CÁC TRƯỜNG hợp ĐỒNG DẠNG của TAM GIÁC VUÔNG

ÔN TẬP CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG A Lý thuyết Áp dụng trường hợp đồng dạng tam giác vào tam giác vuông Hai tam giác vuông đồng dạng với nếu: a) Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vuông b) Tam giác vuông có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng Tỉ số đường cao, trung tuyến, phân giác hai tam giác đồng dạng a) Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng b) Tỉ số hai đường trung tuyến hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng c) Tỉ số hai đường phân giác hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng B Bài tập Dạng 1: Sử dụng trường hợp đồng dạng góc - góc Cách giải: Hai tam giác vuông đồng dạng với tam giác vuông có góc nhọn góc nhọn tam giác vuông Bài 1: Cho tam giác đường cao a Cho ABC vuông A , AH HB = 9cm, HC = 16cm AH , AB, AC Tính AH = HB.HC b Chứng minh rằng: AB = BC.BH a) Xét ∆AHB ∆CHA Lời giải , có: ¶ =H ¶ = 900  H   ⇒ ∆AHB” ∆CHA ·ABH = CAH · ⇒ AH = CH BH ⇒ AH = 12(cm)  ∆ABH #∆CBA( gg ) ⇒ AB = CB.CH b) Ta có: Bài 2: Cho tam giác AB < AC ABC AH ⊥ BC = H ) Kẻ hình chiếu vng A ( E, F Gọi AB, AC H AH = AE AB a) Chứng minh: b) Chứng minh: c) Lấy cạnh M AC ∆AEF ” ∆ACB đối xứng với N A qua Chứng minh E , tia MH ·ABH = ·ANH cắt EF / / HN Lời giải · · HMA = BAH = ·ACB ⇒ ∆ABC ” ∆ANB ( gg ) c) Ta có ⇒ ·ABH = ·ANH ·AFE = ·ANH = ·ABH ⇒ EF / / MN Do Bài 3: Cho tam giác AH đường cao Gọi M,N AH , BH điểm AN a) b) c) với Gọi CM ABC O vuông A , trung giao điểm Chứng minh rằng: ∆ABH ” ∆CAH ∆ABN ” ∆CAM AN ⊥ CM AH = 4CM MO d) a) Ta có: µ = µA B (phụ · BAH ); ¶ =H ¶ = 900 H Lời giải ⇒ ∆ABH #∆CAH ( gg ) ⇒ b) Ta có: c) AH AC AM = = BH AB BN AC AM = µ µ AB BN B = A1 ⇒ ∆ABN #∆CAM ( cgc ) ; ∆ABN ” ∆CAM ⇒ Aˆ = Cˆ1 Gọi O giao điểm CM AN Xét d) ∆AOC , có: · · ¶ = 900 ⇒ O µ = 900 OAC + ·ACO = OAC +A AM MO ∆AMO#∆CMH ( gg ) ⇒ = CM MH  AH  ⇒ AM MH = MC.MO ⇒ AM = MC.MO ⇒  ÷ = MC.MO   ⇒ AH = MC.MO Bài 4: Cho hình bình hành AC > BD Kẻ BH ⊥ AC = H , ABCD CE ⊥ AB = E; CF ⊥ AD = F DK ⊥ AC = K E có Chứng minh: B C AB AH = AC AE a b c K H AD AF = AK AC AD AF + AB AE = AC A Lời giải ∆AHB#∆AEC ( gg ) ⇒ a) Ta có: b) Tương tự ta có: AB AH = ( 1) AC AE ∆AKD” ∆AFC ( gg ) ⇒ AD AF = AK AC ( ) c) Từ (1)(2) Lấy ( ) + ( 3) (đpcm) ⇒ AB AE = AC AH ( 3) ta được: AD AF + AB AE = AC (đpcm) D F Dạng 2: Sử dụng trường hợp đồng dạng cạnh góc cạnh cạnh huyền cạnh góc vng Cách giải: - Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng - Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng ABCD Bài 1: Cho hình chữ nhật AC vng góc với E Gọi BC , AE b c DE D M , N, P lượt trung điểm minh: a Kẻ P lần DE C Chứng M E AD AE = DC DE N ∆AND” ∆DPC A B ND ⊥ NM Lời giải a) Xét ∆ADE ∆ACD , có: ∆ADE#∆ACD ⇒ b) Ta có: Chứng minh được: c) P MNPC AE DE AE AD AN = ⇒ = = AD CD DE DC DP ⇒ ∆AND” ∆DNC (cgc ) trực tâm tam giác Tứ giác µA : chung   ⇒ ∆ADE#∆ACD ( gg ) ·AED = ·ADC = 900   CDN ⇒ CP ⊥ DN (1) hình bình hành Bài 2: Cho tam giác trung điểm BC ABC Vẽ cân HE ⇒ MN / / PC (2) ⇒ MN ⊥ DN A A , gọi H K vng góc với I E O B H C AC O , gọi trung điểm AC , BE vng góc với cắt ∆AHE#∆BCK a Chứng minh: BK I OA ⊥ BE c Chứng minh: a) Xét Vẽ AE.EK = BK OE b Chứng minh: ∆AHE AO HE ∆BCK Lời giải , có: ·AEH = BKC · · · = 900 ; HAE = CBK ⇒ ∆AHE#∆BCK ( gg ) ∆AHE ” ∆BCK ( gg ) ⇒ b) Ta có: ⇒ AE HE OE = = BK CK EK AE BK = ⇒ ∆AEO” ∆BKE ( cgc ) EO KE c) Theo câu b, có: · · ; KBE · · · · ∆AEO#∆BKE (c − g − c) ⇒ EBK = EAI + EBK = 90 ⇒ KEB + EAI = 900 Bài 3: Cho tam giác ABC , trực tâm M,N trung điểm Gọi O BC H Gọi AC N giao điểm đường trung trực G tam giác, trọng tâm tam giác Chứng minh a) A ABC O H G ∆OMN ” ∆HAB ⇒ AH = 2OM b Chứng minh H , G, O c Ba điểm a Ta có MN B ∆HAG” ∆OMG thẳng hàng đường trung bình ⇒ MN / / AB, MN = GH = 2GO ∆ABC Lời giải AB Chứng minh được: ∆AHB” ∆MON ( g − g ) ⇒ AH AB = =2 OM MN M C b OM GM · · HAG = OMG ; = AH GA ∆HAG” ∆OMG ⇒ c  =  1 ÷⇒ ∆HAG#∆OMG (cgc) 2 GH · · · = 2; ·AGH = OGM ⇒ OGM + HGM = 1800 ⇒ H , G, O GO thẳng hàng Dạng 3: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Cách giải: Ta có: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng ABC Bài 1: Cho tam giác AB = 6cm, AC = 8cm AC a) Chứng minh b) Tia thẳng BA EM b) Ta có ∆ANC cắt F tam giác MFC N vuông cân c) C , mà ∆AMB vuông cân ⇒ ∆FMC vuông cân · ⇒ FCM = 450 vuông cân S BFN  BN  = ÷ = 49 S MFC  CM  Bài 2: Cho tam giác AC E B BFN Lời giải ·ANC = 450 ⇒ ∆ANC ∆BNF #∆FMC ( gg ) ⇒ D F M vng A có đường cao A , đường Chứng minh ACN ∆AMB#∆FMC ( gg ) AH N cạnh c) Tính tỉ số diện tích hai tam giác tam giác có ME ⊥ BC = E Kẻ CN cắt ∆AMB# FMC A CM CA = CE.CB tia BM M Lấy điểm AM = AB cho vuông ABC Tia phân giác A vuông ˆ ABC cắt H , B H M E cắt a Chứng minh rằng: ∆ABE ” ∆HBD; ∆AHB” ∆CHA; ∆ABC ” ∆HBA b Kẻ phân giác AM AB = 6cm, AC = 8cm · BAC ( M ∈ BC ), A cho Tính BM , CM +) +) S ABE S AHB ; S BHD SCHA E O C HO c Kẻ phân giác ·AHC ( O ∈ AC OA AB = OC AC Chứng minh PABC = 24cm, PAHC = 12cm, PAHB = 9cm d Biết cạnh ) ∆ABC Tính Lời giải b ⇒ S ABE  AB  = ÷ ; ∆ABC ” ∆HBA ⇒ HB = 3, 6cm S BHD  BH  S ABE 25 = S BHD S AHB  AB  16 = ÷ = SCHA  AC  ∆ABH #∆CAH ⇒ c AH AB AO = = CH AC OC PAHB AB = = = k (k ∈ N * ) ⇒ AB = 3k ; AC = 4k ⇒ BC = 5k ⇒ 12k = 24 ⇔ k = ⇒ AB, BC , AC PCHA BC d Bài 3: [Ba Đình, 2016 - 2017] ABCD Cho hình chữ nhật AD = 6cm , hai đường chéo O D Qua BD, d góc với cắt a Chứng minh: CH b Kẻ AB = 8cm có AC kẻ đường thẳng BC BD d A B , O D cắt C K vuông H E ∆BDE ” ∆DCE vng góc với DE H Chứng DC = CH DB minh c Gọi K K giao điểm trung điểm CH OE và tính CH CMR E S EHC S EDB OE , CD, BH d Chứng minh đồng quy Lời giải c Do BD / / CH DE (cùng vng góc với O ∈ BD, K ∈ CH ⇒ mà ) HK CK EK = (= ) ⇒ KH = CK OD OB EO S 256  CH  ∆CHE#∆BDE (CH / / BD) ⇒ EHC =  ÷ = S EDB  BD  625 d Giả sử CD BH giao với I , chứng minh · · ∆DOI ” ∆CIK (c − g − c) ⇒ DIO = CIK · · · · = 1800 ⇒ O, I , K ⇔ I ∈ OE DOI + OCI = 1800 ⇒ OCI + CIk Mà: Bài 4: [Cuối năm 2017 – 2018] Cho hình chữ nhật AB = 8cm ABCD Hai đường chéo O Qua D cắt a Chứng minh rằng: b Kẻ CH AC AD = 6cm BD kẻ đường thẳng BD, d vng góc với có BC B , E K cắt d O H E DE H A DC = CH DB c Gọi K giao điểm Chứng minh K OE trung điểm Tính tỉ số diện tích tam giác HC HC ECH EBD diện tích tam giác d Chứng minh ba đường thẳng OE , CD, BH đồng quy a ∆BDE : ∆DCE ( gg ) ∆DCB” ∆CHD ⇒ b I ∆BDE ” ∆DCE vng góc với Chứng minh rằng: C Lời giải CD DB = ⇒ CD = CH DB CH DC D CH / / BD( ⊥ BD) ⇒ c mà OB = OD - Tính (do HK KE KC = = OD OE OB ABCD (định lý TaLet) hình chữ nhật ) ⇒ HK = CK ⇒ dpcm BD = 10cm, CD = 8cm CH = CD : BD = 64 :10 = 6, 4(cm) Từ câu b, ta có Lại có: I d Gọi EI giao điểm CH BH Ta chứng minh CH / / BD ⇒ Vì ⇒ EI CD O' ABC E cắt AH ⊥ BC ( H ∈ BC ), AH b AM ·ACB = ·AEF a trung điểm BD AC cắt EF F F B Kẻ I I E từ suy S ABC  AM  = ÷ S AFE  AI  cân M · ⇒ BAM = ·ABM H M AB AE = AC AF ∆ABM hay O' AM d BD Qua · BAM = ·ABM ∆MBE#∆MFC c giao điểm ( Chứng minh rằng: a , A A vuông ), đường trung tuyến BD K ' đồng quy kẻ đường thẳng vng góc với AB EI OE , CD, BH Cho tam giác cắt giao điểm O ' B BI BD DE O ' D = = = = ⇒ O'B = O'D HK ' HI HC HE HK ' O AB < AC O' trung điểm qua Do Bài 5: [Cuối năm 2015 – 2016] M S 256  CH   6,  ∆ECH ” ∆EBD( gg ) ⇒ ECH =  ÷ = ÷ = S EBD  BD   10  625 Lời giải 10 C b ·ACB + BAC · · = 900 = ·AEF + BAM · BAM = ·ABC ⇒ ·ACB = ·AEF ⇒ ∆MBE : ∆MFC ( g − g ) ∆ABC ” ∆AFE ( gg ) ⇒ c AB AC = AF AE ⇒ AB AE = AC AF d ∆AEI cân I ( Ta lại có: ·AEI = EAI · = ·ACB ⇒ EI = IA ⇒ ∆AIF ) BC = AM ∆AFE : ∆ABC ⇒ ⇒ AI = cân I EF ⇔ EF = AI 2 S ABC  BC   AM  = ÷ = ÷ S AFE  EF   AI  Do Bài 6: [Cuối năm 2016 – 2017] Cho tam giác ABC BC = 5cm, AC = 3cm CB D lấy điểm D A vuông A , có M Trên tia đối tia cho CD = 6cm kẻ đường vng góc với BD D B Qua cắt C AC K E a Chứng minh rằng: b Kẻ ∆ABC#∆DEC E AH ⊥ BC ( H ∈ BC ); DK ⊥ CE ( K ∈ CE ) Chứng minh rằng: c Tính độ dài CE CH CD = CK CA KD d Vẽ đường phân giác BM ·ABC ( M ∈ BC ).CMR : MA = EK MC ED a H ∆ABC ” ∆DEC ( gg ) Lời giải 11 b ∆AHC ” ∆DKC ( gg ) ∆ABC ” ∆DEC ⇒ c Vì tam giác DCE ∆DKE ” ∆CDE ⇒ ⇒ HC AC = ⇒ CH CD = CK CA CK DC CE CD = BC AC = ⇒ CE = 10(cm) vuông D , áp dụng pitago ⇒ DE = 8(cm) KD DE = = = ⇒ KD = 4,8(cm) CD CE 10 d Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: AB MA MA EK = (1) ⇒ = BC MC ; ∆ABC ” ∆KED(2) MC ED 12 ... , G, O GO thẳng hàng Dạng 3: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Cách giải: Ta có: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng ABC Bài 1: Cho tam giác AB = 6cm, AC =... F Dạng 2: Sử dụng trường hợp đồng dạng cạnh góc cạnh cạnh huyền cạnh góc vng Cách giải: - Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác. .. huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng - Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng ABCD Bài 1: Cho hình chữ nhật AC vng góc