Toán 7 HH7 cđ8 CAC TH BANG NHAU CUA TAM GIAC VUONG

CHUYÊN ĐỀ 15 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC VNG PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Trường hợp hai cạnh góc vng Nếu hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng (theo trường hợp cạnh – góc – cạnh) E B C A D F Trường hợp cạnh góc vng góc nhọn Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vuông cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng (theo trường hợp góc – cạnh – góc) E B A C D F Trường hợp cạnh huyền góc nhọn Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng ( theo trường hợp g-c-g) B A C E D F Trường hợp cạnh huyền cạnh góc vng Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác B E C A D F PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Tìm chứng minh hai tam giác vuông I Phương pháp giải: +) Xét hai tam giác vuông +) Kiểm tra điều kiện cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh – góc, cạnh huyền – góc nhọn, cạnh huyền – cạnh góc vng +) Kết luận hai tam giác II Bài tốn Bài Tìm tam giác vng hình đây? A D B C Lời giải: +) Xét AB C có: ADC D  B  90 DAC  BAC ( gt) AC chung Do ABC  ADC ( cạnh huyền - góc nhọn) Bài Tìm tam giác vng hình sau: C A B D Lời giải: +) Xét AB C có: BAD ABC  BAD  90 AB chung BAC  ABD (gt) Do ABC  BAD ( cạnh góc vng - góc nhọn) Bài Tìm tam giác vng hình đây? B A C D +) Xét AB C có: Lời giải: ADC B  D  90 BC  DC ( gt) AC chung Do ( cạnh huyền – cạnh góc vng) ABC  ADC Bài Tìm tam giác vng hình sau: F E M N ME +) Xét F +) Xét EM Lời giải: vuông M nên: F  MEF  90 vuông E nên: N  EMN  90 N Mà F  N ( gt) Nên MEF  EMN +) Xét MEF EMN có: EMF  MEN  90 MEF  EMN (chứng minh trên) ME cạnh chung Do MEF  EMN ( g-c-g) Bài Cho hình vẽ sau: A E D B H Chứng minh rằng: a) ABH  ACH ; b) ADH  AEH ; c) DBH  ECH a) Xét AB H Lời giải: vuông H AC H vng H có: C BH  CH (gt) AH cạnh chung Do ( cạnh góc vng ) ABH  ACH b) Xét AD H vuông D AE H vuông E có: AH cạnh chung DAH  EAH ( ABH  ACH ) Do ADH  AEH c) Xét (cạnh huyền- góc nhọn) DBH vng D EC H vng E có: B  ( ABH  ACH ) C BH  CH (gt) Do DBH  ECH ( cạnh huyền – góc nhọn ) Bài Cho xOy Tia Oz tia phân giác xOy Lấy điểm A thuộc tia Oz ( A  O) Kẻ AB vuông góc với Ox, AC vng góc với Oy (B Ox, COy) Chứng minh Lời giải: x B z A O C +) Xét OA B vuông B OA y vng C có: C OA cạnh chung AOB  AOC ( Oz tia phân giác xOy ) Do OAB  OAC ( cạnh huyền – góc nhọn) Bài Cho hình vẽ sau Tìm tam giác vng hình? A OA B  OAC F B G D E Lời giải: +) Xét BF D vuông F CG vng G ta có: E BD  CE (gt) B  C (gt) Do +) Xét BFD  CGE AF D ( cạnh huyền – góc nhọn) vng F AG vng G ta có: E C AD  AE (gt) FD  GE ( BFD  CGE ) Do AFD  AGE (cạnh huyền – cạnh góc vng) Bài Cho tam giác ABC có AB  AC Gọi D trung điểm cạnh BC Kẻ DE  AB , DF  AC Chứng minh: a) DEB  DFC ; b) DEA  DFA Lời giải: A E AB a) Xét D F B D C ACD có: AB  AC (gt) AD cạnh chung DB  DC ( D trung điểm cạnh BC ) Do ABD  ACD (c-c-c) Nên B  C DAB  DAC +) Xét DE B vng E DF vng F ta có: C AD chung B  C (chứng minh trên) Do b) Xét DEB  DFC (cạnh huyền – góc nhọn) DEA vuông E DFA vuông F ta có: AD cạnh chung DAB  DAC (chứng minh trên) Do DEA  DFA (cạnh huyền – góc nhọn) Bài Cho tam giác ABC vng A AB  AC Qua A kẻ đường thẳng d cắt BC Vẽ BM ,CN vng góc với d Chứng minh : BAM  ACN Lời giải: B N M C A Vì ABC vuông A nên BAC  BAM  CAM  90 Và vuông N nên ACN  CAM  90 ANC Do BAM  ACN +) Xét BA M vng M AC vng N có: N BAM  ACN (cmt) AB  AC (gt) Nên (cạnh huyền – góc nhọn ) BAM  ACN Bài 10 Cho có B  C Trên tia đối tia BC lấy điểm M , tia đối tia tia CB AB C lấy điểm N cho BM  CN Kẻ BE  AM (E  AM ), CF  AN (F  AN ) Chứng minh BME  CNF Lời giải: A E M F B I Ta có: ABC  ABM  180; ACB  ACN  180 ( kề bù) Mà ABC  ACB(gt)  ABM  ACN +) Kẻ AI  BC C N I +) Xét AB vng I nên ta có: BAI  IBA  90 I +) Xét AC vuông I nên ta có: CAI  ICA  90 I Mà IBA  IAB(gt) Nên IAB  IAC +) Xét AB ACI I ta có: AIB  AIC  90 AI chung IAB  IAC (chứng minh trên) Do (g-c-g) ABI  ACI Nên AB  AC Xé AB t ACN có: M BM  CN (gt) ABM  ACN (cmt) AB  AC (cmt)  ABM  ACN (c-g-c) Nên M  N +) Xét BM E vuông E CN vng F ta có: F BM  CN (gt) M  N (cmt) Do BME  CNF ( cạnh huyền – góc nhọn) Bài 11 Cho ABC Từ A vẽ cung trịn có bán kính BC , từ C vẽ cung trịn có bán kính AB Hai cung trịn cắt D ( D nằm khác phía B AC ) Kẻ AH  BC (H  BC) CK  AD (K  AD) a) Chứng minh AHC  CKA; b) Chứng minh AHB  CKD Lời giải: A K 1 D A D K C B +) Kẻ DK  AH (K  AH ) +) Xét HA B H E vng H KDA vng K có: AD  AB (gt) BAH  ADK ( phụ với KAD ) Do HAB  KDA ( cạnh huyền – góc nhọn)  HA  KD (hai cạnh tương ứng) Ta có KD  AH ( cách vẽ) Và EH  AH ( BC  AH )  KD // EH  KDH  EHD (hai góc so le trong) +) Xét KDH vuông K EH D DH cạnh chung vng E ta có: KDH  EHD (cmt) Do KDH  EHD ( cạnh huyền – góc nhọn) Suy HA  HE ( hai cạnh tương ứng) Bài 13 Cho tam giác ABC có M trung điểm BC AM tia phân giác góc A Chứng minh AB  AC Lời giải: +) Từ M kẻ A B MME  AB, MF  AC C +) Xét E F MEA vuông E MFA vng F , ta có: MA cạnh chung MAE  MAF (vì AM tia phân giác góc A ) Do MEA  MFA ( cạnh huyền – góc nhọn) Nên AE  AF (1) ME  MF +) Xét MEB vuông E MF C vng F , ta có MB  MC ( M trung điểm BC ) ME  MF (chứng minh trên) Nên MEB  MFC ( cạnh huyền – cạnh góc vng) Do BE  CF (2) Từ (1) (2) ta suy AE  BE  AF  CF hay AB  AC Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Tìm chứng minh hai tam giác vuông Bài Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC , vẽ BD  AC giao điểm BD CE Chứng minh: D , CE  E Gọi M AB a) DBA  ECA ; b) EBC  DCB ; c) EAM  DAM Bài Cho AB C có AB  AC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx, Cy cho Bx  BA Cy CA Gọi D giao điểm tia Bx, Cy Chứng minh ABD  ACD Dạng Sử dụng trường hợp tam giác vuông để chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Bài Cho AB C nhọn có AB  AC Vẽ BH  AC  H  AC  , CK  AB  K  AB a) Chứng minh: AH  AK b) Gọi I giao điểm BH CK Chứng minh AI tia phân giác A Bài Cho AB có AB  AC D điểm cạnh AB , E điểm cạnh AC C cho AD  AE Từ D E hạ DM , EN vng góc với BC Chứng minh rằng: đường a) B  C ; b) BM  CN Bài Cho xOy Trên tia Ox lấy điểm A , tia Oy lấy điểm B Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Từ A B kẻ đường thẳng AE, BF vng góc với tia OM Chứng minh : AE  BF Bài Cho góc xOy Trên tia phân giác góc lấy điểm M , từ M hạ đường thẳng vuông góc MA, MB xuống cạnh Ox,Oy Chứng minh : a) MAO  MBO ; b) AB vng góc với OM ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Tìm chứng minh hai tam giác vuông Bài a) DBA  ECA (cạnh huyền – góc nhọn) b) EBC  DCB (cạnh huyền – góc nhọn) c) Từ DBA  ECA suy AE  AD EAM  DAM (cạnh huyền – cạnh góc vng) Bài A B C D Chứng minh ABD  ACD (cạnh huyền - cạnh góc vng) : Dạng Sử dụng trường hợp tam giác vuông để chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Bài A K H I B a) Chứng minh AHB  AKC C (cạnh huyền - góc nhọn)  AH  AK b) Chứng minh AHI  AKI (cạnh huyền - cạnh góc vng)  KAI  HAI  AI tia phân giác BAC Bài A E D B M I N a) Gọi I trung điểm BC , ta chứng minh C ABI  ACI (c  c  c) Suy B  C b) Chứng minh BD  CE sau chứng minh Nên BM  CN Bài BDM  CEN (cạnh huyền – góc nhọn) x A Chứng minh O F M E MAE  MBF ( cạnh huyền – góc nhọn) B y Từ suy AE  BF Bài x A M H O B y a) MAO  MBO ( cạnh huyền – góc nhọn) b) Gọi H giao điểm AB OM Ta có: BHO  AHO ( c-g-c) Từ suy OHA  OHB , mà hai góc vị trí kề bù nên OHA  OHB  90 Nên AB vng góc với OM H PHIẾU BÀI TẬP Dạng Tìm chứng minh hai tam giác vng Bài Tìm tam giác vng hình sau: A D B C Bài Tìm tam giác vng hình sau: C A B D Bài Tìm tam giác vng hình sau: B A C D Bài Tìm tam giác vng hình sau: F E M N Bài Cho hình vẽ sau: A E D B C H Chứng minh : a) ABH  ACH b) ADH  AEH c) DBH  ECH Bài Cho xOy Tia Oz tia phân giác xOy Lấy điểm A thuộc tia Oz ( A  O) Kẻ AB vng góc với Ox, AC vng góc với Oy (B Ox, COy) Chứng minh OA B  OAC Bài Cho hình vẽ sau Tìm tam giác vng hình? A F B G D E C Bài 8.MD3 Cho tam giác ABC có AB  AC Gọi D trung điểm cạnh BC Kẻ DE  AB, DF  AC Chứng minh: a) DEB  DFC b) DEA  DFA Bài Cho tam giác ABC vuông A AB  AC Qua A kẻ đường thẳng d cắt BC Vẽ BM ,CN vng góc với d Chứng minh : BAM  ACN Bài 10 Cho ABC có B  C tia BC lấy điểm M , tia đối tia tia CB Trên tia đối lấy điểm N cho BM  CN Kẻ BE  AM (E  AM ), CF  AN (F  AN ), AI  BC(I  BC) Chứng minh BME  CNF Bài 11 Cho ABC Từ A vẽ cung trịn có bán kính BC , từ C vẽ cung trịn có bán kính AB Hai cung tròn cắt D ( D nằm khác phía B AC ) Kẻ AH  BC(H  BC) CK  AD(K  AD) a) Chứng minh AHC  CKA b) Chứng minh AHB  CKD Dạng Sử dụng trường hợp tam giác vuông để chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Bài Cho hình vẽ sau Chứng minh OK phân giác góc BOA B O K A Bài Cho AB C có AB  AC Kẻ AD  BC Chứng minh AD tia phân giác BAC Bài Cho ABC có BA  BC Qua A kẻ đường vng góc với AB , Qua C kẻ đường vng góc với CB , chúng cắt K Chứng minh BK phân giác góc B ? Bài Cho tam giác ABC , M trung điểm cạnh BC Vẽ BI , CK vng góc với AM Chứng minh BI  CK Bài Cho tam giác ABC vng A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC điểm M Kẻ MD  BC (D  BC) a) Chứng minh BA  BD; b) Gọi E giao điểm hai đường thẳng DM Bài Cho tam giác ABC có AB  AC Trên cạnh BA Chứng minh ABC  DBE AB, AC lấy điểm M , N cho AM  AN Các đường thẳng vng góc với AB, AC H Chứng minh a) AMO  ANO M , N cắt O AO cắt BC b) HB  HC AH  BC Bài Cho tam giác ABC có AB  AC Đường thẳng vng góc với AB B cắt đường thẳng vng góc với AC C D Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh: a) DAB  DAC ; b) A, M , D thẳng hàng Bài Cho Bài Cho AB C vuông A AB  AC Tính số đo góc B, C ? AB C vuông A Từ điểm K cạnh AC , vẽ KH  BC , biết KH  KA Chứng minh BK  AH Bài 10 Cho AB C vuông A  AB  AC điểm M thuộc cạnh AC , H thuộc cạnh  BC cho MH  BC MH  HB Chứng minh AH tia phân giác góc A Bài 11 Cho tam giác ABC Các tia phân giác góc B C cắt I Kẻ ID  AB; IE  AC  D  AB; E  AC  Chứng minh AD  AE Bài 12 Cho AB vng A có AB  AC Vẽ AH  BC(H  BC) D điểm cạnh AC C cho AD  AB Vẽ DE  BC(E  BC) Chứng minh HA  HE Bài 13 Cho tam giác ABC có M trung điểm BC AM tia phân giác góc A Chứng minh AB  AC Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Tìm chứng minh hai tam giác vng Bài Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC , vẽ BD  AC giao điểm BD CE Chứng minh: D , CE  E Gọi M AB a) DBA  ECA ; b) EBC  DCB ; c) EAM  DAM Bài Cho AB C có AB  AC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx, Cy cho Bx  BA Cy CA Gọi D giao điểm tia Bx, Cy Chứng minh ABD  ACD Dạng Sử dụng trường hợp tam giác vuông để chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Bài Cho AB C nhọn có AB  AC Vẽ BH  AC  H  AC  , CK  AB  K  AB a) Chứng minh: AH  AK b) Gọi I giao điểm BH CK Chứng minh AI tia phân giác A Bài Cho AB có AB  AC D điểm cạnh AB , E điểm cạnh AC C cho AD  AE Từ D E hạ DM , EN vng góc với BC Chứng minh rằng: đường a) B  C b) BM  CN Bài Cho xOy Trên tia Ox lấy điểm A , tia Oy lấy điểm B Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Từ A B kẻ đường thẳng AE, BF vng góc với tia OM Chứng minh : AE  BF Bài Cho góc xOy Trên tia phân giác góc lấy điểm M , từ M hạ đường thẳng vng góc MA, MB xuống cạnh Ox,Oy Chứng minh: a) MAO  MBO b) AB vng góc với OM ... Sử dụng trường hợp tam giác vuông để chứng minh hai đoạn th? ??ng nhau, hai góc Tính độ dài đoạn th? ??ng, số đo góc I Phương pháp giải: + Chọn hai tam giác vng có cạnh (góc) đoạn th? ??ng (góc) cần tính... TẬP Dạng Tìm chứng minh hai tam giác vng Bài Tìm tam giác vng hình sau: A D B C Bài Tìm tam giác vng hình sau: C A B D Bài Tìm tam giác vng hình sau: B A C D Bài Tìm tam giác vng hình sau: F E... Vậy AH  BC Bài Cho tam giác ABC có AB  AC Đường th? ??ng vng góc với AB B cắt đường th? ??ng vng góc với AC C D Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh: a) DAB  DAC ; b) A, M , D th? ??ng hàng a) Xét