Đề tài Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số54274

đặt vấn đề Trong chương trình toán học THPT toán liên quan đến dÃy số phần quan trọng đại số giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề gặp khó khăn vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát dÃy số Đặc biệt số lớp toán đà xác định công thức tổng quát dÃy số nội dung toán gần giải Để đáp ứng phần đề tài Xác định công thức tổng quát dÃy số kết hợp với tiếp cận Lý thuyết phương trình sai phân qua số chuyên đề mà thân tác giả đà học Nội dung đề tài nhằm cung cấp số phương pháp xác định công thức tổng quát dÃy số có phân loại số lớp toán Đây đề tài giảng mà tác giả đà dạy cho học sinh , đặc biệt học sinh giỏi lớp chọn, tài liệu học sinh đồng nghiệm tham khảo Trong đề tài tác giả đà sử dung số kết có tính hệ thống Lý thuyết phương trình sai phân Tuy nhiên vấn đề áp dụng kiến thức toán học đại dừng lại số trường hợp đặc biệt giới hạn trường số thực Giới hạn đề tài dừng lại việc xác định công thức tổng quát số dÃy số , từ có áp dụng vào số toán cụ thể Qua đó, người đọc trang bị thêm cho phương pháp xác định công thức tổng quát dÃy số Đặc biệt thầy cô tự kiểm tra kết xây dựng cho lớp toán dÃy số trình bày đề tài DeThiMau.vn Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dÃy số xây dựng toán dÃy số A Phương trình sai phân tuyến tính cấp Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân dạng u1  , a.un 1  b.un  f n , n N * a,b, h»ng sè ,a # vµ f n lµ biĨu thức n cho trước Dạng Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn u1   , a.un 1  b un  (1.1) ®ã a, b,  cho trước n N * Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. b để tìm Khi un q n (q số ) , q xác định biết u1 Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng công bội Bài giải Ta có un un , u1 (1.2) Phương trình đặc trưng có nghiệm   VËy un  c.2n Tõ u1  suy c Do ®ã un  2n Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiÖn u1   , a un 1  bun  f n , n  N * DeThiMau.vn (2 1) f n đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. b ta tìm Ta có un un0 un* Trong un0 nghiệm phương trình (1.1) un* nghiệm riêng tuỳ ý phương trình không (2.1) VËy un0  q. n q lµ h»ng sè sÏ xác định sau Ta xác định un* sau : 1) Nếu #1 un* đa thức cïng bËc víi f n 2) NÕu  1 th× un* n.g n với g n đa thức bậc với f n Thay un* vào phương trình, đồng hệ số ta tính hệ số un* Bài toán 2: Tìm un thoả mÃn ®iỊu kiƯn u1  2; un 1  un  2n, n N * (2.2) Bài giải Phương trình ®Ỉc tr­ng    cã nghiƯm   Ta cã un  un0  un* ®ã un0  c.1n  c, un*  n  an b Thay un* phương trình (2.2) ta n a n  1  b   n  an  b   2n (2.3) thay n=1vµ n=2 vµo (2.3) ta hệ phương trình sau 3a b a    5a  b  b  1 Do ®ã un  n  n  1 Ta cã un  un0  un*  c  n  n  1 V× u1  nªn  c  11  1  c  VËy un   n  n  1 , hay un  n n Dạng Tìm un thoả mÃn ®iỊu kiƯn u1   , a.un 1  bun  v. n , n  N * DeThiMau.vn (3.1) f n đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. b ta tìm Ta có un  un0  un* Trong ®ã un0  c. n , c số chưa xác định , un* xác định sau : 1) Nếu #  th× un*  A. n 2) NÕu  un* A.n. n Thay un* vào phương trình (3.1) đồng hệ số ta tính hệ số un* Biết u1 , tõ hÖ thøc un  un0  un* , tÝnh c Bài toán 3: Tìm un thoả mÃn điều kiÖn u1  1; un 1  3.un  2n , n N * (3.2) Bài giải Phương trình ®Ỉc tr­ng    cã nghiƯm   Ta cã un  un0  un* ®ã un0  c.3n , un*  a.2n Thay un* a.2n vào phương trình (3.2) , ta thu a.2n 1  3a.2n  2n  2a  3a   a  1 Suy un  2n Do un c.3n 2n u1  nªn c=1 VËy un  3n  2n Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1  , a.un 1  bun  f1n  f n , n  N * (4.1) Trong ®ã f1n đa thức theo n f n v. n Phương pháp giải Ta có un un0 u1*n u2*n Trong un0 nghiệm tổng quát phương trình aun bun , un* nghiệm riêng phương trình * không a.un b.un f1n , u2n nghiệm riêng phương trình không a.un b.un f n DeThiMau.vn Bài toán 4: Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 1; un 2un  n  3.2n , n  N * (4.2) Bài giải Phương trình đặc trưng  cã nghiÖm   Ta cã un  un0  u1*n  u2*n ®ã un0  c.2n , un*  a.n  b.n  c , u2*n An.2n Thay un* vào phương trình un 2.un n , ta a  n  1  b  n  1  c  2an  2bn  2c  n 2 Cho n=1 , n=2 ta thu hệ phương trình 2a c a  1    b  2 a  b  c  2a  2b  c  9 c  3   * VËy u1*n  n  2n  thay u2n vào phương trình un 2.un 3.2n Ta ®­ỵc A  n  1 2n 1  An.2n  3.2n  A  n  1  An   A  VËy u2*n  n.2n  3n.2n 1 Do ®ã un  c.2n   n  2n  3  3n.2n 1 Ta cã u1  nªn  2c    c  VËy un  3n.2n 1  n 2n B Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân dạng u1  , u2   , a.un 1  bun  c.un 1  f n , n  N * a,b,c, , sè , a # vµ f n lµ biĨu thức n cho trước DeThiMau.vn (NX: Phương trình đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có hai nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trường sè thùc , tøc lµ chØ xÐt nghiƯm thùc ) Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1  , u2   , a un 1  bun  c.un 1  0, n  N * (5.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b.  c  t×m  Khi ®ã 1) NÕu 1 , 2 lµ hai nghiƯm thùc khác un A.1n B.2n , A B xác định biết u1 , u2 2) NÕu 1 , 2 lµ hai nghiƯm kÐp 1  2   th× un   A  Bn   n , ®ã A B xác định biết u1 , u2 Bài toán 5: Tìm un thoả mÃn điều kiện sau u0  1, u1  16, un   8.un 16.un (5.1) Bài giải Phương trình đặc tr­ng   8  16  cã nghiÖm kÐp   Ta cã un   A  B.n  4n (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu hệ phương trình A 1 u0   A    u1  1  B   16  B  VËy un  1  3n  4n Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1  , u2   , a.un 1  b.un  c.un 1  f n , n  2, (6.1) a # 0, f n đa thức theo n cho trước Phương pháp giải DeThiMau.vn Giải phương trình đặc trưng a. b. c để tìm Khi ta cã un  un0  un* , ®ã un0 nghiệm tổng quát phương trình a.un 1  b.un  c.un 1  vµ un* nghiệm tuỳ ý phương trình a.un  b.un  c.un 1  f n Theo d¹ng ta tìm un0 , hệ số A, B chưa xác định , un* xác định sau : 1) Nếu #1 un* đa thức bậc với f n 2) Nếu nghiệm đơn un* n.g n , g n đa thức bậc với f n 3) NÕu   lµ nghiƯm kÐp un* n.2 g n , g n ®a thøc cïng bËc víi fn , Thay un* vµo phương trình , đồng hệ số, tính c¸c hƯ sè cđa un* BiÕt u1 , u2 từ hệ thức un un0 un* tính A, B Bài toán 6: Tìm un thoả mÃn điều kiÖn u1  1; u2  0, un 1  2un  un 1  n  1, n  (6.2) Bài giải Phương trình đặc trưng  2   cã nghiÖm kÐp   Ta cã un  un0  un* ®ã un0   A  B.n  1n  A  Bn, un*  n  a.n  b Thay un* vào phương trình (6,2) , ta ®­ỵc  n  1  a  n  1  b   2n  a.n  b    n  1  a  n  1  b   n  Cho n=1 , n=2 ta thu hệ phương trình a 2a  b    a  b      9  3a  b    2a  b    a  b   b   Vậy n 1 un*  n    6 2 Do ®ã DeThiMau.vn n 1 un  un0  un*  A  Bn  n    6 2 Mặt kh¸c 1     1 A B A      11 1    A  B       B  3 2  VËy un   11 n 1 n  n2    6 2 D¹ng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 , u2   , a un 1  bun  c.un 1  d  n , n  (7.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. b. c để tìm Khi ®ã ta cã un  un0  un* , un0 xác định dạng hệ số A B chưa xác định, un* xác định sau 1) Nếu # th× un*  k  n 2) NÕu   nghiệm đơn un* k n n 3) Nếu nghiệm kép un* k n.2 n Thay un* vào phương trình , dùng phương pháp đồng thức hệ số tính hệ số k Biết u1 , u2 tõ hÖ thøc un  un0  un* tÝnh A,B Bài toán 7: Tìm un thoả mÃn điều kiÖn u1  0; u2  0, un 1  2un  un 1  3.2n , n  Bài giải Phương trình đặc trưng   cã nghiÖm kÐp   Ta cã un  un0  u1*n ®ã un0   A  B.n  1n  A  Bn, un*  k 2n DeThiMau.vn Thay un* vµo phương trình , ta k 2n 2k 2n  k 2n 1  3.2n  k  VËy un*  6.2n  3.2n 1 Do ®ã un  un0  un*  A  bn  3.2n 1 (1) Thay u1  1, u2 vào phương trình ta thu A  B  12 A    0  A  B  24  B  13 VËy un   13n  3.2n Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1   , u2   , a un 1  bun  c.un 1  f n  g n , n  (8.1) ®ã a # , f n đa thức theo n g n v. n Phương pháp giải Ta có un  un0  u1*n  u2*n ®ã un0 nghiệm tổng quát phương trình a un 1  bun  c.un 1  , u1n* nghiệm riêng tùy ý * phương trình không a un bun c.un f n u2n nghiệm riêng tùy ý phương trình không a un bun c.un g n Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 ) Tìm un thoả mÃn điều kiện u1  0; u2  0, un 1  2un  3un 1  n  2n , n  (8.2) Bài giải Phương trình đặc trưng 2   cã nghiÖm 1  1, 2  Ta cã un  un0  u1*n  u2*n ®ã un0  A  1  B.3n , u1*n  a  bn, u2*n  k 2n n DeThiMau.vn Thay u1n* vào phương trình un 1  2un  3un 1  n , ta ®­ỵc a  n  1  b   an  b    a  n  1  b   n   4a  1 n   a  b   VËy ab Do ®ã un*  1  n  1 * Thay u2n vào phương trình un 2un 3un 2n , ta k 2n 2.k 2n  3.k 2n 1  2n  k   Do ®ã u2*n   2n   2n 1 3 VËy un  un0  u1*n  u2*n  A  1  B.3n  n 1  n  1  2n1 (8.3) Ta thay u1  1, u2 vào (8.3) ta hệ phương trình 61    A  B    A     48     A  9B     B  25   48 VËy un   61 25 1 n  1  3n   n  1  2n 1 48 48 C Ph­¬ng trình sai phân tuyến tính cấp ba Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba phương trình sai phân d¹ng u1   , u2   , u3   , a.un   bun 1  c.un  d un 1  f n , n  (a.1) 10 DeThiMau.vn ®ã a,b,c, d,  , , số , a # vµ f n lµ biĨu thøc cđa n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có ba nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trường số thực , tức xét nghiệm thực ) Phương pháp giải Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng un un0 un* , un0 nghiệm tổng quát phương trình tuyến tính nhất, un* nghiệm riêng phương trình tuyến tính không Xét phương trình đặc trưng a  b  c  d  (a.2) 1) Xác định công thức nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp ba nhÊt a) NÕu (a.2) cã ba nghiÖm thùc 1 , , phân biết un0 a1 1n  a2 2n  a3 3n b) NÕu (a.2) cã nghiệm thực bội nghiệm đơn (1  2 # 3 ) th× un0  (a1  a2 n)1n  a3 3n c) NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi (1  2  3 ) th× un0  (a1  a2 n  a3 n )1n 2) Xác định nghiệm riêng un* phương trình (a.1) Xét f n đa thức n ta có a) Nếu #1 un* ®a thøc cïng bËc víi f n b) NÕu  (nghiệm đơn ) un* n.g n g n đa thức bậc với f n 11 DeThiMau.vn c) NÕu   (béi ) un* n g n g n ®a thøc cïng bËc víi fn d) NÕu   (béi 3) th× un*  n3 g n g n đa thức bậc với f n XÐt f n  v. n ta cã a) NÕu  #  th× un*  k n. n b) Nếu (nghiệm đơn ) un* k  n c) NÕu    (nghiÖm béi s ) th× un*  k n s  n Bài toán 9: Tìm dÃy số an biết u1  0, u2  1, u3  3, un  7un 1  11.un 2  5.un 3 , n (9.1) Bài giải Xét phương trình đặc trưng   7  11   cã nghiÖm thùc 1  2  1, 3  VËy an  c1  c2 n c3 5n Cho n=1, n=2, n=3 giải hệ phương trình tạo thành, ta c1 Vậy an   , c2  , c3  16 16   n  1  5n 1 16 16 D Bài tập áp dụng Bài toán 10: Cho dÃy số an xác định theo công thức sau a1 0; a2  1, an 1  2an  an 1  1, n  (10.1) Chøng minh sè A  4.an an   lµ sè phương Bài giải Ta có an 2an  an 1  12 DeThiMau.vn (10.2) Trong (9.2) ta thay n n-1, ta an 2an 1  an 2  (10.3) Trõ c¸c vÕ (10.1) cho (10.2) ta thu an 3an  3an 1  an 2  (10.4) Phương trình đặc trưng (10.4) 3  3   cã nghiÖm   lµ nghiƯm béi bËc ba VËy nghiƯm tổng quát phương trình (10.4) an (c1  c2 n  c3 n )1n Cho n=0, n=1, n=2 ta c1 c1    1  c2  c2  c3 3  c  2c  4c c2  c3 2 Ta thu an n n từ ta cã A  4an an     n  3n  1 Điều chứng tỏ A số phương Bài toán 11: Cho dÃy số xn xác định theo công thức sau x1 7; x2  50, xn 1  xn  xn 1  1975  n   (11.1) Chøng minh x1996 1997 Bài giải Xét dÃy số  yn  víi y1  7, y2  50 vµ yn 1  yn  yn 1  22  n   (11.2) DÔ thÊy yn  xn  mod1997  Do ®ã chØ cÇn chøng minh y1996   mod 1997  §Ỉt zn  yn  11 suy z1  39, z2  211 NhËn xÐt r»ng zn 1  yn 1  11  16 yn  20 yn 1  99  zn  20 yn 1  55 13 DeThiMau.vn (11.3) Ta l¹i cã zn 1  yn 1  11 suy 20 yn 1  zn 1  55 (11.4) Thế (11.4) vào (11.3) ta zn zn  zn 1 Suy zn 1  zn  zn 1  (11.5) Phương trình đặc trưng (11.5) 4   cã nghiÖm 1  1, Nghiệm tổng quát (11.1) zn   1   5n  n Ta cã     z1    5  39     z2    25  211    25  Do ta nhận 25 n zn  1  5n 3 (11.6) Tõ (11.6) ta suy z1996  25.51996  Ta cÇn chøng minh z1996  11 mod1997  Do 51996   1997  1996 5   Nên 51996 3.1997 Từ , ta có 51996 3n.1997 , 14 DeThiMau.vn 25  3n.1997  1 z1996    25.n.1997  11 3 VËy z1996  11 mod 1997 E Bài tập tương tự Bài 1: Xác định công thức dÃy số xn thoả mÃn điều kiện sau 1) x1 11, xn 1  10.xn   9n , n  N 2) x0  2, x1  8, xn   8.xn 1  xn 3) x0  1, x1  3, xn   xn 1  xn  n  2n  4) x0  0, x1  1, xn 1  xn  xn 1  n  6n  5) x1  1, x2  2, xn   xn 1  xn  Bµi 2: Cho d·y số an thoả mÃn điều kiện an an 1  2.an 2  a1  a2  n N  n  3 n N  n Chứng minh an số lẻ Bài 3: Cho dÃy số bn xác định bn  2.bn 1  bn 2  b1  1, b2  n 5 Chøng minh r»ng bn    , n  N 2 Bµi 4: Cho dÃy số un thoả mÃn điều kiện un   2.un 1  un  n N  1, u u     n  2 Chøng minh r»ng un lµ số phương Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 Toán 11 Lần thứ VIII 2002 NXB gi¸o dơc ) 15 DeThiMau.vn Cho d·y sè un  tho¶ m·n nh­ sau un  Z  ,  N  u0  1, u1  u  10.u  u n  N , n  n 1 n2  n Chøng minh : k  N , k  1) uk2  uk21  10uk uk 1  8 2) 5.uk  uk 1  va 3.uk2  1 (  kÝ hiƯu chia hÕt ) Bµi 6: Cho d·y số un thoả mÃn điều kiện un  2un 1  2un  un 1 , n N * Chứng minh tồn số nguyên M cho số M 4.an 1an số phương Bài 7: ( Báo Toán Học Tuổi Trẻ số 356) Cho dÃy số ui ( i=1,2,3,4)được xác định a1 1, a2  1, an  an 1  2an 2 , n 3, 4, Tính giá trị biÓu thøc 2 A  2.a2006  a2006 a2007 a2007 Bài 8: Cho dÃy số nguyên dương un thoả mÃn điều kiện u0 20, u1 100, un   4.un 1  5.un  20, n N * Tìm số nguyên dương h bÐ nhÊt cã tÝnh chÊt an  h  an 1998 , n N F Xây dựng to¸n vỊ d·y sè truy håi 16 DeThiMau.vn NhËn xÐt : Nội dung đề tài giúp bạn đọc tìm công thức tổng quát lớp dÃy sè cã tÝnh chÊt truy håi mét c¸ch chÝnh x¸c nhất, giúp Thầy cô kiểm tra kết toán theo cách giải khác Bên cạnh ta tiến hành xây dựng thêm toán dÃy số Dưới số ví dụ xây dựng thêm toán dÃy số cã tÝnh quy luËt “ chØ mang tÝnh chÊt tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu phát triển rộng toán khác dÃy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình   1        8   (12.1) ph­¬ng trình (12.1) coi phương trình đặc trưng dÃy số có quy luật Chẳng hạn dÃy số un xác định theo công thức sau un   8.un 1  9.un  cã thÓ cho u0  2, u1  8 Ta phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Cho dÃy số xn xác định sau  xn   8.xn 1  9.xn    x0  2, x1  8 n N Xác định công thức dÃy số xn Bài toán 2: Cho dÃy số xn xác định sau  xn   8.xn 1  9.xn    x0  2, x1  8 n N Tính giá trị biểu thức A x2006  5.x2007  VÝ dơ 2: Xt ph¸t từ phương trình    2   (12.2) phương trình (12.2) coi phương trình đặc trưng dÃy số có quy luật Chẳng hạn dÃy số un xác định theo công thức sau un   2.un 1  un  17 DeThiMau.vn cã thÓ cho u0  1, u1 vận dụng thuật toán xác định công thức tổng quát dÃy số xn   n  1 Ta cã thĨ ph¸t biểu thành toán sau Bài toán 1: Xác định công thức dÃy số xn thoả mÃn ®iỊu kiƯn sau  xn   xn 1  xn  n N    x x 1, Bài toán 2: Cho dÃy số xn xác định sau xn   xn 1  xn    x0  1, x1  n N Chứng minh xn số phương Bài toán 3: Cho dÃy số xn xác định sau  xn   xn 1  xn  n N    x x 1, Xác định số tự nhiên n cho xn 1  xn  22685 KÕt luËn- kiến nghị 18 DeThiMau.vn Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung giảng liên quan đến đề tài có tham gia góp ý đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy đà thu số kết định sau : 1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững số phương pháp biết vận dụng dạng xác định công thức dÃy số 2) Một sè ®Ị thi häc sinh giái, Häc sinh líp chän sử dụng phương pháp trình bày đề tài để giải toán 3) Là phương pháp tham khảo cho học sinh thầy cô giáo 4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp xây dựng thêm toán dÃy số Xây dựng phương pháp giảng dậy theo quan điểm đổi việc mà toàn xà hội nghành quan tâm Tuy nhiên, số lớp toán bậc THPT ta cã thĨ sư dơng mét sè kÕt qu¶ toán học xây dựng phương pháp giải toán sơ cấp vấn đề ý Qua nội dung đề tài tác giả mong muốn có tìm hiểu sâu mối quan hệ Toán học đại Phương pháp toán sơ cấp Qua ta tìm phương pháp giải, xây dựng lớp toán bậc THPT Tài liệu tham khảo 19 DeThiMau.vn 1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phương pháp sai phân Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004 2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 Môn Toán Lần thứ V, Nhà xuất Giáo Dục 3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất Giáo Dục 4) Tạp trí Toán Học Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất Giáo Dục 5) Trần Chí Hiếu Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn toán PTTH Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo Dục 6) Nguyễn Văn Mậu , Một số toán chọn lọc dÃy số , Nhà xuất Giáo Dục - 2003 Trị đặc trưng vector đặc trưng 23 tháng 10, 2007 Eigenvalues eigenvectors xuất nhiều ngành khoa học kỹ thuật: Vật Lý, xác suất thống kê, KHMT, lý thuyết đồ thị, v.v Để hiểu ý nghĩa chúng, có hai hướng nhìn thơng dụng, áp dụng nhiều trường hợp Loại động (motivation) thứ Trong nhiều ứng dụng ta thường phải làm phép tính sau đây: cho trước ma trận A nhiều vectors x, tính với nhiều giá trị khác số mũ Ví dụ 1: A ma trận phép biến đổi tuyến tính (linear transformation) đó, phép quay co dãn computer graphics chẳng hạn, cho kết phép BĐTT áp dụng k lần vào x Các games máy tính hay annimations phim Hollywood có vơ vàn phép biến đổi kiểu Mỗi object computer graphics nhiều vector x Quay object nhiều lần làm phép nhân với vectors x biểu diễn object Khối lượng tính tốn khổng lồ, dù khơng gian chiều Ví dụ 2: A transition matrix chuỗi Markov rời rạc x distribution trạng thái tại, distribution chuỗi Markov sau k bước Ví dụ 3: phương trình sai phân (difference equation) kiểu phương trình viết thành dạng để với k tùy ý Ví dụ 4: lũy thừa ma trận xuất tự nhiên giải tính phương trình vi phân, xuất khai triển Taylor ma trận chẳng hạn 20 DeThiMau.vn .. .Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dÃy số xây dựng toán dÃy số A Phương trình sai phân tuyến tính cấp Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân... thĨ ph¸t biểu thành toán sau Bài toán 1: Cho dÃy số xn xác định sau xn  8.xn 1  9.xn    x0 2, x1 n N Xác định công thức dÃy số xn Bài toán 2: Cho dÃy số xn xác định sau xn  8.xn... dơng phương pháp trình bày đề tài để giải toán 3) Là phương pháp tham khảo cho học sinh thầy cô giáo 4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp xây dựng thêm toán dÃy số Xây dựng phương pháp giảng dậy