Điểm bất động và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và ứng dụng 62 46 01 06

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRUỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THẾ ANH ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SI TOÁN HỌC Hà Nội-2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRUỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THẾ ANH ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TỐN TỬ HỒN TỒN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 01 06 62 46 LUẬN ÁN TIẾN SI TOÁN HỌC NGUỜI HUỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2015 L˝I CAM OAN Tỉi xin cam oan ¥y l cỉng tr…nh nghi¶n cøu cia tỉi C¡c k‚t qu£ n¶u lu“n ¡n l ho n to n trung thüc v ch÷a tlng ữổc cổng bL bĐt mt cổng tr…nh n okh¡c NCS Ph/m Th‚ Anh Mưc lưc Líi cam oan Mửc lửc Danh mửc cĂc kỵ hiằu v chœ vi‚t t›t Mð ƒu Ki‚n thøc chu'n bà v tŒng quan 1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 1.2 i”m b§t ºng cia toĂn tò ngÔu nhiản 13 1.3 i”m tròng cia cĂc toĂn tò ngÔu nhiản 18 i”m b§t ºng v i”m trịng cia c¡c to¡n tß ho n to n ngÔu nhiản 21 2.1 ToĂn tò ho n to n ngÔu nhiản 21 2.2 im bĐt ng cia toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản .27 2.3 im trũng cia cĂc toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản 47 ng dửng v ophữỡng trnh toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản 60 3.1 ng dửng cia cĂc nh lỵ im trũng 60 3.2 Ùng döng cia cĂc nh lỵ im bĐt ng .66 K‚t lu“n v ki‚n nghà 73 C¡c k‚t qu£ ch‰nh cia lu“n ¡n 73 Hữợng nghi¶n cøu ti‚p theo 73 Danh mưc cỉng tr…nh khoa håc cia t¡c gi£ li¶n quan ‚n lu“n ¡n 74 T i li»u tham kh£o 75 DANH MÖC CC KÞ HIU V CHÚ VIT TT N T“p hỉp c¡c sL tü nhi¶n R T“p hỉp c¡c sL thüc R+ T“p hỉp c¡c sL thüc d÷ìng C[a; b] Khỉng gian c¡c h m sL li¶n tưc tr¶n [a; b] L(X) Khổng gian cĂc toĂn tò tuyn tnh liản tửc tl X v oX LX 0() Khổng gian cĂc bin ngÔu nhiản X-giĂ tr LX p() Khổng gian cĂc bin ngÔu nhiản X-giĂ tr khÊ tch cĐp p A;F -/i sL B(X) -/i sL Borel cia X A F -/i sL t‰ch cia c¡c -/i sL A v F 2X Hå c¡c t“p hæp kh¡c rØng cia X C(X) Hå c¡c t“p hæp âng kh¡c rØng cia X H(A; B) Kho£ng c¡ch Hausdorff giœa hai t“p hæp âng A; B Graph(T)ỗ th cia toĂn tò ngÔu nhiản T P o xĂc suĐt p-lim Giợi h/n cia sỹ hi tư theo x¡c su§t h.c.c Hƒu ch›c ch›n [x] Phƒn nguy¶n cia sL thüc x k:k Chu'n M— U Trong toĂn hồc, im bĐt ng (ổi cặn ữổc gåi l i”m cL ành, hay i”m b§t bi‚n) cia mºt ¡nh x/, l i”m m ¡nh x/ bi‚n i”m â th nh ch‰nh nâ Tl nhœng n«m ƒu th” k 20, cĂc nguyản lỵ im bĐt ng ln lữổt íi â ¡ng nâi ‚n nh§t l : nguyản lỵ im bĐt ng Brouwer (1912), nguyản lỵ Ănh x/ co Banach [7] (1922) v nh lỵ im bĐt ºng Schauder [51] (1930) C¡c k‚t qu£ n y ¢ ÷ỉc mð rºng Li vỵi c¡c lỵp ¡nh x/ kh¡c nhau, cĂc khổng gian khĂc v  ữổc ứng dửng nhiãu lắnh vỹc cia toĂn hồc Ta cõ th thĐy ứng dửng cia cĂc nguyản lỵ im bĐt ng viằc giÊi quyt vĐn ã tỗn t/i lới giÊi cia phữỡng trnh (toĂn tò, vi phƠn, tch phƠn, ), cĂc b i toĂn xĐp x nghiằm, Ti‚p theo c¡c k‚t qu£ tr÷íng hỉp khỉng ngÔu nhiản, rĐt nhiãu kt quÊ vã b i toĂn im bĐt ng ngÔu nhiản  ữổc nghiản cứu V o giœa th“p ni¶n 1950, O Hans v A Spacek