Bài giảng toán cao cấp a2

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG - - BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (A2) Biên soạn : Ts LÊ BÁ LONG Ths ĐỖ PHI NGA Lưu hành nội HÀ NỘI - 2006 LỜI NĨI ĐẦU Tốn cao cấp A1, A2, A3 chương trình tốn đại cương dành cho sinh viên nhóm ngành tốn nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật Nội dung toán cao cấp A1, A3 chủ yếu phép tính vi tích phân hàm nhiều biến, cịn tốn cao cấp A2 cấu trúc đại số đại số tuyến tính Có nhiều sách giáo khoa tài liệu tham khảo viết chủ đề Tuy nhiên với phương thức đào tạo từ xa có đặc thù riêng, địi hỏi học viên làm việc độc lập nhiều hơn, cần phải có tài liệu hướng dẫn học tập thích hợp cho mơn học Tập tài liệu hướng dẫn học mơn tốn cao cấp A2 biên soạn nhằm mục đích Tập tài liệu biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 Học viện Cơng nghệ Bưu Chính Viễn Thơng Nội dung sách bám sát giáo trình trường đại học kỹ thuật, giáo trình dành cho hệ qui Học viện Cơng nghệ Bưu Chính Viễn Thông biên soạn năm 2001 theo kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm tác giả Chính thế, giáo trình dùng làm tài liệu học tập, tài liệu tham khảo cho sinh viên trường, ngành đại học cao đẳng Giáo trình trình bày theo cách thích hợp người tự học, đặc biệt phục vụ đắc lực cho công tác đào tạo từ xa Trước nghiên cứu nội dung chi tiết, người đọc nên xem phần giới thiệu chương mục đích chương (trong sách Hướng dẫn học tập Toán A2 kèm) để thấy mục đích ý nghĩa, yêu cầu chương Trong chương, nội dung, người đọc tự đọc hiểu cặn kẽ thông qua cách diễn đạt chứng minh rõ ràng Đặc biệt bạn đọc nên ý đến nhận xét, bình luận để hiểu sâu mở rộng tổng quát kết Hầu hết toán xây dựng theo lược đồ: Đặt toán, chứng minh tồn lời giải lý thuyết cuối nêu thuật toán giải tốn Các ví dụ để minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý thuật tốn, giúp người đọc dễ dàng tiếp thu học Giáo trình gồm chương tương ứng với đơn vị học trình (60 tiết): Chương I: Lơ gích tốn học, lý thuyết tập hợp, ánh xạ cấu trúc đại số Chương II: Không gian véc tơ Chương III: Ma trận Chương IV: Định thức Chương V: Hệ phương trình tuyến tính Chương VI: Ánh xạ tuyến tính Chương VII: Khơng gian véc tơ Euclide dạng tồn phương Ngồi vai trị cơng cụ cho ngành khoa học khác, tốn học cịn xem ngành khoa học có phương pháp tư lập luận xác chặt chẽ Vì việc học toán giúp ta rèn luyện phương pháp tư Các phương pháp giảng dạy cung cấp bước trình học tập phổ thông, chương I vấn đề hệ thống hoá lại Nội dung chương I xem sở, ngơn ngữ tốn học đại Một vài nội dung chương học phổ thông với mức độ đơn giản Các cấu trúc đại số hồn tồn trừu tượng địi hỏi học viên phải đọc lại nhiều lần tiếp thu Các chương cịn lại giáo trình đại số tuyến tính Kiến thức chương liên hệ chặt chẽ với nhau, kết chương công cụ chương khác Vì học viên cần thấy mối liên hệ Đặc điểm môn học tính khái qt hố trừu tượng cao Các khái niệm thường khái quát hoá từ kết hình học giải tích phổ thơng Khi học ta nên liên hệ đến kết Tuy tác giả cố gắng, song thời gian bị hạn hẹp với yêu cầu cấp bách Học viện, thiếu sót cịn tồn giáo trình điều khó tránh khỏi Tác giả mong đóng góp ý kiến bạn bè đồng nghiệp, học viên xa gần xin cám ơn điều Cuối chúng tơi bày tỏ cám ơn Ban Giám đốc Học viện Cơng nghệ Bưu Chính Viễn Thơng, Trung tâm Đào tạo Bưu