Điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng trong không gian meetric suy rộng và không gian meetric nón suy rộng

Bộ Giáo dục Đào tạo Trường Đại học Vinh Nguyễn Văn Tâm Điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric suy rộng không gian mêtric nón suy rộng Luận văn Thạc sỹ Toán học Nghệ An - 2015 Bộ Giáo dục Đào tạo Trường Đại học Vinh Nguyễn Văn Tâm Điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric suy rộng không gian mêtric nón suy rộng Luận Văn Thạc Sỹ Toán Học Chuyên ngành: Toán Giải tích Mà số: 60.46.01.02 Cán hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Văn Ân Nghệ An - 2015 Môc Lôc Trang Môc lôc Lêi nãi đầu Chương Điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric suy rộng 1.1 Các khái niệm 1.2 Điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric suy réng Chương Điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric nón suy rộng 2.1 28 Điểm bất động ánh xạ co địa phương không gian mªtric nãn suy réng 2.2 10 Điểm bất động ánh xạ kiểu 28 -co không gian mêtric nón suy réng 38 KÕt ln 46 Tµi liƯu tham khảo 47 lời nói đầu Lý thuyết điểm bất động vấn đề nghiên cứu quan träng cđa gi¶i tÝch Nã cã rÊt nhiỊu øng dơng ngành toán học ngành kỹ thuật Kết quan trọng phải nói đến lý thuyết điểm bất động nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (năm 1992) Một hướng nhìn khác nghiên cứu điểm bất động, người ta thấy việc tìm điểm bất động ánh xạ vấn đề có nhiều ứng dụng giải tích lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân Người ta đà tìm cách mở rộng nguyên lý cho nhiều ánh xạ nhiều loại không gian khác Kannan đà chứng minh định lý điểm bất động ánh xạ co mà không đòi hỏi tính liên tục ánh xạ (năm 1968) Năm 2004, Berinde đà giới thiệu khái niệm ánh xạ co yếu, mà gọi ánh xạ hầu co chứng minh số định lý điểm bất động ánh xạ hầu co không gian mêtric đầy đủ Sau nhiều nhà toán học khác tiếp tục nghiên cứu theo hướng thu nhiều kết thú vị Đặc biệt vào năm 2007, theo hướng mở rộng không gian mêtric, Huang Long-Guang Zhang Xian đà đưa khái niệm không gian mêtric nón cách thay đổi tập số thực định nghĩa mêtric nón định hướng không gian định chuẩn Hai tác giả đà xây dựng khái niệm hội tụ dÃy, tính đầy đủ không gian, định lý điểm bất động ánh xạ co thu kết thú vị lớp không gian này, đồng thời thấy số ứng dụng lớp không gian mêtric nón giải tích phi tuyến, tối ưu véctơ Hiện nghiên cứu cấu trúc không gian mêtric nón thu hút quan tâm số nhà toán học nước Người ta đà tìm cách mở rộng khái niệm không C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an gian mêtric nón cách thay bất đẳng thức tam giác bất đẳng thúc hình chữ nhật để đưa khái niệm không gian mêtric nón suy rộng nghiên cứu tính chất điểm bất động lớp không gian Để tập dượt nghiên cứu khoa học, tiếp cận hướng nghiên cứu nhằm tìm hiểu kết điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric suy rộng không gian mêtric nón suy rộng Trên sở tài liệu tham khảo, hướng dẫn PGS TS Trần Văn Ân, đà thực đề tài: "Điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric suy rộng không gian mêtric nón suy rộng" Mục đích luận văn nghiên cứu không gian mêtric, không gian mêtric suy rộng, không gian mêtric nón, không gian mêtric nón suy rộng, điều kiện co, ánh xạ co suy rộng, ánh xạ co địa phương, ánh