Đang tải... (xem toàn văn)
1 CHUYÊN ĐỀ 15 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 Trường hợp hai cạnh góc vuông Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông c[.]
CHUYÊN ĐỀ 15 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC VNG PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Trường hợp hai cạnh góc vng Nếu hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng (theo trường hợp cạnh – góc – cạnh) E B C A D F Trường hợp cạnh góc vng góc nhọn Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vuông cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng (theo trường hợp góc – cạnh – góc) E B A C D F Trường hợp cạnh huyền góc nhọn Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng ( theo trường hợp g-c-g) E B A C D F Trường hợp cạnh huyền cạnh góc vng Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác E B C A D F PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Tìm chứng minh hai tam giác vuông I Phương pháp giải: +) Xét hai tam giác vuông +) Kiểm tra điều kiện cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh – góc, cạnh huyền – góc nhọn, cạnh huyền – cạnh góc vng +) Kết luận hai tam giác II Bài tốn Bài Tìm tam giác vng hình đây? A D B C Lời giải: +) Xét ABC ADC có: D = B = 90 DAC = BAC ( gt) AC chung Do ABC = ADC ( cạnh huyền - góc nhọn) Bài Tìm tam giác vng hình sau: C A B D Lời giải: +) Xét ABC BAD có: ABC = BAD = 90 AB chung BAC = ABD (gt) Do ABC = BAD ( cạnh góc vng - góc nhọn) Bài Tìm tam giác vng hình đây? B A C D Lời giải: +) Xét ABC ADC có: B = D = 90 BC = DC ( gt) AC chung Do ABC = ADC ( cạnh huyền – cạnh góc vng) Bài Tìm tam giác vng hình sau: F E M N Lời giải: +) Xét MEF vuông M nên: F + MEF = 90 +) Xét EMN vuông E nên: N + EMN = 90 Mà F = N ( gt) Nên MEF = EMN +) Xét MEF EMN có: EMF = MEN = 90 MEF = EMN (chứng minh trên) ME cạnh chung Do MEF = EMN ( g-c-g) Bài Cho hình vẽ sau: A E D B H Chứng minh rằng: a) ABH = ACH ; b) ADH = AEH ; c) DBH = ECH Lời giải: a) Xét ABH vuông H ACH vng H có: BH = CH (gt) AH cạnh chung Do ABH = ACH ( cạnh góc vng ) C b) Xét ADH vng D AEH vng E có: AH cạnh chung DAH = EAH ( ABH = ACH ) Do ADH = AEH (cạnh huyền- góc nhọn) c) Xét DBH vuông D ECH vuông E có: B = C ( ABH = ACH ) BH = CH (gt) Do DBH = ECH ( cạnh huyền – góc nhọn ) Bài Cho xOy Tia Oz tia phân giác xOy Lấy điểm A thuộc tia Oz ( A O) Kẻ AB vng góc với Ox, AC vng góc với Oy ( B Ox, C Oy) Chứng minh OAB = OAC Lời giải: x B z A O y C +) Xét OAB vuông B OAC vng C có: OA cạnh chung AOB = AOC ( Oz tia phân giác xOy ) Do OAB = OAC ( cạnh huyền – góc nhọn) Bài Cho hình vẽ sau Tìm tam giác vng hình? A F B G D E Lời giải: +) Xét BFD vuông F CGE vng G ta có: BD = CE (gt) B = C (gt) Do BFD = CGE ( cạnh huyền – góc nhọn) +) Xét AFD vng F AGE vng G ta có: C AD = AE (gt) FD = GE ( BFD = CGE ) Do AFD = AGE (cạnh huyền – cạnh góc vng) Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi D trung điểm cạnh BC Kẻ DE ⊥ AB , DF ⊥ AC Chứng minh: a) DEB = DFC ; b) DEA = DFA Lời giải: A E F B D C a) Xét ABD ACD có: AB = AC (gt) AD cạnh chung DB = DC ( D trung điểm cạnh BC ) Do ABD = ACD (c-c-c) Nên B = C DAB = DAC +) Xét DEB vuông E DFC vng F ta có: AD chung B = C (chứng minh trên) Do DEB = DFC (cạnh huyền – góc nhọn) b) Xét DEA vng E DFA