ba dang bai tap cac truong hop dong dang cua tam giac vuong co loi giai

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG A Lý thuyết Hai tam giác vuông đồng dạng nếu: - Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng kia; - Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng kia; - Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác vuông đồng dạng - Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng - Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số động dạng B Các dạng tập Dạng Áp dụng trường hợp đồng dạng tam giác vào tam giác vuông Hai tam giác vuông đồng dạng với nếu: Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng Thật vậy, chúng ln có thêm hai góc vng nhau, nên chúng có hai góc Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng Thật vậy, chúng có thêm hai cạnh huyền tỉ lệ (dựa định lí Py-ta-go) Ví dụ Hình thang vng ABCD có A  D  90, AB  4cm, CD  9cm Tính độ dài BD biết BD vng góc với BC  Giải Xét hai tam giác vng ABD BDC có: D1  B1  ABD∽ BDC  BD AB   BD  AB.DC  4.9  36 DC BD  BD  6cm Vậy, ta BD  6cm  Nhận xét: Như vậy, việc đánh giá D1  B1 (góc nhọn tam giác vng), có ABD∽ BDC , từ dựa tỉ số đồng dạng cạnh tính độ dài cạnh BD Thí dụ tiếp theo, minh họa việc sử dụng trường hợp thứ hai (hai cạnh góc vng tỉ lệ) Ví dụ Hình thang vng ABCD có A  D  90, AB  6cm, CD  12cm, AD  17cm Lấy điểm E cạnh AD cho AE  8cm a Hỏi ABE đồng dạng với tam giác nào? Vì sao? b Chứng minh BEC  90  Giải a Xét hai tam giác vuông ABE DEC , ta có:  AB  DE   AB AE    ABE ∽ DEC  DE DC  AE    DC 12 b Theo kết câu a), ta suy E1  C1 Mặt khác CDE vng D, ta có: C1  E3  90  E1  E3  90 Khi đó:   BEC  180  E1  E3  180  90  90  Nhận xét: Như vậy, việc đánh giá AB AE  (hai cạnh góc vng tỉ lệ) DE DC có kết luận ABE ∽ DEC , từ dựa vào góc tính số đo góc BEC - Các em học sinh cần nhớ kiểm tra thông thường câu a) không đề cập, điều dẫn tới việc em cần có định hướng xác cơng việc cần thực hiện, cụ thể:  Để chứng minh BEC  90 ta cần chứng minh E1  E3  90  Nhận xét E1 E3 hai góc nhọn tam giác vng, vậy, có E1  E3  90 E1  C1 , tức hai tam giác vng đồng dạng  Từ đó, bắt đầu việc chứng minh ABE ∽ DEC Tuy nhiên, với yêu cầu chứng minh BEC  90 , ta sử dụng cách khác sau: Hạ BH  CD , suy ABHD hình chữ nhật, đó: BH  AD  17cm CH  CD  DH  CD  AB  12   6cm Trong BHC vng H, ta có: BC  BH  CH  289  36  325 (1) Trong ABE vng A, ta có: BE  AB2  AE  36  64  100 (2) Trong CDE vng D, ta có: CE  CD2  DE  144  81  225 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: BC  BE  CE  BCE vuông E  BEC  90 Dạng Dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng Định lí 1: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác hai tam giác vng đồng dạng Như vậy, hai tam giác vuông ABC A1B1C1 thỏa mãn: A1B1 B1C1   A1B1C1 ∽ ABC AB BC Và ta có ngay: C1  C B1  B   A1 B1 B1C1 C1 A1    BC CA  AB  Chú ý: Kết định lí chứng minh cách khác đơn giản dựa vào định lí Py-ta-go, thật vậy: Nếu có: A1B1 B1C1  k AB BC AC  1 AC B1C12  A1B12 BC  AB  k BC  k AB BC  AB k Ví dụ Cho ABC vuông A, AC  8cm, BC  12cm Kẻ tia Cx vng góc với BC Trên Cx lấy điểm D cho BD  18cm Chứng minh ABC ∽ CDB  Giải Xét hai tam giác vng ABC CDB , ta có:  BC 12  DB  18  BC AC    ABC ∽ CDB  DB CB  AC    CB 12  Nhận xét: Từ kết quả: ABC ∽ CDB  B1  C1  AC //BD  ABCD hình thang vng Dạng Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Định lí 2: Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng Như vậy, A1B1C1 ∽ ABC với tỉ số k A1H1 A1B1 B1C1 C1 A1    k AH AB BC CA Và ta có thêm:  A1 H1 B1H1 C1H1    BH CH  AH  B A H  BAH C A H  CAH  1 1 1 Định lí 3: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng Như vậy, A1B1C1 ∽ ABC với tỉ số k thì: SA1B1C1 SABC  k2 Ví dụ Trên hình 50, tam giác đồng dạng Viết tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng giải thích chúng đồng dạng?  