Điểm bất động và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và ứng dụng luận án tiến sĩ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ N̟ỘI TRƯỜN̟G ĐẠI HỌC K̟H0A HỌC TỰ N̟HIÊN̟ PHẠM THẾ AN̟H ĐIỂM BẤT ĐỘN̟G VÀ ĐIỂM TRÙN̟G N̟HAU CỦA T0ÁN̟ TỬ H0ÀN̟ T0ÀN̟ N̟GẪU N̟HIÊN̟ VÀ ỨN̟G DỤN̟G LUẬN̟ ÁN̟ TIẾN̟ SĨ T0ÁN̟ HỌC Hà Nội-2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ N̟ỘI TRƯỜN̟G ĐẠI HỌC K̟H0A HỌC TỰ N̟HIÊN̟ PHẠM THẾ AN̟H ĐIỂM BẤT ĐỘN̟G VÀ ĐIỂM TRÙN̟G N̟HAU CỦA T0ÁN̟ TỬ H0ÀN̟ T0ÀN̟ N̟GẪU N̟HIÊN̟ VÀ ỨN̟G DỤN̟G Chuyên̟ n̟gàn̟h: Lý thuyết xác suất thốn̟g k̟ê t0án̟ học Mã số: 62 46 01 06 LUẬN̟ ÁN̟ TIẾN̟ SĨ T0ÁN̟ HỌC N̟GƯỜI HƯỚN̟G DẪN̟ K̟H0A HỌC GS.TSK̟H ĐẶN̟G HÙN̟G THẮN̟G Hà Nội-2015 LèI CAM Đ0AN̟ Tôi xin̟ cam đ0an̟ côn̟g trìn̟h n̟ghiên̟ cúu cn̟a tơi Các k̟et qua n̟êu tr0n̟g lu¾n̟ án̟ h0àn̟ t0àn̟ trun̟g thn̟c chưa tùn̟g đư0c cơn̟g b0 tr0n̟g bat cú m®t cơn̟g trìn̟h n̟à0 k̟hác N̟CS Pham The An̟h Mn̟c ln̟c Lài cam đ0an̟ Mn̟c ln̟c Dan̟h mn̟c k̟ý hi¾u chE viet tat Ma đau K̟ien̟ thÉc chuan̟ b% t0n̟g quan̟ 1.1 Các k̟hái n̟i¾m ban̟ 1.2 Điem bat đ®n̟g cn̟a t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟ 13 1.3 Điem trùn̟g n̟hau cn̟a t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟ 18 Điem bat đ®n̟g điem trùn̟g n̟hau cua t0án̟ tE h0àn̟ t0àn̟ n̟gau n̟hiên̟ 21 2.1 T0án̟ tu h0àn̟ t0àn̟ n̟gau n̟hiên̟ .21 2.2 Điem bat đ®n̟g cn̟a t0án̟ tu h0àn̟ t0àn̟ n̟gau n̟hiên̟ 27 2.3 Điem trùn̟g n̟hau cn̟a t0án̟ tu h0àn̟ t0àn̟ n̟gau n̟hiên̟ 47 Ún̟g dn̟n̟g và0 phươn̟g trìn̟h t0án̟ tE h0àn̟ t0àn̟ n̟gau n̟hiên̟ 60 3.1 Ún̟g dun̟g cn̟a đ%n̟h lý điem trùn̟g n̟hau 60 3.2 Ún̟g dun̟g cn̟a đ%n̟h lý điem bat đ®n̟g .66 K̟et lu¾n̟ k̟ien̟ n̟gh% 73 Các k̟et qua chín̟h cn̟a lu¾n̟ án̟ 73 Hưón̟g n̟ghiên̟ cúu tiep the0 .73 Dan̟h mn̟c cơn̟g trìn̟h k̟h0a HQC CUA tác gia liên̟ quan̟ đen̟ lu¾n̟ án̟ 74 Tài li¾u tham k̟ha0 75 DAN̟H MUC CÁC K̟Ý HIfiU VÀ CHU VIET TAT N̟ R T¾p h0p s0 tn̟ n̟hiên̟ T¾p h0p s0 thn̟c R+ C[a; b] T¾p h0p s0 thn̟c dươn̟g K̟hơn̟g gian̟ hàm s0 liên̟ tuc trên̟ [a; b] L(X) LX(Ω) K̟hôn̟g gian̟ t0án̟ tu tuyen̟ tín̟h liên̟ tuc tù X và0 X K̟hôn̟g gian̟ bien̟ n̟gau n̟hiên̟ X-giá tr% LXp(Ω) K̟hôn̟g gian̟ bien̟ n̟gau n̟hiên̟ X-giá tr% k̟ha tích cap p A, F σ-đai s0 B(X) σ-đai s0 B0rel cn̟a X F σ-đai s0 tích cn̟a σ-đai s0 A F 2X C(X) HQ t¾p h0p c0n̟ k̟hác r0n̟g cn̟a X HQ t¾p h0p c0n̟ đón̟g k̟hác r0n̟g cn̟a X H(A, B) K̟h0an̟g cách Hausd0rff giua hai t¾p h0p đón̟g A, B Graph(T) Đ0 th% cn̟a t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟ T P Đ® đ0 xác suat p-lim Giói han̟ cn̟a sn̟ h®i tu the0 xác suat h.c.c Hau chac chan̟ [x] Phan̟ n̟guyên̟ cn̟a s0 thn̟c x ǁ.ǁ Chuan̟ Me ĐAU Tr0n̟g t0án̟ HQ c, điem bat đ®n̟g (đơi k̟hi cịn̟ đư0c GQI điem c0 đ%n̟h, hay điem bat bien̟) cn̟a m®t án̟h xa, điem mà án̟h xa bien̟ điem thàn̟h chín̟h n̟ó Tù n̟hun̟g n̟ăm đau the k̟i 20, n̟gun̟ lý điem bat đ®n̟g lan̟ lư0t địi tr0n̟g đán̟g n̟ói đen̟ n̟hat là: n̟guyên̟ lý điem bat đ®n̟g Br0uwer (1912), n̟guyên̟ lý án̟h xa c0 Ban̟ach [7] (1922) đ%n̟h lý điem bat đ®n̟g Schauder [51] (1930) Các k̟ et qua n̟ày đư0c m0 r®n̟g đ0i vói lóp án̟h xa k̟hác n̟hau, tr0n̟g k̟hôn̟g gian̟ k̟hác n̟hau đư0c ún̟g dun̟g tr0n̟g n̟hieu lĩn̟h vn̟c cn̟a t0án̟ HQ c Ta có the thay ún̟g dun̟g cn̟a n̟guyên̟ lý điem bat đ®n̟g tr0n̟g vi¾c giai quyet van̟ đe t0n̟ tai lịi giai cn̟a phươn̟g trìn̟h (t0án̟ tu, vi phân̟, tích phân̟, ), tr0n̟g t0án̟ xap xi n̟ghi¾m, Tiep the0 k̟ et qua tr0n̟g trưịn̟g h0p k̟hơn̟g n̟gau n̟hiên̟, rat n̟hieu k̟et qua ve t0án̟ điem bat đ®n̟g n̟gau n̟hiên̟ đư0c n̟ghiên̟ cúu Và0 giua th¾p n̟iên̟ 1950, Han̟s A Spacek̟ trưòn̟g Đai HQ c Tőn̟g h0p Prague k̟h0i xưón̟g n̟hun̟g n̟ghiên̟ cúu đau tiên̟ ve điem bat đ®n̟g cn̟a t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟ van̟ đe liên̟ quan̟ (xem [28, 53]) Các tác gia đưa đieu k̟i¾n̟ đn̟ ban̟ đau đe t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟ có điem bat đ®n̟g n̟gau n̟hiên̟ Sau cơn̟g trìn̟h cn̟a Han̟s A Spacek̟, m®t s0 dan̟g tươn̟g tn̟ cn̟a đ%n̟h lý điem bat đ®n̟g tat đ%n̟h n̟ői tien̟g k̟hác ch0 trưòn̟g h0p n̟gau n̟hiên̟ cũn̟g đư0c chún̟g min̟h Cùn̟g vói vi¾c n̟ghiên̟ cúu van̟ đe ve điem bat đ®n̟g n̟gau n̟hiên̟, van̟ đe ve phươn̟g trìn̟h t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟ cũn̟g đư0c quan̟ tâm đen̟ Các n̟ghiên̟ cúu ve phươn̟g trìn̟h t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟ sn̟ m0 r®n̟g, n̟gau n̟hiên̟ hóa lý thuyet phươn̟g trìn̟h t0án̟ tu tat đ%n̟h Tuy n̟hiên̟, phan̟ lón̟ k̟et qua đat đư0c cn̟a lý thuyet phươn̟g trìn̟h t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟ t¾p trun̟g và0 vi¾c đưa ve t0án̟ điem bat đ®n̟g n̟gau n̟hiên̟ đe chi sn̟ t0n̟ tai n̟hat n̟ghi¾m n̟gau n̟hiên̟ Lý thuyet phươn̟g trìn̟h t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟ điem bat đ®n̟g n̟gau n̟hiên̟ thn̟c sn̟ đư0c quan̟ tâm n̟ghiên̟ cúu sau sn̟ đòi cu0n̟ sách Ran̟d0m in̟tegral equati0n̟s (1972) bá0 tőn̟g k̟et Fixed p0in̟t the0rems in̟ pr0babilistic an̟alysis (1976) cn̟a A T Bharucha-Reid (xem [15, 16]) Tr0n̟g bá0 cn̟a mìn̟h, A T Bharucha-Reid chún̟g min̟h đ%n̟h lý điem bat đ®n̟g ch0 án̟h xa c0 n̟gau n̟hiên̟, chín̟h dan̟g n̟gau n̟hiên̟ cn̟a n̟gun̟ lý án̟h xa c0 Ban̟ach đ%n̟h lý điem bat đ®n̟g Schauder dan̟g n̟gau n̟hiên̟ Tù đó, n̟hieu tác gia thnh cụng tr0ng viắc m0 rđng cỏc ket qua ve iem bat đng ngau nhiờn ó cú h0ắc chỳng minh dan̟g n̟gau n̟hiên̟ cn̟a đ%n̟h lý điem bat đ®n̟g ch0 t0án̟ tu tat đ%n̟h (xem [11, 21, 32, 37, 60]) Và0 n̟hun̟g n̟ăm 1990, m®t s0 tác gia n̟hư H K̟ Xu, K̟ K̟ Tan̟ , X Z Yuan̟, chún̟g min̟h đ%n̟h lý điem bat đ®n̟g n̟gau n̟hiên̟ tőn̟g quát, tr0n̟g tác gia chi rang vúi mđt s0 ieu kiắn nhat %nh, neu quy đa0 cn̟a t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟ có điem bat đ®n̟g tat đ%n̟h t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟ có điem bat đ®n̟g n̟gau n̟hiên̟ (xem [14, 54, 60]) Gan̟ đây, m®t s0 tác gia n̟hư N̟ Shahzad, D 0’Regan̟, R P Agarwal đưa m®t s0 đ%n̟h lý điem bat đ®n̟g n̟gau n̟hiên̟ tőn̟g quát m0 r®n̟g k̟et qua cn̟a tác gia trưóc trên̟ s0 dan̟g n̟gau n̟hiên̟ cn̟a n̟hieu đ%n̟h lý điem bat đ®n̟g ch0 t0án̟ tu tat đ%n̟h đư0c chún̟g min̟h (xem [47, 50]) Đ¾c bi¾t, tr0n̟g bá0 [57] tác gia D H Than̟g T N̟ An̟h chún̟g min̟h k̟et qua tőn̟g quát ve sn̟ tươn̟g đươn̟g t0n̟ tai n̟ghi¾m cn̟a phươn̟g trìn̟h tat đ%n̟h vói phươn̟g trìn̟h n̟gau n̟hiên̟, sn̟ t0n̟ tai điem bat đ®n̟g cn̟a t0án̟ tu tat đ%n̟h t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟ Tiep the0 t0án̟ điem bat đ®n̟g n̟gau n̟hiên̟, t0án̟ điem bat đ®n̟g n̟gau n̟hiên̟ chun̟g cn̟a n̟hieu t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟ cũn̟g đư0c n̟ghiên̟ cúu mđt cỏch ky lừng Tuy nhiờn, ieu kiắn e nhieu t0án̟ tu có điem bat đ®n̟g chun̟g thưịn̟g phúc tap, d0 t0án̟ điem trùn̟g n̟hau n̟gau n̟hiên̟ đư0c quan̟ tâm n̟ghiên̟ cúu Bài t0án̟ điem trùn̟g n̟hau n̟gau n̟hiên̟ đư0c n̟ghiên̟ cúu n̟hieu đ0i vói t0án̟ tu đa tr%, giua c¾p t0án̟ tu đơn̟ tr% t0án̟ tu đa tr% (xem [17, 20, 22, 25, 33, 34, 36, 41, 42, 45, 46, 47, 48, 49, 52]) M®t cách tőn̟g qt, có the xem t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟ n̟hư m®t án̟h xa bien̟ m0i phan̟ tu cn̟a k̟hơn̟g gian̟ metric thàn̟h m®t bien̟ n̟gau n̟hiên̟ Bên̟ can̟h đó, ta c0i m0i phan̟ tu cn̟a k̟hơn̟g gian̟ metric nh l mđt bien ngau nhiờn suy bien nhắn giá tr% phan̟ tu vói xác suat Vói cách quan̟ n̟i¾m n̟hư v¾y, ta có the đ0n̟g n̟hat k̟hơn̟g gian̟ metric X n̟hư t¾p c0n̟ (g0m bien̟ n̟gau n̟hiên̟ suy bien̟) cn̟a k̟hôn̟g gian̟ LX(Ω) bien̟ n̟gau n̟hiên̟ X-giá tr% Tù đó, vói m0i t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟ liên̟ tuc f tù X và0 Y ta xây dn̟n̟g đư0c m®t án̟h xa Φ tù LX(Ω) và0 LY (Ω) mà han̟ che cn̟a 0 Φ trên̟ X trùn̟g vói f N̟g0ài m0i liờn hắ giua sn t0n tai iem bat đng ngau n̟hiên̟ cn̟a f Φ cũn̟g đư0c thiet l¾p Vói muc đích m0 r®n̟g mien̟ xác đ%n̟h cn̟a t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟, tr0n̟g [1, 5, 58] tác gia đưa k̟hái n̟i¾m t0án̟ tu h0àn̟ t0àn̟ n̟gau n̟hiên̟, tr0n̟g án̟h xa bien̟ m0i bien̟ n̟gau n̟hiên̟ n̟h¾n̟ giá tr% tr0n̟g k̟hôn̟g gian̟ metric thàn̟h bien̟ n̟gau n̟hiên̟ n̟h¾n̟ giá tr% tr0n̟g k̟hơn̟g gian̟ metric Su dun̟g tín̟h t0án̟ thuan̟ túy xác suat, tác gia chún̟g min̟h đư0c m®t s0 k̟et qua ban̟ đau tươn̟g tn̟ n̟hư cn̟a Hadzic E Pap ve điem bat đ®n̟g cn̟a t0án̟ tu h0àn̟ t0àn̟ n̟gau n̟hiên̟ Nđi dung cna luắn ỏn ba0 g0m %nh lý ve sn̟ thác trien̟ t0án̟ tu n̟gau n̟hiên̟ thàn̟h t0án̟ tu h0àn̟ t0àn̟ n̟gau n̟hiên̟, s0 đe xét đen̟