Điểm bất động và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THẾ ANH ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TỐN TỬ HỒN TỒN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THẾ ANH ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TỐN TỬ HỒN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cúu cna tơi Các ket qua nêu lu¾n án hoàn toàn trung thnc chưa tùng đưoc cơng bo bat cú m®t cơng trình khác NCS Pham The Anh Mnc lnc Lài cam đoan Mnc lnc Danh mnc ký hi¾u chE viet tat Ma đau Kien thÉc chuan b% tong quan 1.1 Các khái ni¾m ban 1.2 Điem bat đ®ng cna tốn tu ngau nhiên 13 1.3 Điem trùng cna toán tu ngau nhiên 18 Điem bat đ®ng điem trùng cua tốn tE hồn tồn ngau nhiên 21 2.1 Tốn tu hoàn toàn ngau nhiên 21 2.2 Điem bat đ®ng cna tốn tu hồn tồn ngau nhiên 27 2.3 Điem trùng cna tốn tu hồn tồn ngau nhiên .47 Úng dnng vào phương trình tốn tE hồn tồn ngau nhiên 60 3.1 Úng dung cna đ%nh lý điem trùng 60 3.2 Úng dung cna đ%nh lý điem bat đ®ng .66 Ket lu¾n kien ngh% 73 Các ket qua cna lu¾n án 73 Hưóng nghiên cúu tiep theo .73 Danh mnc cơng trình khoa HQC CUA tác gia liên quan đen lu¾n án 74 Tài li¾u tham khao 75 DANH MUC CÁC KÝ HIfiU VÀ CHU VIET TAT N R T¾p hop so tn nhiên T¾p hop so thnc R+ C[a; b] T¾p hop so thnc dương Không gian hàm so liên tuc [a; b] L(X) LX(Ω) Không gian tốn tu tuyen tính liên tuc tù X vào X Không gian bien ngau nhiên X-giá tr% LXp(Ω) Không gian bien ngau nhiên X-giá tr% kha tích cap p A, F σ-đai so B(X) σ-đai so Borel cna X F σ-đai so tích cna σ-đai so A F 2X C(X) HQ t¾p hop khác rong cna X HQ t¾p hop đóng khác rong cna X H(A, B) Khoang cách Hausdorff giua hai t¾p hop đóng A, B Graph(T) Đo th% cna tốn tu ngau nhiên T P Đ® đo xác suat p-lim Giói han cna sn h®i tu theo xác suat h.c.c Hau chac chan [x] Phan nguyên cna so thnc x ǁ.ǁ Chuan Me ĐAU Trong toán HQ c, điem bat đ®ng (đơi cịn đưoc GQI điem co đ%nh, hay điem bat bien) cna m®t ánh xa, điem mà ánh xa bien điem thành Tù nhung năm đau the ki 20, nguyên lý điem bat đ®ng lan lưot địi đáng nói đen nhat là: ngun lý điem bat đ®ng Brouwer (1912), nguyên lý ánh xa co Banach [7] (1922) đ%nh lý điem bat đ®ng Schauder [51] (1930) Các ket qua đưoc mo r®ng đoi vói lóp ánh xa khác nhau, không gian khác đưoc úng dung nhieu lĩnh vnc cna tốn HQ c Ta có the thay úng dung cna cỏc nguyờn lý iem bat đng viắc giai quyet van đe ton tai lịi giai cna phương trình (tốn tu, vi phân, tích phân, ), tốn xap xi nghi¾m, Tiep theo ket qua trưịng hop khơng ngau nhiên, rat nhieu ket qua ve tốn điem bat đ®ng ngau nhiên đưoc nghiên cúu Vào giua th¾p niên 1950, O Hans A Spacek o trưòng Đai HQ c Tőng hop Prague khoi xưóng nhung nghiên cúu đau tiên ve điem bat đ®ng cna tốn tu ngau nhiên van đe liên quan (xem [28, 53]) Các tác gia đưa đieu ki¾n đn ban đau đe tốn tu ngau nhiên có điem bat đ®ng ngau nhiên Sau cơng trình cna O Hans A Spacek, m®t so dang tương tn cna đ%nh lý điem bat đ®ng tat đ%nh női tieng khác cho trưòng hop ngau nhiên đưoc chúng minh Cùng vói vi¾c nghiên cúu van đe ve điem bat đ®ng ngau nhiên, van đe ve phương trình tốn tu ngau nhiên đưoc quan tâm đen Các nghiên cúu ve phương trình tốn tu ngau nhiên sn mo r®ng, ngau nhiên hóa lý thuyet phương trình tốn tu tat đ%nh Tuy nhiên, phan lón