Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu hai cạnh và trung tuyến ứng với cạnh thứ ba của tam giác này bằng hai cạnh và trung tuyến ứng với cạnh thứ ba của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC
HÌNH HỌC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1/ Lợi ích việc chứng minh hai tam giác suy cặp cạnh tương ứng nhau, cặp góc tương ứng
2/ Các trường hợp tam giác
* Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh: Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tương ứng tam giác hai tam giác
* Trường hợp cạnh - góc - cạnh: Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác
* Trường hợp góc - cạnh - góc: Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác
3/ Việc chứng minh hai đoạn thẳng (hay hai góc) ta làm sau:
- Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác
- Chứng minh hai tam giác
- Suy hai cạnh (hay hai góc) tương ứng
4/ Chú ý:
(2)- Nối hai cạnh có sẵn hình để tạo cạnh chung hai tam giác
- Trên tia cho trước, đặt đoạn đoạn thẳng khác
- Từ điểm cho trước, vẽ đường thẳng song song với đoạn thẳng
- Từ điểm cho trước, vẽ đường thẳng vng góc với đoạn thẳng
B/ CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Cho góc vng xOy, điểm A tia Ox, điểm B tia Oy Lấy điểm E tia đối tai Ox, điểm F tia Oy cho OE= OB, OF= OA
a Chứng minh AB = EF, AB EF
b Gọi M N trung điểm AB EF Chứng minh tam giác OMN vuông cân
Hướng dẫn GT xOy= 900
; AOx, BOy ; OE = OB, OF= OA ; M AB: MA = MB N EF: NE = NF
KL a) AB = EF, AB EF b) OMN vuông cân
Chứng minh
a Xét AOB FOE có:
OA = OF ( GT)
AOB = FOE = 900 AOB FOE(C.G.C) OB = OE (GT)
AB = EF( cạnh tương ứng) A = F (1) ( góc tương ứng)
x y
F H N E
M A O
B
1
(3)Xét FOE : O = 900 E+F = 900 (2)
Từ (1) (2) E+A = 900 EAH=900 EH HA hay AB EF b Ta có: BM =
2AB( M trung điểm AB)
EN =
2EF( M trung điểm EF)
Mà AB = EF BM = EN
Mặt khác: FOE : O = 900 E+F = 900
OAB : O = 900 A+B1 = 900 Mà A = F(cmt) E= B1
Xét BOM EON có :
OB = OE (gt) ; B1= E(cmt) ; BM = EN (cmt)
BOM = EON (c.g.c)
OM = ON (*) Và O1= O2
Mà O2+O3=900 nên O1 +O3=900 MON= 900 (**) Từ (*) và(**) OMN vuông cân
Ví dụ 2: Cho ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Nối D với E Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng
Hướng dẫn
(4)Phân tích: B, I, C thẳng hàng BIE+EIC= 1800
Cần c/m BID=EIC Mà BID+BIE= 180
Cần tạo điểm F cạnh BC: EIC = DIF
Ví dụ 3: Cho ABC, A= 600 Phân giác BD, CE cắt O Chứng minh :
a DOE cân
b BE + CD= BC
Hướng dẫn GT ABC, A=600 ;
BD: Phân giác B(DAC) ; CE: Phân giác C(EAB) BD CE = {O}
KL a DOE cân
b BE + CD= BC
a) Ta có: ABC: B+C=1800 - A=1800 - 600 = 1200 (Định lý tổng ba góc tam giác)