vng F ta có: AD cạnh chung DAB = DAC (chứng minh trên) Do DEA = DFA (cạnh huyền – góc nhọn) Bài Cho tam giác ABC vuông A AB = AC Qua A kẻ đường thẳng d cắt BC Vẽ BM , CN vng góc với d Chứng minh : BAM = ACN Lời giải: B N M C A Vì ABC vng A nên BAC = BAM + CAM = 90 Và ANC vuông N nên ACN + CAM = 90 Do BAM = ACN +) Xét BAM vng M ACN vng N có: BAM = ACN (cmt) AB = AC (gt) Nên BAM = ACN (cạnh huyền – góc nhọn ) Bài 10 Cho ABC có B = C Trên tia đối tia BC lấy điểm M , tia đối tia tia CB lấy điểm N cho BM = CN Kẻ BE ⊥ AM ( E AM ), CF ⊥ AN ( F AN ) Chứng minh BME = CNF Lời giải: A E M F B I Ta có: ABC + ABM = 180; ACB + ACN = 180 ( kề bù) Mà ABC = ACB( gt ) ABM = ACN +) Kẻ AI ⊥ BC I +) Xét ABI vng I nên ta có: BAI + IBA = 90 +) Xét ACI vng I nên ta có: CAI + ICA = 90 C N Mà IBA = IAB( gt ) Nên IAB = IAC +) Xét ABI ACI ta có: AIB = AIC = 90 AI chung IAB = IAC (chứng minh trên) Do ABI = ACI (g-c-g) Nên AB = AC Xét ABM ACN có: BM = CN (gt) ABM = ACN (cmt) AB = AC (cmt) ABM = ACN (c-g-c) Nên M = N +) Xét BME vuông E CNF vng F ta có: BM = CN ( gt ) M = N (cmt) Do BME = CNF ( cạnh huyền – góc nhọn) Bài 11 Cho ABC Từ A vẽ cung trịn có bán kính BC , từ C vẽ cung trịn có bán kính AB Hai cung trịn cắt D ( D nằm khác phía B AC ) Kẻ AH ⊥ BC ( H BC ) CK ⊥ AD ( K AD) a) Chứng minh AHC = CKA ; b) Chứng minh AHB = CKD Lời giải: A K D 1 B C H a) Vì cung trịn tâm A bán kính BC cắt cung trịn tâm C có bán kính AB D Nên AD = BC; CD = AB +) Xét ABC CDA có: AC cạnh chung AD = BC (cmt) CD = AB (cmt) ABC = CDA (c-c-c) C1 = A1 +) Xét AHC vuông H CKA vng K có: C1 = A1 (cmt) AC cạnh chung Suy AHC = CKA ( cạnh huyền- góc nhọn) b) Xét AHB vuông H CKD vuông K có: AH = CK ( AHC = CKA ) AB = CD (cmt) AHB = CKD (cạnh huyền – cạnh góc vng) Dạng Sử dụng trường hợp tam giác vuông để chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc I Phương pháp giải: + Chọn hai tam giác vng có cạnh (góc) đoạn thẳng (góc) cần tính chứng minh + Tìm thêm hai điều kiện nhau, có điều kiện cạnh, để kết luận hai tam giác + Suy cạnh (góc) tương ứng kết luận II Bài tốn Bài Cho hình vẽ sau Chứng minh OK phân giác góc BOA B O K A Lời giải: +) Xét OBK vuông B OAK vng A có: OK chung OB = OA (gt) Do OBK = OAK ( cạnh huyền – góc nhọn ) Suy BOK = AOK (cặp góc tương ứng) Vậy OK phân giác góc BOA Bài Cho ABC có AB = AC Kẻ AD ⊥ BC Chứng minh AD tia phân giác BAC A B D C Lời giải: +) Xét ABD vuông D ACD vng D có: OD chung AB = AC (gt) Do ABD = ACD (cạnh huyền – góc nhọn) Suy BAD = CAD (cặp góc tương ứng) Vậy AD phân giác góc BAC Bài Cho ABC có BA = BC Qua A kẻ đường vng góc với AB , Qua C kẻ đường vng góc với CB , chúng cắt K Chứng minh BK phân giác góc B B A C K +) Xét ABK vuông A CBK vng C ta có: AB = AC ( gt ) BK chung 10 BM cạnh chung ABM = DBM (do BM phân giác góc B ) Do BMA = BMD (cạnh huyền - góc nhọn) Suy BA = BD b) Xét ABC DBE ta có: BAC = BDE = 90 BA = BD (chứng minh trên) B góc chung Do ABC = DBE (g-c-g) Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Trên cạnh AB, AC lấy điểm M , N cho AM = AN Các đường thẳng vng góc với AB, AC M , N cắt O AO cắt BC H Chứng minh: a) AMO = ANO ; b) HB = HC AH ⊥ BC Lời giải: A M N O B H C a) Xét AMO vuông M ANO vng N ta có: AO cạnh chung AM = AN (gt) AMO = ANO (cạnh huyền- góc nhọn) b) Xét AHB