Hướng dẫn: Sử dụng trường hợp đồng dạng tam giác vuông kết hợp với tính chất đồng dạng tam giác nhận sáu cặp tam giác đồng dạng từ hình vẽ  Giải Nhìn hình vẽ , ta có:  ABE ∽ ADC (vì hai tam giác vng có góc nhọn A chung)  EDF ∽ EBA (vì hai tam giác vng có góc nhọn E chung)  CBF ∽ CDA (vì hai tam giác vng có góc nhọn C chung)  EDF ∽ CBF ( hai tam giác vng có E  C  góc có cạnh tương ứng vng góc)  EDF ∽ CDA (vì đồng dạng với CBF )  CBF ∽ EBA (vì đồng dạng với EDF ) Ví dụ Cho ABC vng A có đường cao AH a Trong hình vẽ 51 có cặp tam giác đồng dạng với nhau? (Hãy rõ cặp tam giác đồng dạng viết theo đỉnh tương ứng) b Cho biết AB  12, 45cm, AC  20,50cm Tính độ dài đoạn thẳng BC, AH , BH CH  Hướng dẫn: Ta lần lượt:  Với câu a), sử dụng trường hợp đồng dạng tam giác vuông kết hợp với tính chất đồng dạng tam giác nhận ba cặp tam giác đồng dạng từ hình vẽ  Với câu b), sử dụng định lí Py-ta-go để tính BC kết hợp với kết câu a)  Giải a Ta có, cặp tam giác đồng dạng có hình là:  AHB ∽ CAB (vì hai tam giác vng có góc nhọn B chung)  CHA ∽ CAB (vì hai tam giác vng có góc nhọn C chung)  AHB ∽ CHA (vì đồng dạng với CAB ) b Áp dụng định lí Py-ta-go vào ABC vng A, ta có: BC  AB2  AC  12, 45   20,5  575, 25  BC  23,98  cm  2 Xét AHB ∽ CAB , ta có: AH AB 20,5.12, 45   AH   10, 64  cm  AC BC 23,98 BH AB AB   HB   6, 46  cm  AB BC BC Do đó: CH  BC  BH  23,98  6, 46 17,53  cm  Ví dụ ABC có độ dài cạnh 3cm, 4cm 5cm ABC đồng dạng với ABC có diện tích 54cm2 Tính độ dài cạnh ABC  Hướng dẫn: Ta lần lượt:  Sử dụng định lí Py-ta-go để đánh giá ABC vng A  Tính diện tích ABC sử dụng định lí để suy tỉ số đồng dạng k hai tam giác ABC ABC  Sử dụng k tỉ số cạnh để tính độ dài cạnh ABC  Giải – Học sinh tự vẽ hình Giả sử ABC có AB  3cm, AC  4cm, BC  5cm , ta có: AB2  AC  32  42  25 BC  52  25  AB2  AC  BC Do ABC vng A, suy ra: S ABC  AB AC 3.4    cm2  2 Xét ABC ∽ ABC có tỉ số đồng dạng k, ta có: S ABC 54   k2  k2   k  S ABC Mặt khác, ta có: k AB AC  BC  AB AC  BC      hay AB AC BC  AB  9cm, AC  12cm, BC  15cm Ví dụ Cho ABC , điểm D thuộc cạnh BC Vẽ DM song song với AC  M  AB  , DN song song với AB  N  AC  Biết SBMD  a , SDNC  b2 Chứng minh S ABC   a  b   Hướng dẫn: Sử dụng kết định lí  Giải Giả sử ABC có diện tích S Ta thấy ngay: S a2 BC a  BD  BDM ∽ DCN  BDM       SDCN  CD  b CD b  BD a BD a    CD  BD a  b BC a  b Vì DM //AC nên S  BD  BDM ∽ BCA  BDM    SBCA  BC   SABC 2 a   BC    SBDM    a     a  b  BD   ab  ... hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng Định lí 1: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác hai tam giác vng đồng dạng Như vậy, hai tam giác vuông ABC... ADC (vì hai tam giác vng có góc nhọn A chung)  EDF ∽ EBA (vì hai tam giác vng có góc nhọn E chung)  CBF ∽ CDA (vì hai tam giác vng có góc nhọn C chung)  EDF ∽ CBF ( hai tam giác vng... dạng tam giác vng kết hợp với tính chất đồng dạng tam giác nhận ba cặp tam giác đồng dạng từ hình vẽ  Với câu b), sử dụng định lí Py-ta-go để tính BC kết hợp với kết câu a)  Giải a Ta có, cặp tam