trữớng /i hồc Tng hổp Prague  xữợng nhng nghiản cứu u tiản vã im bĐt ng cia toĂn tò ngÔu nhiản v cĂc vĐn ã liản quan (xem [28, 53]) CĂc tĂc giÊ Â ữa cĂc iãu kiằn i ban u toĂn tò ngÔu nhiản cõ im bĐt ng ngÔu nhiản Sau cĂc cổng trnh cia O Hans v A Spacek, mºt sL d/ng t÷ìng tỹ cia cĂc nh lỵ im bĐt ng tĐt nh ni ting khĂc cho trữớng hổp ngÔu nhiản cụng  ữổc chứng minh Cũng vợi viằc nghiản cứu cĂc vĐn ã vã im bĐt ng ngÔu nhiản, cĂc vĐn ã vã phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản cụng  ữổc quan tƠm n CĂc nghiản cứu vã phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản l sỹ m rng, ngÔu nhiản hõa lỵ thuyt phữỡng trnh toĂn tò tĐt nh Tuy nhiản, phn lợn cĂc kt quÊ /t ữổc cia lỵ thuyt phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản trung v oviằc ữa vã b i toĂn im bĐt ng ngÔu nhiản ch sỹ tỗn t/i v nhĐt nghiằm ngÔu nhiản Lỵ thuyt phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản v im bĐt ng ngÔu nhiản thỹc sỹ ữổc quan tƠm nghiản cứu sau sỹ ới cuLn sĂch Random integral equations (1972) v b i b¡o tŒng k‚t Fixed point theorems in probabilistic analysis(1976) cia A T Bharucha-Reid (xem [15, 16]) Trong b i b¡o cia m…nh, A T Bharucha-Reid  chứng minh nh lỵ im bĐt ng cho Ănh x/ co ngÔu nhiản, õ chnh l d/ng ngÔu nhiản cia nguyản lỵ Ănh x/ co Banach v nh lỵ im bĐt ng Schauder d/ng ngÔu nhiản Tl õ, nhiãu tĂc giÊ Â th nh cổng viằc m rng cĂc kt quÊ vã im bĐt ng ngÔu nhiản  cõ hoc chứng minh d/ng ngÔu nhiản cia cĂc nh lỵ im bĐt ng cho toĂn tò tĐt ành (xem [11, 21, 32, 37, 60]) V onhœng n«m 1990, mºt sL t¡c gi£ nh÷ H K Xu, K K Tan, X Z Yuan, ¢ chøng minh c¡c nh lỵ im bĐt ng ngÔu nhiản tng quĂt, â c¡c t¡c gi£ ch¿ r‹ng vỵi mºt sL iãu kiằn nhĐt nh, nu cĂc qu /o cia toĂn tò ngÔu nhiản cõ im bĐt ng tĐt nh th toĂn tò ngÔu nhiản cõ im bĐt ng ngÔu nhiản (xem [14, 54, 60]) Gƒn ¥y, mºt sL t¡c gi£ nhữ N Shahzad, D ORegan, R P Agarwal  ữa mt sL nh lỵ im bĐt ng ngÔu nhiản tŒng qu¡t mð rºng c¡c k‚t qu£ cia c¡c t¡c giÊ trữợc v trản cỡ s õ d/ng ngÔu nhiản cia nhiãu nh lỵ im bĐt ng cho toĂn tò tĐt nh  ữổc chứng minh (xem [47, 50]) c bi»t, b i b¡o [57] c¡c t¡c gi£ D H Thang v T N Anh ¢ chøng minh c¡c kt quÊ tng quĂt vã sỹ tữỡng ữỡng tỗn t/i nghiằm cia phữỡng trnh tĐt nh vợi phữỡng trnh ngÔu nhiản, sỹ tỗn t/i im bĐt ng cia toĂn tò tĐt nh v toĂn tò ngÔu nhiản Tip theo b i toĂn im bĐt ng ngÔu nhiản, b i toĂn im bĐt ng ngÔu nhiản chung cia nhiãu toĂn tò ngÔu nhiản cụng  ữổc nghiản cứu mt cĂch k lữùng Tuy nhiản, iãu kiằn nhiãu toĂn tò cõ im bĐt ng chung thữớng l phức t/p, õ b i toĂn im trũng ngÔu nhiản  ữổc quan tƠm nghiản cứu B i toĂn im trũng ngÔu nhiản ữổc nghiản cứu nhiãu Li vợi cĂc to¡n tß a trà, giœa c°p to¡n tß ìn trà v to¡n tß a trà (xem [17, 20, 22, 25, 33, 34, 36, 41, 42, 45, 46, 47, 48, 49, 52]) Mºt c¡ch tŒng qu¡t, câ th” xem to¡n tß ngÔu nhiản nhữ mt Ănh x/ bin mỉi phn tò cia khổng gian metric th nh mt bin ngÔu nhiản Bản c/nh õ, ta coi mỉi phn tò cia khổng gian metric nhữ l mt bin ngÔu nhiản suy bin nhn giĂ tr l phn tò õ vợi xĂc suĐt Vợi cĂch quan niằm nhữ vy, ta cõ th ỗng nhĐt khổng gian metric X nhữ (gỗm cĂc bin ngÔu nhiản suy bin) cia khổng gian L X 0() cĂc bin ngÔu nhiản X-giĂ tr Tl õ, vợi mỉi toĂn tò ngÔu nhiản liản tửc f tl X v o Y ta xƠy dỹng ữổc mt Ănh x/ tl LX Y 0() v oL 0() m h/n ch cia trản X trũng vợi f Ngo i mLi liản hằ gia sỹ tỗn t/i im bĐt ng ngÔu nhiản cia f v cụng ữổc thit lp Vợi mửc ch m rng miãn xĂc nh cia toĂn tò ngÔu nhiản, [1, 5, 58] cĂc tĂc giÊ Â ÷a kh¡i ni»m to¡n tß ho n to n ngÔu nhiản, õ Ănh x/ bin mỉi bin ngÔu nhi¶n nh“n gi¡ trà khỉng gian metric th nh bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian metric Sò dửng cĂc tnh toĂn thun túy xĂc suĐt, cĂc tĂc giÊ Â chứng minh ữổc mt sL kt quÊ ban ƒu t÷ìng tü nh÷ cia O Hadzic v E Pap vã im bĐt ng cia toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản Ni dung cia lun Ăn bao gỗm nh lỵ vã sỹ thĂc trin toĂn tò ngÔu nhiản th nh toĂn tò ho n to n ngÔu nhi¶n, l cì sð ” x†t ‚n c¡c b i toĂn vã im bĐt ng, im trũng v b i toĂn vã phữỡng trnh toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản Ngo i lun Ăn ã cp n cĂc kt quÊ nghiản cứu vã im bĐt ºng, i”m trịng cia c¡c to¡n tß ho n to n ngÔu nhiản, tl õ Ăp dửng cĂc nh lỵ im bĐt ng v nh lỵ im trũng tm nghiằm cia phữỡng trnh toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản Lun Ăn gỗm chữỡng Chữỡng tr…nh b y tŒng quan v• c¡c kh¡i ni»m v k‚t qu£ ¢ bi‚t cia c¡c t¡c gi£ kh¡c liản quan n nh lỵ im bĐt ng v im trũng ngÔu nhiản cia cĂc toĂn tò ngÔu nhiản CĂc kt quÊ cia chữỡng n y ữổc trch dÔn v bä qua chøng minh chi ti‚t Ch÷ìng tr…nh b y kh¡i ni»m to¡n tß ho n to n ngÔu nhiản, nh lỵ thĂc trin toĂn tò ngÔu nhiản th nh toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản, tnh liản tửc theo xĂc suĐt cia toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản Tip theo, chữỡng n y trnh b y cĂc kt quÊ nghiản cứu vã im bĐt ng cia mt sL d/ng toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản CuLi cũng, mt sL kt quÊ vã im trũng cia cĂc toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản ữổc ã cp n Ni dung chnh cia chữỡng n y cĂc nh lỵ vã sỹ tỗn t/i im bĐt ng v im trũng cia toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản Chữỡng trnh b y kt quÊ nghiản cứu vã ứng dửng cĂc nh lỵ im bĐt ng, im trũng cia cĂc toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản CĂc ứng dửng õ l chứng minh sỹ tỗn t/i nghiằm cia phữỡng trnh toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản v sò dửng nh lỵ im trũng ngÔu nhiản chứng minh sỹ tỗn t/i im bĐt ng ngÔu nhiản Ni dung chnh cia chữỡng n y l cĂc nh lỵ vã sỹ tỗn t/i nghiằm phữỡng trnh toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản CĂc kt quÊ cia lun Ăn  ữổc trnh b y t/i Seminar cia Bº mæn câ nghi»m v ch¿ tỗn t/i bin ngÔu nhiản u LX 0() v p > cho Eku0 u0kp < +1: (3.28) Chøng minh N‚u (3.27) câ nghi»m th… (3.28) úng vợi u = v p > bĐt ký Ngữổc l/i, giÊ sò rng (3.28) úng Tl (b) tỗn t/i bin ngÔu nhiản X-giĂ tr u1 cho u1 = u0 Bng phữỡng phĂp quy n/p, tỗn t/i dÂy bin ngÔu nhiản X-giĂ tr (un) cho un = un 1; n °t n = un, n = 1; 2; :::, ta chøng minh r‹ng d¢y ( n) l dÂy Cauchy theo xĂc suĐt t g(t) = f(t) t ; t > 0: Ta câ f(t) = (1 g(t)) t v g(t) (0; 1); 8t > Vợi bĐt ký u; v LX 0() P(ku vk > t) P(k u vk f (k u vk) > t): Mºt c¡ch t÷ìng ÷ìng ta nh“n ÷æc P(ku vk > t) P(g (k u vk) k u vk > t): (3.29) CL ành t > 0, vỵi mØi s t g(s) = f(s) s 1h(t) = q(t): V… g(t) < ta nh“n ÷æc fg(k u vk)k u vk > tg fk u vk > tg: 70 V… v“y P(ku vk > t) P(g(k u vk)k u vk > t) = P(g(k u vk)k u vk > t; k u vk > t) P(q(t)k u vk > t; k u vk > t) P(q(t)k u vk > t) = P(k u vk > t=q(t)): Chú ỵ rng q(t) < v h(t) > nản ta nhn ữổc P(kn+1 nk > t) = P(kun un 1k > t) P(k un 1k > t=q(t)) = P(kn n 1k) > t=q(t)) P(kn k) > n t=q(t) q(t=q(t)) ) P(kn k) > t=q2(t)) v… q(t=q(t)) < q(t) Bng cĂc lỵ lun tữỡng tỹ nhữ chứng minh cia nh lỵ 2.2.9, ta suy dÂy (n) l dÂy Cauchy theo xĂc suĐt V vy tỗn t/i LX X 0() cho p-lim n = Tl giÊ thit (a), tỗn t/i u L 0() cho u = Do â P (k un+1 uk > t) = P (kun uk > t) P (k un ukf (k un uk) > t) P (knk > t) : Cho n ! ta nh“n ÷ỉc P (k uk > t) = 0, i•u â suy u = h.c.c V… v“y u l nghi»m cia phữỡng trnh ngÔu nhiản (3.27) n Nhn xt 3.2.5 V dử sau Ơy ch rng phữỡng trnh ngÔu nhiản (3.27) khổng nhĐt thit cõ nhĐt nghiằm 71 V‰ dư 3.2.6 X†t hai to¡n tß ho n to n ngÔu nhiản ; : LR0() ! LR0() xĂc ành bði u = kjuj + ; u = juj vợi l bin ngÔu nhiản dữỡng, k (0; 1) D d ng kim tra ữổc rng ; thọa mÂn giÊ thit cia nh lỵ 3.2.4 vợi f(t) = k0t, k0 (0; k) v ph÷ìng tr…nh (3.27) câ hai nghi»m = 1 k; = 1 k K‚t lu“n: Trong ch÷ìng n y, chóng tổi xt n ứng dửng cia cĂc nh lỵ im bĐt ng v im trũng cia cĂc toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản Chúng tổi ch tl cĂc nh lỵ vã im bĐt ng v im trũng nhau, cõ th chứng minh sỹ tỗn t/i nghiằm cia mt sL d/ng phữỡng trnh toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản Bản c/nh õ, dỹa trản cĂc kt quÊ vã im trũng cia cĂc toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản, ta cõ th nhn l/i ữổc cĂc kt quÊ vã im bĐt ng 72 KT LUN V KIN NGHÀ C¡c k‚t qu£ ch‰nh cia lun Ăn Chứng minh nh lỵ thĂc trin toĂn tò ngÔu nhiản th nh toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản, ữa cĂc tiảu chu'n vã sỹ liản tửc theo xĂc suĐt cia toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản Chứng minh cĂc nh lỵ vã iãu kiằn i, iãu kiằn cn v i tỗn t/i im bĐt ng ngÔu nhiản, im trũng ngÔu nhiản cia cĂc d/ng toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản Ch cĂc iãu kiằn i vã sỹ tỗn t/i nghiằm ngÔu nhiản cia cĂc phữỡng trnh toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản Hữợng nghiản cøu ti‚p theo Nghi¶n cøu b i to¡n th¡c tri”n toĂn tò ngÔu nhiản th nh toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản, xt n trữớng hổp toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản tl mt n oõ cia khổng gian cĂc bin ngÔu nhiản X-giĂ trà v och‰nh nâ Do khỉng th” x†t tr¶n tlng qu /o mÔu ữổc nản phÊi tm cĂc phữỡng phĂp khĂc ch sỹ tỗn t/i im bĐt ng ngÔu nhiản, im trũng ngÔu nhiản ngo i phữỡng phĂp lp  cõ ữa cĂc iãu kiằn mợi Êm bÊo mt toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản cõ im bĐt ng ngÔu nhiản, cĂc iãu kiằn Êm bÊo sỹ tỗn t/i im trũng ngÔu nhiản cia cĂc toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản, cĂc iãu kiằn phữỡng trnh toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản cõ nghiằm ngÔu nhiản 73 DANH MÖC C˘NG TRNH KHOA H¯C CÕA TC GI LIN QUAN N LUN N [1] Dang Hung Thang, Pham The Anh (2013), "Random fixed points of completely random operators", Random Oper Stoch Equ.21 (1), pp 120 [2] Dang Hung Thang, Pham The Anh (2014), "Some results on random fixed points of completely random operators",Vietnam J Math 42, pp 133140 [3] Dang Hung Thang, Pham The Anh (2014), "Some results on random coincidence points of completely random operators", Acta Mathematica Vietnamica 39, pp 163184 74 T i li»u tham kh£o Ti‚ng Vi»t [1] T/ Ngồc nh (2012), Mt sL vĐn ã vã phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản, Lun Ăn Tin sắ, HKHTN, HQGHN [2] ng Hũng Thng (2006), QuĂ trnh ngÔu nhiản v tnh toĂn ngÔu nhiản, Nh xuĐt bÊn /i håc QuLc gia H Nºi [3] Nguy„n Duy Ti‚n, Vô Viằt Yản (2000), Lỵ thuyt xĂc suĐt, Nh xuĐt bÊn Gi¡o döc Ti‚ng Anh [4] Abbas M (2005), Solution of random operator equations and inclusions, Ph.D thesis, National College of Business Administration and Economics, Parkistan [5] Anh T N (2010), Random fixed points of probabilistic contractions and applications to random equations, Vietnam J Math38, pp 227235 [6] Aubin J P., Frankowska H (1990), Set-valued analysis, Birkhauser Boston 75 [7] Banach S., (1922) Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations itegrales, Fundamenta Mathematicae 3, pp 133181 [8] Beg I., Azam A (1992), Fixed points of asymptotically regular multivalued mappings, Austral Math Soc (Ser A) 53, pp 313326 [9] Beg I., Shahzad N (1993), Random fixed points of random multivalued operators on Polish spaces, Nonlinear Anal 20(7), pp 835847 [10] Beg I., Shahzad N (1993), Random fixed points and approximations in random convex metric spaces, J Appl Math Stochastic Anal 6(3), pp 237-246 [11] Beg I., Shahzad N (1994), Random fixed point theorems for nonexpansive and contractive-type random operators on Banach spaces, J Appl Math Stoc Anal 7(4), pp 569580 [12] Beg I., Abbas M (2006), Iterative procedures for solutions of random operator equations in Banach spaces, J Math Anal Appl 315 (1), pp 181201 [13] Beg I., Abbas M (2008), Random fixed points of asymptotically nonexpansive random operators on unbounded domains,Math Slovaca 58 (6), pp 755762 [14] Benavides T D., Acedo G L., Xu H K (1996), Random fixed points of set-valued operators, Proc Amer Math Soc 124 (3), pp 831838 [15] Bharucha-Reid A T (1972), Random integral equations, Academic Press, New York 76 [16] Bharucha-Reid A T (1976), Fixed point theorems in probabilistic analysis, Bull Amer Math Soc 82(5), pp 641657 [17] Chandra M., Mishra S N., Singh S L., Rhoades B E (1995), Coincidence and fixed points of nonexpansive type multi-valued and single-valued maps, Indian J Pure Appl Math 26 (5), pp 393401 [18] Choudhury B S (1995), Convergence of a random iteration scheme to a random fixed point, J Appl Math Stochastic Anal (2), pp 139142 [19] Choudhury B S (2003), Random Mann iteration scheme, J Appl Math Stochastic Anal 16 (1), pp 9396 [20] Chouhury B.S., Metiya N (2010), The point of coincidence and common fixed point for a pair mappings in cone metric spaces,Comput Math Appl., 60, pp 1686-1695 [21] Ciric L B (1993), On some nonexpansive type mappings and fixed points, Indian J Pure Appl Math 24 (3), pp 145149 [22] Ciric L B., Ume J S., Jesic S N (2006), On random coincidence and fixed points for a pair of multivalued and single-valued mappings, J Inequal Appl (Hindawi Publ Corp.) Article ID 81045, 2006, pp 112 [23] Deimling K (1985), Nonlinear functional analysis, SpringerVerlag, Berlin 77 [24] Engl H W (1978), Some random fixed point theorems for strict contractions and nonexpansive mappings, Nonlinear Anal (5), pp 619626 [25] Fierro R., Mart‰nez C., Morales C H (2011), Random coincidence theorems and applications, J Math Anal Appl.378(1), pp 213219 [26] Hadzic O., Pap E (2001),Fixed point theory in probabilistic metric spaces, Kluwer Academic Publishers [27] Hadzic O., Pap E., Budincevic M (2005), A generalization of Tardiff’s fixed point theorem in probabilistic metric spaces and applications to random equations,Fuzzy Sets and Systems 156, pp 124134 [28] Hans O (1957), Random fixed point theorems, Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Function, and Random process (Liblice, 1956), Czechoslovak Acad Sci., Prague, pp 105125 [29] Himmelberg C J (1975), Measurable relations, Fund Math 87, pp 5372 [30] Itoh S (1977), A random fixed point theorem for a multivalued contraction mapping, Pacific J Math 68(1), pp 8590 [31] Itoh S (1979), Random fixed-point theorems with an application to random differential equations in Banach spacess, J Math Anal Appl 67(2), pp 261273 78 [32] Joshi M (1980), Nonlinear random equations with P-compact operators in Banach spaces, Indian J Pure Appl Math 11 (6), pp 791799 [33] Khan A R., Hussain N (2004), Random coincidence point theorem in Frechet spaces with applications, Stoch Anal Appl 22 (1), pp 155167 [34] Khan A R., Akbar F., Sultana N., Hussain N (2006), Coincidence and invariant approximation theorems for generalized fnonexpansive multivalued mappings, Internat J Math Math Sci., Hindawi Publ Corp., Article ID17637, 2006, pp 118 [35] Khan A R., Domlo A A., Hussain N (2007), Coincidences of Lipschitz-type hybrid maps and invariant approximation, Numer Funct Anal Optim 28 (9-10), pp 11651177 [36] Latif A., Al-Mezel S A (2008), Coincidence and fixed point results for non-commuting maps, Tamkang J Math 39 (2), pp 105110 [37] Lin T C (1988), Random approximations and random fixed point theorems for non-self-maps,Proc Amer Math Soc 103 (4), pp 11291135 [38] Mann W R (1953), Mean value methods in iteration,Proc Amer Math Soc 4, pp 506510 [39] Matkowski J (1977), Fixed point theorems for mappings with a contractive iterate at a point, Proc Amer Math Soc 62 (3), pp 344348 79 [40] Mustafa G (2003), Some random coincidence point theorems, J Math Res Exposition 23(3), pp 413421 [41] Mustafa G., Noshi N A., Rashid A (2005), Some random coincidence and random fixed point theorems for hybrid contractions, Lobachevskii J Math 18, pp 139149 [42] Nashine H K (2010), Random coincidence points, invariant approximation theorems, nonstarshaped domain and q-normed spaces, Random Oper Stoch Equ 18, pp 165183 [43] Saha M., Anamika G (2012), Random fixed point theorem on a Ciri ctype contractive mapping and its consequence, Fixed Point Theory Appl 2012:209 [44] Shahzad N (1995), Random fixed points and approximations, Ph.D thesis, Quaid-I-Azam University, Islamabad Parkistan [45] Shahzad N., Latif A (2000), A random coincidence point theorem, J Math Anal Appl 245, pp 633638 [46] Shahzad N (2000), Random approximations and random coincidence points of multivalued random maps with stochastic domain, New Zealand J Math.,29(1), pp 9196 [47] Shahzad N (2004), Some general random coincidence point theorems, New Zealand J Math 33(1), pp 95103 [48] Shahzad N (2005), On random coincidence point theorems, Topol Methods Nonlinear Anal.,25(2), pp 391-400 80 [49] Shahzad N., Hussain N (2006), Deterministic and random coincidence point results for f-nonexpansive maps, J Math Anal Appl., 323, pp 10381046 [50] Shahzad N (2008), Random fixed point results for continuous pseudo-contractive random maps, Indian J Math 50 (2), pp 263 271 [51] Schauder J.(1930), Der Fixpunktsatz in Funktionalr aumen, Studia Math., 2, pp 171180 [52] Singh S L., Ha K S., Cho Y J (1989), Coincidence and Fixed points of nonlinear hybrid contractions, Internat J Math Math Sci 12 (2), pp 247256 [53] Spacek A (1955), Zufallige Gleichungen (Random equations), Czechoslovak Math J (4), pp 462466 [54] Tan K K., and Yuan X Z (1993), On deterministic and random fixed points,Proc Amer Math Soc 119(3), pp 849856 [55] Thang D H., Thinh N (2004), Random bounded operators and their extension, Kyushu J Math 58, pp 257276 [56] Thang D H., Cuong T M (2009), Some procedures for extending random operators,Random Oper Stoch Equ.17(4), pp 359380 [57] Thang D H., Anh T N (2010), On random equations and applications to random fixed point theorems, Random Oper Stoch Equ 18(3), pp 199212 81 [58] Thang D H., Anh T N (2010), Some results on random equations, Vietnam J Math 38 (1), pp 3544 [59] Tsokos C P., Padgett W J (1971), Random integral equations with applications to stochastic sytems Lecture Notes in Mathematics, Vol 233, Springer-Verlag, Berlin-New York [60] Xu H K (1990), Some random fixed point theorems for condensing and nonexpansive operators, Proc Amer Math Soc 110 (2), pp 395400 [61] Xu H K (1993), A random fixed point theorem for multivalued nonexpansive operators in uniformly convex Banach spaces, Proc Amer Math Soc 117 (4), pp 10891092 [62] Xu H K., Beg I (1998), Measurability of fixed point sets of multivalued random operators, J Math Anal Appl 225 (1), pp 6272 82 ... HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THẾ ANH ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 01 06 62 46 LUẬN... 2000, [46] n«m 2000, [40] n«m 2003, [47] n«m 2004, [33] n«m 2004 , [41] n«m 2005, [48] n«m 2005, [49] n«m 2 006, [34] n«m 2 006, [22] n«m 2 006, [35] 2007, [36] n«m 2008, [42] n«m 2010 , [20] n«m 2010 ,... mồi unk P(kunk uk > t) : V… p-limk unk = u, tỗn t/i dÂy (u0n k ) hi tử h.c.c tợi u V liản tửc, u0n k hi tử h.c.c tợi u nản hi tử tợi u theo xĂc suĐt Do â = lim k P(ku0n k uk > t) 25 v suy mÔu thuÔn