Phương pháp xâp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn và nữa nhóm không giãn trong không gian hilbert

i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN NGUYỄN ĐỨC LẠNG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TS Nguyễn Bường THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn Thầy GS TS Nguyễn Bường Các kết luận án chưa công bố cơng trình khác Các kết cơng bố chung đồng tác giả cho phép sử dụng luận án Nghiên cứu sinh Nguyễn Đức Lạng iii LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu sinh Nguyễn Đức Lạng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học GS TS Nguyễn Bường, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, định hướng nghiên cứu cho nghiên cứu sinh, bảo ân cần thầy GS TS Nguyễn Bường giúp cho nghiên cứu sinh có ý thức trách nhiệm tâm cao suốt trình làm luận án Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lòng biết ơn đến nhà khoa học thầy: GS TSKH Phạm Kỳ Anh, GS TSKH Lê Dũng Mưu, GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, GS TS Trần Vũ Thiệu, PGS TS Nguyễn Năng Tâm, PGS TS Cung Thế Anh, PGS TS Hà Tiến Ngoạn, PGS TS Phạm Hiến Bằng, PGS TS Phạm Việt Đức, PGS TS Đỗ Văn Lưu, PGS TS Phạm Ngọc Anh, PGS TS Nông Quốc Chinh, PGS TS Lê Lương Tài, PGS TS Hà Trần Phương, TS Nguyễn Thị Thu Thủy, TS Trương Minh Tuyên, TS Vũ Mạnh Xuân, TS Đào Thị Liên, TS Nguyễn Công Điều, v.v cho ý kiến đóng góp q báu suốt thời gian nghiên cứu sinh học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Ban Giám đốc, Ban Đào tạo (Bộ phận Sau đại học) Đại học Thái Nguyên; Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo (Bộ phận Sau đại học), Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn, Bộ mơn Giải tích trường Đại học Sư phạm; Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học; thầy cô, bạn bè đồng nghiệp chia sẻ, giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin cảm ơn kính tặng bố , mẹ, vợ, người thân yêu gia đình niềm vinh hạnh to lớn Nghiên cứu sinh Nguyễn Đức Lạng iv Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Danh mục ký hiệu chữ viết tắt vi Mở đầu Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm, phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn 1.1.1 Một số khái niệm tính chất không gian Hilbert 1.1.2 Một số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 10 1.2 Nửa nhóm khơng giãn số phương pháp tìm điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn 14 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 18 Chương Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động v ánh xạ khơng giãn 20 2.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cải biên 21 2.2 Phương pháp lặp Mann - Halpern cải biên 29 2.3 Phương pháp dạng đường dốc lai ghép thu hẹp cho ánh xạ không giãn 35 2.4 Điểm bất động chung cho hai ánh xạ không giãn hai tập 37 2.5 Ví dụ tính tốn minh họa 43 Chương Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động nửa nhóm khơng giãn 54 3.1 Điểm bất động nửa nhóm không giãn 54 3.2 Điểm bất động hai nửa nhóm khơng giãn 63 3.3 Ví dụ tính tốn minh họa 69 Kết luận chung đề xuất 74 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 75 Tài liệu tham khảo 76 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an vi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT h., i tích vơ hướng kxk chuẩn phần tử x H ∅ tập rỗng ∀x x ∃x tồn x I ánh xạ đồng ∩ phép giao ◦ phép hợp ánh xạ D(A) miền xác định toán tử A inf A cận tập hợp A sup A cận tập hợp A max A số lớn tập hợp A N tập hợp số tự nhiên N∗ tập hợp số tự nhiên khác R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm E không gian Banach H khơng gian Hilbert PC (x) hình chiếu x lên tập hợp C x := y x định nghĩa y lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x n→∞ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an vii xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn F tập điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động không gian mêtric thực lôi quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước hàng chục năm qua Điều khơng lý thuyết điểm bất động đóng vai trị quan trọng tốn học mà cịn ứng dụng lý thuyết bất đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, mơ hình tốn học lý thuyết kinh tế Nhiều nhà toán học tên tuổi Brower E., Banach S., Bauschke H H., Moudafi A., Xu H K., Schauder J., Browder F E., Ky Fan K., Kirk W A., Nguyễn Bường, Phạm Kỳ Anh, Lê Dũng Mưu, v.v mở rộng kết toán điểm bất động ánh xạ co không gian hữu hạn chiều cho toán điểm bất động ánh xạ liên tục Lipschitz, ánh xạ giả co, ánh xạ không giãn, v.v không gian Hilbert, không gian Banach Những kết mở rộng không đề cập đến tồn điểm bất động mà đề cập đến vấn đề xấp xỉ điểm bất động ánh xạ Gần nghiên cứu toán tìm điểm bất động lớp ánh xạ khơng giãn trở thành hướng nghiên cứu sơi động giải tích phi tuyến Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động kinh điển phải kể đến phương pháp lặp Krasnosel’skii [20], phương pháp lặp Mann [22], phương pháp lặp Halpern [16], phương pháp lặp Ishikawa [17], v.v Một số nhà nghiên cứu nước có cơng trình thú vị tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn nửa nhóm khơng giãn khơng gian Hilbert không gian Banach (xem [3] - [5], [36] - [43], v.v ) Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H, T : C → C ánh xạ không giãn Năm 2003, Nakajo K Takahashi W [27] đề xuất cải biên phương pháp lặp Mann dựa phương pháp lai ghép qui hoạch toán học (được đề xuất Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lần vào năm 2000 Solodov M V., Svaiter B F [32]) dạng  x0 ∈ C phần tử bất kỳ,        yn = αn xn + (1 − αn )T (xn ), (0.1) Cn = {z ∈ C : kyn − zk ≤ kxn − zk},     Qn = {z ∈ C : hxn − z, x0 − xn i ≥ 0},    xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ), n ≥ Họ chứng minh dãy {αn } ⊂ [0, a] với a ∈ [0, 1) dãy {xn } xác định (0.1) hội tụ mạnh u0 = PF (T ) (x0 ) n → ∞, u0 = PF (T ) (x0 ) hình chiếu x0 tập điểm bất động F (T ) ánh xạ không giãn T Năm 2000 Moudafi A [26] đề xuất phương pháp xấp xỉ gắn kết   x0 ∈ C phần tử bất kì, (0.2) λn  xn = T (xn ) + f (xn ), n ≥ 0, + λn + λn   x0 ∈ C phần tử bất kì, λn  xn+1 = T (xn ) + f (xn ), + λn + λn n ≥ 0, (0.3) tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn T , f : C → C ánh xạ co với hệ số co α ˜ ∈ [0, 1) {λn } dãy số dương Ông chứng minh rằng: 1) Nếu λn → n → ∞ dãy lặp (0.2) hội tụ mạnh nghiệm bất đẳng thức biến phân x∗ ∈ F(T ) cho h(I − f )(x∗ ), x∗ − xi ≤ 0, ∀x ∈ F(T ) (0.4) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 53 xạ hay hai ánh xạ không giãn (2.13), (2.25) "Định lý 2.3, Định lý 2.5" Cuối cùng, thu hội tụ mạnh phương pháp dạng đường dốc lai ghép (2.21) "Định lý 2.4" Một điểm bật kết thu "Định lý 2.3, Định lý 2.4" "Định lý 2.5" tập Cn Qn thay nửa không gian Mục cuối chương này, dành cho việc trình bày ví dụ số đơn giản nhằm minh họa cho tính đắn kết nghiên cứu đạt Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 54 Chương Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động nửa nhóm khơng giãn Mở rộng cho tốn tìm điểm bất động nửa nhóm ánh xạ không giãn {T (t) : t ≥ 0}, năm 2003, Nakajo K Takahashi W đề xuất phương pháp (0.6), dãy {xn } hội tụ mạnh tới u0 = PF (x0 ) Năm 2008, Saejung S xét q trình lặp tương tự mà khơng cần dùng đến tích phân Bochner Khi dãy {xn } xác định (0.8) hội tụ mạnh tới điểm bất động chung u0 = PF (x0 ) nửa nhóm ánh xạ không giãn Chương gồm mục Mục 3.1 đưa định lý hội tụ mạnh điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn, dựa phương pháp lặp Mann - Halpern phương pháp lai ghép qui hoạch toán học Mục 3.2 đề cập đến số định lý hội tụ mạnh cho toán tìm điểm bất động chung hai nửa nhóm khơng giãn hai tập khác Mục 3.3 giới thiệu ví dụ số đơn giản nhằm minh họa thêm cho kết lý thuyết thu Các kết chương lấy từ báo (1), (3), (4) danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 3.1 Điểm bất động nửa nhóm khơng giãn Giả sử {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn tập khác Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 55 rỗng, lồi đóng C khơng gian Hilbert thực H với F = ∩t≥0 F (T (t)) 6= ∅ Để tìm phần tử p ∈ F, dựa phương pháp lặp Mann Halpern phương pháp lai ghép qui hoạch tốn học, chúng tơi đề xuất phương pháp lặp sau:    x0 ∈ H phần tử bất kỳ,    R tn    z = α P (x ) + (1 − α ) n n C n n  tn T (s)PC (xn )ds,   R  t   yn = βn x0 + (1 − βn ) t1n n T (s)zn ds,   Hn = {z ∈ H : kyn − zk2 ≤ kxn − zk2      +βn (kx0 k2 + 2hxn − x0 , zi)},       Wn = {z ∈ H : hxn − z, x0 − xn i ≥ 0},     x n ≥ n+1 = PHn ∩Wn (x0 ), (3.1) Chúng hội tụ mạnh dãy {xn }, {yn } {zn } xác định (3.1) điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn {T (t) : t ≥ 0} với số điều kiện thích hợp đặt lên tham số {αn }, {βn } {tn } Trước hết, ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.1 (xem [30]) Cho C tập lồi, đóng, bị chặn khác rỗng khơng gian Hilbert thực H {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn C Khi đó, với h ≥  Z t  Z t 1 = lim sup sup T (h) T (s)yds − T (s)yds t t t→∞ y∈C Ta chứng minh định lý sau Định lý 3.1 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn C với F = ∩t≥0 F (T (t)) 6= ∅ Giả sử {αn } {βn } dãy số [0,1] thỏa mãn αn → 1, βn → tn → +∞ Khi đó, dãy {xn }, {zn } Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 56 {yn } xác định (3.1) hội tụ mạnh tới u0 = PF (x0 ), n → ∞ Chứng minh Với p ∈ F, ta có p = PC (p) = T (s)PC (p), s > Do từ (3.1) tính lồi k.k2 ta nhận kzn − pk = αn (PC (xn ) − p)  Z tn  2 + (1 − αn ) T (s)PC (xn )ds − p tn = αn (PC (xn ) − PC (p))  Z tn  2 + (1 − αn ) [T (s)PC (xn ) − T (s)PC (p)]ds tn 2  Z tn T (s)PC (xn ) − T (s)PC (p) ds ≤ αn kxn − pk + (1 − αn ) tn ≤ αn kxn − pk2 + (1 − αn )kPC (xn ) − PC (p)k2 ≤ kxn − pk2 Bằng lập luận tương tự nhận  2  Z tn kyn − pk2 = β (x − p) + (1 − β ) T (s)z ds − p n n n tn Z tn 2 ≤ βn kx0 − pk + (1 − βn ) [T (s)z − T (s)p]ds n tn ≤ βn kx0 − pk2 + (1 − βn )kzn − pk2 ≤ βn kx0 − pk2 + (1 − βn )kxn − pk2 = kxn − pk2 + βn (kx0 − pk2 − kxn − pk2 ) ≤ kxn − pk2 + βn (kx0 k2 + 2hxn − x0 , pi) Suy ra, p ∈ Hn với n ≥ Điều có nghĩa F ⊂ Hn với n ≥ Chứng minh tương tự định lý 2.3, ta nhận tính chất sau: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 57 (i) F ⊂ Hn ∩ Wn , kxn+1 − x0 k ≤ ku0 − x0 k, u0 = PF (x0 ), (3.2) với n ≥ Điều kéo theo dãy {xn } bị chặn dãy  Z tn   Z tn  1 T (s)PC (xn )ds , {zn } T (s)zn ds tn tn bị chặn (ii) lim kxn+1 − xn k = (3.3) lim kzn − PC (xn )k = (3.4) lim kyn − xk+1 k = (3.5) n→∞ n→∞ n→∞ lim kyn − xn k = (3.6) Z tn Z tn 1 = lim zn − = T (s)z ds T (s)z ds x − lim n n n n→∞ n→∞ tn tn (3.7) n→∞ Vì dãy {xn } bị chặn nên tồn dãy {xnj } {xn } hội tụ yếu đến phần tử p ∈ H j → ∞ Từ (3.7), dãy {znj } hội tụ yếu tới p ∈ C Mặt khác h > 0, ta có:   Z tn T (s)z ds kT (h)zn − zn k ≤ T (h)z − T (h) n n tn   Z tn Z tn 1 + T (h) T (s)z ds − T (s)z ds n n t tn Z tn n + T (s)z ds − z n n tn Z 0tn ≤ T (s)z ds − z n n tn  Z tn  Z tn 1 + T (h) T (s)z ds − T (s)z ds n n tn tn (3.8) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 58 Đặt C0 = {z ∈ C : kz − u0 k ≤ 2kx0 − u0 k} Do u0 = PF (x0 ) ∈ C, nên từ (3.1), (3.2) suy   Z tn T (s)P (x )ds − u kzn − u0 k = α (P (x ) − u ) + (1 − α ) C n n C n n tn = αn [PC (xn ) − PC (u0 )]   Z tn Z tn T (s)PC (xn )ds − T (s)PC (u0 )ds + (1 − αn ) tn tn ≤ αn kxn − u0 k Z + (1 − αn ) tn tn [T (s)PC (xn ) − T (s)PC (u0 )]ds ≤ kxn − x0 k + kx0 − u0 k ≤ 2kx0 − u0 k Do vậy, C0 tập lồi, đóng, khác rỗng bị chặn Dễ thấy {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn C0 Từ Bổ đề 3.1 suy  Z tn  Z tn 1 T (h) lim T (s)z ds − T (s)z ds n n = 0, n→∞ tn tn với h > cố định Do từ (3.7), (3.8) ta nhận lim kT (h)zn − zn k = 0, n→∞ với h > Từ Bổ đề 1.1 suy p ∈ F (T (h)) với h > Điều có nghĩa p ∈ F Tương tự chứng minh định lý 2.3 sử dụng (3.2), (3.7), nhận dãy {xn }, {yn } {zn } xác định (3.1) hội tụ mạnh tới u0 n → ∞ Định lý chứng minh Ta có hệ sau Hệ 3.1 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn C với F = ∩t≥0 F (T (t)) 6= ∅ Giả sử {βn } dãy số [0,1] thỏa mãn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 59 βn → Khi đó, dãy {xn } {yn }, xác định    x0 ∈ H phần tử bất kỳ,    R tn    y = β x + (1 − β ) n n tn T (s)PC (xn )ds,   n Hn = {z ∈ H : kyn − zk2 ≤ kxn − zk2 + βn (kx0 k2 + 2hxn − x0 , zi)},      Wn = {z ∈ H : hxn − z, x0 − xn i ≥ 0},     x n ≥ 0, n+1 = PHn ∩Wn (x0 ), hội tụ mạnh tới u0 = PF (x0 ), n → ∞ Chứng minh Trong định lý 3.1, lấy αn ≡ 1, ta nhận điều phải chứng minh Hệ 3.2 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn C với F = ∩t≥0 F (T (t)) 6= ∅ Giả sử {αn } dãy số [0,1] thỏa mãn αn → Khi đó, dãy {xn } {yn } xác định    x0 ∈ H phần tử bất kỳ,       R R  t t  y = n T (s) αn PC (xn ) + (1 − αn ) t1n n T (s)PC (xn )ds ds,    n tn Hn = {z ∈ H : kyn − zk ≤ kxn − zk},       Wn = {z ∈ H : hxn − z, x0 − xn i ≥ 0},     x =P (x ), n ≥ 0, n+1 Hn ∩Wn hội tụ mạnh tới u0 = PF (x0 ), n → ∞ Chứng minh.Trong định lý 3.1, lấy βn ≡ 0, ta nhận điều phải chứng minh Tiếp theo đề cập đến cải tiến phương pháp dạng đường dốc lai ghép cho tốn tìm phần tử p ∈ F Chính xác hơn, chúng tơi xét phương pháp sau: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 60    x0 ∈ H = H0 ,     y = x − µ (I − T P )(x ), n n n n C n   Hn+1 = {z ∈ Hn : kyn − zk ≤ kxn − zk},     x n≥0 n+1 = PHn+1 (x0 ), (3.9)    x0 ∈ H = H0 ,     y = x − µ (I − T (t )P (x )), n n n n C n   Hn+1 = {z ∈ Hn : kyn − zk ≤ kxn − zk},     x n ≥ n+1 = PHn+1 (x0 ), (3.10) Sự hội tụ mạnh phương pháp lặp (3.9) cho định lý Định lý 3.2 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn C thỏa mãn F = ∩t≥0 F (T (t)) 6= ∅ Giả sử {µn } dãy số (a, 1] với a ∈ (0, 1] λn → +∞ Khi đó, dãy {xn } {yn } xác định (3.9), hội tụ mạnh tới u0 = PF (x0 ), n → ∞ Chứng minh Với p ∈ F ⊆ C, từ (3.9) p = PC (p) ta có:  Z λn  kyn − pk = (1 − µ )(x − p) + µ T (s)P (x )ds − p n n n C n λn ≤ (1 − µn )kxn − pk Z λn (T (s)P (x ) − T (s)P (p))ds + µn C n C λn Z λn xn − p ds = kxn − pk ≤ (1 − µn )kxn − pk + µn λn Vì vậy, p ∈ Hn Do F ⊂ Hn với n ≥ Từ chứng minh định lý 2.4 ta thấy dãy {xn } hoàn toàn xác định hội tụ mạnh tới phần tử Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 61 p ∈ H Z λn = 0, T (s)P (x )ds kxn+1 − x0 k ≤ ku0 − x0 k, lim x − C n n n→∞ λn (3.11) u0 = PF (x0 ) Vì λn λn Z T (s)PC (xn )ds ∈ C, PC ánh xạ không giãn, nên Z λn PC (xn ) − T (s)P (x )ds C n λn Z λn = P (x ) − P T (s)P (x )ds C n C C n λn Z λn T (s)P (x )ds ≤ x − C n n λn Do vậy, từ (3.11) ta nhận Z λn = lim P (x ) − T (s)P (x )ds C n C n n→∞ λn (3.12) Điều với (3.11) xn → p kéo theo dãy {PC (xn )} hội tụ p Do C tập đóng, nên p ∈ C Mặt khác, với h > ta có: kT (h)PC (xn ) − PC (xn )k   Z λn ≤ T (h)P (x ) − T (h) T (s)P (x )ds C n C n λn  Z λn  Z λn 1 + T (h) T (s)P (x )ds − T (s)P (x )ds C n C n λn λn Z λn + T (s)P (x )ds − P (x ) C n C n λn (3.13) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 62 Z λn T (s)P (x )ds − P (x ) ≤ C n C n λn  Z λn  Z λn 1 + T (h) T (s)P (x )ds − T (s)P (x )ds C n C n λn λn Đặt C0 = {z ∈ C : kz − u0 k ≤ 2kx0 − u0 k} Từ (3.11) u0 = PF (x0 ) ∈ C, suy kPC (xn ) − u0 k = kPC (xn ) − PC (u0 )k ≤ kxn − u0 k ≤ kxn − x0 k + kx0 − u0 k ≤ 2kx0 − u0 k Vậy, C0 tập lồi, đóng, khác rỗng bị chặn H Dễ thấy {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm không giãn C0 Từ Bổ đề 3.1, (3.13) PC (xn ) → p, ta suy p = T (h)p với h > Vậy, p ∈ F Từ (3.11) p ∈ F, ta suy p = u0 yn → u0 n → ∞ Định lý chứng minh Tiếp theo, hội tụ mạnh phương pháp lặp (3.10) cho định lý Định lý 3.3 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn C cho F = ∩t≥0 F (T (t)) 6= ∅ Giả sử {µn } dãy (a, 1] với a ∈ (0, 1] {tn } dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện lim inf tn = 0, lim sup tn > 0, lim (tn+1 − tn ) = Khi đó, dãy n→∞ n→∞ n→∞ {xn } {yn } xác định (3.10), hội tụ mạnh tới u0 = PF (x0 ), n → ∞ Chứng minh Theo chứng minh định lý 2.4 định lý 3.2 ta có: kxn+1 − x0 k ≤ ku0 − x0 k, lim kxn − T (tn )PC (xn )k = 0, n→∞ lim kPC (xn ) − T (tn )PC (xn )k = 0, n→∞ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn (3.14) (3.15) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 63 dãy {xn }, {PC (xn )} hội tụ p ∈ C Khơng tính tổng qt, [29], kPC (xnj ) − T (tnj )PC (xnj )k = j→∞ tnj lim tnj = lim j→∞ (3.16) Bây ta p = T (t)p với t ≥ cố định Dễ thấy [t−tnj ]−1 X T (ltn )PC (xn ) − T ((l + 1)tn )PC (xk ) kPC (xnj ) − T (t)pk ≤ j j j j l=0       t t t T P (z p + T p − T (t)p + ) − T C nj tnj t tkj nj t PC (xn ) − T (tn )PC (xn ) +kPC (xn ) − pk ≤ j j j j tnj     t + T t − t p − p n tnj j Do đó: t PC (xn ) − T (tn )PC (xn ) +kPC (xn ) − pk kPC (xnj ) − T (t)pk ≤ j j j j tn j + sup{kT (s)p − pk : ≤ s ≤ tnj } Từ đó, kết hợp với (3.16) tính chất nửa nhóm, ta nhận lim kPC (xnj ) − T (t)pk = j→∞ Vì vậy, p ∈ F Do đó, từ (3.14), ta có dãy {xn } hội tụ mạnh u0 n → ∞ Sự hội tụ mạnh dãy {yn } u0 suy từ (3.10), (3.14), µn ∈ (a, 1] xn → u0 n → ∞ Định lý chứng minh 3.2 Điểm bất động hai nửa nhóm khơng giãn Giả sử C1 , C2 hai tập lồi, đóng H, {T1 (t) : t ≥ 0}, {T2 (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn từ C1 , C2 vào Vấn đề nghiên cứu đặt là: Tìm q ∈ F1,2 := F1 ∩ F2 , Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn (3.17) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 64 Fi = ∩t≥0 F (Ti (t)) (F1 , F2 không rỗng) Trường hợp đặc biệt C1 = C2 = C, vấn đề (3.17) giải [44] Chúng đưa vào phương pháp lặp sở phương pháp lặp Mann - Halpern để tìm điểm bất động chung hai nửa nhóm khơng giãn khơng gian Hilbert thực H Dựa (3.17) đưa vào trình lặp sau    x0 ∈ H phần tử bất kì,       R  t  zn = xn − µn xn − t1n n T1 (s)PC1 (xn )ds ,      R tn    y = β x + (1 − β ) n n n  tn T2 (s)PC2 (zn )ds, Hn = {z ∈ H : kyn − zk2 ≤ kxn − zk2       +βn (kx0 k2 + 2hxn − x0 , zi)},       Wn = {z ∈ H : hxn − z, x0 − xn i ≥ 0},     x n ≥ 0, n+1 = PHn ∩Wn (x0 ), (3.18) hội tụ mạnh dãy {xn }, {yn } {zn } xác định (3.18) đến điểm q = u0 ∈ F1,2 Định lý 3.4 Cho C1 C2 hai tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho {T1 (t) : t ≥ 0} {T2 (t) : t ≥ 0} hai nửa nhóm khơng giãn C1 C2 cho F = F1 ∩ F2 6= ∅, Fi = ∩t≥0 F (Ti (t)), i = 1, Giả sử {µn } {βn } dãy [0,1] cho µn ∈ (a, b) với a, b ∈ (0, 1), βn → tn → +∞ Khi đó, dãy {xn }, {zn } {yn } xác định (3.18) hội tụ mạnh tới u0 = PF (x0 ), n → ∞ Chứng minh Với p ∈ F s > ta có p = PCi p = T˜i (s)p, i = 1, 2, T˜i (s) = Ti (s)PCi , từ (3.18) Mệnh đề 1.1 ta nhận Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 65  Z tn  2 ˜1 (s)xn ds − p kzn − pk = (1 − µ )(x − p) + µ T n n n tn   Z tn ˜ ˜ [ T (s)x − T (s)p]ds = (1 − µ )(x − p) + µ n n n n tn Z tn ˜1 (s)xn − T˜1 (s)pds = (1 − µn )kxn − pk2 + µn T tn Z tn ˜ − (1 − µn )µn x − T (s)x ds n n tn Z tn ˜ ≤ kxn − pk2 − (1 − µn )µn x − T (s)x ds n n tn ≤ kxn − pk2 (3.19) Lập luận tương tự từ tính lồi chuẩn k.k2 , ta thấy  Z tn  2 ˜2 (s)zn ds − p kyn − pk = β (x − p) + (1 − β ) T n n tn Z tn 2 ˜2 (s)zn − T˜2 (s)p]ds ≤ βn kx0 − pk + (1 − βn ) [ T tn ≤ βn kx0 − pk2 + (1 − βn )kzn − pk2 ≤ βn kx0 − pk2 + (1 − βn )kxn − pk2 = kxn − pk2 + βn (kx0 − pk2 − kxn − pk2 ) = kxn − pk2 + βn (kx0 k2 + 2hxn − x0 , pi) Do đó, p ∈ Hn với n ≥ Điều có nghĩa F ⊂ Hn với n ≥ Tương tự chứng minh định lý 2.5 ta nhận tính chất sau: (i) F ⊂ Hn ∩ Wn , kxn+1 − x0 k ≤ ku0 − x0 k, u0 = PF (x0 ), (3.20) với n ≥ Điều kéo theo dãy {xn } bị chặn (ii) lim kxn+1 − xn k = n→∞ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn (3.21) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 66 lim kyn − xk+1 k = (3.22) lim kyn − xn k = (3.23) n→∞ n→∞ Chú ý   Z Z tn ˜ tn ˜ T2 (s)zn ds = yn − βn xn − T2 (s)zn ds +βn (xn − x0 ) tn tn ta có Z tn ˜2 (s)zn ds ≤ kxn − yn k xn − T tn Z tn ˜2 (s)zn ds +βn kxn − x0 k + βn x − T n tn Từ (3.20) bất đẳng thức trên, suy   Z tn 1 xn − T˜2 (s)zn ds ≤ − βn kxn − yn k + βn ku0 − x0 k tn Do βn → (βn ≤ − β với β ∈ (0, 1)), (3.23) bất đẳng thức trên, ta nhận Z tn ˜ x − lim T (s)z ds n n = n→∞ tn (3.24) Như chứng minh định lý 2.5 cách sử dụng (3.24) ta có: Z tn ˜i (s)xn ds = 0, i = 1, 2, T lim (3.25) x − n n→∞ tn lim kxn − zn k = n→∞ Bởi tn tn Z T˜i (s)xn ds ∈ Ci , i = 1, 2, Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn (3.26) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 67 nên Z tn Z tn 1 ˜i (s)xn ds = PC (xn ) − PC ˜i (s)xn ds PC (xn ) − T T i i i tn tn Z tn ˜ ≤ xn − Ti (s)xn ds , tn từ (3.25) kéo theo Z tn ˜i (s)xn ds = 0, i = 1, (x ) − T lim P n C i n→∞ tn (3.27) Vì dãy {xn } bị chặn nên tồn dãy {xnj } dãy {xn } hội tụ yếu tới phần tử q ∈ H j → ∞ Từ (3.25), (3.27), ta nhận uinj := PCi (xnj ) → q j → ∞ Có nghĩa q ∈ C1 ∩ C2 Do vậy, với h > 0, ta có:   Z tn i i T (s)u ds kTi (h)uin − uin k ≤ T (h)u − T (h) i i n n i tn  Z tn  Z tn 1 i i + T (h) ds − ds T (s)u T (s)u i i i n n tn tn Z tn i i + T (s)u ds − u i n n tn Z tn i i ≤ T (s)u ds − u i n n tn  Z tn  Z tn 1 i i + T (s)u ds − T (s)u ds T (h) i i n n tn tn (3.28) Cho C0i = {z ∈ Ci : kz − u0 k ≤ 2kx0 − u0 k} Bởi u0 = PF (x0 ) ∈ Ci nên kuinj − u0 k = kPCi (xnj ) − PCi (u0 )k ≤ kxnj − u0 k ≤ 2kx0 − uo k Do vậy, C0i tập lồi, đóng, khác rỗng, bị chặn Dễ thấy {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm không giãn C0i Từ Bổ đề 3.1, suy  Z tn  Z tn 1 i i lim T (h) T (s)u ds − T (s)u ds i n n = 0, n→∞ tn tn 0 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn