Khóa luận về sự tồn tại điểm bất động và bất động chung trong không gian b mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC LÊ THỊ NGA VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHƠNG GIAN b-MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HÓA, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC LÊ THỊ NGA VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 Cán hướng dẫn khoa học PGS TS Đinh Huy Hồng THANH HĨA, NĂM 2017 Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học theo Quyết định số ngày tháng 08 năm 2017 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị, Họ tên TS Hoàng Nam GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng TS Vũ Trọng Lưỡng Cơ quan Công tác ĐH Hồng Đức Học Viện QLGD ĐH Tây Bắc Chức danh Hội đồng Chủ tịch Phản biện Phản biện PGS TS Nguyễn Minh Mẫn TS Đỗ Văn Lợi ĐH Mỏ Địa Chất ĐH Hồng Đức Ủy viên Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày tháng năm 2017 PGS.TS Đinh Huy Hồng * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Thư viện Trường Đại học Hồng Đức - Bộ mơn: Tốn Giải Tích Trường Đại học Hồng Đức LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại Học Hồng Đức hướng dẫn tận tình PGS.TS Đinh Huy Hồng Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa sư phạm Toán q thầy, tổ Giải tích trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ thời gian học tập, rèn luyện hoàn thành luận văn Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THPT Quảng Xương 2, Thanh Hóa tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học Giải tích K8 cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thanh Hóa, tháng năm 2017 Lê Thị Nga LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Người cam đoan Lê Thị Nga MỤC LỤC Mục lục Mở đầu 1 Không gian b-mêtric 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian b-mêtric Một vài kết tồn điểm bất động bất động chung không gian b-mêtric 2.1 Sự tồn điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian b-mêtric 2.2 10 10 Sự tồn điểm bất động chung ánh xạ tương thích yếu khơng gian b-mêtric 19 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động chủ đề quan tâm nghiên cứu giải tích, có nhiều ứng dụng toán học ngành khoa học kỹ thuật khác Nguyên lý tồn điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1922) kết quan trọng lý thuyết điểm bất động Kết mở rộng cho nhiều loại ánh xạ nhiều lớp không gian khác Vào năm 1993, để mở rộng lớp không gian mêtric, S Czerwik [5] đưa khái niệm không gian b-mêtric chứng minh vài kết tồn điểm bất động ánh xạ co không gian b-mêtric Sau đó, nhiều nhà tốn học tìm cách mở rộng kết tồn điểm bất động không gian mêtric cho không gian b-mêtric Năm 2013, M.Kir H.Kiziltunc [8] chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Kannan kiểu Chatterjea không gian b-mêtric Mới (2014), Z.Mustafa cộng [10] mở rộng kết Kannan [7], Chatterjea [3], Choudhury [4], Moradi [9] Razami, Parvaneh [11] tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Kannan, Chatterjea, không gian mêtric cho không gian b-mêtric Cũng vào năm 2014, J.R Roshan cộng [12] đưa số kết tồn điểm bất động chung bốn ánh xạ không gian b-mêtric Một vấn đề đặt là, kết tồn điểm bất động chung không gian mêtric kết J R Joshan mở rộng cho không gian b-mêtric hay không? Để giải vấn đề này, để tập dượt nghiên cứu khoa học tìm hiểu lý thuyết điểm bất động, nhờ giúp đỡ PGS.TS Đinh Huy Hồng tơi chọn đề tài nghiên cứu là: "Về tồn điểm bất động bất động chung không gian b-mêtric" Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn nghiên cứu không gian bmêtric tồn điểm bất động bất động chung không gian b-mêtric Đưa điều kiện để ánh xạ co suy rộng có điểm bất động điều kiện để cặp ánh xạ tương thích yếu có điểm bất động chung khơng gian b-mêtric Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu nêu trên, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn nghiên cứu kiến thức sở không gian mêtric, không gian b-mêtric, tồn điểm bất động bất động chung không gian mêtric Từ áp dụng vào việc nghiên cứu tồn điểm bất động bất động chung không gian b-mêtric Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn không gian mêtric, không gian b-mêtric, tồn điểm bất động bất động chung ánh xạ không gian b-mêtric Phương pháp nghiên cứu Dựa vào số kết có tồn điểm bất động ánh xạ co suy rộng, điểm bất động chung cặp ánh xạ tương thích yếu khơng gian mêtric, phương pháp tương tự hóa khái quát hóa để mở rộng kết cho không gian b-mêtric Dự kiến đóng góp luận văn Đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ co suy rộng Định lý 2.1.5, 2.1.7, 2.1.12 tồn điểm bất động chung hai cặp ánh xạ tương thích yếu khơng gian b-mêtric Định lí 2.2.2 hệ 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.7, 2.2.9 Các kết mở rộng kết tương tự không gian mêtric Chương KHƠNG GIAN b-MÊTRIC Chương trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian b-mêtric làm sở cho việc trình bày chương 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm không gian mêtric, điểm bất động mà chúng cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử X tập khác rỗng d : X x X −→ R Hàm d gọi mêtric X với x, y, z ∈ X điều kiện sau thoả mãn: 1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y ; 2) d(x, y) = d(y, x); 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Tập hợp X với mêtric d gọi khơng gian mêtric kí hiệu (X, d) X 1.1.2 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng, f g : X −→ X hai ánh xạ 1) Điểm x ∈ X gọi điểm bất động f f (x) = x 2) Điểm x ∈ X gọi điểm trùng f g f (x) = g(x) 3) Điểm x ∈ X gọi điểm bất động chung f g f (x) = g(x) = x Điểm bất động chung hay ánh xạ định nghĩa tương tự 17 Từ suy