ket qua đat đưoc cna lý thuyet phương trình tốn tu ngau nhiên t¾p trung vo viắc a ve bi toỏn iem bat đng ngau nhiên đe chi sn ton tai nhat nghi¾m ngau nhiên Lý thuyet phương trình tốn tu ngau nhiên điem bat đ®ng ngau nhiên thnc sn đưoc quan tâm nghiên cúu sau sn đòi cuon sách Random integral equations (1972) báo tőng ket Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976) cna A T Bharucha-Reid (xem [15, 16]) Trong báo cna mình, A T Bharucha-Reid chúng minh đ%nh lý điem bat đ®ng cho ánh xa co ngau nhiên, dang ngau nhiên cna nguyên lý ánh xa co Banach đ%nh lý điem bat đ®ng Schauder dang ngau nhiên Tù đó, nhieu tỏc gia ó thnh cụng viắc mo rđng ket qua ve điem bat đ®ng ngau nhiên có ho¾c chúng minh dang ngau nhiên cna đ%nh lý điem bat đ®ng cho tốn tu tat đ%nh (xem [11, 21, 32, 37, 60]) Vào nhung năm 1990, m®t so tác gia H K Xu, K K Tan, X Z Yuan, chúng minh đ%nh lý điem bat đ®ng ngau nhiên tőng qt, tỏc gia chi rang vúi mđt so ieu kiắn nhat đ%nh, neu quy đao cna toán tu ngau nhiên có điem bat đ®ng tat đ%nh tốn tu ngau nhiên có điem bat đ®ng ngau nhiên (xem [14, 54, 60]) Gan đây, m®t so tác gia N Shahzad, D O’Regan, R P Agarwal đưa m®t so đ%nh lý điem bat đ®ng ngau nhiên tőng quát mo r®ng ket qua cna tác gia trưóc so dang ngau nhiên cna nhieu đ%nh lý điem bat đ®ng cho tốn tu tat đ%nh đưoc chúng minh (xem [47, 50]) Đ¾c bi¾t, báo [57] tác gia D H Thang T N Anh chúng minh ket qua tőng quát ve sn tương đương ton tai nghi¾m cna phương trình tat đ%nh vói phương trình ngau nhiên, sn ton tai điem bat đ®ng cna tốn tu tat đ%nh toán tu ngau nhiên Tiep theo toán điem bat đ®ng ngau nhiên, tốn điem bat đ®ng ngau nhiên chung cna nhieu toán tu ngau nhiên đưoc nghiên cúu m®t cách ky lưõng Tuy nhiên, đieu kiắn e nhieu toỏn tu cú iem bat đng chung thưịng phúc tap, tốn điem trùng ngau nhiên đưoc quan tâm nghiên cúu Bài toán điem trùng ngau nhiên đưoc nghiên cúu nhieu đoi vói tốn tu đa tr%, giua c¾p tốn tu đơn tr% toán tu đa tr% (xem [17, 20, 22, 25, 33, 34, 36, 41, 42, 45, 46, 47, 48, 49, 52]) M®t cách tőng qt, có the xem tốn tu ngau nhiên m®t ánh xa bien moi phan tu cna khơng gian metric thành m®t bien ngau nhiên Bên canh đó, ta coi moi phan tu cna khơng gian metric m®t bien ngau nhiên suy bien nh¾n giá tr% phan tu vói xác suat Vói cách quan ni¾m v¾y, ta có the đong nhat khơng gian metric X t¾p (gom bien ngau nhiên suy bien) cna không gian LX(Ω) bien ngau nhiên X-giá tr% Tù đó, vói moi tốn tu ngau nhiên liên tuc f tù X vào Y ta xây dnng đưoc m®t ánh xa Φ tù LX(Ω) vào LY (Ω) mà han che cna 0 Φ X trùng vói f Ngồi moi liên h¾ giua sn ton tai điem bat đ®ng ngau nhiên cna f Φ đưoc thiet lắp Vúi muc ớch mo rđng mien xỏc %nh cna toán tu ngau nhiên, [1, 5, 58] tác gia đưa khái ni¾m tốn tu hồn tồn ngau nhiên, ánh xa bien moi bien ngau nhiên nh¾n giá tr% khơng gian metric thành bien ngau nhiên nh¾n giá tr% khơng gian metric Su dung tính tốn thuan túy xác suat, tác gia chúng minh đưoc m®t so ket qua ban đau tương tn cna O Hadzic E Pap ve điem bat đ®ng cna tốn tu hồn tồn ngau nhiờn Nđi dung cna luắn ỏn bao gom đ%nh lý ve sn thác trien toán tu ngau nhiên thành tốn tu hồn tồn ngau nhiên, so đe xét đen p > có nghi¾m chs ton tai bien ngau nhiên u0 ∈ LX(Ω) cho EǁΦu0 − Ψu0ǁp < +∞ (3.28) Chúng minh Neu (3.27) có nghi¾m ξ (3.28) vói u0 = ξ p > bat kỳ Ngưoc lai, gia su rang (3.28) Tù (b) ton tai bien ngau nhiên X-giá tr%ngau u1 cho2, Ψu phương pháp ton tai dãy bien nhiên X-giá tr% (u0.n)Bang cho Ψundãy = Φu ndãy ≥ Cauchy Đ¾t n−1 ξtheo Ψu 1, ,1 = ta Φu chúng minh rang (ξquy là, nap, n = n, n = n) xác suat Đ¾t g(t) = − f (t) , t > t Ta có f (t) = (1 − g(t)) t g(t) ∈ (0; 1), ∀t > Vói bat kỳ u, v ∈ LX(Ω) P (ǁΦu − Φvǁ > t) ™ P (ǁΨu − Ψvǁ − f (ǁΨu − Ψvǁ) > t) M®t cách tương đương ta nh¾n đưoc P (ǁΦu − Φvǁ > t) ™ P (g (ǁΨu − Ψvǁ) ǁΨu − Ψvǁ > t) (3.29) Co đ%nh t > 0, vói moi s ≥ t g(s) = − f (s) ™ − h(t) = q(t) s Vì g(t) < ta nh¾n đưoc {g(ǁΨu − Ψvǁ)ǁΨu − Ψvǁ > t} ⊂ {ǁΨu − Ψvǁ > t} Vì v¾y P (ǁΦu − Φvǁ > t) ≤ P (g(ǁΨu − Ψvǁ)ǁΨu − Ψvǁ > t) = P (g(ǁΨu − Ψvǁ)ǁΨu − Ψvǁ > t, ǁΨu − Ψvǁ > t) ™ P (q(t)ǁΨu − Ψvǁ > t, ǁΨu − Ψvǁ > t) ™ P (q(t)ǁΨu − Ψvǁ > t) = P (ǁΨu − Ψvǁ > t/q(t)) Chú ý rang q(t) < h(t) > nên ta nh¾n đưoc P (ǁξn+1 − ξnǁ > t) = P (ǁΦun − Φun−1ǁ > t) ™ P (ǁΨun − Ψvn−1ǁ > t/q(t)) = P (ǁξn − ξn−1ǁ) > t/q(t)) ™ P (ǁξ n− − ξn−2 ǁ) > t/q(t) q(t/q(t)) ) ™ P (ǁξn−1 − ξn−2ǁ) > t/q2(t)) q(t/q(t)) < q(t) Bang lý lu¾n tương tn chúng minh cna Đ%nh lý 2.2.9, ta suy dãy (ξn) dãy Cauchy theo xác suat Vì v¾y ton tai ξ ∈ LX(Ω) cho p-lim ξn = ξ Tù gia thiet (a), ton tai u∗ ∈ LX(Ω) ∗ = ξ Do cho Ψu P (ǁΨun+1 − Φu∗ǁ > t) = P (ǁΦun − Φu∗ǁ > t) ™ P (ǁΨun − Ψu∗ǁ − f (ǁΨun − Ψu∗ ǁ) > t) ™ P (ǁξn − ξǁ > t) Cho n → ∞ ta nh¾n đưoc P (ǁξ − Φu∗ǁ > t) = 0, đieu suy Φu∗ = ξ h.c.c Vì v¾y u∗ nghi¾m cna phương trình ngau nhiên (3.27) Nh¾n xét 3.2.5 Ví du sau chi rang phương trình ngau nhiên (3.27) khơng nhat thiet có nhat nghi¾m Ví dn 3.2.6 Xét hai tốn tu hồn tồn ngau nhiên Φ, Ψ : LR(Ω) → LR(Ω) xác đ%nh boi 0 Φu = k|u| + η, Ψu = |u| vói η bien ngau nhiên dương, k ∈ (0; 1) De dàng kiem tra đưoc rang Φ, Ψ thoa mãn gia thiet cna Đ%nh lý 3.2.4 vói f (t) = kJt, kJ ∈ (0; − k) phương trình (3.27) có hai nghi¾m 1 ξ1 = η, ξ2 = − η k k − − Ket lu¾n: Trong chương này, xét đen úng dung cna đ%nh lý điem bat đ®ng điem trùng cna tốn tu hồn tồn ngau nhiên Chúng tơi chi tù đ%nh lý ve điem bat đ®ng điem trùng nhau, có the chúng minh sn ton tai nghiắm cna mđt so dang phng trỡnh toỏn tu hồn tồn ngau nhiên Bên canh đó, dna ket qua ve điem trùng cna toán tu hồn tồn ngau nhiên, ta có the nh¾n lai đưoc cỏc ket qua ve iem bat đng KET LUắN VÀ KIEN NGH± Các ket qua cua lu¾n án • Chúng minh đ%nh lý thác trien tốn tu ngau nhiên thành tốn tu hồn tồn ngau nhiên, đưa tiêu chuan ve sn liên tuc theo xác suat cna tốn tu hồn tồn ngau nhiên • Chúng minh đ%nh lý ve đieu ki¾n đn, đieu ki¾n can đn đe ton tai điem bat đ®ng ngau nhiên, điem trùng ngau nhiên cna dang toán tu hồn tồn ngau nhiên • Chi đieu ki¾n đn ve sn ton tai nghi¾m ngau nhiên cna phương trình tốn tu hồn tồn ngau nhiên Hưáng nghiên cÉu tiep theo • Nghiên cúu tốn thác trien tốn tu ngau nhiên thành tốn tu hồn tồn ngau nhiên, xét đen trưịng hop tốn tu hồn ton ngau nhiờn tự mđt no ú cna khơng gian bien ngau nhiên X-giá tr% vào • Do khơng the xét tùng quy đao mau đưoc nên phai tìm phương pháp khác đe chi sn ton tai điem bat đ®ng ngau nhiên, điem trùng ngau nhiên ngồi phương pháp l¾p cú ã a cỏc ieu kiắn múi am bao m®t tốn tu hồn tồn ngau nhiên có điem bat đng ngau nhiờn, cỏc ieu kiắn am bao sn ton tai điem trùng ngau nhiên cna toán tu hồn tồn ngau nhiên, đieu ki¾n đe phương trình tốn tu hồn tồn ngau nhiên có nghi¾m ngau nhiên DANH MUC CƠNG TRÌNH KHOA HOC CUA TÁC GIA LIÊN QUAN ĐEN LU¾N ÁN [1] Dang Hung Thang, Pham The Anh (2013), "Random fixed points of completely random operators", Random Oper Stoch Equ 21 (1), pp 1– 20 [2] Dang Hung Thang, Pham The Anh (2014), "Some results on random fixed points of completely random operators", Vietnam J Math 42, pp 133–140 [3] Dang Hung Thang, Pham The Anh (2014), "Some results on random coincidence points of completely random operators", Acta Mathematica Vietnamica 39, pp 163–184 Tài li¾u tham khao Tieng Viắt [1] Ta NGQc nh (2012), Mđt so van đe ve phương trình tốn tu ngau nhiên, Lu¾n án Tien sĩ, ĐHKHTN, ĐHQGHN [2] Đ¾ng Hùng Thang (2006), Q trình ngau nhiên tính tốn ngau nhiên, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [3] Nguyen Duy Tien, Vũ Vi¾t Yên (2000), Lý thuyet xác suat, Nhà xuat ban Giáo duc Tieng Anh [4] Abbas M (2005), Solution of random operator equations and inclusions, Ph.D thesis, National College of Business Administration and Economics, Parkistan [5] Anh T N (2010), Random fixed points of probabilistic contractions and applications to random equations, Vietnam J Math 38, pp 227235 [6] Aubin J P., Frankowska Birkhăauser Boston H (1990), Set-valued analysis, [7] Banach S., (1922) Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations itegrales, Fundamenta Mathematicae 3, pp 133–181 [8] Beg I., Azam A (1992), Fixed points of asymptotically regular multivalued mappings, Austral Math Soc (Ser A) 53, pp 313– 326 [9] Beg I., Shahzad N (1993), Random fixed points of random multivalued operators on Polish spaces, Nonlinear Anal 20(7), pp 835–847 [10] Beg I., Shahzad N (1993), Random fixed points and approximations in random convex metric spaces, J Appl Math Stochastic Anal 6(3), pp 237-246 [11] Beg I., Shahzad N (1994), Random fixed point theorems for nonexpansive and contractive-type random operators on Banach spaces, J Appl Math Stoc Anal 7(4), pp 569–580 [12] Beg I., Abbas M (2006), Iterative procedures for solutions of random operator equations in Banach spaces, J Math Anal Appl 315 (1), pp 181–201 [13] Beg I., Abbas M (2008), Random fixed points of asymptotically nonexpansive random operators on unbounded domains, Math Slovaca 58 (6), pp 755–762 [14] Benavides T D., Acedo G L., Xu H K (1996), Random fixed points of set-valued operators, Proc Amer Math Soc 124 (3), pp 831–838 [15] Bharucha-Reid A T (1972), Random integral equations, Academic Press, New York [16] Bharucha-Reid A T (1976), Fixed point theorems in probabilistic analysis, Bull Amer Math Soc 82(5), pp 641–657 [17] Chandra M., Mishra S N., Singh S L., Rhoades B E (1995), Co- incidence and fixed points of nonexpansive type multi-valued and single-valued maps, Indian J Pure Appl Math 26 (5), pp 393–401 [18] Choudhury B S (1995), Convergence of a random iteration scheme to a random fixed point, J Appl Math Stochastic Anal (2), pp 139–142 [19] Choudhury B S (2003), Random Mann iteration scheme, J Appl Math Stochastic Anal 16 (1), pp 93–96 [20] Chouhury B.S., Metiya N (2010), The point of coincidence and com- mon fixed point for a pair mappings in cone metric spaces, Comput Math Appl., 60, pp 1686-1695 [21] Ciric L B (1993), On some nonexpansive type mappings and fixed points, Indian J Pure Appl Math 24 (3), pp 145–149 [22] Ciric L B., Ume J S., Jesic S N (2006), On random coincidence and fixed points for a pair of multivalued and single-valued mappings, J Inequal Appl (Hindawi Publ Corp.) Article ID 81045, 2006, pp 1– 12 [23] Deimling K (1985), Nonlinear functional analysis, Springer-Verlag, Berlin [24] Engl H W (1978), Some random fixed point theorems for strict contractions and nonexpansive mappings, Nonlinear Anal (5), pp 619–626 [25] Fierro R., Martínez C., Morales C H (2011), Random coincidence theorems and applications, J Math Anal Appl.378(1), pp 213-219 [26] Hadzic O., Pap E (2001), Fixed point theory in probabilistic metric spaces, Kluwer Academic Publishers [27] Hadzic O., Pap E., Budincevic M (2005), A generalization of Tardiff’s fixed point theorem in probabilistic metric spaces and applications to random equations, Fuzzy Sets and Systems 156, pp 124–134 [28] Hans O (1957), Random fixed point theorems, Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Function, and Random process (Liblice, 1956), Czechoslovak Acad Sci., Prague, pp 105–125 [29] Himmelberg C J (1975), Measurable relations, Fund Math 87, pp 53–72 [30] Itoh S (1977), A random fixed point theorem for a multivalued con- traction mapping, Pacific J Math 68(1), pp 85–90 [31] Itoh S (1979), Random fixed-point theorems with an application to random differential equations in Banach spacess, J Math Anal Appl 67(2), pp 261–273 [32] Joshi M (1980), Nonlinear random equations with P -compact operators in Banach spaces, Indian J Pure Appl Math 11 (6), pp 791–799 [33] Khan A R., Hussain N (2004), Random coincidence point theorem in Frechet spaces with applications, Stoch Anal Appl 22 (1), pp 155–167 [34] Khan A R., Akbar F., Sultana N., Hussain N (2006), Coin- cidence and invariant approximation theorems for generalized f nonexpansive multivalued mappings, Internat J Math Math Sci., Hindawi Publ Corp., Article ID17637, 2006, pp 1–18 [35] Khan A R., Domlo A A., Hussain N (2007), Coincidences of Lipschitz-type hybrid maps and invariant approximation, Numer Funct Anal Optim 28 (9-10), pp 1165–1177 [36] Latif A., Al-Mezel S A (2008), Coincidence and fixed point results for non-commuting maps, Tamkang J Math 39 (2), pp 105–110 [37] Lin T C (1988), Random approximations and random fixed point theorems for non-self-maps, Proc Amer Math Soc 103 (4), pp 1129–1135 [38] Mann W R (1953), Mean value methods in iteration, Proc Amer Math Soc 4, pp 506–510 [39] Matkowski J (1977), Fixed point theorems for mappings with a contractive iterate at a point, Proc Amer Math Soc 62 (3), pp 344–348 [40] Mustafa G (2003), Some random coincidence point theorems, J Math Res Exposition 23(3), pp 413–421 [41] Mustafa G., Noshi N A., Rashid A (2005), Some random coincidence and random fixed point theorems for hybrid contractions, Lobachevskii J Math 18, pp 139–149 [42] Nashine H K (2010), Random coincidence points, invariant approximation theorems, nonstarshaped domain and q-normed spaces, Ran- dom Oper Stoch Equ 18, pp 165–183 [43] Saha M., Anamika G (2012), Random fixed point theorem on a C ´ iri´c- type contractive mapping and its consequence, Fixed Point Theory Appl 2012:209 [44] Shahzad N (1995), Random fixed points and approximations, Ph.D thesis, Quaid-I-Azam University, Islamabad Parkistan [45] Shahzad N., Latif A (2000), A random coincidence point theorem, J Math Anal Appl 245, pp 633–638 [46] Shahzad N (2000), Random approximations and random coincidence points of multivalued random maps with stochastic domain, New Zealand J Math.,29(1), pp 91–96 [47] Shahzad N (2004), Some general random coincidence point theorems, New Zealand J Math 33(1), pp 95–103 [48] Shahzad N (2005), On random coincidence point theorems, Topol Methods Nonlinear Anal.,25(2), pp 391-400 [49] Shahzad N., Hussain N (2006), Deterministic and random coincidence point results for f-nonexpansive maps, J Math Anal Appl., 323, pp 1038–1046 [50] Shahzad N (2008), Random fixed point results for continuous pseudo-contractive random maps, Indian J Math 50 (2), pp 263 271 [51] Schauder J.(1930), Der Fixpunktsatz in Funktionalrăaumen, Studia Math., 2, pp 171–180 [52] Singh S L., Ha K S., Cho Y J (1989), Coincidence and Fixed points of nonlinear hybrid contractions, Internat J Math Math Sci 12 (2), pp 247–256 [53] Spacek A (1955), Zufallige Gleichungen (Random equations), Czechoslovak Math J (4), pp 462–466 [54] Tan K K., and Yuan X Z (1993), On deterministic and random fixed points, Proc Amer Math Soc 119(3), pp 849–856 [55] Thang D H., Thinh N (2004), Random bounded operators and their extension, Kyushu J Math 58, pp 257–276 [56] Thang D H., Cuong T M (2009), Some procedures for extending random operators, Random Oper Stoch Equ 17(4), pp 359–380 [57] Thang D H., Anh T N (2010), On random equations and applications to random fixed point theorems, Random Oper Stoch Equ 18(3), pp 199–212 [58] Thang D H., Anh T N (2010), Some results on random equations, Vietnam J Math 38 (1), pp 35–44 [59] Tsokos C P., Padgett W J (1971), Random integral equations with applications to stochastic sytems Lecture Notes in Mathematics, Vol 233, Springer-Verlag, Berlin-New York [60] Xu H K (1990), Some random fixed point theorems for condensing and nonexpansive operators, Proc Amer Math Soc 110 (2), pp 395–400 [61] Xu H K (1993), A random fixed point theorem for multivalued nonexpansive operators in uniformly convex Banach spaces, Proc Amer Math Soc 117 (4), pp 1089–1092 [62] Xu H K., Beg I (1998), Measurability of fixed point sets of multivalued random operators, J Math Anal Appl 225 (1), pp 62–72 ... HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THẾ ANH ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TỐN TỬ HỒN TỒN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN... GQI toán tu ngau nhiên tù X vào Y neu vói moi phan tu x ∈ X ánh xa ω ›→ f (ω, x) m®t bien ngau nhiên Y -giá tr% Toán tu ngau nhiên tù X vào X đưoc GQI R đưoc toán tu ngau nhiên X Toán tu ngau nhiên. .. TRQNG ve điem trùng cna toán tu ngau nhiên Đ%nh nghĩa 1.3.1 Cho T1, T2, , Tn : Ω × X → X toán tu ngau nhiên Bien ngau nhiên ξ : Ω → X GQI điem trùng (ngau nhiên) cna toán tu ngau nhiên T1, T2,