CÁC TRƯỜNG hợp ĐỒNG DẠNG của TAM GIÁC

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC I Lý thuyết A Trường hợp đồng dạng thứ (cạnh – cạnh – cạnh) Định lý: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng AB BC CA    ABC ” A ' B ' C '(c.c.c) Nếu A ' B ' B ' C ' C ' A ' Bài 1: Cho hình vẽ a) ABC có đồng dạng với DEF hay khơng? b) Tính tỉ số chu vi hai tam giác Lời giải AB AC BC     ABC ” DEF  ccc  a) Ta có: DF DE EF C ABC AB  BC  CA   12 27     C DE  EF  FD   18 DEF b) Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh tỉ lệ với 4, 5, Cho biết: DFE : ACB cạnh nhỏ DEF 0,8cm Tính độ dài cạnh cịn lại DEF Lời giải Vì DEF ” ABC nên DEF có độ dài cạnh tỉ lệ với 4, 5, Giải sử DE  EF  DF  DE  0,8cm Vì ba cạnh tam giác ABC có độ dài tỉ lệ với 4, 5, nên ta có: DE EF FD    0,  EF  1 cm  ; FD  1,  cm  Bài 3: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A ' B ' C ' Cho biết AB  6cm, BC  10cm CA  14cm chu vi tam giác A ' B ' C ' 45cm Tính độ dài cạnh tam giác A ' B ' C ' Lời giải Ta có: ABC ” A ' B ' C '  AB BC CA AB  BC  CA     A ' B ' B ' C ' C ' A ' A ' B '  B ' C ' C ' A '  A ' B '  9cm, B ' C '  15cm, A ' C '  21cm Bài 4: Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác Gọi P, Q, R trung điểm đoạn thẳng OA, OB, OC a) Chứng minh: PQR : ABC b) Cho biết ABC có chu vi 543cm Tính chu vi PQR Lời giải Ta có: ABC ” A ' B ' C '  AB BC CA AB  BC  CA     A ' B ' B ' C ' C ' A ' A ' B '  B ' C ' C ' A '  A ' B '  9cm, B ' C '  15cm, A ' C '  21cm Bài 5: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A ' B ' C ' Cho biết BC  24,3cm, CA  32, 4cm AB  16, 2cm Tính độ dài cạnh tam giác A ' B ' C ' nếu: a) AB  A ' B '  10cm b) A ' B ' AB  10cm Lời giải 16, 24,3 32,   Ta có: A ' B ' B ' C ' C ' A ' a) Tính được: A ' B '  6, 2cm  B ' C '  9,3cm; A ' C '  12, 4cm b) Tương tự tính được: A ' B '  26, 2cm  B ' C '  39,3cm; A ' C '  52, 4cm Bài 6: Cho tứ giác ABCD có AB  3cm , BC  10cm , CD  12cm , AD  5cm , đường chéo BD  6cm Chứng minh rằng: a ABD : BCD b ABCD hình thang Lời giải ·    ABD : BCD  ccc   ·ABD  BDC  AB / /CD a) Ta có: 10 12 b) Ta có AB / / CD (chứng minh trên)  ABCD hình thang Bài 7: Cho tam giác ABC vng A có BC  10cm, AC  8cm tam giác A ' B ' C ' vuông A ' có B ' C '  5cm, A ' C '  4cm a Chứng minh rằng: ABC#A ' B ' C ' b Tính tỉ số chu vi ABC A ' B ' C ' Lời giải a) Xét tam giác vuông ABC A ' B ' C ' , theo định lý Pytago tính được: AB  6cm, A ' B '  3cm  AB BC CA     ABC : A ' B ' C '  ccc  A ' B ' B 'C ' C ' A ' AB BC CA AB  BC  CA   2  A ' B ' B ' C ' C ' A ' b) Ta có: A ' B ' B ' C ' C ' A ' tỉ số chu vi Bài 8: Cho tam giác ABC Các đường cao AF , BK , CL cắt H Từ A kẻ Ax vng góc với AB , từ C kẻ Cy vng góc với BC Gọi P giao điểm Ax Cy a Chứng minh tứ giác AHCP hình bình hành b Lấy O trung điểm BP D, E trung điểm BC AC Chứng minh rằng: ODE#HAB Lời giải a) Tứ giác AHCP có cạnh đối song song nên hình bình hành b) Ta có: OB  OP  OA  OC nên O giao điểm đường trung trực cạnh BC , AC , AB  OD  BC , OE  AC 1 1 OD  PC  AH , OE  BH , DE  AB  ODE#HAB(ccc) 2 2 Lại có: Bài 9: Cho tam giác ABC Điểm M thuộc cạnh BC MB  cho MC Kẻ MH / / AC  H  AB  ; MK / / AB  K  AC  BC  25  cm  a) Tính độ dài MB, MC biết b) Tính chu vi tam giác ABC biết chu vi KMC 30cm c Chứng minh: HB.MC  BM KM Lời giải MB MB MC BC       MC  15  cm  , MB  10  cm  a) Ta có MC b) c) KMC ” ABC  CKMC 30.5   50 C ABC HMB” KMC (” ABC )  HB MB  KM CM (đpcm) B Trường hợp đồng dạng thứ hai (cạnh – góc – cạnh) Định lý: Nếu hai cạnh tam giác tỷ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh nhau, hai tam giác đồng dạng với AB BC µ µ  ; B  B '  ABC ” A ' B ' C '(cgc) Nếu: A ' B ' B ' C ' µ µ Bài 1: Hình thang vng ABCD có: A  D  90 , AB  4cm BD  6cm, CD  9cm Tính BC ? Lời giải Xét ABD DBC , cú: D ả ( slt ), AB BD   ABD : DBC  µA  B ¶  900 B 1 DB DC   µ  900  BC  45(cm) ABD B Xét Bài 2: Cho tam giác ABC có cạnh AB  24cm AC  28cm Đường phân giác góc A cắt cạnh BC D Gọi M , N hình chiếu điểm B, C đường thẳng AD BM a) Tính tỉ số CN AM DM  b) Chứng minh AN DN Lời giải a) Ta có: b) BM / /CN   AD   BMD : CND  ABM : ACN  cgc   AM DN  AN DM BM BD AB    CN CD AC  BM     CN  Bài 3: Cho tam giác ABC có AC  8cm, AC  16cm Gọi D E hai điểm cạnh AB AC cho BD  2cm, CE  13cm Chứng minh a AEB : ADC · · b AED  ABC , cho DE  5cm Tính BC ? c AE AC  AD AB Lời giải a AEB#ADC (cgc) AE AB   µ b) Xét AED ABC , có: AD AC A : chung ·  AED#ABC (cgc )  ·AED  ABC c Vì AED#ABC  AE AD   AE AC  AB AD AB AC Bài 4: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm B A E , tia AE cắt đường thẳng CD M , tia DE cắt N E H đường thẳng AB N , Chứng minh rằng: a) NBC : BCM b) BM  CN D Lời giải a Xét EDC , có: Xét ECN , có: Từ (1)(2) b  BN / / CD  AB / /CM  BN BE BN BE    (1) CD EC BC EC AB BE BC BE    (2) CM EC CM EC BN BC µ µ  ; B  C  900  NBC#BCM (cgc ) BC CM M ả ,C C ả 900  C ¶ M ¶  900  CHM · NBC#BCM  C  900 1 2 C M ABC vuông A , đường cao Bài 5: Cho tam giác A AH Gọi M , N trung điểm CH AC Nối N 1 GM  GA AM , MN Lấy G thuộc AM cho B Chứng minh C M H a GAH : GMN b H , G, N thẳng hàng Li gii ả a Ta cú: A1 M (so le trong) AH  MN µA  M ¶ 1   AG AH   GAH #GMN (cgc)   MG MN  · · · · b GAH #GMN  AGH  MGN ; AGH  HGM  180 · · ·  MGN  HGM  1800  HGN  1800 Bài 6: Cho hình thoi ABCD , Aˆ  60 Qua C kẻ E đường thẳng d cắt tia đối tia BA, DA theo thứ tự E , F Chứng minh C B I EB AD  a AB DF 60 b EBD#BDF A · c BID  120 ( DE  BF  I ) Lời giải a) Ta có: BC / / AF  CD / / AB  EB EC  AB FC (hệ talét) (1) EC AD EB AD  ( HQ.TaLet )(2)   CF DF AB DF 1 D F EB AD EB BD · ·    ; EBD  BDF  1200  EBD#BDF b) AB DF BD DF 0 ả à µ µ ¶ µ ¶ · c) EBD  BDF  D1  F1 ; E1  B1 ; F1  B1  D2  60  B1  D1  60  BID  60 (dpcm) Bài 7: Cho tam giác ABC có AB  6cm, AC  7,5cm , D BC  9cm Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AC A a Chứng minh rằng: ABC#CBD 7,5 b Tính CD · · c Chứng minh rằng: BAC  ACB B C Lời giải a Ta có: BD  13,5cm BA BC      BC BD   ABC#CBD (cgc )  µ : chung B  b Ta có: ABC#CBD  AC AB   CD 11, 25(cm) CD CB ả Ã à µ c) ABC#CBD  C2  D; BAC  C  D  D (góc ngồi tam giác) Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H chân A B đường vng góc kẻ từ A đến BD Lấy điểm E DE CK  DH , K CB cho DH CB Chứng minh O H rằng: a ADE#ACK D b AEK #ADC · c AEK  90 Lời giải K E C a Gọi O giao im ca hai ng chộo, cú: ả AOD BOC cân  D1  C1 Xét AOD BOC cú: B 900 , D ả C µ  ADH #ACB( gg )  AD  DH (1) H 1 DC CB DE DH AD DE ả ADE#ACK (cgc ) ( gt )(2)   , D1  C DC CK M CK CB b) àA1 ảA2 ADE#ACK   AE AD AE AK     AD KC AK DC Ã Ã Ã ả Ã Ã Ã ả Ta cú: DAC A1  EAC; EAK  A2  EAC  DAC  EAK ( A11  A2 ) AE AK · · EAK  DAC ;   AEK #ADC (cgc) AD AC AEK ADC , có: · · c AEK #ADC  AEK  ADC  90 Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A , AB  1cm , C AC  3cm Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho E AD  DE  EC a Tính độ dài BD D b Chứng minh: BDE#CDB · · c Tính: DEB  DCB B Lời giải a Áp dụng định lí Pytago  BD  2(cm) DB DE  ( )  BDE#CDB (c  g  c ) b DC DB · · · · · · · c Từ câu b  DCB  DBE  DEB  DCB  DEB  DBE  ADB  45 A Bài 10*: Cho tam giác ABC cân A M trung A điểm cạnh đáy BC Một điểm D thay đổi cạnh AB Lấy điểm E cạnh AC cho MB CE  BD Chứng minh: E I D a DBM #MCE 2 b DME đồng dạng với hai tam giác H · c DM phân giác BDE , EM phân giác B M · CED d Khoảng cách từ M đến DE không đổi D thay đổi AB Lời giải a) Ta có: b) CE  #  MB CE MB CE MC µ µ     ; B  C  #(cgc) BD MB BD MB BD CM BD MB BD    ME DM ME DM µ M ¶ B   BM BD   DBM #DME (cgc)  DBM #MCE#DME   Xét DBM DME , có: ME DM  ¶ ¶ · c DBM #DME  D1  D2  DM phân giỏc BDE ả E EM Ã DME#MCE E phân giác DEC d Từ M kẻ MH  AC , MI  DE · Ta có M nằm phân giác CED  MI  MH , mà MH không đổi Vậy MI không đổi D thay đổi AB 10 C C Trường hợp đồng dạng thứ (góc.góc) A Định lý: Nếu hai góc tam giác A' hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng Nếu B C C' B' µA  µ µ B µ '  ABC#A ' B ' C '  gg  A '; B Bài 1: Cho tam giác ABC có AB  6cm, AC  9cm , D A · µ thuộc AC cho ABD  C Tính AD ? D B C Lời giải Xét ABD ACB, có:  µA : chung AB BD AD    · µ  ABD #  ACB gg ABD  C   AC  CB  AB  AD  4cm  Bài 2: Cho tam giác ABC có AB  AC Đường phân A giác AD Lấy điểm E cạnh AC cho E · · CED  BAC a Tìm tam giác đồng dạng với ABC b Chứng minh DE  DB B Lời giải a) Ta có: ABC#DEC ( gg )  DE DC  (1) AB AC µA  A ¶  DC  AC  DC  DB (2) DB AB AC AB b Xét ABC , có: Từ (1)(2)  DE DB   DE  DB AB AB (đpcm) 11 D C · BAC  M  BC  Bài 3: Cho ABC có AM phân giác A Kẻ tia Cx thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không chứa 1· · BCx  BAC A cho Gọi N giao điểm Cx tia AM Chứng minh: B C M a) BM MC  MN MA b) ABM #ANC N c) Tam giác BCN cân Lời giải · · ¶ ¶ BAM #NCM  gg   BM MC  MN MA a) Xét BAM NCM , có: BAM  MCN ; M  M  ·ABM  CNM ·  ABM #ANC  gg  b) Từ câu a  BM MN   BMN #AMC  cgc  c) Từ câu a ta lại có: MA CA 1· · ·  NBM  CAM  BAC · · Có: NBM  BCN  đpcm Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD , kẻ DH  AC  H Gọi M , N , K trung điểm BC , AH , DH A H b Chứng minh ADN #DCK K c DN  MN D Lời giải a) Ta có KN // MC , KN  MC  MNKC hình bình hành b) Ta có N M a Tứ giác MNCK hình gì? ADH #DCH ( gg )  B AD AH  CD DH 12 C  AD AN  1  AN  NH  AH , DK  HK  DH   CD DK 2 àA D ả 1 c) Cách 1: Chứng minh H trực tâm tam giác Cách 2: ¶ N ¶ ( slt )  N ả C D 1 DN MN ả C · · D KNM  KCM ( hbh )    Bài 5: Cho hình bình hành ABCD , qua D kẻ đường N thẳng cắt AC , AB, BC I , M , N Chứng minh rằng: A a AID#CIN M I b ADM #CND c AM CN  AB AC D d DI  IN IM (khó) Lời giải a) ta có: AID#CIN ( gg ) · · µ µ b) ADM #CND ( gg )( DAN  CND, N  D) c) ICD , có: AM / /CD  AI AM AI AD   (AID#CIN ) IC CD (Hệ TaLet) mà: IC CN AD AM   AM CN  AD.DC  AB.BC Vậy: CN DC d) Xét CIN , có: Xét ADM , có: Từ (3)(4)(5)  B AD // CN  AM // DC  ID AD  (3) IN CN IM AM AD AM  (4) ADM #CND   (5) ID CD CN CD Mà ID IM   ID  IM IN IN ID 13 C Bài 6: Cho tam giác ABC  AB  AC  , phân giác AM A · · Ở miền tam giác vẽ tia Cx cho BCx  BAD Gọi N giao điểm Cx AM Chứng minh rằng: M B C a BM MC  MN MA b ABM #ACN N c BCN cân d AM  AB AC  MB.MC Lời giải a BAM #NCM ( g  g )  BM MC  MN MA · · b) Từ câu a  ABM  CNM  ABM #ANC ( gg ) c Từ câu a, có:   BM MN   BMN #AMC (cgc) MA CM BM MN 1· · · · ·   BMN #AMC (cgc)  NBM  CAM  BAC  NBM  BCN MA CM d AMB#ACN ( g  g )  AM AB   AM AN  AB AC (1) AC AN AMB#CMN ( g  g )  AM MB   AM AN  MB.MC (2) CM MN Trừ vế (1) (2) ta được: AM ( AN  NM )  AB AC  MB.MC  AM  AB.AC  MB.MC Bài 7: [GVG Tỉnh 2016 – 2017] E Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn C B BD Từ C hạ đường vng góc CE , CF lần K lượt xuống tia AB AD Chứng minh rằng: H AB AE  AD.FA  AC A Lời giải 14 D F Kẻ BH  AC  H , DK  AC  K ABH #ACE ( gg )  AB AE  AC AH (1) ADK #ACF ( gg )  AD AF  AK AC (2) (1)(2)  AB AE  AD.FA  AC ( AH  AK )  AC ( AH  AK ) Bài 8: Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy  60 quay quanh điểm M cho cạnh Mx, My cắt cạnh AB, AC a BC I D D E Chứng minh: BD.CE  y A x H 2 K B E M b DM , EM tia phân giác góc · · BDE ; CED c Chu vi tam giác ADE không đổi Lời giải a) Ta chứng minh: BDM #CEM BD CM C ;D ả 1800 60  M ¶  1200  M ¶ ,M ¶  1800  M ¶  BDM #CEM ( gg )  B 1 BM CE Có:  BD.CE  CM BM  BC b Ta chứng minh BMD#MED  BD MD  BD MD  BDM #CEM     BM ME CM EM B µ ·   DME  60 Do: ¶ ¶ (do BM  CM ) BMD#MED(cgc) D1 D2 ả Chứng minh tương tự ta có: E1  E2 c Gọi H , I , K hình chiếu M AB, DE , AC Chứng minh: DH  DI ; EI  EK 15 C Chu vi ADE  AD  AE  DH  EK  AH  AK  AK Bài 9: Cho tam giác ABC d đường thẳng tùy ý A qua B Qua E điểm AC , vẽ đường thẳng song song với AB, BC , cắt d M N Gọi D giao điểm ME BC Đường E N D C B thẳng NE cắt AB MC F K M Chứng minh a AFN #MDC b AN / / MK Lời giải a) Ta có BFED hình bình hành  BF  ED, FE  BD  BF BD  FE.ED(1) BFN #MDB( gg )  NF DM  BD.BF (2) AEF #ECD( gg )  AF CD  EF ED (3) Từ (1)(2)(3)  NF CD   AF N #MDC  cgc  FA MD · · b Ta được: FAN  EKC  AN / / MK 16 K F BÀI TẬP TỔNG HỢP µ Bài 1: Cho ABC ( A  90 , AB  AC ) Vẽ đường cao F AH ( H  BC ) Lấy điểm D đối xứng với B qua H a Chứng minh ABC#HBA B H b Qua C dựng đường thẳng vng góc với tia AD E cắt AD E Chứng minh AH CD  CE AD c Chứng minh HDE#ADC d Cho D AB  6cm, AC  8cm Tính diện tích DEC A e AH cắt CE F Chứng minh tứ giác ABFD hình thoi Lời giải a) Ta có: ABC#HBA( gg ) b) Từ AHD#CDE ( gg )  AH CD  CE AD c) HDE#ADC (c  g  c) d) S ABC  AB AC  24(cm ) BC  10cm; BH  3,6cm  BD  7, 2cm; DC  2,8cm Ta có: DEC#BAC ( g.g )  S DEC DC 1176 ( )  S DEC  S BAC BC 625 · · e) Theo ý d có: DEC#BAC  DEC  BCA; CH  FA  ACF  HA  HF mà BD  FA  H  tứ giác hình thoi 17 C Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn Kẻ đường cao A BE CF cắt H E a Chứng minh: AE AC  AB.FA; AEF #ABC K F b Qua B kẻ đường thẳng vng góc với CF cắt tia H AH M , AH cắt BC D Chứng minh BD  AD.DM 45° D B ˆ  450 c Cho ACB kẻ AK vng góc với EF K C M S AFH Tính tỉ số S AKE d Chứng minh AEB#HEC ; AFC#HEC e Chứng minh AB AC  BE.CF  AE AF Lời giải a AEB#AFC ( g.g )  AE AC  AF AB  AEF #ABC (cgc) b ADB#BDM ( gg )  BD  AD.DM S  AH  AFH #AKE ( gg )  AFH    S AKE  AE  c 0 · · Bài cho ACB  45  EAH  45  AEH vuông cân E  AE  HE  AH  AE  HE  AE  d Ta có: Ta có: AEB#HEC ( gg )  AE  AB AFC#HEC ( gg )  AF  AC S AFH 2 S AKE HE CE ; BE  AB HC HC HE CE ; CF  AC HC HC e Từ ta có: 2 HE CE  AE AF  BE.CF  AB AC  HE  CE   AB AC (dpcm)  HC  AE AF  AB AC ; BE.CF  AB AC   HC HC 18 A AB  AC  Bài 3: Cho tam giác ABC vuông  Kẻ A AH  BC  H Gọi E F hình chiếu I H AB AC E a Chứng minh: AH  AE AB N K B H b Chứng minh: AFE#ABC c Lấy M đối xứng với A qua E , tia MH cắt cạnh AC F O M · · N Chứng minh ABH  ANH FE / / HN d Gọi O trung điểm BC ; AO giao với HN S KAN K Cho biết ·ACB  30 Hãy tính tỉ số S HCA Lời giải a Ta có: AEH #AHB  AH  AE AB · · b Gọi I giao điểm AH EF AEI cân  AEF  EAH · · · · Mà EAH  ACB  AEF  ACB c Ta có EI đường trung bình AMH  FE / / HN  ·ANH  ·AFE ( slt ) mặt khác ·ABC  AFE · (vi : AFE : ABC )  ·ABH  ·ANH · · d Ta có AOC cân  OAC  ACO  30 (1) · Lại có HAN  60 ·ANH  HAN · · · ( ·AFI )  ·AKN  1800  ( KAN  KNA )  900  AK  HN AHN N trung điểm AC  S AHC  S AHN  AK HN  19 S KAN KN   S HCA HN C Bài 4: Cho hình vng ABCD , lấy điểm E trung E A điểm AB Qua D kẻ đường thẳng vng góc với B CE I cắt BC F a Chứng minh CIF #CBE F I b Chứng minh IC  IF ID H c Chứng minh ADI cân D K C d Gọi K trung điểm DC , AK cắt DF H Tính diện tích tứ giác KHCI biết AB  6cm Lời giải · · · · · b Từ IFC  ICD( phu.ICF ); CIF  CID  90  IFC#ICD( gg )  IC IF   IC  IF ID ID IC c Gọi AD trung điểm CD  AECK hình bình hành  AK / / CE  HD  HI , AK  DI Ta có AHD  AHI (cgc)  AD  AI  ADI cân d Tứ giác KHCI hình thang vng có diện tích S KHIC  2 - Ta có KD  KC  3cm  AK  DA  DK  5(cm) - Xét DAK #HDK ( gg )  DK  AK HK  HK  (cm) Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác, ta có: HI  HD  DK  HK  HI  27 (cm)  S  (cm ) 5 20 CI  HK  5 ( HK  IC ).IH ... MB  KM CM (đpcm) B Trường hợp đồng dạng thứ hai (cạnh – góc – cạnh) Định lý: Nếu hai cạnh tam giác tỷ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh nhau, hai tam giác đồng dạng với AB BC µ µ...Bài 3: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A ' B ' C ' Cho biết AB  6cm, BC  10cm CA  14cm chu vi tam giác A ' B ' C ' 45cm Tính độ dài cạnh tam giác A ' B ' C ' Lời giải... (góc.góc) A Định lý: Nếu hai góc tam giác A' hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng Nếu B C C' B' µA  µ µ B µ '  ABC#A ' B ' C '  gg  A '; B Bài 1: Cho tam giác ABC có AB  6cm, AC  9cm