Mà B1=
2
B
(BDlà phân giácB); C1=
2
C
(CE phân giác C)
Nên B1+C1=
2
B C =
0 120
2 = 60
OBC có BOC = 1800 - (B1+C1) = 1800 - 600 =1200 (Định lý tổng ba góc tam giác)
Mặt khác:BOC+O1 = 1800( kề bù) ; BOC+O2 = 1800( kề bù)
(5)O1=O2=600
Vẽ phân giác OF BOC (FBC) O3=O4=
2
BOC =600
Do : O1=O2=O3=O4=600 Xét BOE BOF có:
B2= B1(BDlà phân giácB); BO cạnh chung ; O1=O4=600
BOE = BOF(g.c.g)
OE = OF (1) ( hai cạnh tương ứng) Và BE = BF c/m tương tự COD = COF(g.c.g)
OD =- OF (2) (hai cạnh tương ứng) CD = EF Từ (1 ) (2) OE = OD DOE cân
b) Ta có BE = BF ; CD = CF (cmt)
BE+CD=BF+FC=BC Vậy : BE + DC= BC
* Nhận xét:
- Ví dụ cho ta thêm cách vẽ đường phụ:Vẽ phân giác OF BOC Khi OF đoạn thẳng trung gian để so sánh OD với OE
- Ta vẽ thêm đường phụ cách khác: Trên BC lấy điểm F cho BF= BE Do cần c/m BOE = BOF(g.c.g) COD = COF(g.c.g)
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tam giác ABC tam giác A'B'C' có AB=A'B', AC= A'C' Hai góc A A'bù Vẽ trung tuyến AM kéo dài đoạn MD = MA Chứng minh:
(6)b AM =
2B'C'
Bài 2:Cho tam giác ABC vẽ ngồi tam giác tam giác vng cân A ABE ACF Chứng minh:
a BF = CE BF CE
b Gọi M trung điểm BC CMR: AM =
2EF
Bài 3: Cho ABC, vẽ ngồi tam giác tam giác vng cân A ABE ACF Vẽ AH vng góc với BC Đường thẳng AH giao EF O CMR: O trung điểm EF
Bài 4: Cho ABC có A = 600 Dựng ngồi tam giác tam giác ABM CAN
a CMR: Ba điểm A, M, N thẳng hàng b c/m BN = CM
c Gọi O giao điểm BN CM Tính BOC
Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu hai cạnh trung tuyến ứng với cạnh thứ ba tam giác hai cạnh trung tuyến ứng với cạnh thứ ba tam giác hai tam giác
Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = AC ,gọi M trung điểm cua cạnh BC a) Chứng minh tam giác ABM&ACM
b) Chứng minh AM vng góc với BC
c) AM phân giác góc A
Bài 7: Cho ABC có AB < AC Kẻ tia phân giác AD BAC ( D thuộc BC) Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB, tia AB lấy điểm F cho AF = AC Chứng minh rằng:
a) BDF = EDC b) BF = EC
(7)d) AD FC
Bài Cho ABC, M trung điểm BC Trên tia đối tia MA, lấy điểm E cho ME = MA
a) Chứng minh AC // BE
b) Gọi I điểm AC, K điểm EB cho AI = EK Chứng minh điểm I, M, K thẳng hàng
Bài Cho góc nhọn xOy tia phân giác Oz góc Trên Ox, lấy điểm A, Oy lấy điểm B cho OA = OB Trên tia Oz, lấy điểm I Chứng minh:
a) AOI = BOI b) AB OI
Bài 10 Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox, lấy điểm A C Trên tia Oy lấy điểm B D cho
OA = OB ; OC = OD (A nằm O C; B nằm O D)
a) Chứng minh OAD = OBC b) So sánh góc CAD CBD
Bài 11 Cho ABC vuông A TRên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC a) Chứng minh ABC = ABD
