Xây dựng bài toán từ một số hằng đẳng thức quen thuộc42448

Xây dựng toán từ số đẳng thức quen thuộc Hạ Vũ Anh – THPT Chuyên Vĩnh Phúc Đối với học sinh phổ thơng, kỹ làm tốn thường thể khả lựa chọn phương pháp giải thích hợp cho tốn cụ thể Việc lựa chọn cách giải hợp lý , ngắn gọn rõ ràng, sáng, không dựa vào việc nắm vững kiến thức học, mà cần phải hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ phân mơn khác tốn học chương trình học, biết áp dụng vào việc tìm tịi lời giải cho toán đặt Trong việc học toán làm toán, việc áp dụng phương pháp công cụ lĩnh vực này, phân môn này, để giải vấn đề cho lĩnh vực khác hay phân môn khác hiệu Hơn nữa, việc làm giúp cho người học hiểu rõ vai trò ý nghĩa phân môn cách sâu sắc cụ thể Trong viết này, xin bàn đến vấn đề xưa trái đất: Hằng đẳng thức, việc vận dụng chúng vào giải toán nào? Trước hết, xin số toán Bài toán Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện abc  Xét số thực x, y , z xác 1 định sau x  a  , y  b  z  c  (1) a b c Chứng minh x  y  z  xyz  (2) Lời giải Ta có   1    1  1  xyz   a   b   c     a     b2     c    a  b  c  a   b   c    x   y   z   Suy điều phải chứng minh Vấn đề đặt ra, với ba số thực x, y , z thỏa mãn (2), có hay khơng số thực a, b, c : abc  thỏa mãn (1)? Câu trả lời không, chẳng hạn x  y    z thỏa mãn (2), khơng có a, b, c thỏa mãn (1) Và vậy, cần thêm điều kiện x, y , z Bài toán 1’ Cho x, y , z  ฀ : max x , y , z  thỏa mãn (2) Chứng minh tồn số thực a, b, c : abc  thỏa mãn (1) Lời giải Viết lại u (2) dạng z  xy  z  x  y   Coi phương trình bậc hai biến z Vì Khơng tính tổng qt, coi x  Khi đó, tồn u  ฀ * cho x  u  phương trình ln có nghiệm nên   x  y   suy y  Do đó, tồn v  ฀ * cho y  v  v ThuVienDeThi.com Và đó, phương trình có nghiệm z  u v  z   uv v u uv u v  v  , chọn a; b; c    u; ;  , v u  v u a; b; c    u; v;  Bài toán giải uv   Vậy, z z  uv uv chọn Bài tốn Cho x, y , z  thỏa mãn xyz  x  y  z  Chứng minh tồn số bc ca ab thực dương a, b, c cho x  ,y ,z  a b c 1 Lời giải Viết lại điều kiện xyz  x  y  z  dạng   1 1 x 1 y 1 z Đặt a  1 ,b  ,c  , ta thấy a, b, c  a  b  c  1 x 1 y 1 z Hơn nữa, từ cách xác định a suy x  1 a b  c  a a ca ab (ĐPCM) ,z  b c Bài toán 2’ Cho x, y , z  thỏa mãn xy  yz  zx  xyz  Chứng minh tồn a b c số thực dương a, b, c cho x  ,y ,z  bc ca ab Tương tự, có y  Bài toán Cho x, y , z  : x  y  z  xyz  (3) Chứng minh tồn tam giác nhọn ABC cho x  cos A, y  cos B, z  cos C Lời giải Từ giả thiết suy x , y , z  Từ đó, để ý hàm số y  cos x hàm số chẵn, suy tồn góc nhọn A, B, C cho x  cos A, y  cos B, z  cos C Khi (3) trở thành  cos B  cos 2C   2cos A cos B cos C  cos2 A  2  cos2 A  cos( B  C )  cos( B  C )   cos A  cos( B  C )cos( B  C )   cos A  cos( B  C ) cos A  cos( B  C )   Từ đó, A, B, c nhọn, nên thu cos A   cos( B  C ) A  B  C   Bài toán giải Từ toán này, ta thu kết “Các số thực x, y , z  thỏa mãn (3) tồn tam giác nhọn ABC cho x  cos A, y  cos B, z  cos C ” Và sau xem xét đến ứng dụng kết toán nào? Bài toán Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn xy  yz  zx  xyz  Chứng minh x  y  z  xy  yz  zx Lời giải Để ý ThuVienDeThi.com 2  xy   yz   zx  xy yz zx xy  yz  zx  xyz      1       2 2       suy tồn tam giác nhọn ABC cho xy  2cos A, yz  2cos B, zx  2cos C  2cos B cos C 2cos C cos A 2cos A cos B  Giải hệ, thu ( x; y; z )   ; ;  cos A cos B cos C   Và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2cos B cos C 2cos C cos A 2cos A cos B cos2 A  cos2 B  cos2 C    cos A cos B cos C Từ đó, bất đẳng thức mn cos A  np cos B  pm cos C   m  n  p m, n, p suy điều phải chứng minh Bài toán Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c   4abc Chứng minh 1 1 1       a b c ab bc ca Lời giải 1 Đặt  x,  y ,  z , ta a b c x y y z z x x y z       2   1 2 2 2 2 2m 2n 2p Khi đó, tồn số dương m, n, p cho x  ,y ,z  n p pm mn xy  yz  zx  xyz    m n p  Suy x  y  z       (Do bất đẳng thức Nesbit) n p pm mn Mặt khác, điều kiện tốn viết lại dạng 2  xy   yz   zx   xy  yz   zx           2  1            Theo kết tốn 3, tồn tam giác nhọn ABC xy  2cos A, yz  2cos B, zx  2cos C Khi cho xy  yz  zx  cos A  cos B  cos C   Bài toán Cho a, b, c  Tìm tất ba số thực dương  x; y; z  thỏa mãn x y z  abc   2 a x  b y  c z  abc  xyz Lời giải Giả sử hệ có nghiệm Phương trình thứ hai hệ viết lại thành 2  a   b 2  c  a b c   1      2   yz zx xy  yz   zx   xy  ThuVienDeThi.com Do đó, tồn tam giác ABC nhọn cho a  2cos A yz , b  2cos B zx , c  2cos C xy (*) Khi đó, phương trình thứ trở thành  x   2 z cos B  y cos C Coi phương trình bậc hai ẩn   4  y sin C  z sin B  x  y  z  2cos A yz  x Phương trình có biệt thức   Nhưng phương trình ln có nghiệm, nên   y x z Từ (*), thu   sin A sin B sin C bc ca ab ,y ,z  x 2 Trên đây, chúng tơi trình bày số đẳng thức đặc biệt vài ứng dụng Tuy nhiên, khn khổ báo, hẳn chưa thể thấy hết hay Sau số câu hỏi tập tương tự, để thầy, cô đồng nghiệp em học sinh tham khảo Câu hỏi Tam giác nhọn tìm tốn có khơng? Chứng minh Từ đó, đạt Câu hỏi Từ đẳng thức cos2 A  cos2 B  cos2 C  2cos A cos B cos C  ABC xây dựng toán 3, với đẳng thức khác tam giác sao?  x  y  z   xyz Bài tập Tìm tất ba số dương x, y , z thỏa mãn   xy  yz  zx  2( x  y  z ) Bài tập Ký hiệu ฀  tập hợp số thực dương Tìm tất  x  y  z  xyz     x; y; z  ฀  ฀  ฀ thỏa mãn  x  y  z  Bài tập Cho x, y , z  thỏa mãn xy  yz  zx  xyz  Chứng minh  1    3    x   y  z   y z  x Bài tập Cho a, b, c  thỏa mãn a  b2  c   abc Chứng minh a  b    b  c    c  a    Bài tập Cho x, y , z  thỏa mãn xy  yz  zx  xyz  Chứng minh 1    x  y  z  x y x Bài tập Chứng minh rằng, với tam giác nhọn ABC có cos2 A cos2 B  cos2 B cos2 C  cos2 C cos2 A  cos2 A  cos2 B  cos2 C  ThuVienDeThi.com ... ABC xây dựng toán 3, với đẳng thức khác tam giác sao?  x  y  z   xyz Bài tập Tìm tất ba số dương x, y , z thỏa mãn   xy  yz  zx  2( x  y  z ) Bài tập Ký hiệu ฀  tập hợp số thực... cos( B  C ) cos A  cos( B  C )   Từ đó, A, B, c nhọn, nên thu cos A   cos( B  C ) A  B  C   Bài toán giải Từ toán này, ta thu kết “Các số thực x, y , z  thỏa mãn (3) tồn tam giác... A cos B cos C   Và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2cos B cos C 2cos C cos A 2cos A cos B cos2 A  cos2 B  cos2 C    cos A cos B cos C Từ đó, bất đẳng thức mn cos A  np cos B