2a1 + a2 + a3 + (a4 + a5 ) s d (x, f x) , ∀x ∈ X d f x, f x ≤ − (a2 + a3 + sa4 + sa5 ) Mặt khác từ (2.4) suy 2a1 + a2 + a3 + (a4 + a5 ) s < − (a2 + a3 + sa4 + sa5 ) s Do theo Định lý 2.1.7, f có điểm bất động X 2.1.12 Định lí Giả sử X khơng gian b-mêtric đầy   đủ với tham số s ≥ 1, f : X −→ X Khi đó, tồn a ∈ 0, cho với s +s x, y ∈ X , d (f x, f y) ≤ a sup{d (x, y) , d (x, f x) , d (x, f y) , d (y, f x) , d (y, f y) } (2.8) f có điểm bất động Chứng minh Lấy x0 ∈ X đặt xn = f xn−1 với n = 1, 2, Khi đó, với n ≥ ta có d (xn , xn+1 ) = d (f xn−1 , f xn ) ≤ asup{d (xn−1 , xn ) , d (xn−1 , f xn−1 ) , d (xn−1 , f xn ) , d (xn , f xn−1 ) , d (xn , f xn ) } = a sup {d (xn−1 , xn ) , d (xn−1 , xn+1 ) , d (xn , xn+1 )} ≤ sa [d (xn−1 , xn ) + d (xn , xn+1 )] Từ suy sa d (xn−1 , xn ) , ∀n ≥ (2.9) − sa     sa 1 Đặt b = Vì a ∈ 0, nên b ∈ 0, Từ (2.9) suy − sa s +s s d (xn , xn+1 ) ≤ d (xn , xn+1 ) ≤ bd (xn−1 , xn ) ≤ b2 d (xn−2 , xn−1 ) ≤ ≤ bn d (x0 , x1 ) , ∀n ≥ 18 Do đó, áp dụng bất đẳng thức tam giác sử dụng bs < ta có d (xn , xn+p ) ≤ sd (xn , xn+1 ) + s2 d (xn+1 , xn+2 ) + + sp d (xn+p−1, xn+p )
≤ sbn + s2 bn+1 + + sp bn+p−1 d (x0 , x1 ) p n − (sb) = sb d (x0 , x1 ) − sb sbn ≤ d (x0 , x1 ) , ∀n ≥ 1, ∀p ≥ (2.10) − sb   sbn nên d (x0 , x1 ) → n → ∞ Do {xn } dãy Vì b ∈ 0, s − sb Cauchy Vì X đầy đủ nên tồn x ∈ X cho xn → x Khi đó, ta có f xn = xn+1 → x Bây giờ, ta chứng tỏ x điểm bất động f Ta có d (x, f x) ≤ sd (x, f xn ) + sd (f xn , f x) ≤ d (x, xn+1 ) + +a sup {d (xn , x) , d (xn , f xn ) , d (xn , f x) , d (x, f xn ) , d (x, f x)} ≤ d (x, xn+1 ) + a sup{d (xn , x) , d (xn , xn+1 ) , sd (xn , x) + +sd (x, f x) , d (x, xn+1 ) , d (x, f x) } ≤ d (x, xn+1 ) + sa [d (xn , x) + d (x, f x) + d (x, xn+1 )] , ∀n ≥ Do ta có (1 − sa) d (x, f x) ≤ d (x, xn+1 ) + sa [d (xn , x) + d (x, xn+1 )] ∀n ≥ (2.11) Vì xn → x n → ∞ ta có d (x, xn+1 ) + sa [d (xn , x) + d (x, xn+1 )] → n → ∞ Kết hợp với (2.11) ta có (1 − sa) d (x, f x) ≤ Vì < sa < nên từ bất đẳng thức cuối suy d(x, f x) = 0, tức f x = x Như x điểm bất động f Giả sử y điểm bất động f X Khi đó, x 6= y theo điều kiện (2.8) ta có d (x, y) = d (f x, f y) ≤ a sup {d (x, y) , d (x, x) , d (x, y) , d (y, x) , d (y, y)} = ad (x, y) < d (x, y) Đây điều vơ lý Do x = y Vậy điểm bất động f 19 2.2 Sự tồn điểm bất động chung ánh xạ tương thích yếu khơng gian b-mêtric Trong mục này, đưa vài kết tồn điểm bất động chung hai cặp ánh xạ tương thích yếu không gian b-mêtric 2.2.1 Định nghĩa Giả sử (X, d) không gian b-mêtric với tham số s ≥ 1, hai ánh xạ f g : X −→ X x ∈ X Điểm x gọi điểm trùng f g f x = gx Điểm x gọi điểm bất động chung f g x = f x = gx Hai ánh xạ f g gọi cặp tương thích yếu chúng giao hốn điểm trùng chúng, tức x điểm trùng f g f gx = gf x 2.2.2 Định lí Giả sử (X, d) không gian b-mêtric với tham số s ≥ A, B, S, T ánh xạ từ X vào X thỏa mãn điều kiện sau i) A (X) ⊂ T (X) , B (X) ⊂ S (X) ; ii) Một tập A(X), B(X), S(X), T (X) đầy đủ X ; iii) Tồn số không âm a1 , a2 , , a5 cho s (a1 + a2 ) + s (s + 1) a3 + a5 < 1, (2.12) s (a1 + a5 ) + s (s + 1) a4 + a2 < 1, (2.13) s2 a3 + sa5 < 1, (2.14) s2 a4 + sa2 < (2.15) d(Ax, By) ≤ a1 d(Sx, T y) + a2 d(Ax, Sx) + a3 d(Sx, By) + a4 d(T y, Ax) + a5 d(T y, By) với x, y ∈ X ; iv) (A, S) (B, T ) cặp tương thích yếu Khi đó, A, B, S T có điểm bất động chung (2.16) 20 Chứng minh Lấy x0 ∈ X Vì A(X) ⊂ T (X) nên tồn x1 ∈ X cho T x1 = Ax0 := y0 Do B(X) ⊂ S(X) nên tồn x2 ∈ X cho Sx2 = Bx1 := y1 Tiếp tục lý luận tương tự ta xây dựng hai dãy {xn } , {yn } X thỏa mãn y2n = Ax2n = T x2n+1 , y2n+1 = Bx2n+1 = Sx2n+2 ∀n = 0, 1, Đặt tn = d (yn , yn+1 ) ∀n = 0, 1, Sử dụng (2.16) bất đẳng thức tam giác ta có t2n = d (Ax2n , Bx2n+1 ) ≤ a1 d (Sx2n , T x2n+1 ) + a2 d (Sx2n , Ax2n ) +a3 d (Sx2n , Bx2n+1 ) + a4 d (T x2n+1 , Ax2n ) + a5 d (T x2n+1 , Bx2n+1 ) = a1 d (y2n−1 , y2n ) + a2 d (y2n−1 , y2n ) + a3 d (y2n−1 , y2n+1 ) +a4 d (y2n , y2n ) + a5 d (y2n , y2n+1 ) ≤ (a1 + a2 ) t2n−1 + a3 s [d (y2n−1 , y2n ) + d (y2n , y2n+1 )] + a5 t2n = (a1 + a2 + sa3 ) t2n−1 + (sa3 + a5 ) t2n , ∀n = 1, 2, Do a1 + a2 + sa3 t2n−1 − sa3 − a5 Bằng cách chứng minh tương tự ta có t2n ≤ t2n+1 ≤ a1 + a5 + sa4 t2n − a2 − sa4 ∀n = 1, 2, (2.17) ∀n = 1, 2, (2.18) Đặt a1 + a2 + sa3 = q; − sa3 − a5 a1 + a5 + sa4 = r − a2 − sa4 1 Từ điều kiện (2.12) (2.13) suy q < r < s s   Đặt λ = max {r, q} Khi đó, λ ∈ 0, s Từ (2.17), (2.18) suy tn ≤ λtn−1 ∀n = 1, 2, Do tn ≤ λtn−1 ≤ λ2 tn−2 ≤ ≤ λn t0 ∀n = 1, 2, (2.19) 21 Với n = 1, 2, p = 0, 1, sử dụng bất đẳng thức tam giác nhiều lần bất dẳng thức (2.19) λs ∈ [0, 1) ta có d (yn , yn+p ) ≤ sd (yn , yn+1 ) + s2 d (yn+1 , yn+2 ) + + +sp−1 d (yn+p−2 , yn+p−1 ) + sp d (yn+p−1 , yn+p ) = stn + s2 tn+1 + + sp tn+p−1
≤ sλn + s2 λn+1 + + sp λn+p−1 t0 p n − (sλ) t0 = sλ − sλ ≤ sλn t0 − sλ (2.20) t0 → n → ∞ Kết hợp với (2.20) suy − sλ {yn } dãy Cauchy (X, d) Do {y2n } {y2n+1 } hai dãy Vì λ ∈ [0, 1) nên sλn Cauchy (X, d) Bây ta xét hai trường hợp Trường hợp A(X) T (X) đầy đủ X Khi đó, {y2n } hội tụ A(X) T (X) tương ứng Vì A(X) ⊂ T (X) nên tồn x y ∈ X cho y2n → T x := y Do {yn } dãy Cauchy nên theo Bổ đề (1.2.7) yn → y Từ điều kiện (2.16) ta có d (y, Bx) ≤ sd (y, Ax2n ) + sd (Ax2n , Bx) ≤ sd (y, y2n ) + s[a1 d (Sx2n , T x) + a2 d (Sx2n , y2n ) +a3 d (Sx2n , Bx) + a4 d (T x, y2n ) + a5 d (T x, Bx) ] = sd (y, y2n ) + s[a1 d (y2n−1 , T x) + a2 d (y2n−1 , y2n ) +a3 d (y2n−1 , Bx) + a4 d (T x, y2n ) + a5 d (T x, Bx) ] ≤ sd (y, y2n ) + s[a1 d (y2n−1 , y) + a2 d (y2n−1 , y2n ) +sa3 d (y2n−1 , y) + sa3 d (y, Bx) + a4 d (y, y2n ) +a5 d (y, Bx) ] ∀n = 0, 1, Do
− s2 a3 − sa5 d (y, Bx) ≤ s (1 + a4 ) d (y, y2n ) + s (a1 + sa3 ) d (y, y2n−1 ) +sa2 d (y2n−1 , y2n ) ∀n = 0, 1, (2.21) 22 Vì yn → y n → ∞ nên vế phải (2.21) dần tới n → ∞ Mặt khác, từ (2.14) suy − s2 a3 − sa5 > Do cho n → ∞ từ (2.21) suy d(y, Bx) = 0, tức y = Bx Do Bx ∈ S(X) nên tồn v ∈ X cho Bx = Sv Sử dụng điều kiện (2.16) ta có d (y, Av) = d (Bx, Av) = d (Av, Bx) ≤ a1 d (Sv, T x) + a2 d (Sv, Av) + a3 d (Sv, Bx) +a4 d (T x, Av) + a5 d (T x, Bx) = a1 d (y, y) + a2 d (y, Av) + a3 d (y, y) +a4 d (y, Av) + a5 d (y, y) = (a2 + a4 ) d (y, Av) (2.22) Mặt khác từ (2.13) suy a1 +a4 < Do từ (2.22) suy d(y, Av) = 0, tức Av = y = Sv Vì A S cặp tương thích yếu nên Sy = SAv = ASv = Ay Từ Bx = T x = y (B, T ) cặp tương thích yếu ta có By = BT x = T Bx = T y Tiếp theo, ta chứng minh y điểm bất động chung A, B, T S Ta có d (y, By) ≤ d (Av, By) ≤ a1 d (y, T y) + a2 d (y, Av) + a3 d (y, By) +a4 d (T y, y) + a5 d (T y, By) = (a1 + a3 + a4 ) d (y, By) (2.23) Mặt khác từ (2.12) (2.13) suy a1 + a2 + + a5 < Do từ (2.23) suy d(y, By) = 0, tức y = By Sử dụng điều kiện (2.16) ta có d (Ay, y) ≤ d (Ay, By) ≤ a1 d (Sy, T y) + a2 d (Sy, Ay) + a3 d (Sy, By) +a4 d (T y, Ay) + a5 d (T y, By) = a1 d (Ay, y) + a2 d (Ay, y) + a4 d (y, Ay) = (a1 + a2 + a4 ) d (y, Ay) 23 Kết hợp với a1 + a2 + + a5 < suy d(y, Ay) = 0, tức y = Ay Như y = Ay = By = Sy = T y, tức y điểm bất động chung A, B, S T Trường hợp Giả sử B(X) S(X) đầy đủ X Khi {y2n+1 } dãy Cauchy B(X) S(X) tương ứng Do B(X) ⊂ S(X) nên tồn x y ∈ X cho y2n+1 → y = Sx Do {yn } dãy Cauchy nên yn → y Sử dụng điều kiện (2.16) ta có d (Ax, y) ≤ sd (Ax, Bx2n+1 ) + sd (Bx2n+1 , y) ≤ sd (y2n+1 , y) + s[a1 d (y, y2n ) + a2 d (y, Ax) + a3 d (y, y2n+1 ) +a4 d (y2n , Ax) + a5 d (y2n , y2n+1 ) ] ≤ s (1 + a3 ) d (y, y2n+1 ) + sa1 d (y, y2n ) + sa2 d (y, Ax) +a4 s2 [d (y2n , y) + d (y, Ax) ] + sa5 d (y2n , y2n+1 ) = s (1 + a3 ) d (y, y2n+1 ) + s (a1 + a4 s) d (y, y2n ) +s (a2 + sa4 ) d (y, Ax) + sa5 d (y2n , y2n+1 ) Do
− sa2 − s2 a4 d (y, Ax) ≤ s (1 + a3 ) d (y, y2n+1 ) +s (a1 + a4 s) d (y, y2n ) + sa5 d (y2n , y2n+1 ) ∀n = 0, 1, (2.24) Vì yn → y n → ∞ nên vế phải (2.24) dần tới n → ∞ Kết hợp với − sa2 − s2 a4 > (suy từ điều kiện (2.15)), từ (2.24) ta có d(y, Ax) = 0, tức Ax=y Do Ax ∈ T (X) nên tồn v ∈ X cho Ax = T v Sử dụng điều kiện (2.16) ta có d (y, Bv) = d (Ax, Bv) ≤ a1 d (Sx, T v) + a2 d (Sx, Ax) +a3 d (Sx, Bv) + a4 d (T v, Ax) + a5 d (T v, Bv) = (a3 + a5 )d (y, Bv) Kết hợp với a3 + a5 < suy d(y, Bv) = 0, tức Bv = y Như Bv = T v = Ax = Sx = y Vì (A, S) (B, T ) cặp tương thích yếu 24 nên Ay = ASx = SAx = Sy, By = BT v = T Bv = T y Theo điều kiện (2.16) ta có d (Ay, y) = d (Ay, Bv) ≤ a1 d (Sy, y) + a2 d (Sy, Ay) +a3 d (Sy, y) + a4 d (y, Ay) + a5 d (y, y) = (a1 + a3 + a4 )d (Ay, y) Kết hợp với a1 + a3 + a4 < ta có d(Ay, y) = 0, tức y = Ay = Sy Tương tự ta có d (y, By) = d (Ay, By) ≤ a1 d (y, T y) + a2 d (y, y) +a3 d (y, By) + a4 d (T y, y) + a5 d (T y, By) = (a1 + a3 + a4 )d (y, By) Kết hợp với a1 + a3 + a4 < ta có d(y, By) = 0, tức y = By = T y Như y điểm bất động chung A, B, S T Cuối cùng, giả sử u điểm bất động chung A, B, S T X Khi u = Au = Bu = Su = T u Do ta có d (y, u) = d (Ay, Bu) ≤ a1 d (y, u) + a2 d (y, y) +a3 d (y, u) + a4 d (u, y) + a5 d (u, u) = (a1 + a3 + a4 )d (u, y) Kết hợp với a1 + a3 + a4 < ta có d(u, y) = 0, tức u = y Vậy điểm bất động chung A, B, S T Sau số Hệ Định lý 2.2.2 Trong Định lý 2.2.2, lấy T S ánh xạ đồng X , tức T x = Sx = x với x ∈ X , ta nhận Hệ sau 25 2.2.3 Hệ Giả sử (X, d) không gian b- mêtric với tham số s ≥ 1, A B : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau i) Một tập A(X), B(X), X đầy đủ X ; ii) Tồn số không âm a1 , a2 , , a5 cho s(a1 + a2 ) + s(s + 1)a3 + a5 < 1, s(a1 + a5 ) + s(s + 1)a4 + a2 < 1, s2 a3 + sa5 < 1, s2 a4 + sa2 < d (Ax, By) ≤ a1 d (x, y) + a2 d (x, Ax) + a3 d (x, By) +a4 d (y, Ax) + a5 d (y, By) ∀x, y ∈ X Khi đó, A B có điểm bất động chung 2.2.4 Hệ Giả sử (X, d) không gian b- mêtric đầy đủ với tham số s ≥ 1, A B : X −→ X hai ánh xạ cho tồn số không âm b1 , b2 , b3 thỏa mãn sb1 + (s + 1)b2 + s(s + 1)b3 < (2.25) d (Ax, By) ≤ b1 d (x, y) + b2 [d (x, Ax) + d (y, By)] +b3 [d (x, By) + d (y, Ax)] ∀x, y ∈ X (2.26) Khi đó, A B có điểm bất động chung Chứng minh Đặt a1 = b1 , a2 = a5 = b2 , a3 = a4 = b3 Khi từ (2.25) suy điều kiện (2.12), (2.13), (2.14) (2.15) Định lý 2.2.2 thỏa mãn Từ (2.26) suy điều kiện (2.16) Định lý 2.2.2 thỏa mãn với T S hai ánh xạ đồng X Do điều kiện Hệ 2.2.3 thỏa mãn Sử dụng Hệ 2.2.3 ta có điều phải chứng minh 26 Trong Hệ 2.2.4, lấy B = A ta nhận Hệ sau 2.2.5 Hệ Giả sử (X, d) không gian b- mêtric đầy đủ với tham số s ≥ 1, A : X −→ X ánh xạ cho tồn số không âm b1 , b2 , b3 thỏa mãn sb1 + (s + 1)b2 + s(s + 1)b3 < d (Ax, Ay) ≤ b1 d (x, y) + b2 [d (x, Ax) + d (y, Ay)] +b3 [d (y, Ax) + d (x, Ay)] ∀x, y ∈ X Khi đó, A có điểm bất động 2.2.6 Chú ý Định lý 2.1.3 ([8]) trường hợp đặc biệt Hệ 2.2.5 lấy b1 = α, b2 = b3 = 2.2.7 Định nghĩa Giả sử (X, d) không gian mêtric Ánh xạ f : X −→ X gọi   1) ([7]) Co kiểu Kannan tồn α ∈ 0, cho với x, y ∈ X , ta có d(f x, f y) ≤ α[d(x, f x) + d(y, f y)]   cho với 2) ([3]) Co kiểu Chatterjea tồn α ∈ 0, x, y ∈ X , ta có d(f x, f y) ≤ α[d(x, f y) + d(y, f x)] 2.2.8 Hệ Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, A : X −→ X Khi đó, A thỏa mãn ba điều kiện 1) A ánh xạ co kiểu Bannach, 2) ([7]) A ánh xạ co kiểu Kannan, 3) ([3]) A ánh xạ co kiểu Chatterjea A có điểm bất động 27 Chứng minh 1) Giả sử A ánh xạ co kiểu Bannach, tức tồn số α ∈ [0, 1) cho d (Ax, Ay) ≤ αd (x, y) ∀x, y ∈ X Khi đó, đặt b1 = α, b2 = b3 = điều kiện Hệ 2.2.5 thỏa mãn với s = Mà (X, d) không gian mêtric đầy đủ, tức (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ với s = Do đó, sử dụng Hệ 2.2.5 ta có khẳng định cần chứng minh   2) Giả sử A ánh xạ co kiểu Kannan, tức tồn α ∈ 0, cho d (Ax, Ay) ≤ α[d (x, Ax) + d (y, Ay)] ∀x, y ∈ X Khi đó, đặt b1 = 0, b2 = α, b3 = điều kiện Hệ 2.2.5 thỏa mãn với s = Do sử dụng Hệ 2.2.5 ta có điều phải chứng minh 3) Trường hợp A ánh xạ co kiểu Chatterjea chứng minh tương tự 2.2.9 Hệ ([6]) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ A : X −→ X ánh xạ cho tồn số không âm a1 , a2 , , a5 thỏa mãn a1 + a2 + + a5 < d (Ax, Ay) ≤ a1 d (x, y) + a2 d (x, Ax) + a3 d (x, Ay) +a4 d (y, Ax) + a5 d (y, Ay) ∀x, y ∈ X (2.27) Khi đó, A có điểm bất động Chứng minh Sử dụng (2.27) ta có d (Ay, Ax) ≤ a1 d (x, y) + a2 d (y, Ay) + a3 d (y, Ax) +a4 d (x, Ay) + a5 d (x, Ax) ∀x, y ∈ X (2.28) 28 Từ (2.27) (2.28) suy a2 + a5 a3 + a4 d (x, Ax) + d (x, Ay) 2 a4 + a3 a5 + a2 + d (y, Ax) + d (y, Ay) ∀x, y ∈ X (2.29) 2 d (Ax, Ay) ≤ a1 d (x, y) + Đặt b1 = a1 , b2 = a3 + a4 a2 + a5 , b3 = 2 Khi đó, (2.29) trở thành d (Ax, Ay) ≤ b1 d (x, y) + b2 [d (x, Ax) + d (y, Ay) ] +b3 [d (x, Ay) + d (y, Ax)] ∀x, y ∈ X ta có b1 + 2b2 + 2b3 = a1 + a2 + + a5 < Như điều kiện Hệ 2.2.5 thỏa mãn với s = Do theo Hệ 2.2.5 A có điểm bất động 29 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau 1)Trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian b-mêtric 2) Đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ co suy rộng, tựa co khơng gian b-mêtric Định lý 2.1.5, Định lý 2.1.7, Định lý 2.1.12 Hệ chúng 3) Đưa kết tồn điểm bất động chung hai cặp ánh xạ tương thích yếu khơng gian b-mêtric, Định lý 2.2.2 Hệ 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.7, 2.2.9, Hệ 2.2.7 kết báo [3] [7], Hệ 2.2.9 kết tài liệu tham khảo [6] 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Giải tích tốn học, Tập 1, Nhà xuất đại học sư phạm [2] A Aghajani, M Abbas, J R Roshan (2014), Common fixed point of generalized weak contractive mapping in partially ordered b-mêtric spaces, Math Slovaca (in press) [3] S K Chatterjea (1972), fixed point theorems, C R Acad Bulgare Sci 25, 727 -730 [4] S Choudhury (2009), Unique fixed point theorems for weak Ccontractive mappings, Kathamandu Univ J Sci Eng Technol 5(1), 6-13 [5] S Czerwik (1993), Contraction mappings in b-mêtric spaces, Acta Math Inform Univ Ostrav 1, 5-11 [6] G.E.Hardy and T.D.Roger(1973), A generalization of a fixed point theorem of Reich, Canada.Math Bull.16, 201-206 [7] R Kannan (1968), Some results on fixed points, Bull Calcutta Math Soc 60, 71-76 [8] M Kir, H Kiziltunc (2013), On some well known fixed point theorems in b-metric spaces, Turkish Journal of Analysis and Number Theory, Vol 1, No 1, 13-16 31 [9] S Moradi (2011), Kannan fixed point theorem on complete metric spacesand and on generalized metric spaces depended on another funtion, arXiv: 0903 577vl [math.FA] [10] Z Mustafa, J R Roshan, V Parvaneh and Z Kadelburg (2014), Fixed point theorems for weakly T-Chatterjea and weakly T-Kannan contractions in b-metric spaces, Journal of Inequalities and Applications, Vol 1, No 46 (2014), 1-14 [11] A Razani, V Paraneh (2013), Some fixed point theorems for weakly T-Chatterjea and weakly T-Kannan contractive mappings in complete metric spaces, Russ Math (Izv VUZ) 57(3), 38-45 [12] J R Roshan, N, Shobkolaei, S.Sedghi and M Abbas (2014), Common fixed point of four maps in b- metric spaces, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, Vol 43 (4), 613- 624