xạ kiểu -co, điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric suy rộng không gian mêtric nón suy rộng, Chương với nhan đề Điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric suy rộng Trong chương này, mục giới thiệu số kiến thức làm sở cho việc trình bày luận văn, gồm: không gian mêtric, không gian mêtric đầy đủ, không gian mêtric suy rộng, ánh xạ co, điểm bất động, số định lý hệ điểm bất động ánh xạ co Mục trình bày số định lý, hệ ví dụ điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric suy rộng Chương với nhan đề Điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric nón suy rộng Trong chương này, mục giới thiệu khái niệm về: không gian mêtric nón, không gian mêtric nón suy rộng, ánh xạ co địa phương, số định lý điểm bất động ánh xạ co địa phương không gian mêtric nón suy rộng sè vÝ dơ minh häa Mơc giíi thiƯu kh¸i niệm ánh xạ kiểu -co, trình bày số định lý, hệ điểm bất Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an động ánh xạ kiểu -co không gian mêtric nón suy rộng Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân, tác giả xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới Thầy Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng đào tạo Sau đại học, quý thầy, cô giáo môn Toán Giải tích khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh đà tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Nhân đây, tác giả xin cảm ơn bạn học viên cao học khóa 21 Giải tích trường Đại học Vinh Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bố, mẹ, anh, chị, em tất bạn bè đà tạo điều kiện giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ trình học tập Mặc dù đà tích cực đầu tư có nhiều cố gắng nghiên cứu, thực đề tài, song luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý Thầy, Cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, ngày 08 tháng 08 năm 2015 Nguyễn Văn Tâm Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an chương Điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric suy rộng 1.1 Các khái niệm Phần giới thiệu qua số kiến thức làm sở cho việc trình bày luận văn, mối quan hệ khái niệm, kết cho số ví dụ minh họa 1.1.1 Định nghĩa mêtric ([1]) Cho tập hợp X 6= Hàm d : X ì X R gọi X thỏa mÃn điều kiện (1) d(x, y) víi mäi x, y ∈ X vµ d(x, y) = nÕu vµ chØ nÕu x = y (2) d(x, y) = d(y, x) víi mäi x, y ∈ X (3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) víi mäi x, y, z ∈ X Tập X với mêtric d gọi không gian mêtric kí hiệu (X, d) hay đơn giản X Số d (x, y) gọi khoảng cách từ điểm x đến điểm y 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho không gian mêtric (X, d) (Y, ) ánh xạ f : (X, d) (Y, ) gọi ánh x¹ co nÕu tån t¹i α ∈ [0, 1) cho ρ[f (x) , f (y)] ≤ αd (x, y) , 1.1.3 Định lý với ([1]) (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử x, y X (X, d) không gian mêtric đầy đủ, f : X X ánh xạ co từ X vào Khi tồn điểm x X Điểm xạ x X có tính chất f (x ) = x gọi điểm bất động cđa ¸nh f Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach, P N Dutta, B S Choudhury đà thu kết sau 1.1.4 Định lý ([6]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T :XX tự ánh xạ thỏa mÃn bất đẳng thức: (d (T x, T y)) ≤ ψ (d (x, y)) − ϕ (d (x, y)) víi mäi x, y ∈ X, ®ã ψ, ϕ : [0, +∞) → [0, +∞) lµ hàm liên tục, đơn điệu không giảm (t) = ϕ(t) = nÕu vµ chØ nÕu t = Khi ®ã T cã mét ®iĨm bÊt ®éng 1.1.5 Định nghĩa ([5]) Cho tập hợp mêtric suy rộng X 6= Hàm d : X ì X R gọi X thỏa mÃn điều kiện (1) d(x, y) = vµ chØ nÕu x = y ; (2) d(x, y) = d(y, x) víi mäi x, y ∈ X ; (3) d(x, y) ≤ d(x, w) + d(w, z) + d(z, y) víi mäi x, y ∈ X vµ víi cặp điểm phân biệt Tập w, z X \ {x, y} X cïng víi mét mªtric suy réng d gọi không gian mêtric suy rộng kí hiệu (X, d) hay đơn giản X Điều kiện (3) gọi bất đẳng thức tứ giác 1.1.6 Nhận xét ([2]) Giả sử (X, d) không gian mêtric suy rộng Víi x ∈ X vµ ε > ta ký hiÖu B(x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε} Khi ®ã hä B = {B(x, r) : x X, r > 0} lập thành sở tôpô d X 1.1.7 Ví dô cho ([12]) XÐt X = {t, 2t, 3t, 4t, 5t} víi t > lµ h»ng sè Cho số X > Ta xác định hàm d : X ì X R cho c«ng thøc (a) d(x, x) = víi mäi x ∈ X (b) d(x, y) = d(y, x) víi mäi x, y ∈ X Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an (c) d(t, 2t) = 3γ (d) d(t, 3t) = d(2t, 3t) = γ (e) d(t, 4t) = d(2t, 4t) = d(3t, 4t) = 2γ (f) d(t, 5t) = d(2t, 5t) = d(3t, 5t) = d(4t, 5t) = 23 Khi dễ dàng kiểm tra rộng, (X, d) không gian mêtric suy (X, d) không không gian mêtric, ta có d(t, 2t) = > + γ = d(t, 3t) + d(3t, 2t) 1.1.8 VÝ dô ([12]) XÐt X = n1 n : n = 1, 2, o ∪ {0, 2} Ta xác định hàm d : X ì X R+ cho bëi c«ng thøc   nÕu     nÕu n d(x, y) =  nÕu  n    nÕu x = y, x ∈ {0, 2} vµ y = n1 , x= y {0, 2} x, y thuộc trường hợp lại Khi dễ dàng thử thấy n (X, d) không gian mêtric suy rộng, (X, d) không không gian mêtric, v× ta cã 1   1 1 1 1 = > + = d , + d 0, d , 3 1.1.9 Định nghĩa ([5]) Cho (X, d) không gian mêtric suy rộng, dÃy {xn } X gọi hội tụ điểm x X nÕu víi mäi ε > tån t¹i n0 ∈ N∗ cho víi mäi n ≥ n0 ta cã d (xn , x) < ε Lóc ®ã ta kÝ hiƯu lµ lim xn = x hay n→+∞ xn → x n + 1.1.10 Định nghĩa ([5]) Cho (X, d) không gian mêtric suy rộng d·y {xn } ⊂ X Ta nãi r»ng {xn } dÃy Cauchy không gian mêtric suy rộng (X, d) nÕu víi mäi ε > 0, tån t¹i nε ∈ N∗ cho víi mäi n > m ≥ nε , ta cã d(xn , xm ) < ε Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.1.11 Định nghĩa ([5]) Không gian mêtric suy rộng (X, d) gọi đầy đủ dÃy Cauchy (X, d) hội tụ Tương tự trường hợp không gian mêtric, người ta đà thu kết sau 1.1.12 Mệnh đề ([12]) Nếu {xn } dÃy hội tụ không gian mêtric suy rộng, dÃy Cauchy 1.1.13 Mệnh đề ([12]) Nếu {xn } dÃy hội tụ không gian mêtric suy rộng, giới hạn 1.1.14 Mệnh đề ([12]) Nếu {xn } dÃy không gian mêtric suy rộng X mà hội tụ điểm x X , dÃy {xnk } cđa nã cịng héi tơ vỊ ®iĨm x ([3]) Giả sử 1.1.15 Định nghĩa mêtric (X, d) vào Điểm xạ T, f : X X ánh xạ từ không gian y X gọi giá trị chung (point of coincidence) hai ánh T f X tồn t¹i x ∈ X cho y = f (x) = T (x) Khi điểm x X gọi điểm trùng (coincidence point) hai ánh xạ Cặp ánh xạ (T, f ) gọi tương thích yếu T f giao hoán với điểm bất động chung chúng, nghĩa điểm T f T f (x) = f T (x) x X mà T (x) = f (x) 1.1.16 Định nghĩa rộng ([11]) Giả sử X 6= Nếu (X, d) không gian mêtric suy (X, ) tập hợp thø tù bé phËn víi quan hƯ thø tù , (X, d, ) gọi không gian mêtric suy rộng thứ tự Khi đó, hai phần tử x, y X gọi so sánh x  y hay y  x 1.1.17 Định nghĩa ¸nh x¹ T, f : X → X ([11]) Cho (X, ) tập hợp thứ tự phËn vµ hai Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 34 Bước Cho x X Vì X không gian 2c -khả xíc nên tìm số hữu hạn điểm (n(x) điểm) x = x0 , x1 , x2 , , xn−1 , xn(x) = T x, cho c víi mäi i = 1, 2, , n(x) Kh«ng mÊt tÝnh tỉng quát, ta giả sử điểm x1 , x2 , , xn(x) khác (và chúng khác víi x vµ T x nÕu d(xi−1 , xi )  n(x) > 2) Ta sÏ chøng minh r»ng d(x, T x)  ThËt vËy, tõ Khi mµ n(x).c (2.2) (2.1) ta thấy điều hiển nhiªn nÕu n(x) = 1, n(x) > 2, ta xÐt hai tr­êng hỵp sau Tr­êng hỵp Víi n(x) số lẻ, đặt n(x) = 2l + víi mäi l ≥ Lóc ®ã ta cã d(x, T x) ≤ d(x, x1 ) + d(x1 , x2 ) + + d(x2l , T x) n(x).c c  (2l + 1) = 2 Tr­êng hợp Với n(x) số chẵn, đặt n(x) = 2l víi mäi l ≥ Lóc ®ã, nhê (2.1), ta cã d(x, T x) ≤ d(x, x2 ) + d(x2 , x3 ) + + d(x2l−1 , T x) c n(x).c  c + (2l − 2) = 2 Lại T (c, )-co địa phương đều, nên ta có c d(T xi1 , T xi ) ≤ λd(xi−1 , xi )  λ , víi mäi i = 1, 2, , n(x) Do đó, nhờ phép quy nạp không hoàn toàn ta có c d(T m xi1 , T m xi )  λm , víi mäi m N Vì thế, nhờ điều kiện (2.1) ta cã d(T m x0 , T m x2 )  λm c Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 35 Bây làm tương tự trên, có thÓ thÊy r»ng d(T m x, T m+1 x)  λm n(x).c , víi mäi m ∈ N (2.3) T m x0 , , T m xn lµ Chú ý số điểm điểm nhau, kết Bước Đầu tiên, lưu ý T m x = T n x víi c¸c sè m, n N, m > n, cách đặt p = m n u = T n x, ta cã T p u = u vµ nh­ vËy T kp u = u víi k N Bây lấy điểm u T u vµ tiÕn hµnh nh­ B­íc 1, ta cã thÓ thÊy r»ng d(T m u, T m+1 u)  với số cố định m n(u).c , với m N n(u) N (n(u) phụ thuộc vào u) Khi đó, ta có kp n(u).c d(u, T u) = d(T kp u, T kp+1 u)  Vì P nón chuẩn tắc, tõ ®ã ta cã kd(u, T u)k = kd(T kp u, T kp+1 u)k ≤ K V× λ ∈ [0, 1), từ bất đẳng thức ta suy K λ λkp n(u)kck kp n(u)kck → k → ∞ Suy d(u, T u) = 0, nghĩa ta có T u = u Bây giê ta gi¶ sư r»ng r»ng T p x 6= T q x, víi mäi p, q ∈ N Khi ®ã ta sÏ chØ {T m x} lµ mét d·y Cauchy X Tr­íc hÕt ta cã nhËn xét sau: giả sử đà chọn số k N mµ k ≥ 2, cho λk < d(T k x, T k+1 x)  , n(x) ®ã nhê (2.3) ta cã λk n(x).c c  2 vµ d(T k+1 x, T k+2 x)  λk+1 n(x).c c  2 Vì thế, nhờ điều kiÖn (2.1) ta suy d(T k x, T k+2 x)  c Bây với số nguyên dương mà (2.4) m > k , lần ta xÐt hai tr­êng hỵp Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 36 Trường hợp Nếu n số lẻ, ta đặt n = 2l + 1, l Khi ®ã ta cã d(T m x, T m+n x) ≤ d(T m x, T m+1 x) + d(T m+1 x, T m+2 x) + + d(T m+2l x, T m+2l+1 x) n.c  (λm + λm+1 + + λm+2l ) λm n.c  Trường hợp Nếu n số chẵn, ta đặt n = 2l, l Khi từ lập luận trước công thức (2.4) nhê (2.1) ta cã d(T m x, T m+n x) ≤ d(T m x, T m+2 x) + d(T m+2 x, T m+3 x) + + d(T m+2l−1 x, T m+2l x) n.c  λm n(x).c + (λm+2 + + λm+2l−1 ) m+2 λ n.c λm+2 n.c  λm−k λk n(x).c +  λm−k c + 1−λ 1−λ λm−k c = [2 − 2λ + nλk−2 ] 2(1 − λ) KÕt hợp hai trường hợp, có d(T m x, T m+n x)  ®ã λm−k c β, 2(1 − λ) β = max{nλk , − 2λ + nk2 } Vì P nón chuẩn tắc, từ bất đẳng thức ta có kd(T m x, T m+n x)k ≤ K Do gi¶ thiÕt λm−k kck β 2(1 ) [0, 1) k cố định thỏa mÃn k < n(x) nên λm−k → m−k kck m → ∞ Suy ta cã K λ2(1−λ) → m → ∞ V× thÕ ta cã kd(T m x, T m+n x)k m Điều chứng tá r»ng {T m x} lµ mét d·y Cauchy X Vì sử nên X không gian T -quỹ đạo đầy đủ, nên {T m x} héi tơ X , gi¶ lim T m x = u Hơn nữa, ánh xạ co địa phương liên tục, m T ánh xạ liên tục Do ta có T (u) = T ( lim T m x) = lim T m+1 x = u m Điều khẳng định m u điểm bất động T Bước Để kiĨm tra tÝnh nhÊt cđa ®iĨm bÊt ®éng, ta giả sử v điểm bất động cđa T , nghÜa lµ T v = v Vì X không gian 2c -khả Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 37 xíc, ta tìm mét 2c -xÝc u = x0 , x1 , , xn = v Khi đó, cách tiến hành nh­ B­íc 1, chóng ta cã thĨ thÊy r»ng d(T m u, T m v)  λm n.c , víi mäi m ∈ N V× thÕ, ta cã d(u, v) = d(T m u, T m v)  Do m n.c P nón chuẩn tắc, từ bất đẳng thức ta có kd(u, v)k = kd(T m u, T m v)k  Lại ∈ [0, 1), nªn trªn ta suy λm n.kck λm n.kck → m → Vì từ bất đẳng thức cuối d(u, v) = Do ®ã u = v Nh­ định lý đà chứng minh 2.1.19 Ví dụ Cho  X = {a, b, c, e} vµ P = {x ∈ R : x ≥ 0}, Ta x¸c định hàm d : X R cho bëi d(a, b) = 25, d(a, c) = d(b, c) = 1, d(a, e) = d(b, e) = d(c, e) = 2, d(x, x) = 0, víi mäi x ∈ X Khi dễ dàng kiểm tra (X, d) không gian mêtric nón suy rộng P nón chuẩn tắc, (X, d) không gian mêtric nón d(a, b) = 25 > d(a, c) + d(b, c) = Hơn nữa, (X, d) không gian mêtric nón suy rộng -khả xíc với = Bây ta xét ánh xạ T : X X cho c«ng thøc ( Tx = c nÕu x ∈ {a, b, c}, a nÕu x = e B»ng c¸c tÝnh toán trực tiếp ta thấy đủ ánh xạ nữa, (X, d) không gian T -quỹ đạo đầy T : X X ánh xạ co địa phương với = = 21 Hơn T thỏa mÃn điều kiện (2.1) Vì vậy, áp dụng Định lý 2.1.18 ta suy T có điểm bất động c Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 38 2.2 §iĨm bÊt động ánh xạ kiểu -co không gian mêtric nón suy rộng 2.2.1 Bổ đề Cho P mét nãn E vµ {xn }, {yn } lµ hai d·y E NÕu xn → x, yn → y n → ∞ vµ xn ≤ yn víi mäi n th× x ≤ y Chøng minh Tõ xn ≤ yn ta cã yn − xn ∈ P Vì P đóng (yn xn ) → y − x nªn 2.2.2 y − x ∈ P Do x y Định lý Cho (X, d) không gian mêtric nón suy rộng đầy đủ Hausdorff, P nón chuẩn tắc không gian Banach E với số chuẩn tắc K E tập tốt theo quan hệ thứ tự phận "" xác định P (nghĩa hai phÇn tư bÊt kú cđa E bao giê cịng so sánh theo quan hệ "" tập khác rỗng E mà bị chặn có cận đúng) Giả sử T : X X ánh xạ thỏa mÃn với x, y ∈ X ta cã d(T x, T y) ≤ 

1 d(x, T x) + d(y, T y − ϕ d(x, T x), d(y, T y) , (2.5) : P ì P P ánh xạ liên tục (a, b) = nÕu vµ chØ nÕu a = b = Khi ®ã, tån t¹i mét ®iĨm bÊt ®éng nhÊt u ∈ X Chøng minh Cho x0 ∈ X lµ điểm tùy ý Bằng quy nạp ta dễ dàng xây dựng dÃy {xn } cho xn+1 = T xn = T n+1 x0 víi mäi n Nếu tồn số giả sử (2.6) n0 ∈ N, xn0 = xn0 +1 = T xn0 , ta có xn0 điểm bất động Bây xn 6= xn+1 , víi mäi n ∈ N Khi ta tiến hành theo bước sau: Bước Ta chøng minh r»ng lim d(xn , xn+1 ) = n→∞ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn (2.7) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 39 Thay x = xn vµ y = xn−1 vµo (2.5) sử dụng tính chất , ta d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 )

≤ d(xn , T xn ) + d(xn−1 , T xn−1 ) − ϕ d(xn , T xn ), d(xn−1 , T xn−1 )

= d(xn , xn+1 ) + d(xn−1 , xn ) − ϕ d(xn , xn+1 ), d(xn−1 , xn )
(2.8) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn−1 , xn ) Tõ c¸c bất đẳng thức ta suy d(xn+1 , xn ) ≤ d(xn , xn−1 ) víi mäi n ≥ Vì dÃy {d(xn , xn+1 )} dÃy đơn điệu không tăng bị chặn Vì E tập thứ tự toàn phần theo quan hệ thứ tự phận "", nên tồn r ≥ cho lim d(xn , xn+1 ) = r Cho n → ∞ (2.8) vµ sư dơng tÝnh liªn n→∞ tơc cđa ϕ, ta cã r ≤ 21 (r + r) (r, r) Điều kéo theo (r, r) Vì P nón chuẩn tắc từ ta có hàm k(r, r)k K.k0k = Suy ϕ(r, r) = Nhê tÝnh chÊt ϕ ta suy r = Nh­ vậy, (2.7) đà chứng minh Bước Ta chứng minh r»ng lim d(xn , xn+2 ) = n→∞ (2.9) Tõ (2.5), ta cã d(xn+2 , xn ) = d(T xn+1 , T xn−1 ) ≤ = ≤ V× 2

d(xn+1 , T xn+1 ) + d(xn−1 , T xn−1 ) − ϕ d(xn+1 , T xn+1 ), d(xn−1 , T xn−1 )

d(xn+1 , xn+2 ) + d(xn−1 , xn ) − ϕ d(xn+1 , xn+2 ), d(xn−1 , xn )
d(xn+1 , xn+2 ) + d(xn−1 , xn ) (2.10) P nón chuẩn tắc, từ (2.10) ta suy kd(xn+2 , xn )k ≤ 21 K.[kd(xn+1 , xn+2 )k + kd(xn−1 , xn )k] V× thÕ tõ (2.7) ta thÊy r»ng lim d(xn+2 , xn ) = n Như (2.9) đà chứng minh B­íc Chóng chøng minh r»ng T cã mét điểm tuần hoàn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 40 Thật vậy, giả sử T điểm tuần hoàn, {xn } dÃy điểm phân biệt, trường hợp này, suy rộng nguyªn xn 6= xm víi mäi m = n Chóng ta sÏ chØ r»ng {xn } lµ mét d·y Cauchy không gian mêtric nón (X, d) Giả sử ngược lại có phần tử c  cho với số k , tồn số nguyên mk > nk > k cho d(xnk , xmk )  c Với (2.11) k N, ta chọn mk N số tự nhiên bÐ nhÊt cho mk > nk vµ tháa m·n (2.11), nh­ vËy ta cã d(xnk , xmk−1 ) ≤ c (2.12) Từ (2.11), (2.12) sử dụng bất đẳng thức hình chữ nhật, ta c  d(xmk , xnk ) ≤ d(xmk , xmk−2 ) + d(xmk−2 , xmk−1 ) + d(xmk−1 , xnk ) ≤ d(xmk , xmk−2 ) + d(xmk−2 , xmk−1 ) + c Nhê Bổ đề 2.2.1, từ (2.7) (2.9) ta lim d(xnk , xmk ) = c k→∞ Sư dơng (2.5) víi (2.13) x = xmk −1 vµ y = xnk −1 ta cã d(xmk , xnk ) = d(T xmk −1 , T xnk −1 )

≤ d(xmk −1 , xmk ) + d(xnk −1 , xnk ) − ϕ d(xmk −1 , xmk ), d(xnk −1 , xnk ) Cho k → ∞ bất đẳng thức sử dụng Bổ đề 2.2.1, (2.7) (2.13) ta  c (0, 0) = Điều mâu thuẫn Vì nón suy rộng Vì tồn {xn } dÃy Cauchy không gian mêtric (X, d) không gian mêtric nón suy rộng đầy đủ, nên u X cho xn u Lại áp dụng (2.5) lần với x = xn , y = u ta d(xn+1 , T u) = d(T xn , T u)  
≤ 21 d(xn , xn+1 ) + d(u, T u) − ϕ d(xn , xn+1 ), d(u, T u) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn (2.14) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 41 Từ bất đẳng thức nµy suy d(xn+1 , T u) ≤  1 d(xn , xn+1 ) + d(u, T u) Tõ (2.7) ta cã lim sup d(xn+1 , T u) ≤ d(u, T u) n→∞ TiÕp theo ta mâu thuẩn gặp phải (2.15) T điểm tuần hoàn trường hợp sau: a) NÕu víi mäi n ≥ 2, ta cã xn 6= u xn 6= T u Khi đó, từ bất đẳng thức d(u, T u) d(u, xn ) + d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , T u) vµ sư dơng (2.7) ta cã d(u, T u) ≤ lim sup d(xn+1 , T u) (2.16) n→∞ Tõ (2.15) (2.16), ta d(u, T u) lim sup d(xn+1 , T u) ≤ d(u, T u) n Điều suy 21 d(u, T u) (2.17) ≤ V× thÕ ta cã d(u, T u) = 0, nghÜa lµ T u = u Suy u điểm bất động T Điều mâu thuẫn với điều T điểm tuần hoàn b) Nếu tồn q cho xq = u xq = T u, T điểm tuần hoàn nên u 6= x0 ThËt vËy nÕu xq = u = x0 th× T q x0 = x0 , suy x0 điểm tuần hoàn T Mặt khác xq = T u x0 = u lúc ta có T x0 = T u = xq = T q x0 = T q−1 (T x0 ), tức T x0 điểm tuần hoàn T Điều mâu thuẫn với điều đó, với T điểm tuần hoµn VËy, u 6= x0 Khi n ≥ 1, ta cã d(T n u, u) = d(T n xq , u) = d(xn+q , u), hc d(T n u, u) = d(T n−1 T u, u) = d(T n−1 xq , u) = d(xn+q1 , u) Trong đẳng thức trên, số nguyên q cố định, dÃy {xn+q } {xn+q1 } dÃy {xn } Vì {xn } dÃy hội tụ đến u không gian Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 42 mªtric nãn suy réng (X, d) Hausdorff, nên hai dÃy hội tụ điểm u nhất, nghĩa lim d(xn+q , u) = lim d(xn+q−1 , u) = n→∞ n→∞ V× thÕ ta cã lim d(T n u, u) = n Lại (2.18) (X, d) không gian Hausdorff nªn tõ (2.18) ta cã lim d(T n+2 u, u) = n Mặt khác, (2.19) T điểm tuần hoàn nên ta có T s u 6= T r u, víi bÊt kú s, r N mà s 6= r (2.20) Vì sử dụng (2.20) bất đẳng thức hình chữ nhật ta ®­ỵc d(T n+1 u, T u) − d(u, T u) ≤ d(T n+1 u, T n+2 u) + d(T n+2 u, u) Vì P nón chuẩn tắc, từ bất đẳng thức ta có kd(T n+1 u, T u) − d(u, T u)k ≤ K.[kd(T n+1 u, T n+2 u)k + kd(T n+2 u, u)k] Cho n → ∞ bất đẳng thức sử dụng (2.19) (2.7) ta lim d(T n+1 u, T u) = d(u, T u) (2.21) lim d(T n u, T u) = d(u, T u) (2.22) n→∞ T­¬ng tù, ta cã n Bây từ (2.5), nhờ Bổ đề 2.2.1 ta cã d(T n+1 u, T u) ≤ Cho 
1 d(T n u, T u) + d(u, T u) − ϕ d(T n u, T u), d(u, T u) (2.23) n → ∞ (2.23) vµ sư dông (2.21), (2.22) ta cã
d(u, T u) ≤ d(u, T u) − ϕ d(T u, u), d(u, T u) Từ bất đẳng thức cuối ta suy chÊt cđa hµm
ϕ d(T u, u), d(u, T u) = Nhê tÝnh ϕ ta cã d(u, T u) = 0, nghÜa lµ T u = u Do u điểm tuần Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 43 hoàn T , mâu thuẫn Vì vậy, từ mâu thuẩn ta suy T có điểm tuần hoàn, nghĩa tồn t¹i u ∈ X cho u = Tp u với số p Bước Ta chøng minh r»ng T cã mét ®iĨm bÊt ®éng ThËt vËy, nÕu p = th× u = T u, u điểm bất động Bây gi¶ sư p > 1, ta sÏ chøng minh r»ng a = T p1 u điểm bất T Giả sử ngược lại T p1 u 6= T p u Khi ®ã ta cã d(T p−1 u, T p u) 6=
vµ nh­ vËy ϕ d(T p−1 u, T p u), d(T p−1 u, T p u) 6= Bây sử dụng bất đẳng thøc ®éng cđa (2.5) ta cã
d(u, T u) = d(T p u, T p+1 u) = d T (T p−1 u), T (T p u)  
≤ 21 d(T p−1 u, T p u) + d(T p u, T (T p u) − ϕ d(T p−1 u, T p u), d(T p u, T p u) (2.24) Suy 
1 d(T p−1 u, T p u)+d(T p u, T (T p u) −ϕ d(T p−1 u, T p u), d(T p u, T p u) −d(u, T u) = v ∈ P
V× ϕ d(T p−1 u, T p u), d(T p u, T p u) ∈ P , nªn tõ ®Þnh nghÜa nãn ta suy 
1 d(T p−1 u, T p u)+d(T p u, T (T p u) −d(u, T u) = ϕ d(T p−1 u, T p u), d(T p u, T p u) +v ∈ P
Do đó, từ (2.24) d(T p−1 u, T p u), d(T p u, T p u) 6= ta cã d(u, T u) <  1 d(T p−1 u, T p u) + d(u, T u) , nghÜa lµ d(u, T u) < d(T p1 u, T p u) (2.25) Lại nhờ điều kiện (2.5) ta cã
d(T p−1 u, T p u) = d T (T p−2 u), T (T p−1 u)

≤ d(T p−2 u, T p−1 u) + d(T p−1 u, T p u) − ϕ d(T p−2 u, T p−1 u), d(T p−1 u, T p u) Lập luận tương tự trên, từ bất đẳng thức ta suy d(T p1 u, T p u) ≤ d(T p−2 u, T p−1 u) Tiếp tục trình (2.25) (2.26) ta thu d(u, T u) < d(T p1 u, T p u) ≤ d(T p−2 u, T p−1 u) ≤ ≤ d(u, T u) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn (2.26) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 44 Ta gặp phải mâu thuẫn Vậy a = T p1 u điểm bất động cđa T B­íc Ta chøng minh r»ng ®iĨm bất động T Thật vậy, giả sử có hai điểm T b = b T c = c Khi ®ã nhê ®iỊu kiƯn (2.5) ta cã d(b, c) = d(T b, T c) ≤ Vì b, c X điểm bất động cña T , nghÜa  1 d(b, b) + d(c, c) − ϕ(d(b, b), d(c, c)) = P nón chuẩn tắc ta có kd(b, c)k K.0 Suy d(b, c) = Do ®ã b = c Vậy định lý đà chứng minh  Từ định lý ta thu kết sau 2.2.3 Hệ Cho (X, d) không gian mêtric nón suy rộng đầy đủ Hausdorff, P nón chuẩn tắc không gian Banach E với số chuẩn tắc K E tập tốt theo quan hệ thứ tự phận "" xác định P (nghĩa hai phần tử E so sánh theo quan hệ "" tập khác rỗng E mà bị chặn có cận đúng) Giả sử T : X X ánh xạ cho tồn k [0, 1) thỏa mÃn điều kiƯn ta cã k ∈ [0, 1) vµ d(T x, T y) ≤
