Bộ Giáo dục Đào tạo Trường Đại học Vinh Nguyễn Xuân Quý Điểm bất động đôi điểm trùng đôi ánh xạ kiểu - -co không gian mêtric thứ tự Luận văn Thạc sü To¸n häc NghƯ An - 2017 Bé Gi¸o dơc Đào tạo Trường Đại học Vinh Nguyễn Xuân Quý Điểm bất động đôi điểm trùng đôi ánh xạ kiểu - -co không gian mêtric thứ tự Luận văn Thạc sỹ Toán học Chuyên ngành: Toán Giải tích Mà số: 60.46.01.02 Cán hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Văn Ân Nghệ An - 2017 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân, tác giả xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới Thầy Nhân dịp em xin chân thành cám ơn Viện Sư phạm Tự nhiên, Phòng đào tạo Sau đại học, quý thầy, cô giáo tổ Giải Tích - Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh đà tận tình giúp đỡ em trình học tập hoàn thành luận văn Cuối xin chân thành cám ơn gia đình anh chị học viên cao học khoá 23 Giải Tích Trường Đại học Vinh gia đình đà tạo điều kiện thuận lợi để giúp hoàn thành tốt nhiệm vụ trình học tập Mặc dù đà tích cực đầu tư có nhiều cố gắng nghiên cứu, thực đề tài, song luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý Thầy, Cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tác gi¶ i Mơc Lơc Trang Mơc lơc i iii Lời nói đầu Chương I Điểm bất động đôi ánh xạ kiểu - -co không gian mêtric thứ tự 1.1 Các kiến thức chuÈn bÞ 1.2 §iĨm bÊt động đôi ánh xạ kiểu - -co không gian mêtric thứ tự 14 Ch¬ng II Điểm bất động đôi điểm trùng đôi ánh xạ kiểu - -co không gian mêtric thứ tự 2.1 Điểm bất động đôi ánh xạ kiểu 23 - -co suy rộng không gian mêtric thứ tự 2.2 Điểm trùng đôi ánh xạ kiểu - -co 23 không gian mêtric thứ tù 34 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 ii C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mở đầu Lý thuyết điểm bất động kết hợp Giải tích, Tôpô Hình häc Lý thut ®iĨm bÊt ®éng ®· ®ãng gãp vai trò quan trọng việc nghiên cứu tượng phi tuyến Đặc biệt, lý thuyết điểm bất động đà áp dụng lĩnh vực đa dạng Sinh häc, Hãa häc, Kinh tÕ, Kü thuËt, Lý thuyÕt trò chơi Vật lý Sự hữu ích ứng dụng tăng lên nhờ phát triển khoa học kỹ thuật, kỹ thuật máy tính để tính toán xác điểm bất động Kết quan trọng phải kể đến lý thuyết điểm bất động nguyên lí ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach Sau đó, Nguyên lý ánh xạ co Banach đà trở thành công cụ phổ dụng để giải toán tồn nhiều chuyên ngành Giải tích toán học có nhiều ứng dụng quan trọng phương pháp số Phương pháp NewtonRaphson, thiết lập định lý liên quan đến tồn tính nghiệm phương trình vi phân, tồn nghiệm phương trình tích phân hệ phương trình tuyến tính Vì đà có số lớn mở rộng định lý cho lớp ánh xạ không gian khác nhau, cách điều chỉnh điều kiện co thay đổi không gian Năm 2006, Bhaskar Lakshmikantham đà giới thiệu khái niệm điểm bất động đôi ánh xạ thỏa mÃn tính đơn điệu trộn không gian mêtric thứ tự thu số kết tồn nghiệm toán giá trị biên tuần hoàn Năm 2009, Lakshmikantham Ciri'c đà chứng minh định lý điểm trùng đôi điểm bất động đôi ánh xạ co phi tuyến không gian mêtric đầy đủ thứ tự phận Năm 2010, Chudhury Kundu đà chứng minh kết điểm trùng đôi ánh xạ tương thích không gian mêtric đầy đủ Năm 2012, Samet cộng đà đưa khái niệm ánh xạ - -co, ánh xạ -chấp nhận chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ không gian mêtric đầy đủ Sau đó, Karapinar Samet đà đưa khái niệm ánh xạ kiểu - -co thu kết điểm bất động cho lớp ánh xạ Mục đích luận văn nghiên cứu định lý điểm bất động đôi ánh xạ kiểu - -co, định lý điểm bất động đôi ánh xạ kiểu - -co suy rộng, số định lý điểm trùng đôi ánh xạ kiểu - -co không gian mêtric thứ tự số ví dụ minh họa cho kết Luận văn gồm chương: Chương với nhan đề Điểm bất động đôi ánh xạ kiểu - -co không gian mêtric thứ tự Trong chương này, mục giới thiệu qua số kiến thức làm sở cho việc trình bày luận văn bao gồm số khái niệm: không gian mêtric, không gian mêtric đầy đủ, không gian mêtric thứ tự, ánh xạ kiểu - -co, ánh xạ -chấp nhËn, ¸nh iii Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an x¹ - -co suy rộng, ánh xạ - -co suy rộng loại I, ánh xạ - -co suy rộng loại II, ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn, ánh xạ tương thích, điểm bất động ánh xạ, điểm bất động đôi ánh xạ co, điểm trùng điểm bất động đôi ánh xạ co, số kết điểm bất động ánh xạ - -co số ví dụ minh họa cho kết Mục dành để trình bày số định lý điểm bất động đôi ánh kiểu - -co không gian mêtric thứ tự Chương với nhan đề Điểm bất động đôi điểm trùng - -co không gian mêtric thứ tự Trong mục trình bày số định lý điểm bất động đôi ánh xạ - -co, ánh xạ -chấp nhận, ánh xạ - -co suy rộng loại I, ánh xạ - -co suy rộng loại đôi ánh xạ kiểu II không gian mêtric thứ tự hệ chúng Mục dành để trình bày số định lý điểm trùng đôi ánh xạ đơn điệu trộn, ánh xạ kiểu - -co, ánh xạ -chấp nhận với hệ chúng số ví dụ minh họa Nghệ An, ngày 30 tháng năm 2017 Ngun Xu©n Q iv Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an chương Điểm bất động đôi ánh xạ kiểu - -co không gian mêtric thứ tự Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Phần giới thiệu qua số kiến thức làm sở cho việc trình bày luận văn Các nội dung gồm: Không không gian mêtric, không gian mêtric đầy đủ, không gian mêtric thứ tự, ánh xạ co, ánh xạ kiểu xạ - -co, ánh -chấp nhận, ánh xạ - -co suy rộng, ánh xạ - -co suy rộng loại I, ánh xạ - -co suy rộng loại II, ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn, ánh xạ tương thích, điểm bất động ánh xạ, điểm bất động đôi ánh xạ co, điểm trùng điểm bất động đôi ánh xạ co, số kết điểm bất động ánh xạ - -co số ví dụ minh họa cho kết Định nghĩa 1.1.1 mêtric X ([1]) Cho tập hợp X Hàm d : X ì X R gọi thỏa mÃn điều kiện: (1) d(x, y) ≥ víi mäi x, y ∈ X (2) d(x, y) = d(y, x) víi mäi x, y ∈ X (3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) víi mäi x, y, z ∈ X TËp X với mêtric kí hiệu d(x, y) = nÕu vµ chØ nÕu x = y d gọi không gian mêtric (X, d) hay đơn giản X Số d (x, y) gọi khoảng cách từ điểm x ®Õn ®iĨm y 1.1.2 VÝ dơ víi mäi 1) Xét X = R Hàm d : R ì R → R cho bëi d (x, y) = |x − y|, x, y R Khi d mªtric trªn R Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an X = Rn Víi bÊt kú x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) ∈ Rn ta n 1 2 n P P đặt d1 (x, y) = vµ d2 (x, y) = |xi − yi | Khi d1 , d2 |xi yi | 2) Xét i=1 i=1 mêtric 1.1.3 Rn Định nghĩa xX hội tụ điểm n n0 ta có ([1]) Cho không gian mêtric với mäi d (xn , x) < ε (X, d), d·y {xn } X gọi > tồn n0 N Lúc ta kí hiệu cho víi mäi lim xn = x hay xn → x n→∞ n → ∞ Cho kh«ng gian mêtric (dÃy bản) với có (X, d) DÃy {xn } X gọi dÃy Cauchy ε > 0, tån t¹i n0 ∈ N∗ cho víi mäi n, m ≥ n0 ta d(xn , xm ) < , hay {xn } gọi dÃy Cauchy nÕu vµ chØ nÕu lim n,m→+∞ 1.1.4 NhËn xÐt 2) NÕu d·y 1) NÕu d·y {xn } héi tô dÃy Cauchy {xn } dÃy Cauchy không gian mêtric X {xnk } hội tụ ®iÓm x ∈ X 1.1.5 d(xn , xm ) = Định nghĩa dÃy có dÃy {xn } hội tụ x ([1]) Không gian mêtric (X, d) gọi đầy đủ, dÃy Cauchy nã ®Ịu héi tơ TËp gian 1.1.6 M M không gian mêtric (X, d) gọi đầy đủ, không với mêtric cảm sinh không gian đầy đủ Ví dụ 1) Tập hợp số thực R với mêtric d (x, y) = |x y|, x, y R không gian mêtric đầy đủ 2) Tập hợp Rn gồm tất n số thực, với mêtric d1 (x, y), d2 (x, y) không gian mêtric đầy đủ 3) mêtric X = C[a, b] tập hợp tất hàm số thực liên tục [a, b] víi d(x, y) = max {|x(t) − y(t)| : t [a, b]} không gian mêtric đầy đủ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 4) lp = {x = (xn )n : P∞ |xn |p < ∞}, p 1, với mêtric định bởi: x = (xn )n , y = (yn )n lp ta định nghÜa d(x, y) = !1 ∞ X p p |xn yn | (lp , d) không gian mêtric đầy đủ ([1]) Cho không gian mêtric Định nghĩa 1.1.7 (X, d) (Y, ) ánh xạ f : (X, d) (Y, ) gọi ¸nh x¹ co nÕu tån t¹i k ∈ [0, 1) cho ρ[f (x) , f (y)] ≤ k d (x, y) , Định lý 1.1.8 đầy đủ, điểm Điểm xạ ([1]) (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử f :XX x X ánh xạ co từ cho x∗ ∈ X X x, y ∈ X (X, d) không gian mêtric vào Khi tån t¹i nhÊt f (x∗ ) = x∗ có tính chất f (x ) = x gọi điểm bất động ánh f Định nghĩa 1.1.9 ([18]) Cho X ánh xạ ánh xạ F y víi mäi kÐo theo F (x) ≤ F (y) (X, ) tập thứ tự F : X gọi không giảm, víi mäi T¬ng tù, F x, y ∈ X, x gọi không tăng, với x, y ∈ X, x ≤ y kÐo theo F (x) ≥ F (y) Trong [8], T G Bhaskar vµ V Lakshmikantham đà đưa khái niệm ánh xạ đơn điệu trộn điểm bất động đôi thu số kết sau 1.1.10 Định nghĩa X ì X X ([18]) Cho ánh xạ F (X, ) tập hợp thứ tự F : gọi có tính chất đơn điệu trộn, F đơn điệu không giảm theo biến thứ đơn điệu không tăng theo biÕn thø hai cđa nã, nghÜa lµ víi mäi x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 suy F (x1 , y) ≤ F (x2 , y) víi Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an bÊt kú y∈X x X 1.1.11 Định nghĩa với đôi ánh xạ 1.1.12 y1 , y2 ∈ X, y1 ≤ y2 ([18]) PhÇn tư (x, y) ∈ X × X F : X × X −→ X Định nghĩa suy F (x, y1 ) F (x, y2 ) với gọi điểm bất động F (x, y) = x F (y, x) = y ([13]) Cho (X, ≤) lµ mét tập có thứ tự DÃy {xn } gọi không giảm quan hệ thứ tự xn xn+1 , dÃy {xn } X gọi không tăng quan hệ thứ tự xn 1.1.13 X Định lý ([8]) Cho X ®ỵc ≥ xn+1 víi mäi n ∈ N (X, ≤) tập thứ tự d mêtric (X, d) không gian mêtric đầy đủ Giả sử F : X ì X X cho ánh xạ liên tục có tính chất đơn điệu trộn X giả sử tồn k ∈ [0, 1) cho d (F (x, y), F (u, v)) ≤ NÕu tån t¹i x , y0 ∈ X k [d(x, u) + d(y, v)] , víi mäi x ≥ u vµ y ≤ v cho x0 ≤ F (x0 , y0 ) vµ y0 ≥ F (y0 , x0 ), x, y ∈ X tồn 1.1.14 X Định lý cho cho ([8]) Cho (X, d) F (x, y) = x vµ F (y, x) = y (X, ≤) tập thứ tự d mêtric không gian mêtric đầy đủ Giả sử X có tính chất đây: (i) (xn ) dÃy không giảm {xn } x, th× xn ≤ x víi mäi n, (ii) nÕu (yn ) dÃy không tăng {yn } y , y yn với n Giả sư F : X × X −→ X sư tån ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn X giả k [0, 1) cho d (F (x, y), F (u, v)) ≤ k [d(x, u) + d(y, v)] , víi mäi Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn x ≥ u vµ y ≤ v ln (1 + |x|) + ln (1 + |y|) 4 1 − ln (1 + |u|) − ln (1 + |v|) 4 1 + |x| 1 + |y|