Trong mục này, giống như trong [20] và [27], nhờ định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạF-co suy rộng trong chương trước chúng tơi tìm hiểu tính tồn tại và duy nhất nghiệm của bài tốn giá trị biên cho phương trình vi phân cấp 2 như sau :
−d2x dt2 =f(t, x(t)), t∈I, x(0) =x(1) = 0, (3.25) trong đóI = [0,1]vàf : [0,1]×R→Rlà một hàm liên tục. Cho X =C(I,R) là khơng gian các hàm liên tục x:I → R. Khi đó X cùng vớib-mêtric
σ∞(x, y) = sup t∈I n (x(t)−y(t))2 o ,∀x, y∈X là không gian b-mêtric vớis= 2.
Định lý 3.3.1. Giả sử rằng điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(W) |f(r, z)−f(r, w)| ≤ v u u tln (z−w) 2 16 + 1 !
với mọiz, w∈R, r∈I.Khi đó bài tốn (3.25) có duy nhất nghiệm
x∗ ∈C2(I,R).
Chứng minh. Bài tốn (3.25) tương đương với phương trình tích phân sau
x(t) = Z 1
0
G(t, r)f(r, x(r))dr,∀t∈I, (3.26) trong đó Glà hàm Green liên quan đến bài toán (3.25) được cho bởi
G(t, r) =
t(1−r),0≤t≤r≤1,
r(1−t),0≤r ≤t≤1.
Do đó,x∈C2(I,R) là nghiệm của bài tốn (3.25) nếu và chỉ nếu x ∈ C(I,R) là nghiệm của phương trình tích phân (3.26). Tiếp theo, chúng ta có thể định nghĩa ánh xạT :X→X như sau
T x(t) = Z 1
0
G(t, r)f(r, x(r))dr,∀t∈I,∀x∈X.
Việc tìm điểm bất động x∗ ∈ X duy nhất của ánh xạ T tương đương với việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (3.25).
Lấy x, y∈X sao cho T x6=T y. Từ giả thiết(W),ta có
((T x) (t)−(T y) (t))2 ≤ Z 1 0 G(t, r) v u u tln (x(r)−y(r)) 2 16 + 1 ! dr 2 ≤ln σ∞(x, y) 16 + 1 supt∈I Z 1 0 G(t, r)dr 2 = 1 64ln σ∞(x, y) 16 + 1 . Vìsup t∈I Z 1 0 G(t, r)dr= 1 8 nên ta có σ∞(T x, T y)≤ 1 64ln σ∞(x, y) 16 + 1 (3.27)
Sử dụng bất đẳng thức trên ta có σ∞(x, y) 16 +σ∞(T x, T y)≤ σ∞(x, y) 8 ≤M(x, y), trong đó M(u, v) = 1 8(d(x, y) +d(x, T x) +d(y, T y)) + 1 32(d(x, T y) +d(y, T x))
điều này tương đương với
τ(σ(u, v)) +F(σ(T u, T v))≤F(M(u, v)).
Khi đó, tất cả các điều kiện của Định lý (2.1.1) được thỏa mãn với F(t) =t, τ(t) = t 16,∀t∈ (0,∞), α =β = γ = 1 8, L = δ = 1 32.
Do đó,T có duy nhất điểm bất độngu∗ ∈X. Vậy, bài tốn (3.25) có duy nhất nghiệmu∗ trongC2(I,R).
Luận văn thu được các kết quả chính sau:
1. Trình bày có hệ thống về ánh xạF-co,F-co suy rộng và sự
tồn tại điểm bất động của chúng trên không gian mêtric đầy đủ. 2. Hệ thống hoá các một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ F-co suy rộng như: F-co suy rộng
kiểu Hardy-Rogers,F-co yếu suy rộng,... trên khơng gianb-mêtric đầy đủ.
3. Chúng tơi trình bày lại một số ứng dụng của các định lý điểm bất động của ánh xạF-co suy rộng trên không gianb-mêtric đầy đủ để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình hàm, phương trình tích phân và phương trình vi phân.
4. Chứng minh chi tiết một số kết quả mà tài liệu chứng minh vắn tắt hoặc bỏ qua chứng minh, trình bày một số ví dụ minh hoạ cho các kết quả.
[1] Derouiche D. and Ramoul H.New fixed point results for F-
contractions of Hardy-Rogers type in b-metric spaces with
applications. J. Fixed Point Theory Appl. 22 (2020), no. 4, Paper No. 86, 44 pp.
[2] Wardowski D.,Fixed points of a new type of contractive map-
pings in complete metric spaces, Fixed Point Theory Appl.
2012, 94-101.
[3] Cosentino V. and Vetro P.,Fixed point result for F-
contractive mappings of Hardy–Rogers type Filomat 28(4), 715–722 (2014)
[4] Czerwik S.,Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math. Inform. Univ. Ostraviensis 1, 5–11 (1993).
[5] Lukacs A.and Kajanto S.,On the conditions of fixed-point
theorems concerning F−contractions, Results Math 73
(2018), 82-89.