k d(x, T x) + d(y, T y) víi mäi x, y ∈ X (2.27) Khi ®ã T cã mét ®iĨm bÊt ®éng nhÊt Chứng minh Lấy hàm : P ìP P cho bëi c«ng thøc ϕ(u, v) = 1−k (u+ v) víi mäi u, v ∈ P Khi ®ã nhê ®iỊu kiƯn co (2.28) ta suy r»ng T thỏa mÃn điều kiện co (2.5) với hàm Vì vậy, áp dụng Định lý 2.2.2 ta suy T có điểm bất động 2.2.4 Hệ  Cho (X, d) không gian mêtric nón suy rộng đầy đủ Hausdorff, P nón chuẩn tắc không gian Banach E với số chuẩn tắc K E tập tốt theo quan hệ thứ tự phận "" xác định P (nghĩa hai phần tử E so sánh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 45 theo quan hệ "" tập khác rỗng E mà bị chặn có cận đúng) Giả sử T : X X ánh xạ thỏa mÃn điều kiện ta có k ∈ [0, 1) vµ d(T x, T y) ≤ 1 
 1 d(x, T x) + d(y, T y) − ψ d(x, T x) + d(y, T y) víi mäi x, y ∈ X, 2 (2.28) : P P hàm liên tục (0) = {0} Khi T có điểm bất động Chứng minh Lấy hàm : P ì P P cho công thøc ϕ(u, v) = ψ 1 u+v
 víi u, v P Khi đó, tất điều kiện Định lý 2.2.2 thỏa mÃn Do ®ã, ®iÓm bÊt ®éng nhÊt Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn T cã mét  C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 46 KÕt luËn Sau thời gian nghiên cứu tham khảo nhiều tài liệu khác nhau, đề tài: Điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric suy rộng không gian mêtric nón suy rộng, hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân, đà thu số kết sau HƯ thèng c¸c kh¸i niƯm, c¸c tÝnh chÊt ví dụ minh họa không gian mêtric, không gian mêtric suy rộng, điểm bất động, điều kiện co, ánh xạ co, ánh xạ co suy rộng, ánh xạ kiểu -co, nón, nón chuẩn tắc, không gian mêtric nón, không gian mêtric nón suy rộng, ánh xạ co địa phương, ánh xạ (c, )-co địa phương đều, không gian mêtric nón suy rộng c-khả xic, không gian mêtric nón suy rộng T -quỹ đạo đầy đủ, Chứng minh chi tiết tính chất định lý chẳng hạn Định lý 1.2.3, Định lý 1.2.4, Định lý 1.2.5, Định lý 1.2.7, Định lý 1.2.11 Đưa chứng minh kết điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric nón suy rộng Định lý 2.1.18, Định lý 2.2.2, Hệ 2.2.3 Hệ 2.2.4 Giíi thiƯu chi tiÕt VÝ dơ 1.2.8, VÝ dơ 2.1.8, VÝ dô 2.1.19 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 47 tài liệu tham khảo [1] Đỗ Văn Lưu (1998), Tôpô đại cương, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [2] A Azam, M Arshad (2008), Kanan fixed point theorem on generalized metric spaces, J Nonlinear Sci Appl., (1), 45-48 [3] C Di Bari and P Vetro (2012), Common fixed points in generalized metric spaces, Appl Math Comput., 218, 7322-7325 [4] V.Berinde (2008), General constructive fixed point theorems for Ciric- type almost contractions in metric spaces, Carpathian J Math., 24 (2), 10-19 [5] A Branciari (2000), A fixed point theorem of Banach-Caccippoli type on a classs of generalized metric spaces, Publ Math Debrecen, 57 (12), 31-37 [6] P N Dutta, B S Choudhury (2008), A generalization of contraction principle in metric spaces, Fixed Point Theory Appl., 2008, pages, ID 406368 [7] A Forra, A Bellour, A Al-Bsoul (2009), Some results in fixed point theory concerning generalized metric spaces, Math Vesnik, 61 (3), 203208 [8] H Long-Guang, Z Xian (2007), Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, J Math Anal Appl., 332, 1468 1476 [9] M Jleli, B Samet (2009), The Kannan's fixed point theorem in a cone rectangular metric spaces, J Nonlinear Sci Appl., (2), 161-167 [10] D Mihet (2009), Kanan fixed point theorem on generalized metric spaces, J Nonlinear Sci Appl., (2), 92-96 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn