Luận văn thạc sĩ về điểm bất động của ánh xạ có tính lipschitz

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - VŨ TH± THƠM VE ĐIEM BAT Đ®NG CUA ÁNH XA CĨ TÍNH LIPSCHITZ Chun ngành: GIAI TÍCH Mã so: 60.46.01.02 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Hà N®i – Năm 2015 Mnc lnc Me ĐAU Kien thÉc chuan b% điem bat đ®ng cua ánh xa có tính Lipschitz 1.1 Kien thúc chuan b% .4 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Phép chieu metric 1.2 Điem bat đ®ng cna ánh xa co 1.3 Điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn 14 1.4 Điem bat đ®ng cna ánh xa gia co, gia co manh 19 Các phương pháp l¾p tìm điem bat đng 23 2.1 Mđt so phng phỏp lắp tỡm iem bat đng 23 2.2 Phng phỏp lắp tìm điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn 24 2.3 Phng phỏp lắp tỡm iem bat đng cna ỏnh xa gia co 30 Áp dnng giai bat thÉc bien phân 34 3.1 Bài toán bat thúc bien phân 34 3.1.1 Phát bieu toán 34 3.1.2 Sn ton tai nghi¾m 35 3.2 Nguyên lý ánh xa co Banach giai bat thúc bien phân .37 Ket lu¾n 40 Tài li¾u tham khao 41 Me ĐAU M®t hưóng nghiên cúu quan TRQNG cna giai tích lý thuyet điem bat đ®ng Các đ%nh lý iem bat đng liờn quan en cỏc ieu kiắn ve sn ton tai cna m®t điem x∗ C cho T x∗ = x∗ vói T : C → C Điem x∗ v¾y GQI điem bat đ®ng cna ánh xa T M®t so đ%nh lý điem bat đng ni tieng ó xuat hiắn tự au the ky 20, phai ke đen đ%nh lý điem bat đ®ng Brouwer (1912) đ%nh lý ánh xa co Banach (1922) Các ket qua đưoc mo r®ng lóp ánh xa khơng gian khác nhau, đưoc úng dung r®ng rãi nhieu lĩnh vnc v oc hop lai dúi mđt cỏi tờn chung: Lý thuyet điem bat đ®ng Trong lý thuyet này, ngồi đ%nh lý ton tai, ngưòi ta quan tâm en cau trỳc cna hop cỏc iem bat đng, xap xi điem bat đ®ng úng dung cna chúng Muc đích cna lu¾n văn nham trình bày đ%nh lý ve ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa có tính Lipschitz, ve xap xi điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn, ánh xa gia co không gian metric, không gian Hilbert áp dung đ%nh lý ánh xa co Banach đe giai bat thúc bien phân đơn đi¾u manh Dưói sn hưóng dan cna GS TSKH Lê Dũng Mưu, tác gia hoàn thành luắn vúi e ti "Ve iem bat đng cua ánh xa có tính Lipschitz" Lu¾n văn đưoc chia làm ba chng: ã Chng 1: Mđt so kien thỳc chuan b% điem bat đ®ng cna ánh xa có tính Lipschitz ã Chng 2: Cỏc phng phỏp lắp tỡm iem bat đng ã Chng 3: p dung giai bat ang thúc bien phân Trong chương 1, chúng tơi trình bày m®t so kien thúc ban ve khơng gian metric, không gian Hilbert, phép chieu metric Các đ%nh nghĩa ve ánh Me xa co, ánh xa không giãn, ánh xa gia co, gia co manh Các đ%nh lý ve sn ĐAU ton tai điem bat Me ĐAU đ®ng cna ánh xa co mà TRQNG tâm đ%nh lý ánh xa co Banach, đ%nh lý ve sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn, ánh xa gia co, gia co manh không gian metric khơng gian Hilbert Trong chương 2, chúng tơi trình bày khái ni¾m ve dãy l¾p Mann, dãy l¾p Ishikawa, dãy l¾p Halpern Các phương pháp l¾p phương pháp l¾p Mann - Halpern, phương pháp lai ghép tìm điem bat đng cna ỏnh xa khụng gión, phng phỏp lắp Ishikawa tìm điem bat đ®ng cna ánh xa gia co khơng gian Hilbert Trong chương 3, chúng tơi trình bày toán bat thúc bien phân, đ %nh lý Brouwer ve sn ton tai nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân Áp dung đ%nh lý ánh xa co Banach đe giai toán bat thúc bien phân đơn đi¾u manh Qua lu¾n văn này, tơi xin bày to lòng biet ơn sâu sac đen GS.TSKH Lê Dũng Mưu ( Vi¾n Tốn HQc Vi¾t Nam), ngưịi Thay truyen cho tơi có niem say mê nghiên cúu tốn hQc Thay t¾n tình hưóng dan, giúp đõ tơi suot q trình nghiên cúu hồn thi¾n lu¾n văn Tơi xin chân thành cam ơn Ban Giám hi¾u, Phịng Đào tao Sau đai HQc, Khoa Tốn-Cơ-Tin trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên - Đai HQc Quoc Gia Hà N®i, q thay giang day lóp cao HQc khóa 2013 -2015 mang đen cho tơi nhieu kien thúc bő ích khoa HQc cu®c song Cuoi tơi xin gui lịi cam ơn tói gia đình, ban bè lóp cao HQc khóa 2013 -2015, lãnh đao đong nghi¾p trưịng Đai HQc S Pham Ky Thuắt Nam %nh ó đng viờn, giúp đõ tơi q trình HQc t¾p nghiên cúu M¾c dù có nhieu co gang, song thịi gian v trỡnh đ cũn han che nờn luắn khó tránh khoi nhung thieu sót Vì v¾y tơi rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna q thay ban ĐQc đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cam ơn! Hà N®i, ngày 25 tháng 08 năm 2015 Tác gia Vũ Th% Thơm Chương Kien thÉc chuan b% điem bat đ®ng cua ánh xa có tính Lipschitz Trong chương này, trưóc het chúng tơi giói thi¾u ve khơng gian metric, khơng gian Hilbert, phép chieu metric, nham trang b% nhung kien thúc can thiet cho vi¾c trình bày ve điem bat đ®ng cna ánh xa co, ánh xa khơng giãn, ánh xa gia co gia co manh Các kien thúc cna chương đưoc tham khao tài li¾u [1], [2], [7] [8] 1.1 1.1.1 Kien thÉc chuan b% Khơng gian metric Đ%nh nghĩa 1.1 M®t hàm d có giá tr% thnc đưoc xác đ%nh vói MQI c¾p phan tu x, y cna mđt hop X , đưoc GQI metric X neu thoa mãn cỏc ieu kiắn sau ( MQI x, y, z thuđc X ) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = chi x = y; d(x, y) = d(y, x); d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, x) ( bat thúc tam giác) M®t t¾p X vói metric xác đ%nh đưoc GQI m®t khơng gian metric d(x, y) đưoc gQI khoang cách giua x y Các phan tu cna không gian metric (X, d) đưoc GQi điem Đ%nh nghĩa 1.2 Gia su x1, x2, , xn, dãy điem không gian metric (X, d) Dãy {xn } đưoc GQi h®i tn đen điem x thu®c X neu: lim d(xn, x) = n→ ∞ Chương Kien thúc chuan b% điem bat đ®ng cua ánh xa có tính Lipschitz Ta kí hi¾u lim xn = x n→ ∞ Đ%nh nghĩa 1.3 Cho hai không gian metric (X, d) (Y, ρ) M®t ánh xa T tù X vào Y đưoc GQI liên tnc tai x0 ∈ X neu vói MQI ε > 0, ton tai δ > cho vói MQI x ∈ X mà d(x, x0 ) < δ kéo theo ρ(T x, T x0 ) < ε Ánh xa T đưoc GQI liên tnc neu liên tuc tai MQI điem x ∈ X Đ%nh nghĩa 1.4 Ta nói dãy {xn } dãy Cauchy hay dãy ban không gian metric X neu vói MQi ε > 0, ton tai nε cho d(xn , xm ) < ε vói MQI n, m ≥ nε Neu MQI dãy Cauchy X đeu h®i tu X đưoc GQI khơng gian metric đay đu Đ%nh nghĩa 1.5 Dãy hình cau {Bn } vói bán kính tương úng {rn } đưoc GQI that dan neu {Bn+1 } ⊆ {Bn }, vói MQI n ≥ limn→∞ r(n) = Nguyên lý Cantor Trong không gian metric đay đu MQI dãy hình cau đóng that dan đeu có m®t điem chung nhat Đ%nh nghĩa 1.6 Ánh xa T : (X, d) → (Y, ρ) cna không gian metric thoa mãn: ρ(T x, T z) ≤ M d(x, z) vói m®t hang so co đ%nh M MQI x, z thu®c X đưoc GQi ánh xa Lipschitz So nho nhat so M the đưoc GQI hang so Lipschitz cna ánh xa T kí hi¾u L(T ) 1.1.2 Khơng gian Hilbert Đ%nh nghĩa 1.7 Cho H khơng gian tuyen tính R M®t tích vơ hưóng H m®t ỏnh xa, kớ hiắu (., ) : H ì H → R thoa mãn đieu ki¾n sau: (x, x) > 0, ∀x ƒ= 0, (x, x) = ⇔ x = 0; (x, y) = (y, x) , ∀x, y ∈ H; (αx, y) = α (x, y) , ∀x, y ∈ H, α ∈ R; (x + y, x) = (x, z) + (y, z) , ∀x, y, z ∈ H Không gian tuyen tính H vói tích vơ hưóng (., ) đưoc GQI không gian tien Hilbert Đ%nh nghĩa 1.8 Không gian tien Hilbert đay đn đưoc GQI không gian Hilbert 1.1.3 Phép chieu metric Đ%nh nghĩa 1.9 Cho C khác rong y vectơ bat kỳ không thuđc C, dC (y) = inf ||x y||; x∈C Ta nói dC (y) khoang cách tù y đen C Neu ton tai π ∈ C cho dC (y) = ||π − y|| ta nói π hình chieu cna y C Ta ký hi¾u hình chieu cna y C PC (y) Thơng thưịng se ký hi¾u π = PC (y) ho¾c đơn gian P (y) neu khơng can nhan manh đen t¾p chieu C Chú ý rang, neu y ∈ C dC (y) = Neu ∅ dC (y) huu han ≤ dC (y) ≤ C ||y − x|| vói MQI x thu®c C Đ%nh nghĩa 1.10 Cho C t¾p con, khác rong cna không gian Hilbert H , ánh xa P : H → C Vói MQI x ∈ H , ton tai nhat phan tu P x ∈ C cho ||x − Px|| = d(x, C); Ánh xa P v¾y đưoc GQI phép chieu metric trờn C %nh ngha 1.11 Mđt C ⊆ H đưoc GQI nón neu ∀x ∈ C, ∀λ > ⇒ λx ∈ C; M®t nón đưoc GQI nón loi neu nón mđt loi %nh ngha 1.12 Cho x C, nón pháp tuyen ngồi cua C tai x, kí hi¾u NC (x), đưoc xác đ%nh boi công thúc NC (x) := {ω ∈ H/ (ω, y − x) ≤ 0, ∀y ∈ C} M¾nh đe 1.1 (xem [1], Chương 5, M¾nh đe 5.1) Cho C t¾p loi, đóng, khác rőng cua khơng gian Hilbert H PC phép chieu metric tù H lên C Khi nhung đieu ki¾n sau thóa mãn PC (x) = PC (PC (x)), vái ∀x ∈ H ; PC ánh xa đơn đi¾u manh, nghĩa (x − y, PC (x) − PC (y)) ≤ ||PC (x) − PC (y)||2, ∀x, y ∈ H; PC ánh xa không giãn, nghĩa ||PC (x) − PC (y)|| ≤ ||x − y||, ∀x, y ∈ H; PC ánh xa đơn đi¾u, nghĩa (PC (x) − PC (y), x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ H M¾nh đe 1.2 (xem [1], Chương 5, M¾nh đe 5.1).Cho C ⊂ H t¾p loi, đóng, khác rőng Khi vái MQI y ∈ H , hình chieu PC (y) cua y C ln ton tai nhat 1.2 Điem bat đ®ng cua ánh xa co Đ%nh nghĩa 1.13 Ánh xa T tù không gian metric (X, d) vào không gian metric (Y, ρ) đưoc GQI ánh xa co neu ton tai so k ∈ [0, 1) cho ρ(Tx, Ty) ≤ kd(x, y); vói MQI x, y thu®c X , (k hắ so co) %nh lý iem bat đng oc su dung r®ng rãi nhat đ%nh lý ánh xa co Banach (1922) Đ%nh lý chi sn ton tai nhat điem bat đ®ng cna ánh xa Đ%nh lý ánh xa co Banach (xem [2], Chương 1) Cho (X, d) không gian metric đay đu T : X → X ánh xa co vái hang so Lipschitz k ∈ (0, 1) Khi đó, ton tai nhat x∗ ∈ X mà T x∗ = x∗ Ngồi ra, vái MQI x0 ∈ X ta có T n x0 → x∗ n → ∞ ChÚng minh Lay x0 điem tùy ý X đ¾t xn+1 = Txn vói n ∈ N Ta có d(x1, x2) = d(Tx0, Tx1) ≤ kd(x0, x1); d(x2, x3) = d(Tx1, Tx2) ≤ k2d(x0, x1) Bang quy nap ta đưoc d(xn, xn+1) = d(Txn−1, Txn) ≤ kd(xn−1, xn) ≤ k 2d(xn−2, xn−1) ≤ ≤ k nd(x0, x1) Lay m > n ta có d(xn, xm) ≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + + d(xm−1, xm) ≤ (kn + kn+1 + + km−1)d(x0, x1) ≤ kn(1 + k + + km−n−1)d(x0, x1) = km 1−k d (x0, x1) Do {xn} m®t dãy Cauchy không gian metric đay đn xn → x∗ ∈ X Vói moi n ta có ≤ d(x∗ , T x∗ ) ≤ d(x∗ , xn ) + d(xn , T x∗) ≤ d(x∗ , xn ) + kd(xn−1 , x∗ ) Cho n → ∞ tính liên tuc cna T ta đưoc d(x∗ , T x∗ ) = 0, túc T x∗ = x∗ Gia su cịn có y∗ ∈ X mà Ty∗ = y∗ ta có d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ kd(x∗ , y ∗ ) Vì ≤ k < nên d(x∗, y∗) = x∗ = y∗ V¾y điem bat đ®ng nhat Đ%nh lý 1.1 (xem [8], Chương 1, Đ%nh lý 1.3) Cho (X, d) không gian metric đay đu B(x0, r) = {x ∈ X : d(x, x0) < r} x0 ∈ X r > Gia su rang T : B(x0, r) → X ánh xa co (nghĩa là, d(T (x), T (y)) ≤ Ld(x, y), ∀x, y ∈ B(x0, r), vái ≤ L < ) d(T (x0), x0) < (1 − L)r Khi T có nhat điem bat đ®ng B(x0, r) ChÚng minh Gia su ton tai r0 thoa mãn ≤ r0 < r, d(T (x0), x0) < (1 − L)r0 Ta se chi T : B(x0, r0) → B(x0, r0) Đe hieu đieu này, ta ý rang neu x ∈ B(x0, r0) d(T (x), x0) ≤ d(T (x), T (x0)) + d(T (x0), x0) ≤ Ld(x, x0) + (1 − L)r0 ≤ r0 Áp dung đ%nh lý ánh xa co Banach ta suy rang T có nhat điem bat đ®ng B(x0, r0) ⊂ B(x0, r) Khi T có nhat điem bat đ®ng B(x0, r) Nhieu tác gia tőng quát hóa đ%nh lý ánh xa co Banach phát bieu vói n®i dung dưói Đ%nh lý 1.2 (xem [8], Chương 1, Đ%nh lý 1.5) Cho (X, d) không gian metric đay đu T : X → X ánh xa (không nhat thiet liên tnc) Vái mői ε > 0, H¾ qua 2.2 (xem [4],H¾ qua (2.7)) Cho C t¾p loi, đóng, khác rőng cua không gian Hilbert thnc H T : C → H ánh xa không giãn cho Fix(T ) ƒ= ∅ Gia su {αn} dãy so [0, 1] thóa mãn αn → Khi đó, dãy {xn} , {yn} đưac đ%nh nghĩa bái   x0 ∈ H  yn = PC T (αnPC (xn) + (1 − αn)PC TPC (xn)); Hn = {z ∈ H : ||yn − z|| ≤ ||xn − z||} ; Wn = {z ∈ H : (xn − z, x0 − xn) ≤ 0} ;  xn+1 = PHn∩Wn (x0) , n ≥  h®i tn manh tái m®t điem u0 = PFix(T )(x0) n → ∞ ChÚng minh Trong Đ%nh lý 2.1, đ¾t βn = ta thu đưoc đieu can chúng minh Đ%nh lý 2.2 (xem [5], Đ%nh lý (2.2) ) Cho C t¾p loi, đóng, khác rőng cua khơng gian Hilbert thnc H T : C → H ánh xa không giãn cho Fix(T ) ƒ= ∅ Gia su {xn} dãy so khoang (a, 1) vái a ∈ (0, 1] Khi đó, dãy {xn} , {yn} đưac đ%nh nghĩa bái (2.5) h®i tn manh tái m®t điem u0 = PFix(T )(x0) n → ∞ ChÚng minh Đau tiên ta ý rang ||yn − z|| ≤ ||xn − z|| tương đương vói (yn , −1 ||y − xn || − xn xn − z) ≤ n Vì v¾y, Hn nua khơng gian Tiep theo ta chi rang Fix(T ) ⊂ H0, vói ∀n ≥ Rõ ràng Fix(T ) = Fix(TPC ) := {p ∈ H : TP (CP ) = p} vói bat kỳ ánh xa T : C → C Vì v¾y, ta có vói moi p ∈ Fix(T ): ||yn − p|| = ||(1 − µn)xn + µnTPC − p|| = ||(1 − µn)(xn − p) + µn(TPC xn − TPC p)|| ≤ (1 − µn)||xn − p|| + µn||xn − p|| = ||xn − p|| Do đó, p ∈ Hn, ∀n ≥ Hơn nua, Fix(T ) t¾p con, loi, đóng, khác rong cna H , theo Bő đe 2.2, ton tai nhat m®t phan tu uo ∈ Fix(T ) cho u0 = PFix(T )(x0) Tù xn+1 = PHn+1 (x0), ta đưoc ||xn+1 − x0|| ≤ ||u0 − xo||, ∀n ≥ (2.13) Bây giò ta chi rang lim ||xn+m − xn|| = n→ ∞ (2.14) Vói moi so nguyên co đ%nh m > Th¾t v¾y, tù đ%nh nghĩa cna Hn+1, ta suy rang Hn+1 ⊂ Hn, v¾y ta có ||xn − x0|| ≤ ||xn+1 − x0||, ∀n ≥ Vì v¾y, ton tai lim ||xn − x0|| = c Tiep theo, theo Bő đe (2.1), xn+m ∈ Hn n→∞ xn = PHn (x0), ta có (xn − x0, xn+m − xn) ≥ V¾y ||xn+m − xn|| 2 = ||xn+m − x0||2 − ||xn − x0|| − (xn − x0, xn+m − xn) ≤ ||xn+m − x0|| − ||xn − x0|| Tù lim ||xn − x0|| = c, ta có đưoc (2.14) Vì v¾y {xn} dãy Cauchy Ta n→∞ gia su rang xn → p ∈ H M¾t khác, tù (2.14) bat thúc sau ||yn − xn|| µ1n ≤ (||yn − xn+m|| + ||xn+m − xn||) α2 ≤ ||xn+m − xn|| α ||xn − TPC xn|| = ta đưoc lim ||xn − TPC xn|| = n→ ∞ Vì v¾y, p = TP C p Đieu có nghĩa p ∈ Fix(T ) Bây giò tù (2.13) Bő đe 2.2, suy p = u0 Sn h®i tu manh cna dãy {un} tói u0 lim ||yn − xn|| = lim µn||xn − TPC xn|| = xn → u0 2.3 n→ ∞ n→ ∞ Phương pháp l¾p tìm điem bat đ®ng cua ánh xa gia co Trong phan này, chúng tơi xin trình bày phương pháp l¾p Ishikawa tìm điem bat đ®ng cna ánh xa gia co khơng gian Hilbert M¾nh đe 2.1 (xem [7], Chương 6, M¾nh đe 6.6.3) Cho C t¾p loi, khác rőng cua không gian Hilbert H ánh xa gia co T : C → C Khi ||(1 − α)(x − y) + α(Tx − Ty)||2 ≤ ||x − y||2 + α2||x − y − (Tx − Ty)|| ∀x, y ∈ C α ∈ [0, 1] ChÚng minh Lay x, y ∈ C Ta có ||(1 − λ)x + λy||2= (1 − λ)||x||2 + λ||y||2− λ(1 − λ)||x − y|| vói λ ∈ [0, 1] Chúng ta có ||(1 − α)(x − y) + α(Tx − Ty)||2 = (1 − α)||x − y||2 + α||Tx − Ty||2 − α(1 − α)||x − y − (Tx − Ty)||2 ≤ (1 − α)||x − y||2 + α(||x − y||2 + ||x − y − (Tx − Ty)||2) −α(1 − α)||x − y − (Tx − Ty)||2 ≤ ||x − y|| + α2||x − y − (Tx − Ty)||2 M¾nh đe 2.2 (xem [7], Chương 6, M¾nh đe 6.6.4) Cho C t¾p loi, khác rőng cua khơng gian Hilbert H ánh xa gia co T : C → C Vái mői ≤ α ≤ β ≤ 1, xác đ%nh ánh xa Tα,β : C → C bái Tα,βx = (1 − α)x + αT [(1 − β)x + βTx] , x ∈ C Khi ||Tα,βx − Tα,βy|| ≤ ||x − y|| 2− αβ(1 − 2β)||x − y − (Tx − Ty)|| − α(β − α)||x − y − (Tux − Tuy)|| + αβ||Tx − Ty − (Tux − Tuy)||2 vái ∀x, y ∈ C, ux = (1 − β)x + βTx uy = (1 − β)y + βTy ChÚng minh Lay x, y ∈ C Theo M¾nh đe 2.1, ta có ||ux − uy|| = ||(1 − β)(x − y) + β(Tx − Ty)||2 − y − (Tx − Ty)|| ≤ ||x − y||2+ β ||x ||ux − Tux|| 2 = ||(1 − β)(x − Tux) + β(Tx − Tux)||2 = (1 − β)||x − Tux||2 + β||Tx − Tux||2 − β(1 − β)||x − Tx||2 Do T ánh xa gia co nên ||T ux − Tuy|| ≤ ||u − u || + ||ux − uy − (Tu x − Tuy)|| x y ≤ ||ux − uy|| + ||(1 − β)(x − y) + (Tx − Ty) − (Tux − Tuy)|| ≤ ||x − y||2+ β ||x − y − (Tx − Ty)|| + (1 − β)||x − y − (Tux − Tuy)||2 + β||Tx − Ty − (Tux − Tuy)||2 − β(1 − β)||x − y − (Tux − Tuy)|| 2 Vì the ||Tα,βx − Tα,βy|| = ||(1 − α)(x − y) + α(Tux − Tuy)||2 = (1 − α)||x − y||2 + α||Tux − Tuy)||2 − α(1 − α)||x − y − (Tux − Tuy)||2 2 + α||x − y|| − αβ(1 − 2β)||x − y − (Tx − Ty)|| ≤ (1 − α)||x − y|| + α(1 − β)||x − y − (Tux − Tuy)||2 + αβ||Tx − Ty − (Tux − Tuy)||2 − α(1 − α)||x − y − (Tux − Tuy)||2 ≤ ||x − y|| − αβ(1 − 2β)||x − y − (Tx − Ty)|| 2 − α(β − α)||x − y − (Tux − Tuy)|| + αβ||Tx − Ty − (Tux − Tuy)||2 Đ%nh lý 2.3 (xem [7], Chương 6, Đ%nh lý 6.6.5) Cho C t¾p loi, compact, khác rőng cua khơng gian Hilbert H T : C → C ánh xa gia co Lipschitz vái Fix(T ) ƒ= ∅ Cho {xn} dãy l¾p Ishikawa xác đ%nh bái (2.2) Khi {xn} h®i tn manh tái điem bat đ®ng cua T ChÚng minh Lay p ∈ Fix(T ) Đ¾t Tnxn := Tαn,βnxn = (1 −α)xn + αT [(1 −β)xn + βTxn] Khi xn+1 = Tnxn, n ∈ N Tù M¾nh đe 2.2, ta có ||xn+1 − p|| ≤ ||xn − − αnβn(1 − 2βn)||xn − Tx n || 2 p|| − αn(βn − αn)||xn − Tyn|| + αnβn||T xn − Tyn|| Do αn ≤ βn, suy αnβn(1 − 2βn)||xn − Txn|| +2 αnβn||T xn − Tyn|| (2.15) Gia ||xn+1 − p||2≤ ||xn − p|| − su T ánh xa L -Lipschitz Khi ||T xn − Tyn|| ≤ L||xn − yn|| ≤ Lβn||xn − Txn|| Do tù (2.15) ta có 2 2 ||xn+1 − p|| ≤ ||xn − p|| − αnβn(1 − 2βn − L βn)||xn − Txn|| Do lim βn n→∞ Vì v¾y = 0, ton tai n0 ∈ N cho 2βn ||xn+1 − p|| ≤ p||||xn − + L2 β2 ≤ n 1 , ∀n ≥ n 2 − αnβn||xn − Txn|| , ∀n ≥ n0 (2.16) − T x || ≤ ||x Suy 1Σ n − p||2− ||x n+ − p||2 αβ ||x ni=n i i i i Do C b% ch¾n, {||xn+1 − p||} b% ch¾n Do chuoi bên trái dãy b% ch¾n Tù đieu ki¾n (2.16), suy rangn→∞ lim inf||xn − T xn|| = Σ Đieu ngưoc lai tính compact cna C rang ton tai dãy xnj cho lim xnj = v, v ∈ F ix(T ) n→ ∞ Do v ∈ Fix(T ), tù (2.16) suy ||xn+1 − v|| ≤ ||xn − v||, ∀n ≥ n0 Vói ∀ε > 0, ton tai Ni,0 cho ||xNi,0 − v|| ≤ ε, ∀Ni,0 ≥ no Do đó, tù (2.17), có ||xn − v|| ≤ ε, ∀n ≥ Ni,0 (2.17) Chương Áp dnng giai bat thÉc bien phân Bài toán bat thúc bien phân địi vào nhung năm 1960 Hi¾n nay, tốn bat thúc bien phân đưoc phát trien thành nhieu dang khác nhau, ví du: bat thúc bien phân vectơ, tna bat thúc, giai bat thúc bien phân Bài toán thu hút đưoc nhieu sư quan tâm cna nhà toán HQc Trong chương chúng tơi trình bày tốn bat thúc bien phân nguyên lý ánh xa co Banach đe giai bat thúc bien phân đơn đi¾u manh Các ket qua đưoc trình bày chương đưoc lay tù tài li¾u [3],[6] 3.1 3.1.1 Bài tốn bat thÉc bien phân Phát bieu toán Đ%nh nghĩa 3.1 Cho mđt C cna khụng gian Hilbert H ánh xa F: C→H Bài toán bat thúc bien phân đưoc kí hi¾u V IP (C; F ), tốn tìm x∗ cho x∗ ∈ C, (F (x∗ ), x − x∗ ) ≥ 0, ∀x ∈ C (3.1) T¾p hop nhung điem x∗ thoa mãn (3.1) đưoc GQI t¾p nghi¾m cna V IP (C, F ) kí hi¾u SOL − V IP (C; F ) Khi xét toán (3.1), Auslender đưa hàm chan (gap) bang cách vói MQI x ∈ C, đ¾t g1 (x) = max {(F (x∗ ), x − y) /y ∈ C} Ta de dàng nh¾n thay rang g1(x) ≥ 0, ∀x ∈ C Do đó, tốn (3.1) có the viet dưói dang toán toi ưu {g1 (x) /x ∈ C} 34 Chương Áp dnng giai bat thúc bien phân Tuy nhiên, m®t khó khăn cna tốn trưịng hop tőng qt hàm g1 có the khơng kha vi tốn xác đ%nh hàm chan có the khơng có nghi¾m Fukushima giai quyet khó khăn bang cách đưa hàm chan mói có dang g2 (x) = max , −1 (y − x, G(y − x)) − (F (x), y − x) /y ∈ C , (3.2) đó, G ma tr¾n đoi xúng, xác đ%nh dương Cũng hàm chan g1 , ta có g2 (x) ≥ vói MQI x ∈ C ay tốn (3.1) có the đưoc đưa ve dang tốn toi ưu {g2 (x) /x ∈ C} 3.1.2 SE ton tai nghiắm Dna vo %nh lý iem bat đng Brouwer, ta chúng minh đưoc sn ton tai nghi¾m cna bat thúc bien phân (3.1) Trưóc het chúng tơi xin trình bày bő đe sau Bo đe 3.1 (xem [3], Bő đe 2.1) Cho C t¾p loi đóng cua khơng gian Hilbert H Khi vái mői x ∈ H , có nhat y ∈ C , cho: ||x − y|| = ||x − η|| η∈ C Điem y thóa mãn thúc đưac GQI hình chieu cua x lên C ta viet y = PC x Chú ý rang PC x = x, ∀x ∈ C Đ%nh lý 3.1 (xem [3], Đ%nh lý 3.1) Cho C khác rőng, C ⊂ H t¾p compact loi, ton tai ánh xa F : C → C liên tnc, tốn bat thúc bien phân (3.1) có nghi¾m, túc ton tai x∗ ∈ C thóa mãn (F (x∗ ), x − x∗ ) ≥ 0, ∀x ∈ C ChÚng minh Xây dnng ánh xa φ bang cách vói moi x ∈ C đ¾t φ(x) := PC (x − F (x)) Ta có φ : C → C Do F liên tuc C phép chieu PC liên tuc nên φ liên tuc V¾y theo đ%nh lý điem bat đ®ng Brouwer ton tai x∗ = φ(x∗ ) Theo đ%nh nghĩa cna φ, x∗ = φ(x∗ ) = PC (x∗ − F (x∗ )) 35 Theo tính chat cna hình chieu, ta có (F (x∗ ), x − x∗ ) ≥ 0, ∀x ∈ C V¾y tốn bat thúc bien phân (3.1) có nghi¾m Chú ý rang tốn (3.1) khơng phai ln ln có nghi¾m C khơng b% ch¾n, ví du neu C = R, tốn F (x)(y − x) ≥ 0, ∀y ∈ C khơng có nghi¾m F (x) = ex Đ%nh lý sau đieu ki¾n can đn đe ton tai nghi¾m Σ Cho t¾p loi C ƒ= ∅, đ¾t CR = C ∩ R, R hình cau đóng bán kính n Σcompact yeu R tâm O ∈ R Khi CR t¾p V¾y theo đ%nh lý ta có xR ∈ CR : (F (xR), y − xR) ≥ 0; ∀y ∈ CR (3.3) Đ%nh lý 3.2 (xem [3], Đ%nh lý 4.2) Cho C ∈ H t¾p loi, đóng ánh xa F : C → H liên tnc C Đieu ki¾n can đu đe tốn bat thúc biên phân (3.1) có nghiắm l ton tai mđt so R > cho cú mđt nghiắm xR CR cua bi toỏn (3.3) thóa mãn ||xR|| < R (3.4) ChÚng minh Rõ rng l neu ton tai mđt nghiắm x cna bi tốn (3.1) x nghi¾m cna tốn (3.4), mien ||x|| < R Vì x ∈ CR ⊂ C Gia su xR ∈ CR thoa mãn ||xR|| < R, xR nghi¾m cna tốn (3.1) Th¾t v¾y, ||xR|| < R, cho y ∈ C, ω = xR + ε(y − xR) ∈ CR vói ε ≥ đn nho Vì v¾y xR ∈ CR ⊂ C : ≤ (F (xR), ω − xR) = ε (F (xR), y − xR) , ∀y ∈ C ieu ny cú ngha l xR l mđt nghiắm cna tốn (3.1) Tù đ%nh lý ta có the rút đưoc đieu ki¾n đn đe ton tai nghi¾m Ta can đen khái ni¾m ve tính chat tn búc sau H¾ qua 3.1 (xem [3], H¾ qua 4.3) Neu F : C → H thóa mãn (F (x) − F (x0), x − x0) → ||x − x0|| ∞ x ∈ C, ||x|| → +∞, vái x0 no ú thuđc C, thỡ ton tai mđt nghiắm oi vái toán (3.4) ChÚng minh CHQN H > |f (x0 )| R > |x0 | cho: (F (x) − F (x0), x − x0) ≥ H|x − x0|, |x| ≥ R, x ∈ C (F (x), x − x0) ≥ H|x − x0| + (F (x0), x − x0) ≥ H|x − xo| − |F (x0), x − x0| ≥ (H − |F (x0)|)(|x| − |x0|) > 0, |x| = R Bây giò, ta cho xR ∈ CR nghi¾m cna tốn (3.4) (F (xR), xR − x0) ≥ − (F (xR), x0 − xR) ≤ Vì v¾y, dna vào (3.5), ta có |x| = R Nói cách khác,|x| < R Thơng thưịng, nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân khơng phai l nhat Tuy vắy van cú mđt ieu ki¾n rat ban đam bao cho sn nhat Gia su x, xj ∈ C hai nghi¾m khác cna tốn (3.1) x ∈ C : (F (x), y − x) ≥ 0; ∀y ∈ C, xj ∈ C : F (xj ), y − xj Σ ≥ 0; ∀y ∈ C, Tù ta thay, neu F (x) − F (xj ), x − xj Σ > mien x, xj ∈ C, x ƒ= xj Đieu ki¾n kéo theo tính nhat nghi¾m đieu ki¾n đưoc GQI đieu ki¾n đơn đi¾u ch¾t 3.2 Nguyên lý ánh xa co Banach giai bat thÉc bien phân Đe đơn gian, ta coi G = αI, α > I ma tr¾n đong nhat Bo đe 3.2 (xem [6], Bő đe 3.1) Gia su h(x) nghi¾m nhat cua tốn toi ưu loi (3.2) Khi J J ||h(x) − h(x )|| ≤ ||x − x − (F (x) − F (x ))|| α J ChÚng minh Do G xác đ%nh dương, tốn (3.2) loi manh Vì the h(x) xác đ%nh nhat nghi¾m cna toán sau: , (y − x, G(y − x) + (F (x), y − x) + Cδ (y)/y ∈ H), C neu y ∈ C, δ (y) = hàm chi th% cna C +∞ neu y ƒ∈ C Chú ý rang dưói vi phân cna hàm chi th% cna C nón pháp tuyen ngồi cna C, có ∈ G(h(x) − x) + F (x) + NC (h(x)) Đieu suy rang ton tai z ∈ NC (h(x)) cho G(h(x) − x) + F (x) + z = NC (h(x)) kí hi¾u nón pháp tuyen cna C tai h(x) Tù G = αI, ta có 1 h(x) = x − F (x) − z α α 1 h(xj ) = xj − F (xj ) − z j α α Tương tn ta có Tù.đó suy h(x) h(xj ) Σ = h(x) h(x h(x | j ), h(x) − || j ) 1 = x − xj − − (F (x) − F (xj )) − (z − z j ), h(x) − h(xj )Σ α α Tù tính dưói vi phân cna hàm loi đơn đi¾u, ta có z − z j , h(x) − h(xj )Σ ≥ 0, ∀z ∈ NC (h(x)) Suy ||h(x) − h(x )|| ≤ x − x − J Do (F (x)) − F (x ), h(x) − h(x )Σ α ≤ ||x − x − (F (x)) − F (x )||||h(x) − h(x )|| α J J J J J J ||h(x) − h(x )|| ≤ ||x − x − J J (F (x)) − F (x )|| α J Đ%nh lý sau khang đ%nh tính chat co cna ánh xa nghi¾m h trưịng hop F ánh xa đơn đi¾u manh C Đ%nh lý 3.3 (xem [6], Đ%nh lý 3.1) Gia su rang F (x) loi, đóng, khác rőng vái MQI ∈ x C , F ánh xa đơn đi¾u manh vái h¾ so β > Lipschitz vái L2 , ánh xa h co C vái h¾ so hang so L > C Khi đó, vái α > 2β 2β L2 α + α2 Túc là,−ta có δ: = ||h(x) − h(x )|| ≤ δ||x − x ||, ∀x, x ∈ C J J J ChÚng minh Gia su rang F (x) ánh xa đơn đi¾u manh vói h¾ so β > Lipschitz vói hang so L > C, ta có (F (x) − F (xj ))||2 α Σ = ||x − xj ||2 − x − xj , F (x) − F (xj ) + ||F (x) − F (xj )||2 α α ||x − xj − Theo Bő đe 3.1, ta có||h(x) − h(xj )||2 ≤ ||x − xj ||2 − x − xj , F (x) − F (xj )Σ + ||F (x) − F (xj )|| α α Vì F ánh xa đơn đi¾u manh vói h¾ so β > Lipschitz vói hang so L > K, ta có − xj , F (x) − F (xj )Σ ≥ β||x − xj ||2 x ≤ L ||x − x 2|| ||F (x) − F (x )|| J J Do J ||h(x) − h(x )|| ≤ ||x − x || − 2β ||x − x || + J α 2 J 2 ||x − x || α2 L J 2β L = (1 − + )||x − xj || α α2 hay J ||h(x) − h(x )|| ≤ − 2β L2 + ||x − x α || α2 J L2 2β L2 + ∈ (0, := α α 1) − Do h co trên2β C vói h¾ so δ Rõ ràng, neu α > δ KET LU¾N Lu¾n văn trình bày van đe sau - Các ket qua liên quan đen ánh xa co, tù nguyên lý ánh xa co Banach không gian metric đay đn đen mo r®ng nguyên lý ánh xa co đ%nh lý Meir - Keeler Các đ%nh lý ve điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn, ánh xa gia co, ánh xa gia co manh khơng gian Hilbert - Giói thi¾u dãy l¾p dãy l¾p Mann, dãy l¾p Ishikawa, dãy l¾p Halpern Các phương pháp l¾p phương pháp l¾p Mann - Halpern, phương pháp lai ghép tìm điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn, phương pháp lắp Ishikawa tỡm iem bat đng cna ỏnh xa gia co khơng gian Hilbert - Phát bieu tốn bat thúc bien phân, đ%nh lý Brouwer ve sn ton tai nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân Áp dung nguyên lý ánh xa co Banach đe giai bat thúc bien phân đơn đi¾u manh 40 TÀI LIfiU THAM KHAO Tieng Vi¾t [1] Lê Dũng Mưu, Nguyen Văn Hien, (2015), Nh¾p mơn giai tích loi úng dnng, NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [2] Đo Hong Tân, Nguyen Th% Thanh Hà, (2002), Các đ%nh lý điem bat đ®ng, NXB Đai HQc Sư Pham Hà N®i Tieng Anh [3] D.Kinderlehrer and G,Stampacchia, (1980), An Introduction to Variational Inequality and Their Application, Academic Press [4] Ng.Buong, Ng.D.Lang, (2011),"Hybrid Mann- Halper iteration methods for nonexpansive mappings and semigroups", Joural Applied Mathermatic and Computation, 218, 2459-2466 [5] Ng.Buong, Ng.D.Lang, (2011), "Shrinking hybrid descent-like methods for nonexpansive mappings and semigroups", Nonl Funct Anal Appl, 16, 331-339 [6] P N Anh, L D Muu, N V Hien and Strodiot J J, (2009), " On the Contraction and Nonexpansiveness Properties of the Marginal Mappings in Gen- eralized Variational Inequalities Involving Co-coercive Operators", Generalized Convexity Generalized Monotinicity and Applications, Springer, 90110 [7] Ravi P Agarwal, Donal O’ Regan, D.R.Sahu, (2000), Fixed Point Theory for Lipschitz-type Mappings with Applications, Springer Dordrecht Heidelberg London New York [8] Ravi P Agarwal, Maria Meehan, Donal O’Regan, (2004), Fixed Point Theory and Applications, Cambridge University Press 41 ... dung cna chúng Muc đích cna lu¾n văn nham trình bày đ%nh lý ve ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa có tính Lipschitz, ve xap xi điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn, ánh xa gia co không gian metric,... x, y ∈ X ta có ρ(Tx, Ty) ≤ d(x, y) Nh¾n xét 1.2 Như v¾y, ánh xa co ánh xa khơng giãn Điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn có the không nhat Ánh xa không giãn không nhat thiet phai có điem bat... đ%nh lý ánh xa co Banach đe giai bat thúc bien phân đơn đi¾u manh Dưói sn hưóng dan cna GS TSKH Lê Dũng Mưu, tác gia hồn thành lu¾n văn vói đe tài "Ve điem bat đ®ng cua ánh xa có tính Lipschitz"