Chính Viễn Thơng bạn bè đồng nghiệp khuyến khích động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tơi hồn thành tập tài liệi Hà Nội, cuối năm 2004 Ts Lê Bá Long Khoa Học Viện Công nghệ Bưu Viễn thơng Chương 1: Mở đầu lơgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ cấu trúc đại số CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LƠGÍC MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ SƠ LƯỢC VỀ LƠGÍC MỆNH ĐỀ 1.1 Mệnh đề 1.1.1 Lơgíc mệnh đề hệ thống lơgích đơn giản nhất, với đơn vị mệnh đề mang nội dung phán đoán, phán đoán giả thiết có giá trị chân lý định sai Để mệnh đề chưa xác định ta dùng chữ p, q, r gọi chúng biến p ta cho p nhận giá trị p sai ta cho nhận giá trị Giá trị gọi thể p mệnh đề Nếu mệnh đề Mệnh đề phức hợp xây dựng từ mệnh đề đơn gián phép liên kết lơgích mệnh đề Các phép liên kết lơgíc mệnh đề 1.1.2 Phép phủ định (negation): Phủ định mệnh đề không p Mệnh đề p p sai p sai p Phép hội (conjunction): Hội hai mệnh đề p mệnh đề ký hiệu p, đọc p, q mệnh đề ký hiệu p ∧ q (đọc p q ) Mệnh đề p ∧ q p q Phép tuyển (disjunction): Tuyển hai mệnh đề (đọc p, q mệnh đề ký hiệu p ∨ q p q ) p ∨ q sai p q sai Phép kéo theo (implication): Mệnh đề p kéo theo sai q , ký hiệu p ⇒ q , mệnh đề p q sai Phép tương đương (equivalence): Mệnh đề ( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) gọi mệnh đề p tương đương q , ký hiệu p ⇔ q Một công thức gồm biến mệnh đề phép liên kết mệnh đề gọi công thức mệnh đề Bảng liệt kê thể công thức mệnh đề gọi bảng chân trị Từ định nghĩa phép liên kết mệnh đề ta có bảng chân trị sau Chương 1: Mở đầu lơgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ cấu trúc đại số p q p q 1 0 p∧q p∨q p p 1 1 0 1 0 0 0 p⇒q p q 1 1 0 p⇒q q⇒ p 1 1 1 Như p ⇔ q mệnh đề hai mệnh đề p⇔q 0 p q sai mệnh đề p ⇔ q sai trường hợp ngược lại Một công thức mệnh đề gọi ln nhận giá trị thể biến mệnh đề có cơng thức Ta ký hiệu mệnh đề tương đương " ≡ " thay cho " ⇔ " 1.1.3 Các tính chất Dùng bảng chân trị ta dễ dàng kiểm chứng mệnh đề sau: 1) p≡ p luật phủ định kép 2) ( p ⇒ q ) ≡ ( p ∨ q ) 3) p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p 4) p ∧ (q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q) ∨ r luật giao hoán luật kết hợp 5) [ p ∧ (q ∨ r )] ≡ [( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )] [ p ∨ (q ∧ r )] ≡ [( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )] luật phân phối p ∨ p luật chung 6) Mệnh đề p ∧ p sai 7) p∨q≡ p∧q p∧q≡ p∨q luật mâu thuẫn luật De Morgan Chương 1: Mở đầu lơgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ cấu trúc đại số 8) p⇒q≡q ⇒ p luật phản chứng 9) p ∨ p ≡ p; p ∧ p ≡ p luật lũy đẳng 10) 1.2 1.2.1 p ∨ ( p ∧ q) ≡ p ; p ∧ ( p ∨ q) ≡ p luật hấp thu TẬP HỢP Khái niệm tập hợp Khái niệm tập hợp phần tử khái niệm toán học, định nghĩa qua khái niệm biết Các khái niệm "tập hợp", "phần tử" xét mối quan hệ phân tử tập hợp lý thuyết tập hợp giống với khái niệm "đường thẳng", "điểm" quan hệ điểm đường thẳng xét hình học Nói cách nơm na, ta xem tập hợp tụ tập vật, đối tượng mà vật hay đối tượng phần tử tập hợp Có thể lấy ví dụ tập hợp có nội dung tốn học khơng tốn học Chẳng hạn: tập hợp số tự nhiên tập hợp mà phần tử số 1,2,3 , cịn tập hợp sách thư viện Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng tập hợp mà phần tử sách A, B, X ,Y , phần tử chữ thường x, y, Nếu phần tử x thuộc A ta ký hiệu x ∈ A , x không thuộc A ta ký hiệu x ∉ A Ta nói tắt "tập" thay cho thuật ngữ "tập hợp" Ta thường ký hiệu tập hợp chữ in hoa 1.2.2 Cách mô tả tập hợp Ta thường mô tả tập hợp theo hai cách sau: a) Liệt kê phần tử tập hợp Ví dụ 1.1: Tập số tự nhiên lẻ nhỏ 10 Tập hợp nghiệm phương trình {1, 3, 5, 7, } x − = {− 1,1} b) Nêu đặc trưng tính chất phần tử tạo thành tập hợp Ví dụ 1.2: Tập hợp số tự nhiên chẵn Hàm mệnh đề tập hợp P = {n ∈ n = 2m, m ∈ } D mệnh đề S (x) phụ thuộc vào biến x ∈ D Khi cho biến x giá trị cụ thể ta mệnh đề lơgích (mệnh đề nhận hai giá trị hoặc sai) Nếu S (x) mệnh đề tập hợp D tập hợp phần tử x ∈ D cho S (x ) ký hiệu {x ∈ D S (x)} gọi miền hàm mệnh đề S (x) S (x) xác định tập số tự nhiên : " x + số nguyên tố" S (1), S ( 2) S (3), S ( 4) sai i) Xét hàm mệnh đề Chương 1: Mở đầu lơgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ cấu trúc đại số ii) Mỗi phương trình hàm mệnh đề {x∈ } x − = = {− 1, 1} Để có hình ảnh trực quan tập hợp, người ta thường biểu diễn tập hợp miền phẳng giới hạn đường cong khép kín khơng tự cắt gọi giản đồ Ven c) Một số tập hợp số thường gặp - Tập số tự nhiên = { 0, 1, 2, } - Tập số nguyên = { 0, ± 1, ± 2, } - Tập số hữu tỉ = { p q q ≠ 0, p, q ∈ - Tập số thực { } = z = x + iy x, y ∈ ; i = −1 - Tập số phức 1.2.3 } Tập Định nghĩa 1.1: Tập A gọi tập của B , ta ký hiệu A ⊂ B hay B ⊃ A Khi chứa A B phần tử A phần tử A tập B ta cịn nói A bao hàm B hay B bao hàm A hay B Ta có: ⊂ ⊂ ⊂ Định nghĩa 1.2: Hai tập ⊂ A , B nhau, ký hiệu A = B, A ⊂ B B ⊂ A A ⊂ B ta cần chứng minh x ∈ A ⇒ x ∈ B chứng minh A = B ta cần chứng minh x ∈ A ⇔ x ∈ B Như để chứng minh Định nghĩa 1.3: Tập rỗng tập không chứa phần tử nào, ký hiệu φ Một cách hình thức ta xem tập rỗng tập tập hợp A ∈ ( X ) A ⊂ X Tập X tập nên phần tử lớn φ phần tử bé Tập hợp tất tập X ký hiệu P (X ) Vậy P P (X ) Ví dụ 1.3: X = {a, b, c} có P ( X ) = {φ ,{a},{b},{c},{a, b},{b, c},{c, a}, X } Chương 1: Mở đầu lơgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ cấu trúc đại số P (X ) có 23 = phần tử Ta chứng minh tổng qt Ta thấy X có phần tử 1.2.4 X có n phần tử P (X ) có 2n phần tử Các phép tốn tập hợp Phép hợp: Hợp hai tập hai tập A , B A B , ký hiệu A ∪ B , tập gồm phần tử thuộc (x ∈ A ∪ B ) ⇔ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ B )) Vậy Phép giao: Giao hai tập đồng thời hai tập A , B A B , ký hiệu A ∩ B , tập gồm phần tử thuộc (x ∈ A ∩ B ) ⇔ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B )) Vậy Hiệu hai tập: Hiệu hai tập phần tử thuộc A không thuộc B (x ∈ A \ B ) ⇔ ((x ∈ A) ∧ (x ∉ B )) Vậy Đặc biệt A B , ký hiệu A \ B hay A − B , tập gồm B ⊂ X tập X \ B gọi phần bù B X ký hiệu C XB Nếu tập X cố định khơng sợ nhầm lẫn ta ký hiệu B thay cho C XB Ta minh hoạ phép toán giản đồ Ven: A∩ B A∪ B C XB Áp dụng lơgích mệnh đề ta dễ dàng kiểm chứng lại tính chất sau: A ∪ B = B ∪ A, A∩ B = B∩ A A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C , A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C tính giao hốn tính kết hợp A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) , Chương 1: Mở đầu lơgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ cấu trúc đại số A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) Giả sử 1.2.5 tính phân bố A, B hai tập X thì: A = A; A ∪ φ = A; A ∩ X = A A∪ A = X; A∩ A =φ A ∪ B = A ∩ B ; A ∩ B = A ∪ B luật De Morgan A \ B = A ∩ B = A ∩ A ∩ B = A \ ( A ∩ B) = C AA∩ B ( ) Lượng từ phổ biến lượng từ tồn Giả sử S (x) hàm mệnh đề xác định tập D có miền DS ( x) = {x ∈ D S ( x)} Khi đó: a) Mệnh đề ∀x ∈ D , S ( x) (đọc với x ∈ D , S ( x) ) mệnh đề DS ( x ) = D sai trường hợp ngược lại Ký hiệu Khi ∀ (đọc với mọi) gọi lượng từ phổ biến D xác định ta thường viết tắt ∀x , S ( x) hay (∀x ), S ( x) b) Mệnh đề ∃x ∈ D , S ( x) (đọc tồn x ∈ D , S ( x) ) mệnh đề DS (x ) ≠ φ sai trường hợp ngược lại Ký hiệu ∃ (đọc tồn tại) gọi lượng từ tồn Để chứng minh mệnh đề với lượng từ phổ biến ta phải chứng minh trường hợp, với mệnh đề tồn ta cần trường hợp c) Người ta mở rộng khái niệm lượng tử tồn với ký hiệu ∃! x ∈ D, S ( x) (đọc tồn x ∈ D, S ( x) ) DS (x ) có phần tử d) Phép phủ định lượng từ ( ) ∃x ∈ D, S ( x) ⇔ ( ∀x ∈ D, S ( x) ) ∀x ∈ D, S ( x) ⇔ ∃x ∈ D, S ( x) (1.1) Ví dụ 1.4: Theo định nghĩa giới hạn lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > , ∃δ > ; ∀x : < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε x →a 10 Chương 1: Mở đầu lơgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ cấu trúc đại số Sử dụng tính chất ( p ⇒ q ) ≡ ( p ∨ q ) (xem tính chất 1.3) ta có < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε tương đương với (( x − a ≥ δ ) ∨ (x = a ))∨ ( f ( x) − L < ε ) Vậy phủ định lim f ( x) = L x→a ∃ε > , ∀δ > ; ∃x : 1.2.6 ( < x − a < δ ) ∧ ( f ( x) − L ≥ ε ) Phép hợp giao suy rộng Giả sử ( Ai )i∈I họ tập hợp Ta định nghĩa U Ai tập gồm phần tử thuộc i∈I tập Ai I Ai tập gồm phần tử thuộc tập Ai i∈I (x ∈ Ui∈I Ai ) ⇔ (∃i0 ∈ I ; x ∈ Ai ) (x ∈ Ii∈I Ai ) ⇔ (∀i ∈ I ; x ∈ Ai ) Vậy An = {x ∈ Ví dụ 1.5: Bn = {x ∈ (1.2) ≤ x ≤ n (n + 1)} − (n + 1) ≤ x < + (n + 1)} ∞ ∞ U A = [0 ; 1) , I B = [0 ; 1] n n =1 1.2.7 n n =1 Quan hệ 1.2.7.1 Tích Đề tập hợp Định nghĩa 1.4: Tích Đề hai tập dạng X , Y tập, ký hiệu X × Y , gồm phần tử có ( x, y ) x ∈ X y ∈ Y Vậy Ví dụ 1.6: X × Y = {( x, y ) x ∈ X vµ y ∈ Y } (1.3) X = {a, b, c}, Y = {1, 2} X × Y = {( a,1), (b,1), (c,1), ( a,2), (b,2), (c,2)} n×m Ta dễ dàng chứng minh phần tử X có n phần tử, Y có m phần tử X × Y có 11 Chương 7: Khơng gian véc tơ Euclide dạng toàn phương Ngược lại, giả sử Dk = det Ak > , với k = 1, , n Theo phương pháp Jacobi (4.3.3) B ' = { f1, , f n } cho biểu thức toạ độ Q sở B ' có dạng tồn sở tắc: v = y1 f1 + + y n f n ⇒ Q(v) = Vậy D D1 y1 + y2 + + n −1 yn Dn D1 D2 Q xác định dương Trường hợp (ii) chứng minh tương tự 7.5 7.5.1 ĐƯỜNG BẬC TRONG MẶT PHẲNG VÀ MẶT BẬC TRONG KHÔNG GIAN Mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn 7.5.1.1 Hệ toạ độ trực chuẩn mặt phẳng Trong mặt phẳng ta xét hai trục vng góc dương, tạo nên hệ trục Ox , Oy Oxy x' Ox y' Oy cắt O theo chiều gọi hệ trục toạ độ vuông góc Đề mặt phẳng Trên ta chọn hai véc tơ đơn vị { } i j Hệ i, j sở trực chuẩn 7.5.1.2 Toạ độ véc tơ, toạ độ điểm mặt phẳng Cho véc tơ véc tơ v v mặt phẳng với hệ toạ độ vx , v y hình chiếu v Oxy Cặp (v x , v y ) xuống hai trục Ox, Oy gọi toạ độ Theo phép toán cộng véc tơ (theo quy tắc hình bình hành), nhân số với véc tơ tính vơ hướng hai véc tơ Nếu u v = u ⋅ v cos(u, v) v = vx i + v y j = v ,i i + v , j j OM = xi + y j ( x, y ) gọi toạ độ điểm M , ký hiệu M ( x, y ) Nói cách khác toạ độ véc tơ OM toạ độ điểm có toạ độ ( x A , y A ); ( x B , y B ) véc tơ 140 M Hai điểm A, B AB có toạ độ ( x B − x A , y B − y A ) Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương y y vy M y j O j i O i x vx x x 7.5.1.3 Các đường bậc mặt phẳng Trong mặt phẳng, ta xét đường bậc sau: a) Đường Ellipse (Êlíp) Cho F1 , F2 cố định Đường ellipse nhận tiêu điểm F1 , F2 với độ dài trục lớn a tập hợp: ( E ) = {M MF1 + MF2 = 2a} ; a > c với F1F2 = 2c Nếu F1 ( −c,0) , F2 (c,0) phương trình ellipse x2 a + y2 b =1 với (E ) có dạng: a2 = b2 + c2 (7.41) a độ dài trục lớn, b độ dài trục bé Khi a = b ⇒ c = : ellipse (E ) trở thành đường trịn tâm O bán kính a b) Hyperbol { } ( H ) = M MF1 − MF2 = 2a , a < c Phương trình (H ) : x2 a − y2 b = với b = c − a (7.42) c) Parabol: Cho đường thẳng (Δ) điểm F Parabol có tiêu điểm F , đường chuẩn (Δ) tập hợp: ( P ) = {M MF = d ( M , Δ )} 141 Chương 7: Khơng gian véc tơ Euclide dạng tồn phương d ( M , Δ ) khoảng cách từ M đến đường thẳng (Δ) Nếu F ( p ,0) , (Δ) : x = − p (P ) có phương trình: y = px (7.43) (7.41), (7.42), (7.43) phương trình tắc đường cônic y (Δ) y y b F a x Ellipse x − p p 2 Hyperbol x Parabol 7.5.1.4 Phân loại đường bậc mặt phẳng Trong mặt phẳng cho hệ toạ độ Descartes vng góc Oxy Một đưịng cong bậc có phương trình tổng quát: a11x + 2a12 xy + a22 y + 2a1x + 2a2 y + a0 = (7.44) a11 , a12 , a 22 khơng đồng thời khơng Ta tìm hệ trục toạ độ Descartes vng góc để hệ toạ độ đường cong (7.44) có dạng tắc Đặt a12 ⎤ ⎡a A = ⎢ 11 ⎥ , a12 = a21 ⎣a21 a22 ⎦ A đối xứng nên chéo hóa trực giao được, nghĩa tồn ma trận trực giao T ⎡λ1 ⎤ t cho det T = T AT = ⎢ ⎥ ⎣ λ2 ⎦ Ma trận Theo ví dụ 7.5 (7.16) ta chọn 142 ⎡cosϕ T =⎢ ⎣ sin ϕ − sin ϕ ⎤ cosϕ ⎥⎦ Chương 7: Khơng gian véc tơ Euclide dạng tồn phương ⎡ x ⎤ ⎡cosϕ ⎢ y ⎥ = ⎢ sin ϕ ⎣ ⎦ ⎣ Đặt Như hệ toạ độ góc − sin ϕ ⎤ ⎡ x'⎤ cosϕ ⎥⎦ ⎢⎣ y '⎥⎦ Ox' y ' có cách quay hệ trục Oxy quanh gốc O ϕ Phương trình đường bậc (7.44) hệ toạ độ Ox' y ' là: λ1x'2 +λ2 y '2 +2a'1 x'+2a'2 y '+ a0 = (7.45) (nếu a12 = khơng cần bước này) 1) Nếu λ1λ ≠ phương trình (7.45) viết thành 2 ⎛ ⎛ a' ⎞ a' ⎞ λ1⎜⎜ x'+ ⎟⎟ + λ2 ⎜⎜ y '+ ⎟⎟ + a '0 = λ1 ⎠ λ2 ⎠ ⎝ ⎝ Tịnh tiến hệ toạ độ Ox' y ' đến hệ toạ độ ΩXY : a' a' X = x'+ , Y = y '+ , ta được: λ1 λ2 λ1 X + λ2Y + a'0 = (7.46) a) a '0 ≠ , λ1λ > , λ1a '0 < : (7.46) phương trình Ellipse; b) a '0 ≠ , λ1λ > , λ1a '0 > : (7.46) phương trình Ellipse ảo; c) a '0 ≠ , λ1λ < : d) a '0 = , λ1λ < : Phương trình (7.46) có dạng λ1 X − λ2 Y = (7.46) phương trình Hyperbol; phương trình cặp đường thẳng cắt e) a '0 = , λ1λ > : Phương trình (7.46) có dạng λ1 X + λ Y = phương trình cặp đường thẳng ảo 2) Có hai giá trị a) λ1 , λ2 : λ1 = , λ ≠ , a'1 ≠ : Phương trình (7.44) viết lại: 143 Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương ⎛ a' ⎞ λ2 ⎜⎜ y '+ ⎟⎟ + 2a'1 ( x'+ a"0 ) = λ2 ⎠ ⎝ đặt X = x '+ a"0 , a a' Y = y '+ ta có: Y = −2 X λ2 λ2 Vậy (7.47) Parabol nhận trục b) (7.47) ΩX làm trục đối xứng λ2 = , λ1 ≠ , a '2 ≠ : Đường cong (7 44) Parabol nhận trục ΩY làm trục đối xứng c) λ1 = , λ2 ≠ , a '1 = hay λ1 ≠ , λ2 = , a '2 = : Đường cong (7.44) cặp đường thẳng thực ảo Ví dụ 7.12: Cho đường bậc có phương trình (G ) : x − xy + y = 36 ⎡ − 2⎤ A=⎢ ⎥ có giá trị riêng λ1 = 4, λ2 = chéo hoá trực giao ta được: − ⎣ ⎦ 2 ⎧ ⎧ ⎪⎪i ' = i + j ⎪⎪ x = X + Y ⇒ ⎨ ⎨ ⎪ j' = − ⎪y = − X + Y i+ j ⎪⎩ ⎪⎩ 5 5 Ma trận phương trình (G ) hệ toạ độ mới: X + 9Y = 36 X2 Y2 + = ⇒ y Y X O 144 x Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương 7.5.2 Hệ toạ độ trực chuẩn không gian 7.5.2.1 Toạ độ véc tơ toạ độ điểm không gian O : x' Ox , y' Oy , z' Oz ; Tạo thành hệ trục gọi hệ trục toạ độ vng góc Descartes khơng gian, viết tắt Oxyz Trong không gian ta xét ba trục vuông góc chung gốc Trên ba trục toạ độ ta chọn véc tơ đơn vị là hệ thuận, nghĩa đứng theo chiều véc tơ kim đồng hồ Với véc tơ i , j , k Ta xét hệ trục Oxyz k ta thấy i quay sang j theo ngược chiều v ta viết v = vx i + v y j + vz k = v , i i + v , j j + v , k k v x , v y , v z hình chiếu v xuống trục Ox, Oy, Oz (v x , v y , v z ) gọi toạ độ véc tơ v , ký hiệu v = (v x , v y , v z ) Toạ độ véc tơ OM = ( x, y, z ) gọi toạ độ điểm M , ký hiệu M ( x, y, z ) 7.5.2.2 Một số mặt bậc thường gặp không gian a) Ellipsoid (Êlípxơít) mặt (E ) bậc có phương trình x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = a, b, c ta có mặt ellipsoid trịn xoay Chẳng hạn a = b ta có mặt trịn xoay quanh trục z' Oz Nếu a = b = c = R ta có mặt cầu tâm O bán kính R ; *) Nếu số *) Gốc O tâm đối xứng, mặt phẳng toạ độ mặt phẳng đối xứng; *) Giao tuyến với mặt phẳng song song với mặt phẳng toạ độ ellipse b) Hyperboloid tầng (Hyperbơlơít) có phương trình ( H1 ) : *) Gốc x2 a + y2 b − z2 c = O tâm đối xứng; *) Các trục toạ độ trục đối xứng; *) Các mặt phẳng tọa độ mặt phẳng đối xứng; *) Giao ( H1 ) với mặt phẳng vng góc với trục z' Oz ellipse; 145 Chương 7: Khơng gian véc tơ Euclide dạng tồn phương *) Giao ( H1 ) với mặt phẳng chứa trục z' Oz Hyperbol Tương tự có Hyperboloid tầng: x2 a − y2 b + z2 c =1 , − x2 a + y2 b + z2 c c) Hyperboloid hai tầng có phương trình ( H ) : *) Mặt phẳng vng góc với trục = x2 a y2 + b − z2 c = −1 z' Oz có phương trình z = h cho h > c cắt ( H ) theo elippse; *) Giao ( H ) với mặt phẳng chứa z' Oz Hyperbol z z z y x y x Ellisoid x Hyperboloid tầng d) Paraboloid elliptic (Parabơlơít êlíptíc) ( P1 ) : Oxy y Hyperboloid hai tầng x2 a y2 + b *) Giao tuyến ( P1 ) với mặt phẳng vng góc trục ellipse; *) Giao tuyến ( P1 ) với mặt phẳng chứa trục 146 x2 a − y2 b = 2z = 2z z' Oz nằm phía mặt phẳng z' Oz Parabol e) Paraboloid hyperbolic (mặt n ngựa) có phương trình ( P2 ) : Chương 7: Khơng gian véc tơ Euclide dạng tồn phương *) Giao ( P2 ) với mặt phẳng vuông góc với trục z' Oz Hyperbol; *) Giao ( P2 ) với mặt phẳng vng góc với trục x' Ox Parabol; *) Giao ( P2 ) với mặt phẳng vng góc với trục y' Oy Parabol z z x y x y Paraboloid elliptic Paraboloid hyperbolic g) Các mặt trụ bậc Các mặt trụ bậc đối xứng qua mặt phẳng *) Trụ elliptic: x2 a2 *) Trụ Hyperbolic: *) Trụ Parabolic: + x2 a2 y2 b2 − xOy = y2 = b2 x = py z z z x y x y y Trụ elliptic Trụ Hyperbolic x Trụ Parabolic 147 Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng tồn phương h) Các mặt nón Các mặt nón đối xứng qua mặt phẳng x2 a + y2 b − z2 c xOy có phương trình = *) Giao với mặt phẳng vng góc với trục *) Giao với mặt phẳng chứa trục z' Oz ellipse; z' Oz cặp đường thẳng z y x 7.5.3 Phân loại mặt bậc Trong hệ toạ độ Descartes vng góc Oxyz xét mặt (Q ) bậc có phương trình: a11x + a22 y + a33 z + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2b1 x + 2b2 y + 2b3 z + c = [ ] (7.48) với aij = a ji ma trận đối xứng nên tồn ma trận trực giao A = aij i , j =1,3 T cho det T = (để hệ trục toạ độ tạo thành tam diện thuận) 0⎤ ⎡λ1 T t AT = ⎢ λ2 ⎥ Tương ứng với ma trận chuyển sở T phép quay quanh gốc toạ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 λ3 ⎦⎥ Ma trận độ 148 Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương ⎡ x⎤ ⎡ x'⎤ ⎢ ⎥ y = T ⎢ y '⎥ Công thức đổi toạ độ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ z ' ⎥⎦ Mặt bậc (Q ) có phương trình tọa độ mới: λ1 x'2 +λ2 y '2 +λ3 z '2 +2b'1 x'+2b'2 y '+2b'3 z '+c = (7.49) Tùy theo giá trị λ1 , λ2 , λ3 , b '1 , b '2 , b '3 , c mặt (Q ) có dạng sau: a) Các giá trị riêng λ1 , λ , λ3 khác ( λ1λ λ3 ≠ ) Bằng cách tịnh tiến hệ toạ độ ta đưa phương trình (7.49) dạng: λ1 X + λ2Y + λ3 Z = C ' *) Nếu (7.50) C' ≠ • λ1, λ2 , λ3 , C ' dấu: (Q ) • λ1, λ2 , λ3 dấu, C ' • λ1, λ2 , λ3 có hai số dấu: (Q ) Hyperboloid tầng hai tầng *) Nếu Ellipsoid; trái dấu: (Q ) Ellipsoid ảo; C' = • λ1, λ2 , λ3 có hai số dấu: • λ1, λ2 , λ3 dấu: (Q ) nón bậc (Q ) nón ảo (một điểm) Các trường hợp cịn lại sau ta xét trường hợp loại đại diện, loại khác có kết tương tự b) Có giá trị ba giá trị λ1, λ2 , λ3 Chẳng hạn λ3 = , λ1λ2 ≠ *) b'3 ≠ : Tịnh tiến hệ toạ độ ta được: λ1 X Đây phương trình Paraboloid elliptic + λ2Y + 2b'3 Z = λ1λ2 > Paraboloid hyperbolic λ1λ2 < *) b'3 = : Tịnh tiến toạ độ ta được: λ1 X + λ2Y = C ' 149 Chương 7: Khơng gian véc tơ Euclide dạng tồn phương Đây phương trình mặt trụ C ' ≠ cặp mặt phẳng cắt C ' = c) Có hai giá trị ba giá trị λ1, λ2 , λ3 Chẳng hạn λ3 = , λ2 = , λ1 ≠ *) b'2 , b'3 không đồng thời Giả sử b'2 ≠ : Tịnh tiến toạ độ ta λ1 X + b"2 Y = : (Q ) mặt trụ Parabolic *) b'2 = b'3 = : Tịnh tiến hệ toạ độ ta có: λ1 X = C ' Do (7.49) phương trình cặp mặt phẳng song song C ' ≠ trùng C ' = Ví dụ 7.13: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt bậc có phương trình (Q) : x + y + 10 z + xy + xz + yz − 12 x + 12 y + 72 z = 24 ⎡7 ⎤ ⎢ ⎥ Ma trận dạng toàn phương tương ứng A = ⎢ ⎥ ⎢⎣2 10⎥⎦ A − λI = (6 − λ ) (12 − λ ) Đa thức đặc trưng Tìm sở không gian riêng trực chuẩn hố Gram-Shmidt ta có ma trận trực giao ⎡− ⎢ T =⎢1 ⎢ ⎣ −1 −1 3 6⎤ ⎡6 0 ⎤ ⎥ t ⎥ có det T = T AT = ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 12⎥⎦ ⎥⎦ ⎡ x⎤ ⎡ x'⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Đổi toạ độ y = T y ' phương trình mặt (Q ) toạ độ mới: ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ z ' ⎥⎦ ⎞ ⎛ x'− y '+ z'⎟ x'2 +6 y '2 +12 z '2 −12⎜ − ⎠ ⎝ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ x'− y '− z ' ⎟ + 72⎜ y '+ z ' ⎟ = 24 + 12⎜ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⇒ 150 ( ) ( ) ( ) x'2 +2 x' + y '2 +4 y ' + 12 z '2 +2 = 24 Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương Tịnh tiến toạ độ: X = x '+ , X Y2 Z2 + + = 30 30 15 suy (Q ) : Vậy Y = y '+2 , Z = z '+ , ( ) (Q ) Ellipsoid tròn xoay theo trục Z ' ΩZ , Ω có toạ độ − ,−2 3,− Ví dụ 7.14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt bậc có phương trình (Q) : xy + xz + yz − x − y + z = ⎡0 1 ⎤ ⎢ ⎥ Ma trận dạng toàn phương tương ứng A = 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣1 0⎥⎦ A − λI = (λ + 1) (2 − λ ) Đa thức đặc trưng Tìm sở khơng gian riêng trực chuẩn hố Gram-Shmidt ta có ma trận trực giao ⎡− ⎢ T =⎢1 ⎢ ⎣ −1 −1 6 3⎤ ⎡− 0⎤ ⎥ ⎥ có det T = T t AT = ⎢ − 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 2⎥⎦ ⎥⎦ ⎡ x⎤ ⎡ x'⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Đổi toạ độ y = T y ' phương trình mặt (Q ) toạ độ mới: ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ z ' ⎥⎦ 1 ⎞ ⎛ − x'2 − y '2 +2 z '2 −6⎜ − x'− y '+ z'⎟ ⎠ ⎝ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ x'− y '+ z ' ⎟ + 6⎜ y '+ z ' ⎟ = − 6⎜ ⎠ ⎠ ⎝ 6 ⎝ ⇒ ( Tịnh tiến toạ độ: suy Vậy ) ( ) − x'2 − y '2 −4 y ' + z '2 − 3z ' = (Q) : X = x' , Y = y '−2 , Z = z '− , X 2Y Z + − = 45 45 45 (Q ) Hyperboloid tầng 151 Tài Mụcliệu lục tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO G M FICHTENGÔN, Giáo trình phép tính vi tích phân, Tập 1,2,3 Nauka, Moskva, 1969 (tiếng Nga) G M FICHTENGÔN, Cơ sở giải tích tốn học, Tập 1,2,3 NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà nội, 1977 K MAURIN, Analiza, R A ADAMS, Calculus-a complete, Addison,Wesley, New York,Don Mills, 1991 NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (chủ biên), Tốn học cao cấp ,Tập 1,2,3 NXB Đại học Giáo dục chuyên nghiệp, Hà nội, 1990 JEAN-MARIE MONIER, Giáo trình tốn, Tập 1,2,3,4 NXB Giáo dục, Hà nội, 1999 (dịch từ tiếng Pháp, DUNOD, Paris,1999) 152 Czes , c , PWN, Warszawa, 1976 Mục lục mơc lơc Lời nói đầu .3 Ch−¬ng 1: Mở đầu lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ v cấu trúc đại số 1.1 Sơ lợc lôgíc mệnh đề 1.2 TËp hỵp 1.3 ánh xạ 15 1.4 Giải tích tổ hợp - Nhị thức Newton 19 1.5 Các Cấu trúc đại số 25 1.6 Đại số Boole .29 Ch−¬ng 2: Không gian véc tơ 37 2.1 Khái niệm không gian vÐc t¬ 37 2.2 Không gian véc tơ 40 2.3 §éc lËp tuyÕn tÝnh, phô thuéc tuyÕn tÝnh 42 2.4 Hạng hệ hữu hạn véc tơ 44 2.5 C¬ së, sè chiỊu không gian véc tơ 45 Ch−¬ng 3: Ma trËn 51 3.1 Kh¸i niƯm ma trËn 51 3.2 C¸c phÐp to¸n ma trËn 52 3.3 Ma trËn cđa mét hƯ vÐc t¬ sở 56 3.4 H¹ng cđa ma trËn 57 Chơng 4: Định thức 61 4.1 Hoán vị phép 61 4.2 Định thức 63 4.3 Các tính chất định thức .66 4.4 Các cách tính định thức 68 153 Mc lc 4.5 ứng dụng định thức để tìm ma trận nghịch đảo 74 4.6 Tìm hạng ma trận định møc 77 Chơng 5: Hệ phơng trình tuyến tính 81 5.1 Kh¸i niệm hệ phơng trình tuyến tính 81 5.2 Định lý tån t¹i nghiƯm 82 5.3 Phơng pháp Cramer 82 5.4 Phơng pháp ma trận nghịch ®¶o 84 5.5 Giải hệ phơng trình tuyến tính phơng pháp khử Gauss 85 5.6 Hệ phơng trình tuyến tính .89 Ch−¬ng 6: ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh .91 6.1 Khái niệm ánh xạ tuyÕn tÝnh .91 6.2 Nhân ảnh ánh x¹ tuyÕn tÝnh 94 6.3 Toàn cấu, đơn cấu, đẳng cÊu .95 6.4 ánh xạ tuyến tính ma trËn 97 6.5 ChÐo hãa ma trËn 102 Chơng 7: Không gian véc tơ Euclide dạng ton phơng 115 7.1 Tích vô hớng, không gian vÐc t¬ Euclide .115 7.2 Ma trận trực giao ánh x¹ tuyÕn tÝnh trùc giao 121 7.3 ChÐo hãa trùc giao ma trËn - Tự đồng cầu đối xứng .124 7.4 Dạng toàn phơng 128 7.5 Đờng bậc mặt phẳng mặt bËc kh«ng gian 140 tμi liƯu tham kh¶o 152 154 ...LỜI NĨI ĐẦU Tốn cao cấp A1, A2, A3 chương trình tốn đại cương dành cho sinh viên nhóm ngành tốn nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật Nội dung toán cao cấp A1, A3 chủ yếu phép tính vi... kỹ thuật Nội dung toán cao cấp A1, A3 chủ yếu phép tính vi tích phân hàm nhiều biến, cịn tốn cao cấp A2 cấu trúc đại số đại số tuyến tính Có nhiều sách giáo khoa tài liệu tham khảo viết chủ đề... phải có tài liệu hướng dẫn học tập thích hợp cho mơn học Tập tài liệu hướng dẫn học mơn tốn cao cấp A2 biên soạn nhằm mục đích Tập tài liệu biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 Học viện