AHC có: AB = AC (gt) BAH = CAH ( AMO = ANO ) AH cạnh chung AHB = AHC (c-g-c) HB = HC (hai cạnh tương ứng) Và AHB = AHC ( hai góc tương ứng ), mà hai góc vị trí kề bù AHC = AHB = 180 = 90 12 Vậy AH ⊥ BC Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Đường thẳng vng góc với AB B cắt đường thẳng vng góc với AC C D Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh: a) DAB = DAC ; b) A, M , D thẳng hàng Lời giải: a) Xét DAB DAC có: DBA = ACD = 90 AB = AC (gt) AD cạnh chung Do DAB = DAC (cạnh huyền -canh góc vng) b) Xét ABM ACM ta có: AB = AC (gt) MB = MC ( M trung điểm cạnh BC ) AM cạnh chung Nên ABM = ACM (c-c-c) 180 Do AMB = AMC , mà hai góc vị trí kề bù nên AMB = AMC = Hay AM ⊥ BC M (1) +) Xét ABM ACM , ta có: DB = DC ( DAB = DAC ) MB = MC ( M trung điểm cạnh BC ) DM cạnh chung Do DBM = DCM ( c-c-c) BMD = CMD , mà hai góc vị trí kề bù nên BMD = CMD = 180 = 90 Hay DM ⊥ BC M (2) Từ (1) (2) ta suy AM DM vng góc với BC nên A, M , D thẳng hàng 13 Bài Cho ABC vng A AB = AC Tính số đo góc B, C ? Lời giải: B D C A Kẻ AD ⊥ BC ( D BC ) +) Xét ABD vuông D ACD vuông D , ta có: AB = AC ( gt ) AD chung Suy ABD = ACD ( cạnh huyền – cạnh góc vng ) Do B = C ( hai góc tương ứng ) (1) Vì ABC vng A nên B + C = 90 (2) Từ (1) (2) suy B = C = 45 Bài Cho ABC vuông A Từ điểm K cạnh AC , vẽ KH ⊥ BC , biết KH = KA Chứng minh BK ⊥ AH Lời giải: B H M A K C +) Xét ABK vuông A HBK vuông H , ta có: BK chung KA = KH (gt) ABK = HBK (cạnh huyền – cạnh góc vng) AB = HB; ABK = HBK +) Gọi M giao điểm BK AH 14 +) Xét ABM HBM , ta có: AB = BH (chứng minh trên) ABM = HBM ( ABK = HBK ) AM cạnh chung ABM = HBM (c.g.c) AMB = HMB (hai góc tương ứng), mà hai góc vị trí kề bù AMB = HMB = 180 = 900 Vậy BK ⊥ AH Bài 10 Cho ABC vuông A ( AB AC ) điểm M thuộc cạnh AC , H thuộc cạnh BC cho MH ⊥ BC MH = HB Chứng minh AH tia phân giác góc A Lời giải: B H D A M C E +) Kẻ HD ⊥ AB ( D AB ) HE ⊥ AC ( E AC ) +) Xét DBH EMH có: HDB = HEM = 90 HB = HM (gt) HBD = HME (cùng phụ ACB ) DBH = EMH (cạnh huyền - góc nhọn) HE = HD (hai cạnh tương ứng) +) Xét DAH EAH có : HDA = HEA = 90 HD = HE (chứng minh trên) AH cạnh chung DAH = EAH (cạnh huyền - cạnh góc vng) DAH = EAH (hai góc tương ứng) 15 Vậy AH tia phân giác góc BAC Cho tam giác ABC Các tia phân giác góc B C cắt I Kẻ ID ⊥ AB; IE ⊥ AC ( D AB; E AC ) Chứng minh AD = AE Bài 11 Lời giải: A E D I B C H +) Kẻ HI ⊥ BC +) Xét BID vuông D BIH vng H , ta có: IBD = IBH ( IB phân giác góc B ) IB cạnh chung Nên BID = BIH (cạnh huyền – góc nhọn) Suy ID = IH (hai cạnh tương ứng) (1) +) Xét CIE vuông E CIH vuông H , ta có: ICE = ICH ( IC phân giác góc C ) IC chung Do CIE = CIH (cạnh huyền – góc nhọn) Suy IE = IH (hai cạnh tương ứng) ( ) Từ (1) ( ) suy ID = IE +) Xét IAD vuông D IAE vng E ta có: ID = IE (chứng minh trên) IA cạnh chung Do IAD = IAE (cạnh huyền – cạnh góc vng) Suy AD = AE (hai cạnh tương ứng) Bài 12 Cho ABC vuông A có AB AC Vẽ AH ⊥ BC ( H BC ) D điểm cạnh AC cho AD = AB Vẽ DE ⊥ BC ( E BC ) Chứng minh HA = HE Lời giải: 16 A D K C B H E +) Kẻ DK ⊥ AH ( K AH ) +) Xét HAB vuông H KDA vng K có: AD = AB (gt) BAH = ADK ( phụ với KAD ) Do HAB = KDA ( cạnh huyền – góc nhọn) HA = KD (hai cạnh tương ứng) Ta có KD ⊥ AH ( cách vẽ) Và EH ⊥ AH ( BC ⊥ AH ) KD // EH KDH = EHD (hai góc so le trong) +) Xét KDH vuông K EHD vuông E ta có: DH cạnh chung KDH = EHD (cmt) Do KDH = EHD ( cạnh huyền – góc nhọn) Suy HA = HE ( hai cạnh tương ứng) Bài 13 Cho tam giác ABC có M trung điểm BC AM tia phân giác góc A Chứng minh AB = AC Lời giải: A E B F M +) Từ M kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AC +) Xét MEA vuông E MFA vuông F , ta có: MA cạnh chung 17 C MAE = MAF (vì AM tia phân giác góc A ) Do MEA = MFA ( cạnh huyền – góc nhọn) Nên AE = AF (1) ME = MF +) Xét MEB vuông E MFC vng F , ta có MB = MC ( M trung điểm BC ) ME = MF (chứng minh trên) Nên MEB = MFC ( cạnh huyền – cạnh góc vng) Do BE = CF (2) Từ (1) (2) ta suy AE + BE = AF + CF hay AB = AC Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Tìm chứng minh hai tam giác vuông Bài Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC , vẽ BD ⊥ AC D , CE ⊥ AB E Gọi M giao điểm BD CE Chứng minh: a) DBA = ECA ; b) EBC = DCB ; c) EAM = DAM Bài Cho ABC có AB = AC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx, Cy cho Bx ⊥ BA Cy ⊥ CA Gọi D giao điểm tia Bx, Cy Chứng minh ABD = ACD Dạng Sử dụng trường hợp tam giác vuông để chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Bài Cho ABC nhọn có AB = AC Vẽ BH ⊥ AC ( H AC ) , CK ⊥ AB ( K AB ) a) Chứng minh: AH = AK b) Gọi I giao điểm BH CK Chứng minh AI tia phân giác A Bài Cho ABC có AB = AC D điểm cạnh AB , E điểm cạnh AC cho AD = AE Từ D E hạ đường DM , EN vng góc với BC Chứng minh rằng: a) B = C ; b) BM = CN Bài Cho xOy Trên tia Ox lấy điểm A , tia Oy lấy điểm B Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Từ A B kẻ đường thẳng AE, BF vuông góc với tia OM Chứng minh : AE = BF Bài Cho góc xOy Trên tia phân giác góc lấy điểm M , từ M hạ đường thẳng vng góc MA, MB xuống cạnh Ox, Oy Chứng minh : 18 a) MAO = MBO ; b) AB vng góc với OM ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Tìm chứng minh hai tam giác vuông Bài a) DBA = ECA (cạnh huyền – góc nhọn) b) EBC = DCB (cạnh huyền – góc nhọn) c) Từ DBA = ECA suy AE = AD EAM = DAM (cạnh huyền – cạnh góc vng) Bài A B C D Chứng minh : ABD = ACD (cạnh huyền - cạnh góc vng) Dạng Sử dụng trường hợp tam giác vuông để chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Bài 19 A K H I B C a) Chứng minh AHB = AKC (cạnh huyền - góc nhọn) AH = AK b) Chứng minh AHI = AKI (cạnh huyền - cạnh góc vng) KAI = HAI AI tia phân giác BAC Bài A E D B M I C N a) Gọi I trung điểm BC , ta chứng minh ABI = ACI (c − c − c) Suy B = C b) Chứng minh BD = CE sau chứng minh BDM = CEN (cạnh huyền – góc nhọn) Nên BM = CN Bài x A F M E O B Chứng minh MAE = MBF ( cạnh huyền – góc nhọn) 20 y ... Sử dụng trường hợp tam giác vuông để chứng minh hai đoạn th? ??ng nhau, hai góc Tính độ dài đoạn th? ??ng, số đo góc I Phương pháp giải: + Chọn hai tam giác vng có cạnh (góc) đoạn th? ??ng (góc) cần tính... Vậy AH ⊥ BC Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Đường th? ??ng vng góc với AB B cắt đường th? ??ng vng góc với AC C D Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh: a) DAB = DAC ; b) A, M , D th? ??ng hàng Lời giải:... tia Bx, Cy Chứng minh ABD = ACD Dạng Sử dụng trường hợp tam giác vuông để chứng minh hai đoạn th? ??ng nhau, hai góc Tính độ dài đoạn th? ??ng, số đo góc Bài Cho ABC nhọn có AB = AC Vẽ BH ⊥ AC