tat tan tat ve cac truong hop bang nhau cua tam giac vuong chi tiet

CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG A Phương pháp giải Ngoài trường hợp biết hai tam giác vng, cịn có trường hợp theo cạnh huyền – cạnh góc vng  Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác A A 90 BC BC AC AC ABC A B C (cạnh huyền – cạnh góc vng) B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác cân A Đường thẳng vng góc với AB B cắt đường thẳng vng góc với AC C D Chứng minh AD tia phân giác góc BAC Giải * Tìm cách giải Để chứng minh AD tia phân giác góc BAC, cần chứng minh BAD CAD Do hiển nhiên cần chứng minh BAD CAD * Trình bày lời giải Trang Xét BAD Do BAD CAD có: ABD 90 ; AD cạnh chung; AB ACD AC ( ABC cân A) CAD (cạnh huyền - cạnh góc vng) BAD CAD (cặp góc tương ứng) Vậy AD tia phân giác góc BAC * Nhận xét Chúng ta cịn có DA tia phân giác góc BDC, tam giác DBC cân D AD vng góc với BC Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng A, vẽ AH vng góc với BC Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE BA Kẻ EK AC Chứng minh AK AC K AH Giải * Tìm cách giải Để chứng minh AK AH , cần ghép chúng vào hai tam giác chứng minh hai tam giác Do cần chứng minh AEH AEK * Trình bày lời giải ABE cân B nên BAE vng góc với AC) le trong) AEH suy AK AEH BEA, EK / / AB (vì EAB AEK (so AEK AEK (cạnh huyền - góc nhọn), AH Ví dụ Cho tam giác ABC (AB < AC), M trung điểm BC Đường trung trực BC cắt tia phân giác góc BAC điểm P Vẽ PH PK vng góc với đường thẳng AB đường thẳng AC a) Chứng minh PB = PC BH = CK b) Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng c) Gọi O giao điểm PA HK Chứng minh OA2 OP2 OH OK PA2 Giải Trang a) PMB PMC có PMB PMB b) PMC c.g.c PHA MC , MP cạnh chung 90 , MB PC (hai cạnh tương ứng) PB PKA có PHA PKA PAK , AP cạnh chung 90 , PAH PKA (cạnh huyền - góc nhọn) PHA PK (hai cạnh tương ứng) PH PHB PKC có PHB PKC 90 , PB PC, PH PK PKC (cạnh huyền - cạnh góc vng) PHB CK (hai cạnh tương ứng) BH b) Kẻ BE / / AC E HK Mà PMC AKH (hai góc đồng vị) (1) BEH PKA (chứng minh trên) PHA AHK cân A Từ (1) (2) BEH BEH cân B AHK hay BEH CKM có MB BE MC, EBM CK KCM, BE CK CKM (c.g.c) BEM BME BHE BE Mà BH CK (chứng minh trên) BEM AK (hai cạnh tương ứng) AKH (tính chất tam giác cân) (2) AHK BH AH CMK (hai góc tương ứng) Mà BME EMC 180 (hai góc kề bù) CMK EMC Mà E HK c) AOH AOH 180 EMK 180 E, M, K thẳng hàng H, M, K thẳng hàng AOK có AH AK, OAH AOK , suy AOH OAK, AO cạnh chung AOK , mà hai góc kề bù nên Trang AOH AOK 90 HK O PA Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông O OAH, OAK, OPH, OPK ta có: OA2 OH AH ;OA2 OK AK OP2 OH PH ;OP2 OK PK OK 2 AH 2 OA2 OA2 OP2 OP2 OH OH OK AH OP2 OH OK AK PH PK ) PH AH Mà tam giác PAH vuông H OA2 PH (vì AH PH PA2 (định lý Py-ta-go) PA2 C Bài tập vận dụng 11.1 Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy D, E (D nằm B E) cho BD CE Vẽ DM AB M, EN AC N Gọi K giao điểm MD NE Chứng minh rằng: a) MBD NCE; b) MAK NAK 11.2 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD CE Kẻ BH AD H, kẻ CK AE K Chứng minh rằng: a) BHD CKE; b) AHB AKC; c) BC / / HK 11.3 Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, AM tia phân giác góc A Kẻ MH vng góc với AB; MK vng góc với AC Chứng minh rằng: a) MH b) MK; ABC cân 11.4 Cho tam giác ABC vng A có C 30 , đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D cho HD HB Từ C kẻ CE AD Chứng minh rằng: a) Tam giác ABD tam giác b) EH song song với AC 11.5 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD BA Qua D vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt AC E Trang a) Chứng minh rằng: AE DE b) Đường phân giác góc ngồi C cắt đường thẳng BE K Tính BAK 11.6 Cho tam giác ABC có AB AC; BAC 90 M trung điểm BC Trên tia đối tia CB lấy điểm D Kẻ BK vng góc với đường thẳng AD K Chứng minh KM tia phân giác BKD 11.7 Cho tam giác DEF vuông D DF DE Kẻ DH vng góc với EF (H thuộc cạnh EF) Gọi M trung điểm EF Chứng minh MDH E F 11.8 Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC Gọi M, N trung điểm AB, AC Kẻ NH CM H, kẻ HE AB E Chứng minh rằng: a) Tam giác ABH cân b) HM tia phân giác góc BHE Trang HƯỚNG DẪN GIẢI 11.1 a) Xét B MBD NCE có: BMD CE Do C; BD MBD (cạnh huyền – góc nhọn) b) NCE NC MB NCE (chứng minh trên) MBD MB 90 ; CNE NC AM MB Xét MAK NC nên AM AN AN NAK có: AMK 90 ; ANK AK cạnh chung; AM = AN Do NAK (cạnh huyền – cạnh góc vng) MAK 11.2 a) Ta có ABD ABC 180 ; ACE ACB 180 mà ABC ACB ABD ACE ACE có AB BHD AB c) ACE; BD ADB AEC CKE có BHD CKE 90 ; HDB CE b) Ta có AC; ABD ACE (c.g.c) ABD BD ABD BHD AHB AC; BH CK CE KEC ; CKE (cạnh huyền – góc nhọn) AKC có AHB BHD AKC 90 ; CKE AHB AKC (cạnh huyền – cạnh góc vng) AHB AKC AH AHK cân A ADE cân A AHK ADE AK AHK ADE HAK 180 DAE 180 HK / / DE Vậy BC // HK 11.3 a) AHM AKM có: AHM AKM 90 ; Trang AM chung; HAM AKM (cạnh huyền góc nhọn) AHM MK MH b) BHM BM CKM có BHM MC; MH 90 ; CKM MK CKM (cạnh huyền, cạnh góc vng) BHM B KAM ABC cân A C 11.4 a) AHD (c.g.c), suy AB = AD AHB ABC vng A, có C 30 nên B Tam giác ABD cân, có B 60 nên b) EAC BAC EAC ACB AHC BAE 90 60 60 ABD tam giác 30 CEA (cạnh huyền – góc nhọn) Suy CH = AE ADC cân DAC DCA nên DA = DC Suy AE AD CH CD hay DE DEH có góc đỉnh ADC EHD DH Do EAC DEH cân D, hai tam giác cân DAC AEH EH / / AC 11.5 a) ABE A D Vậy AE DBE có: 90 (Vì AE ABE AB, AD BC ) AB AD (giả thiết), BE: cạnh chung DBE (cạnh huyền – cạnh góc vng) DE b) Từ câu a) suy ABE DBE , BK phân giác góc ABC Trang Vẽ KN BA, KH BC AC, KM Tam giác vuông KMC tam giác vng KHC có: C2 Do KMC Ta lại có KMB C1 (giả thiết); CK cạnh chung KHC (cạnh huyền – góc nhọn), suy KM KH (1) KNB (cạnh huyền – góc nhọn) nên KM KN (2) Từ (1) (2) suy KH KN Tam giác vuông AKH tam giác vng AKN có: KH KN; AK cạnh chung Do A1 AKN (cạnh huyền – cạnh góc vng) AKH A2 BAK 135 BK, MI KD 45 11.6 Kẻ MH ABC vng cân A có MB AM AM BC, BMA MC nên dễ dàng suy AMB AMC (c.c.c), từ suy CAM MB; MAC 45 Trang Ta có: KBA CAD BMH MBH MAI MHK MHK BAK 90 AMI có AIM BMH KBC BHM MAI 90 ; BM AM AMI (cạnh huyền – góc nhọn) MIK có MHK MIK MH MI 90 , MK chung; MH = MI MIK (cạnh huyền – cạnh góc vng) HKM IKM Vậy KM tia phân giác BKD 11.7 Áp dụng ví dụ 10 chuyên đề 8, ta có: ME = MD MDE cân M Mặt khác, ta có: HDE Ta có: MDH MDE MDE E F (cùng phụ với góc HDF) HDE E F Trang 11.8 a) Từ A kẻ AK MC K AQ HN Q Hai tam giác vng MAK NCH có MA AB , A1 NC MAK NCH BAK AK (1) HC ACH có AK = CH, A1 BAK ACH c.g.c AQN ANQ C1 (cùng phụ với góc AMC) CNH BKA C1 , AB = CA AHC CHN có AN = NC, ANQ CNH ch gn AQ CH (2) Từ (1) (2), suy ra: AK = AQ AKH AKH AHQ AQH có AKH AQH AQH ch cgv KHA 45 AHC 135 Từ BKA BKH AKH 360 90 , AK QHA BKA BKH AQ, AH chung HA tia phân giác góc KHQ 135 135 Tam giác AKH có KHA 45 nên vng cân K suy KA = KH BKA BKH c.g.c BA BH hay ABH cân B Trang 10 b) Dễ chứng minh Mà HE / / CA H2 AKB HKB c.c.c C1 (góc đồng vị) A1 C1 A1 H1 H1 H2 Hay HM tia phân giác góc BHE Trang 11