Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ f co trong không gian b mêtric

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN NGUYỄN CƠ THẠCH SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ F CO TRONG KHÔNG GIAN b MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH Thành phố H.

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN NGUYỄN CƠ THẠCH SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ F -CO TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2022 ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN NGUYỄN CƠ THẠCH SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ F -CO TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 8460102 Người hướng dẫn: PGS.TS.KIỀU PHƯƠNG CHI Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2022 i Lời cam đoan Tôi tên Nguyễn Cơ Thạch, cam đoan luận văn tự làm hướng dẫn PGS.TS Kiều Phương Chi Mọi tham khảo, trích dẫn luận văn hợp lệ ghi cụ thể phần tài liệu tham khảo Mọi chép khơng hợp lệ, gian lận, tơi xin hồn toàn chịu trách nhiệm Tác giả Nguyễn Cơ Thạch ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Kiều Phương Chi Trước hết tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, PGS.TS Kiều Phương Chi không ngần ngại dành thời gian tiếp nhận hướng dẫn luận văn cho Thầy tận tình bảo tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập, nghiên cứu để tác giả học tập hoàn thiện luận văn Tác giả học nhiều kiến thức khoa học, nhận chia sẻ yêu thương Thầy trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa sư phạm tốn học, tổ giải tích trường Đại học Sài Gòn quan tâm động viên tạo môi trường thuận lợi cho tác giả tập trung học tập nghiên cứu Tác giả chân thành cảm ơn q thầy Phịng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán-Ứng dụng trường Đại học Sài Gịn q thầy giáo, giáo trực tiếp giảng dạy lớp cao học Tốn Giải Tích 20.1 tận tình giảng dạy để học viên có kiến thức chuyên môn tốt phục vụ cho thân nghề nghiệp sau Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích động viên tơi suốt q trình học cao học hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt N R C ([0, a] , R) x d = |.| Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số thực Tập hợp hàm liên tục u : [0, a] → R Phần nguyên x Mêtric Euclide Kết thúc chứng minh iv Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn i ii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Mục lục MỞ ĐẦU iii iv Chương Không gian b-mêtric ánh xạ F -co 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian b-mêtric 1.3 Ánh xạ F -co 3 14 Chương 2.1 2.2 Sự tồn điểm bất động số lớp ánh xạ F -co không gian b-mêtric 21 Sự tồn điểm bất động ánh xạ F -co kiểu Hardy-Roger không gian b-mêtric đầy đủ 22 Sự tồn điểm bất động ánh xạ F -co yếu kiểu Hardy-Rogers không gian b-mêtric đầy đủ 48 Chương Một số ứng dụng 3.1 Sự tồn nghiệm lớp phương trình hàm 3.2 Sự tồn nghiệm lớp phương trình tích phân phi tuyến Volterra 3.3 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân cấp Kết luận 55 55 60 63 66 v Tài liệu tham khảo 70 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động hướng nghiên cứu quan trọng toán giải tích Kể từ nguyên lý ánh xạ co Banach thiết lập vào năm 1922, trở thành công cụ quan trọng để chứng minh tồn xấp xỉ nghiệm lý thuyết phương trình vi phân, tích phân Sau đó, lý thuyết điểm bất động phát triển mạnh mẽ ứng dụng rộng rãi tốn học nhiều lĩnh vực khác Chẳng hạn: ánh xạ tác động vào phần tử sinh giá trị hàm khác với đối số Nếu lặp ánh xạ cách đệ qui, nghĩa lấy giá trị hàm làm đối số cho lần lặp thấy trực quan ánh xạ nhảy theo giá trị Nếu có phần tử mà ánh xạ tới làm ánh xạ khơng di chuyển Phần tử gọi điểm bất động ánh xạ Như vậy, thấy điểm bất động mang nhiều ý nghĩa thực tiễn khoa học máy tính hầu hết chương trình máy tính có vịng lặp, đặc biệt đệ qui Trên tảng cơng trình Brouwer (1911), Banach (1922) Tarski (1955), lý thuyết điểm bất động phát triển theo ba nhánh là: điểm bất động tôpô, điểm bất động mêtric, điểm bất động rời rạc Gần đây, việc mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach phát triển theo hướng mở rộng lên lớp không gian mêtric suy rộng lớp ánh xạ co suy rộng Theo hướng mở rộng không gian, lớp khơng gian b-mêtric gần ý ứng dụng sâu sắc nó, không gian b-mêtric Czerwik đề xuất vào năm 1993 ([4]), lớp không gian mở rộng thực không gian mêtric Theo hướng mở rộng điều kiện co điều kiện co phi tuyến thiết lập theo tư tưởng Boyd Wong năm 1969 Chúng ta tiếp cận đa dạng kiểu mở rộng điều kiện co Một số đó, điều kiện F -co đề xuất Wardowski năm 2012 ([2]) Đây điều kiện co phi tuyến tổng quát, so với điều kiện co thiết lập trước Những vấn đề nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian b-mêtric thu hút quan tâm nhiều người nghiên cứu lý thuyết điểm bất động Với mục đích tìm hiểu không gian b-mêtric, ánh xạ co phi tuyến, ánh xạ F -co tồn điểm bất động chúng, lựa chọn đề tài: Sự tồn điểm bất động ánh xạ F -co không gian b-mêtric Nội dung luận văn dự kiến trình bày có hệ thống kết trình bày báo của: Derouiche D and Ramoul H New fixed point results for F -contractions of Hardy-Rogers type in b-metric spaces with applications J Fixed Point Theory Appl 22 (2020), no 4, Paper No 86, 44 pp số cơng trình liên quan Chương Không gian b-mêtric ánh xạ F -co Chương trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian b-mêtric làm sở cho việc trình bày chương 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, giới hạn trên, giới hạn dưới, mà cần dùng luận văn Định nghĩa 1.1.1 (Xem [31]) Cho X tập khác rỗng Hàm d : X ∗ X −→ R gọi mêtric X thỏa mãn điều kiện sau: 1) d(x, y) ≥ 0, với x, y ∈ X ; d(x, y) = x = y; 2) d(x, y) = d(y, x), với x, y ∈ X ; 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), với x, y, z ∈ X Khi đó, (X, d) gọi khơng gian mêtric Định nghĩa 1.1.2 (Xem [31]) Cho (X, d) không gian mêtric Dãy {xn } ⊂ X gọi hội tụ tới x ∈ X ký 56 chặn W Trên X xét b-mêtric σ xác định σ (h, k) = sup |h (x) − k (x)|p , p ≥ 1, ∀h, k ∈ X x∈W Khi đó, (X, σ) không gian b-mêtric đầy đủ với s = 2p−1 ≥ Thật vậy, từ Ví dụ 1.2.1 kết luận (X, σ) không gian b-mêtric với s = 2p−1 ≥ Xét ánh xạ T : X → X xác định (T u) (x) = sup {f (x, y) + G (x, y, u (ϕ (x, y)))} , ∀u ∈ X, x ∈ W y∈D (3.2) Vì f G bị chặn nên T hoàn toàn xác định Lấy p ≥ đặt ψ : (0, ∞) → (0, ∞) xác định   (3t) p   , < t ≤ 21+ p ψ (t) =    , t > 1− p1 Lấy h, k ∈ X ký hiệu χp (h, k) = ξM (h, k) , M (h, k) = σ (h, T h) + σ (k, T k) , ξ = , p ≥ 2p Ta có định lý sau: Định lý 3.1.1 Cho p ≥ ánh xạ T : X → X xác định (3.2) Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (K) : |G (x, y, h (z)) − G (x, y, k (z))| ≤ ψ (χp (h, k)) , với h, k ∈ X, T h = T k, x, z ∈ W y ∈ D Khi đó, phương trình hàm (3.1) có nghiệm bị chặn Chứng minh Lấy λ số dương tùy ý, x ∈ W h, k ∈ X, T h = T k Khi tồn y1 , y2 ∈ D cho: λp (T h) (x) < f (x, y1 ) + G (x, y1 , h (ϕ (x, y1 ))) + , (3.3) 57 λp (T k) (x) < f (x, y2 ) + G (x, y2 , k (ϕ (x, y2 ))) + (3.4) Bằng định nghĩa T ta có (T h) (x) ≥ f (x, y2 ) + G (x, y2 , h (ϕ (x, y2 ))) (3.5) (T k) (x) ≥ f (x, y1 ) + G (x, y1 , k (ϕ (x, y1 ))) (3.6) Sử dụng (3.3) (3.6) với (K) ta có (T h) (x) − (T k) (x) λp < G (x, y1 , h (ϕ (x, y1 ))) − G (x, y1 , k (ϕ (x, y1 ))) + λp ≤ |G (x, y1 , h (ϕ (x, y1 ))) − G (x, y1 , k (ϕ (x, y1 )))| + λp ≤ ψ (χp (h, k)) + (3.7) Sử dụng (3.4) (3.5) với (K) ta có λp (T k) (x) − (T h) (x) < ψ (χp (h, k)) + (3.8) Kết hợp (3.7) (3.8) ta có λp |(T h) (x) − (T k) (x) | < ψ (χp (h, k)) + Sử dụng bất đẳng thức sau (a + b)p ≤ 2p−1 (ap + bp ) , a, b > 0, Theo đó: |(T h) (x) − (T k) x|p < 2p−1 [ψ (χp (h, k))]p + λ Suy σ (T h, T k) < 2p−1 [ψ (χp (h, k))]p + λ (3.9) 58 Bây giờ, xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu < χp (h, k) ≤ (3.9) trở thành σ (T h, T k) < 3χp (h, k) λ + 16 (3.10) Vì (3.10) khơng phụ thuộc vào x ∈ W λ > tùy ý, ta có σ (T h, T k) ≤ 3χp (h, k) 16 (3.11) Do đó, σ (T h, T k) < (3.12) Mặt khác, sử dụng (b3 ) , ta có σ (h, k) ≤ sσ (h, T h) + s2 σ (T h, T k) + s2 σ (T k, k) ≤ s2 σ (h, T h) + s2 σ (k, T k) + s2 σ (T h, T k) ≤ s2 M (h, k) + s2 σ (T h, T k) χp (h, k) ≤ s2 + s2 σ (T h, T k) ξ Với s = 2p−1 ξ = , ta có 2p σ (h, k) ≤ 2s3 χp (h, k) + s2 σ (T h, T k) (3.13) Sử dụng (3.10) (3.13), ta có χp (h, k) σ (T h, T k) σ (h, k) ≤ + 16s 16s χp (h, k) < + σ (T h, T k) χp (h, k) 3χp (h, k) λ < + + 16 5χp (h, k) λ = + (3.14) 59 Sử dụng bất đẳng thức kép a < ln (1 + a) < a, ∀a > 0, ta có 1+a 5χp (h, k) λ σ (h, k) + ln (1 + σ (T h, T k)) < + + σ (T h, T k) 16s 16 χp (h, k) < +λ χp (h, k) ≤ +λ + χp (h, k) < ln (1 + χp (h, k)) + λ Vì bất đẳng thức cuối khơng phụ thuộc vào x ∈ W λ > tùy ý nên ta có σ (h, k) + ln (1 + σ (T h, T k)) ≤ ln (1 + χp (h, k)) 16s3 (3.15) Ngoài ra, theo (3.11) (3.13) với giả thiết < χp (h, k) ≤ 1, ta nhận σ (h, k) ≤ 2s3 + 3s2 = 23p−2 + 3.22p−6 16 (3.16) Trường hợp 2: Nếu χp (h, k) > (3.9) trở thành σ (T h, T k) < + λ (3.17) Vì (3.17) khơng phụ thuộc vào x ∈ W λ > tùy ý nên ta có σ (T h, T k) ≤ (3.18) Từ (3.17) sử dụng bất đẳng thức ln (1 + b) < b, b + ≥ 2, ∀b > 0, b ta nhận + ln (1 + σ (T h, T k)) < + σ (T h, T k) λ tùy ý nên ta có + ln (1 + σ (T h, T k)) ≤ χp (h, k) + χp (h, k) (3.20) Sử dụng bất đẳng thức (3.15), (3.20) ta có τ (σ (h, k)) + F (σ (T h, T k)) ≤ F (χp (h, k)) =F M (h, k) , 2p với h, k ∈ X, T h = T k với F : (0, ∞) → R xác định F (t) = ln (t + 1) , t ∈ (0, 1] t + , t > t Và τ : (0, ∞) → (0, ∞) xác định t τ (t) = 23p+1 , t ∈ (0, Cp ] , 1, trường hợp cịn lại, Cp = 23p−2 + 3.22p−6 Khi đó, tất điều kiện Hệ 2.1.4.1 thỏa mãn với β = γ = p , p ≥ Do đó, T có điểm bất động u∗ ∈ X = B (W ) Vậy phương trình hàm (3.1) có nghiệm bị chặn 3.2 Sự tồn nghiệm lớp phương trình tích phân phi tuyến Volterra Trong mục này, tương tự [15, 20, 22] chúng tơi tìm hiểu cách chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình 61 tích phân nhờ áp dụng Định lý 2.1.3 Xét phương trình tích phân phi tuyến Volterra t K (t, r, u (r)) dr, t ∈ [0, a] , u (t) = g (t) + (3.21) a > 0, K : [0, a] × [0, a] × R → R g : [0, a] → R Ký hiệu X = C ([0, a] , R) tập hợp tất hàm liên tục u : [0, a] → R Tập X trang bị chuẩn Bielecki u = sup e−t |u (t)| t∈[0,a] không gian Banach Do đó, tập X với mêtric d (u, v) = sup e−t |u (t) − v (t)| , ∀u, v ∈ X không gian mêtric t∈[0,a] đầy đủ Bây định nghĩa σ (u, v) = (d (u, v))2 = sup e−2t (u (t) − v (t))2 , ∀u, v ∈ X t∈[0,a] (3.22) Khi (X, σ) không gian b-mêtric đầy đủ với s = Định lý 3.2.1 Giả sử giả thiết sau thỏa mãn (H1 ) Hàm K G liên tục; (H2 ) Với r, t ∈ [0, a] với z, w ∈ R ta có √ |z − w| |K (t, r, z) − K (t, r, w)| ≤ a (z − w) + 16 Khi phương trình tích phân (3.21) có nghiệm X Chứng minh Cho X = C ([0, a] , R) với b-mêtric xác định (3.22) T : X → X xác định t K (t, r, u (r)) dr, u ∈ X, t ∈ [0, a] (T u) (t) = g (t) + 62 Vì giả thiết định lý nên T hoàn toàn xác định Lấy u, v ∈ X cho T u = T v Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz giả thiết (H2 ) ta có |(T u) (t) − (T v) (t)|2 t ≤ ≤ = ≤ ≤ |K (t, r, u (r)) − K (t, r, v (r))|2 dr 2(u (r) − v (r))2 dr (u (r) − v (r)) + 16 t 2(u (r) − v (r))2 dr −2r + 16 (u (r) − v (r)) e t 2(u (r) − v (r))2 e−2r e2r dr −2r + 16 (u (r) − v (r)) e t 2σ (u, v) e2r dr σ (u, v) + 16 σ (u, v) e2t σ (u, v) + 16 t ≤ t 1dr Suy ((T u) (t) − (T v) (t))2 e−2t ≤ σ (u, v) σ (u, v) + 16 Lấy sup hai vế bất đẳng thức ta t∈[0,a] σ (T u, T v) ≤ σ (u, v) σ (u, v) + 16 (3.23) Do đó, ta có σ (u, v) + + σ (T u, T v) + σ (T u, T v) 16 σ (u, v) σ (u, v) ≤ + 8 ≤ N (u, v) + N (u, v) ln x phần nguyên x 1 N (u, v) = d (x, y) + d (x, T x) + d (y, T y) 16 + (d (x, T y) + d (y, T x)) 64 (3.24) 63 t + , với 16 t ∈ (0, ∞) , bất đẳng thức (3.24) viết lại sau Bằng cách chọn F (t) = t + t τ (t) = ln τ (σ (u, v)) + F (σ (T u, T v)) ≤ F (N (u, v)) Khi đó, tất điều kiện Định lý (2.1.3) thỏa mãn 1 1 ,L = δ = Do đó, T có với α = , β = , γ = 16 64 ∗ điểm bất động u ∈ X = C ([0, a] , R) Vậy phương trình tích phân (3.21) có nghiệm u∗ ∈ X = C ([0, a] , R) 3.3 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân cấp Trong mục này, giống [20] [27], nhờ định lý tồn điểm bất động ánh xạ F -co suy rộng chương trước chúng tơi tìm hiểu tính tồn nghiệm toán giá trị biên cho phương trình vi phân cấp sau :   −d2 x = f (t, x (t)) , t ∈ I, (3.25)  x dt (0) = x (1) = 0, I = [0, 1] f : [0, 1] × R → R hàm liên tục Cho X = C (I, R) không gian hàm liên tục x : I → R Khi X với b-mêtric σ∞ (x, y) = sup (x (t) − y(t))2 , ∀x, y ∈ X t∈I không gian b-mêtric với s = Định lý 3.3.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (W ) |f (r, z) − f (r, w)| ≤ ln (z − w)2 +1 16 64 với z, w ∈ R, r ∈ I Khi tốn (3.25) có nghiệm x∗ ∈ C (I, R) Chứng minh Bài toán (3.25) tương đương với phương trình tích phân sau G (t, r) f (r, x (r)) dr, ∀t ∈ I, x (t) = (3.26) G hàm Green liên quan đến toán (3.25) cho t (1 − r) , ≤ t ≤ r ≤ 1, G (t, r) = r (1 − t) , ≤ r ≤ t ≤ Do đó, x ∈ C (I, R) nghiệm toán (3.25) x ∈ C (I, R) nghiệm phương trình tích phân (3.26) Tiếp theo, định nghĩa ánh xạ T : X → X sau G (t, r) f (r, x (r)) dr, ∀t ∈ I, ∀x ∈ X T x (t) = Việc tìm điểm bất động x∗ ∈ X ánh xạ T tương đương với việc chứng minh tồn nghiệm toán (3.25) Lấy x, y ∈ X cho T x = T y Từ giả thiết (W ) , ta có ((T x) (t) − (T y) (t))2  ≤ G (t, r) ln (x (r) − y (r)) + dr 16 σ∞ (x, y) +1 sup 16 t∈I σ∞ (x, y) = ln +1 64 16 t∈I G (t, r) dr = ≤ ln Vì sup 2 G (t, r) dr nên ta có σ∞ (T x, T y) ≤ ln 64 σ∞ (x, y) +1 16 (3.27) 65 Sử dụng bất đẳng thức ta có σ∞ (x, y) σ∞ (x, y) + σ∞ (T x, T y) ≤ ≤ M (x, y) , 16 (d (x, y) + d (x, T x) + d (y, T y)) + (d (x, T y) + d (y, T x)) 32 M (u, v) = điều tương đương với τ (σ (u, v)) + F (σ (T u, T v)) ≤ F (M (u, v)) Khi đó, tất điều kiện Định lý (2.1.1) thỏa mãn với t 1 F (t) = t, τ (t) = , ∀t ∈ (0, ∞) , α = β = γ = , L = δ = 16 32 ∗ Do đó, T có điểm bất động u ∈ X Vậy, tốn (3.25) có nghiệm u∗ C (I, R) Kết luận Luận văn thu kết sau: Trình bày có hệ thống ánh xạ F -co, F -co suy rộng tồn điểm bất động chúng không gian mêtric đầy đủ Hệ thống hoá số kết tồn điểm bất động số lớp ánh xạ F -co suy rộng như: F -co suy rộng kiểu Hardy-Rogers, F -co yếu suy rộng, không gian b-mêtric đầy đủ Chúng tơi trình bày lại số ứng dụng định lý điểm bất động ánh xạ F -co suy rộng không gian b-mêtric đầy đủ để chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình hàm, phương trình tích phân phương trình vi phân Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu chứng minh vắn tắt bỏ qua chứng minh, trình bày số ví dụ minh hoạ cho kết 66 Tài liệu tham khảo [1] Derouiche D and Ramoul H New fixed point results for F contractions of Hardy-Rogers type in b-metric spaces with applications J Fixed Point Theory Appl 22 (2020), no 4, Paper No 86, 44 pp [2] Wardowski D.,Fixed points of a new type of contractive mappings in complete metric spaces, Fixed Point Theory Appl 2012, 94-101 [3] Cosentino V and Vetro P.,Fixed point result for Fcontractive mappings of Hardy–Rogers type Filomat 28(4), 715–722 (2014) [4] Czerwik S.,Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math Inform Univ Ostraviensis 1, 5–11 (1993) [5] Lukacs A.and Kajanto S.,On the conditions of fixed-point theorems concerning F −contractions, Results Math 73 (2018), 82-89 [6] An, T.V., Tuyen, L.Q., Dung, N.V.: Stone-type theorem on b-metric spaces and applications Topol Appl 185–186, 50–64 (2015) [7] Boriceanu, M.: Strict fixed point theorems for multivalued operators in b-metric spaces Int J Mod Math 4, 285–301 (2009) 67 68 [8] Cosentino, M., Jleli, M., Samet, B., Vetro, C.: Solvability of integrodifferential problems via fixed point theory in bmetric spaces Fixed Point Theory Appl 2015, 70 (2015) [9] Czerwik, S.: Nonlinear set-valued contraction mappings in b-metric spaces AttiSem Math Fis Univ Modena 46(2), 263–276 (1998) [10] Dung, N.V., Hang, V.T.L.: On the completion of b-metric spaces Bull Aust Math Soc 98, 298–304 (2018) [11] Hardy, G.E., Rogers, T.D.: A generalization of a fixed point theorem of Reich Can Math Bull 16(2), 201–206 (1973) [12] Hussain, N., Parvaneh, V., Samet, B., Vetro, C.: Some fixed point theorems for generalized contractive mappings in complete metric spaces Fixed Point Theory Appl 2015, 185 (2015) [13] Khamsi, M.A., Hussain, N.: KKM mappings in metric type spaces Nonlinear Anal 73, 3123–3129 (2010) [14] Luk´acs, A., Kaj´ant´ o, S.: Fixed point theorems for various types of F - contractions in complete b-metric spaces Fixed Point Theory 19(1), 321–334 (2018) [15] Paesano, D., Vetro, C.: Multi-valued F -contractions in 0complete partial metric spaces with application to Volterra type integral equation Rev R Acad Cienc Exactas Fis Nat Ser A Math RACSAM 108, 1005–1020 (2014) [16] Piri, H., Kumam, P.: Some fixed point theorems concerning F -contraction in complete metric spaces Fixed Point Theory Appl 2014, 210 (2014) [17] Piri, H., Kumam, P.: Wardowski type fixed point theorems in complete metric spaces Fixed Point Theory Appl 2016, 45 (2016) 69 [18] Proinov, P.D.: Fixed point theorems for generalized contractive mappings in metric spaces J Fixed Point Theory Appl 22, 21 (2020) [19] Roshan, J.R., Parvaneh, V., Kadelburg, Z.: Common fixed point theorems for weakly isotone increasing mappings in ordered b-metric spaces J Nonlinear Sci Appl 7, 229–245 (2014) [20] Saipara, P., Khammahawong, K., Kumam, P.: Fixed-point theorem for a generalized almost Hardy–Rogers type F contraction on metric-like spaces Math Methods Appl Sci 42(17), 5898–5919 (2019) [21] Secelean, N.A.: Iterated function systems consisting of F contractions Fixed Point Theory Appl 2013, 277 (2013) [22] Sgroi, M., Vetro, C.: Multi-valued F -contractions and the solution of certain functional and integral equations Filomat 27(7), 1259–1268 (2013) [23] Shazad, N., Karapinar, E., Rold´an L´ opez de Hierro, A.F.: On some fixed point theorems under (α, ψ, φ)-contractivity conditions in metric spaces endowed with transitive binary relations Fixed Point Theory Appl 2015, 124 (2015) [24] Shukla, S., Gopal, D., Mart´ınez-Moreno, J.: Fixed points of set-valued F - contractions and its application to non-linear integral equations Filomat 31(11), 3377–3390 (2017) [25] Sintunavarat, W.: Nonlinear integral equations with new admissibility types in b-metric spaces J Fixed Point Theory Appl 18, 397–416 (2016) [26] Vetro, F.: F -contractions of Hardy–Rogers type and application to multistage decision processes Nonlinear Anal Model Control 21(4), 531–546 (2016) [27] Vetro, F., Vetro, C.: On an idea of Bakhtin and Czerwik for solving a first-order periodic problem J Nonlinear Convex Anal 18(12), 2123–2134 (2017) 70 [28] Wardowski, D.: Solving existence problems via F contractions Proc Am Math Soc 146, 1585–1598 (2018) [29] Wardowski, D., Dung, N.V.: Fixed points of F-weak contractions on complete metric spaces Demonstr Math 47, 146–155 (2014) [30] Fraser R and Nadler S B., Sequences of contractive maps and fixed points Pacific J Math 31 (1969), 659-667 [31] Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Giáo trình giải tích hàm, (2011), NXB Đại học quốc gia TPHCM [32] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Giải tích tốn học, Tập 1, Nhà xuất đại học sư phạm ... b? ??t động số lớp ánh xạ F -co không gian b- mêtric 21 Sự tồn điểm b? ??t động ánh xạ F -co kiểu Hardy-Roger không gian b- mêtric đầy đủ 22 Sự tồn điểm b? ??t động ánh xạ F -co yếu kiểu Hardy-Rogers không. .. tồn điểm b? ??t động số lớp ánh xạ F -co không gian b- mêtric Chương trình b? ?y nghiên cứu tồn điểm b? ??t động ánh xạ F -co kiểu Hardy-Roger ánh xạ F -co yếu kiểu Hardy-Roger không gian b- mêtric đầy... 22 2.1 Sự tồn điểm b? ??t động ánh xạ F -co kiểu Hardy-Roger không gian b- mêtric đầy đủ Mục trình b? ?y kết Derouiche D Ramoul H tồn điểm b? ??t động ánh xạ F -co kiểu Hardy-Roger không gian b- mêtric