b) Trên tia đối tia AB, lấy điểm M Chứng minh MBD = MBC HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1:
a) Xét AMC DMB có:
AM = MD (gt) ; AMC= DMB (đối đỉnh); MC = MB( gt)
(8) AC = BD ( hai cạnh tương ứng) ; A1= D(hai góc tương ứng)
AC//BD ( có cặp góc SLT nhau)
BAC+ABD= 1800(hai góc phía) Mà BAC+A'= 1800(gt)
ABD=A'
b) Xét ABD B'A'C' có:
AB = A'B'(gt) ; ABD=A'(cmt)
BD = A'C'(=AC)
ABD B'A'C'(c.g.c)
AD = B'C' ( hai cạnh tương ứng) Mà AM =
2AD (gt) AM = 2B'C'
* Nhận xét: Hai tam giác có hai cặp cạnh cặp góc xen chúng bù trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác nửa cạnh thứ ba tam giác
Bài 2:
a) Ta có: EAC= EAB+BAC= 900 + BAC
BAF= BAC+ CAF= 900 + BAC
EAC=BAF
Xét ABF AEC có:
AB = AE(gt) ; BAF=EAC(cmt) ; AF = AC (cmt)
ABF = AEC(c.g.c)
BF = CE ( hai cạnh tương ứng) vàB1= E1( hai góc tương ứng) (1)
E
A
F
B M C O
I1
2 B'
A'
C'
A B
C M
(9)Gọi O I giao điểm CE với BF AB
Xét AEI vng A có E1+I1= 900(2)
Và I1=I2 (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) (3) B1+I2 =900 BOI= 900BF CE b) Ta có:EAB+BAC+CAF+FAE= 3600
BAC+FAE= 3600 - (EAB+CAF) =3600-(900+900)=1800
Ta thấy: ABC EAF có hai cặp cạnh cặp góc xen chúng bù
nhau nên trung tuyến AM =
2EF
Bài 3:
Kẻ EI AH, FKAH (I, K AH) Xét AEI ABH có:
I = H = 900; AE = AB (gt)
EAI= BAH(cặp góc có cạnh tương ứng vng góc nhọn)
AEI = ABH (cạnh huyền- góc nhọn)
EI = AH ( hai cạnh tương ứng)
Tương tự: AFK = CAH (cạnh huyền- góc nhọn)
FK = AH ( hai cạnh tương ứng) Xét OEI OFK có:
I = K = 900 ; EI = FK (=AH) ; KFO=IEO(SLT, EI//FK)
OEI = OFK(g.c.g)
OE = OF ( hai cạnh tương ứng)
E
A
F
B C
K I O
(10)Mà OEF(gt)
O trung điểm EF Bài 4:
a) ABM, CAN BAM = CAN=600
Vậy MAN=BAM+BAC+CAN= 600+600+600=1800M,A,N thẳng hàng b) Xét ABN ACM có:
AB = AM (gt); BAN=CAM (=1200) ; AN = AC(gt)
ABN = ACM(c.g.c)
BN = CM ( hai cạnh tương ứng) C1=N1(hai góc tương ứng)
c) BOC góc ngồi OCN
BOC=OCN+ONC = C1+ACN+ONC
Mà C1=N1(cmt)
BOC=N1+ACN+ONC= ACN+ANC=600+600=1200
Bài 5:
Lấy DAM: MD = MA Lấy D'A'M': M'D' = M'A' Xét ABM DMC có:
MB = MC(gt) ; AMB=CMD (đối dỉnh)
AM = MD(cách lấy điểm D)
ABM = DMC(c.g.c)
M A N
B C
O 1
1
A
B C
D
A'
C'
D' M'
M B'
2
(11)CD = AB( hai cạnh tương ứng) Và A2=D1(1)( hai góc tương ứng) C/m tương tự ; C'D' = A'B'; A'2=D'1(2)
Xét ACD A'C'D' có:
AC = A'C'(gt) ; AD = A'D' (vì AM = A'M') ; CD = C'D' ( = AB)
ACD = A'C'D'(c.c.c)
A1=A'1vàD1=D'1(3)
Từ (1), (2),(3) A2 =A'2mà A1=A'1 BAC=B A C' ' '
Vậy ABC = A'B'C'(c.g.c)
* cách 2:
AMC A'M'C' có:
AM = A'M'(gt); A1=A'1(cmt); AC= A'C'(gt)
AMC = A'M'C' (c.g.c)
MC = M'C'( hai cạnh tương ứng) Mà MC =
2BC; M'C' =
2B'C'(gt) Do đó: BC = B'C'
(12)Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia