma sát M m k1 Tác dụụ̣ng lực lên M theo phương hợp với phương ngang góc tìm Fmin để m khỏi M.Tính góc tương ứng? Hãy download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 BÀI GIẢI F ms12 + Xét vật m: x (1) F ms Chiếu lên Ox: Fms21= ma Chiếu lên Oy: N1 – P1 = N1 = P1 Fms21= k1.N1 = k1.mg Khi vật bắt đầu trượt thì a1 = k1g + Xét vật M: Chiếu lên trụụ̣c Ox: Chiếu lên Oy: Ta có: download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Khi vật trượt Nhận xét: Fmin ymax Theo bất đẳng thức Bunhia Cơpski: Vậy Lúc đó: 3.Áp dụụ̣ng tam thức bậc hai: A Bài toán : Một kiến bám vào đầu B cứng mảnh AB có chiềù̀u dài L dựng đứng B download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 cạnh tường thẳng đứng Vào thời điểm mà đầu B bắt đầu chuyển động sang phải với vận tốc không đổi v theo sàn ngang kiến bắt đầu bị dọc theo với vận tốc khơng đổi u Trong q trình bị , kiến đạt độ cao cực đại sàn? Cho đầu A tì lên sàn thẳng đứng u BÀI GIẢI h Khi B di chuyển đoạn s = v.t kiến B đoạn l = u.t Độ cao mà kiến đạt được: với Vói y = Đặt X = t2 download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 y tam thức bậc hai có a = - v2 < Nhận xét: ymax đỉnh Parabol Vây độ cao mà kiến đạt : Bai toán Hai chiêc tau biên chuyên đông vơi cùng vân tôc hương tơi điêm O hai đương thăng hơp vơi môt goc α = 60 Hay xac đinh khoang cach nho nhât giưa hai tau Cho biêt ban đâu chung cach O khoang cach la d1 = 60km va d2 = 40km Giải Chon trục toa đô không vuông goc hinh ve Gia sử tau A chuyên đông Oy về O ,tau B chuyên đông Ox về O Phương trinh chuyên đông cua chung lân lươc la download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Tai thơi điêm t khoang cach giưa hai tau la Thay (1),(2)vao(3) ta đươc Vê phai la môt tam thưc bâc hai co gia tri nho nhât la *Bài tập này có thể giải bằng cách áp dụng giá trị cực đại của hàm sớ sin và cosin Bài tốn 3: Hai vật nhỏ chuyển động hai trụụ̣c tọa độ vuông góc Ox, Oy qua O cùù̀ng lúc Vật thứ chuyển động trụụ̣c Ox theo chiềù̀u dương với gia tốc 1m/s2 vận tốc qua O 6m/s Vật thứ hai chuyển động chậm dần đềù̀u theo chiềù̀u âm trụụ̣c Oy với gia tốc 2m/s2 vận tốc qua O 8m/s Xác định vận download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 tốc nhỏ vật thứ vật thứ hai khoảng thời gian từ lúc qua O vật thứ hai dừng lại Chọn mốc thời gian lúc vật qua O - Phương trình vận tốc vật thứ trụụ̣c Ox: v1 = v01 + a1t = + t v2 - Phường trình vận tốc vật thứ hai trụụ̣c Oy: v2 = v02 + a2t = - + 2t - Khoảng thời gian vật thứ hai dừng lại: v2 = => t = 4s - Vận tốc vật thứ vật thứ hai là: Do => v12 = => v12 = vng góc với = Vê phai la môt tam thưc bâc hai co gia tri nho nhât la t= (s) < (s) download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Vậy v12 có giá trị nhỏ t = 2s => (v12)min = Khi v1 = 8m/s, => - 8,94 (m/s) với Cos = v1/v12 = 8/8,94 0,895 = 26,50 Vậy v12 đạt giá trị nhỏ 8,94m/s thời điểm t = 2s hợp với Ox góc 26,50 Áp dụụ̣ng giá trị cực đại hàm số sin hàm số cosin: Bài toán : Hai vật chuyển động từ A B cùù̀ng hướng vềù̀ điểm O với cùù̀ng vận tốc Biết AO = 20km; BO = 30km; Góc Hãy xác định khoảng cách ngắn chúng chuyển động? BÀI GIẢI A Xét thời điểm t : Vật A ởở̉ A’ B’ download by : skknchat@gmail.com B Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Vật B ởở̉ B’ Khoảng cách d = A’B’ Ta có: với Nhận xét: dmin Bai tốn Một tơ chuyển động thẳng đềù̀u với vận tốc v1 = 54km/h Một hành khách cách ô tô đoạn a = 400m cách đường đoạn d = 80m, muốn đón tơ Hỏi người phải chạy theo hướng nào, với vận tốc nhỏ để đón tơ? download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Giai Goi C la vi tri găp Áp dụng đinh li ham sô (2) A Sin cho tam giac ABC β Ta co d (1) B Suy : v2 co gia tri ( α )max=1 vây β = 900 Do đo (v2)min = 5.Bai toan dùng suy luân download by : skknchat@gmail.com (3) C Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Bài tốn :Từ khí cầu cách mặt đất khoảng 15m hạ thấp với tốc độ đềù̀u v1=2m/s, từ khí cầu người ta phóng vật nhỏ theo phương thẳng đứng hướng lên với vận tốc đầu vo2= 18m/s mặt đất Tìm khoảng cách lớn khí cầu vật.Bỏ qua ảnh hưởở̉ng khơng khí lấy g=10m/s2 Giải Chọn trụụ̣c toạ độ thẳng đứng chiềù̀u dương xuống Phương trình chuyển đơng khí cầu vật x1= 2t Phương trình chuyển động vật x2= -18t +5t2 Phương trình vận tốc khí cầu 1: v1= 2m/s (đ/k t 7,5s) Phương trình vận tốc vật 2: v2=-18+10t (đ/k t 3s) Khi vật lên khoảng cách vật khí cầu ngày tăng, vật lên đên điểm cao đổi chiềù̀u chuyển đơng nhanh dần đềù̀u xuống, khoảng cách download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 giũa vật khí cầu vẩn tiếp tụụ̣c tăng vận tốc vật đạt giá trị vận tốc khí cầu 2m/s Ta có v2=-18+10t = t=2s Khoảng cách: dmax=x1-x2=2t-(-18t + 5t2) = 20m *Nếế́u toán ta dùù̀ng hàm bậc hai đểể̉ xét mặt tốn học đơn giản hơn, nhiên ý nghĩa vật líế́ chưa đượụ̣c tường minh so với cách líế́ luận Bài toán Hai xe chuyển động hai đường vng góc với nhau, xe A vềù̀ hướng tây với tốc độ 50km/h, xe B vềù̀ hướng Nam với tốc độ 30km/h Vào thời điểm xe A B cách giao điểm hai đường 4,4km 4km tiến vềù̀ phía giao điểm Tìm khoảng cách ngắn giũa hai xe Giải Xét chuyển động tương đối vật so ta có download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Đoạn BH vng góc với đường thẳng chứa véc tơ vận tốc cách ngắn hai xe khoảng dmin= BH tan dmin=BH= BI sin = (B0-0I) sin =(B0-0A.tan ).sin = 1,166km download by : skknchat@gmail.com ... Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 h= từ ta có lmax = H H h Áp dụụ̣ng bất đẳng thức Bunhia Cơpski: Bài tốn 1: download by : skknchat@gmail.com Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10. .. Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 (2) Từ(1)và(2) ta suy Đặt Để Theo bất đẳng thức Cơsi Tích hai số không đổi, tổng nhỏ hai số Vậy Khi đó, góc lệch cực đại Bai toán Trên đoan đương... Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Khi vật trượt Nhận xét: Fmin ymax Theo bất đẳng thức Bunhia Cơpski: Vậy Lúc đó: 3.Áp dụụ̣ng tam thức bậc hai: A Bài toán : Một kiến bám vào