[6] An, T.V., Tuyen, L.Q., Dung, N.V.: Stone-type theorem on b-metric spaces and applications. Topol. Appl. 185–186, 50–64 (2015)
[7] Boriceanu, M.: Strict fixed point theorems for multivalued operators in b-metric spaces. Int. J. Mod. Math. 4, 285–301 (2009)
[8] Cosentino, M., Jleli, M., Samet, B., Vetro, C.: Solvability of integrodifferential problems via fixed point theory in b- metric spaces. Fixed Point Theory Appl. 2015, 70 (2015) [9] Czerwik, S.: Nonlinear set-valued contraction mappings in
b-metric spaces. AttiSem. Math. Fis. Univ. Modena 46(2), 263–276 (1998)
[10] Dung, N.V., Hang, V.T.L.: On the completion of b-metric spaces. Bull. Aust. Math. Soc. 98, 298–304 (2018)
[11] Hardy, G.E., Rogers, T.D.: A generalization of a fixed point theorem of Reich. Can. Math. Bull. 16(2), 201–206 (1973) [12] Hussain, N., Parvaneh, V., Samet, B., Vetro, C.: Some fixed
point theorems for generalized contractive mappings in com- plete metric spaces. Fixed Point Theory Appl. 2015, 185 (2015)
[13] Khamsi, M.A., Hussain, N.: KKM mappings in metric type spaces. Nonlinear Anal. 73, 3123–3129 (2010)
[14] Luk´acs, A., Kaj´ant´ o, S.: Fixed point theorems for var- ious types of F - contractions in complete b-metric spaces. Fixed Point Theory 19(1), 321–334 (2018)
[15] Paesano, D., Vetro, C.: Multi-valued F -contractions in 0- complete partial metric spaces with application to Volterra type integral equation. Rev. R. Acad. Cienc. Exactas. Fis. Nat. Ser. A Math. RACSAM 108, 1005–1020 (2014)
[16] Piri, H., Kumam, P.: Some fixed point theorems concern- ing F -contraction in complete metric spaces. Fixed Point Theory Appl. 2014, 210 (2014)
[17] Piri, H., Kumam, P.: Wardowski type fixed point theorems in complete metric spaces. Fixed Point Theory Appl. 2016, 45 (2016)
[18] Proinov, P.D.: Fixed point theorems for generalized contrac- tive mappings in metric spaces. J. Fixed Point Theory Appl. 22, 21 (2020)
[19] Roshan, J.R., Parvaneh, V., Kadelburg, Z.: Common fixed point theorems for weakly isotone increasing mappings in ordered b-metric spaces. J. Nonlinear Sci. Appl. 7, 229–245 (2014)
[20] Saipara, P., Khammahawong, K., Kumam, P.: Fixed-point theorem for a generalized almost Hardy–Rogers type F - contraction on metric-like spaces. Math. Methods Appl. Sci. 42(17), 5898–5919 (2019)
[21] Secelean, N.A.: Iterated function systems consisting of F - contractions. Fixed Point Theory Appl. 2013, 277 (2013) [22] Sgroi, M., Vetro, C.: Multi-valued F -contractions and the
solution of certain functional and integral equations. Filo- mat 27(7), 1259–1268 (2013)
[23] Shazad, N., Karapinar, E., Rold´an L´opez de Hierro, A.F.: On some fixed point theorems under (α, ψ, φ)-contractivity
conditions in metric spaces endowed with transitive binary relations. Fixed Point Theory Appl. 2015, 124 (2015) [24] Shukla, S., Gopal, D., Mart´ınez-Moreno, J.: Fixed points of
set-valued F - contractions and its application to non-linear integral equations. Filomat 31(11), 3377–3390 (2017) [25] Sintunavarat, W.: Nonlinear integral equations with new ad-
missibility types in b-metric spaces. J. Fixed Point Theory Appl. 18, 397–416 (2016)
[26] Vetro, F.: F -contractions of Hardy–Rogers type and ap- plication to multistage decision processes. Nonlinear Anal. Model. Control 21(4), 531–546 (2016)
[27] Vetro, F., Vetro, C.: On an idea of Bakhtin and Czerwik for solving a first-order periodic problem. J. Nonlinear Convex Anal. 18(12), 2123–2134 (2017)
[28] Wardowski, D.: Solving existence problems via F - contractions. Proc. Am. Math. Soc. 146, 1585–1598 (2018) [29] Wardowski, D., Dung, N.V.: Fixed points of F-weak con-
tractions on complete metric spaces. Demonstr. Math. 47, 146–155 (2014)
[30] Fraser R. and Nadler S. B., Sequences of contractive maps and fixed points Pacific J. Math. 31 (1969), 659-667. [31] Đặng Đức Trọng, Phạm Hồng Qn, Đặng Hồng Tâm,
Đinh Ngọc Thanh, Giáo trình giải tích hàm, (2011), NXB
Đại học quốc gia TPHCM.
[32] Nguyễn Văn Khuê và Lê Mậu Hải (2002), Giải tích tốn học, Tập 1, Nhà xuất bản đại học sư phạm.