✬ ✫ ✩ ✪ TS PHAN ĐỨC TUẤN TOÁN CAO CẤP C2 ĐẠI HỌC SÀI GÒN Lời nói đầu Học phần Toán cao cấp C2 giới thiệu về ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính và không gian véctơ Học phần yêu cầu sinh viê[.]
✬ ✩ TS PHAN ĐỨC TUẤN TOÁN CAO CẤP C2 ĐẠI HỌC SÀI GỊN ✫ ✪ Lời nói đầu Học phần Toán cao cấp C2 giới thiệu ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính khơng gian véctơ Học phần yêu cầu sinh viên đạt mục tiêu sau: Về kiến thức: Hiểu biết ma trận; định thức; phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính; ứng dụng tốn kinh tế; vấn đề không gian véc-tơ Về kỹ năng: Biết tính tốn ma trận; giải hệ phương trình tuyến tính tốn khơng gian vecto Về phương pháp học tập: Sinh viên nhận tài liệu đọc trước giảng; đặt câu hỏi thảo luận làm tập đầy đủ Tp Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 03 năm 2022 Phan Đức Tuấn Những kí hiệu Trong sách ta dùng kí hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: N N∗ Z Q R C In Mm × n ( R ) Rn Mn ( R ) 0m × n A −1 AT −A ∅ tập hợp số tự nhiên tập hợp số tự nhiên khác tập hợp số nguyên tập hợp số hữu tỉ tập hợp số thực tập hợp số phức Ma trận đơn vị cấp n Tập hợp tất ma trận cấp m × n Khơng gian véc tơ n chiều R Tập hợp ma trận vuông cấp n trường số thực Ma trận khơng cấp m × n Ma trận nghich đảo ma trận A Ma trận chuyển vị ma trận A Ma trận đối ma trận A tập hợp rỗng Mục lục Lời nói đầu iii Những kí hiệu iv Chương MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 MA TRẬN 1.1.1 Khái niệm ma trận 1.1.2 Các ma trận đặc biệt 1.1.3 Các phép toán ma trận 1.2 Các phép biến đổi sơ cấp dòng 16 1.2.1 Ma trận bậc thang dòng (echelon matrix): 16 1.2.2 Các phép biến đổi sơ cấp dòng (BĐSC) ma trận (elementary row operations) 17 1.2.3 Ma trận khả nghịch 18 1.3 Định thức ma trận vuông 22 1.3.1 Phép 22 1.3.2 Khai triển Lapace 25 1.3.3 Tính chất định thức 26 1.3.4 Tìm ma trận nghịch đảo định thức 27 1.3.5 Hạng ma trận 28 1.4 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 31 1.4.1 Phương pháp Gauss: 31 1.4.2 Phương pháp Cramer: 33 1.5 Hệ phương trình tuyến tính 34 1.5.1 Mối liên hệ hệ phương trình tuyến tính hệ phương trình tuyến tính tổng qt 35 1.6 Một số mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế 35 1.6.1 Mơ hình cân thị trường 35 1.6.2 Mơ hình Input-Output Leontief 36 Chương KHÔNG GIAN VÉC TƠ 42 Tài liệu tham khảo 43 MỤC LỤC Danh mục từ khóa 44 CHƯƠNG MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 MA TRẬN 1.1.1 Khái niệm ma trận 1.1.2 Các ma trận đặc biệt 1.1.3 Các phép toán ma trận 1.2 Các phép biến đổi sơ cấp dòng 16 1.2.1 Ma trận bậc thang dòng (echelon matrix): 16 1.2.2 Các phép biến đổi sơ cấp dòng (BĐSC) ma trận (elementary row operations) 17 1.2.3 Ma trận khả nghịch 18 1.3 Định thức ma trận vuông 22 1.3.1 Phép 22 1.3.2 Khai triển Lapace 25 1.3.3 Tính chất định thức 26 1.3.4 Tìm ma trận nghịch đảo định thức 27 1.3.5 Hạng ma trận 28 1.4 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt 31 1.4.1 Phương pháp Gauss: 31 1.4.2 Phương pháp Cramer: 33 1.5 Hệ phương trình tuyến tính 34 1.5.1 Mối liên hệ hệ phương trình tuyến tính hệ phương trình tuyến tính tổng qt 35 1.6 Một số mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế 35 1.6.1 Mơ hình cân thị trường 35 1.6.2 Mơ hình Input-Output Leontief 36 1.1 MA TRẬN Khái niệm ma trận Các loại ma trận Các phép toán đại số ma trận MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trân bạc thang dòng phép biến đổi sơ cấp dòng Ma trận nghịch đảo cách tìm ma trận nghịch đảo Hạng ma trận cách tìm hạng ma trận 1.1.1 Khái niệm ma trận Một bảng hình chữ nhật gồm m × n số thực thành m dòng n cột gọi ma trận cấp m × n Ví dụ ma trận A= ma trận có dịng cột có cấp × Dạng tổng quát Ma trận biểu diễn sau a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A = ( aij )m×n = , am1 am2 · · · amn i gọi số dòng j gọi số cột aij phần tử nằm dòng i cột j Đơi người ta ký hiệu ma trận dạng móc vuông sau: A= Tập hợp tất ma trận cấp m × n ký hiệu Mm×n (R ) Các ví dụ ma trận: 1) Ma trận A= ma trận cấp × 10 −7 1.1 MA TRẬN Nói chung ma trận có dịng (m = 1) ma trận gọi ma trận dòng 2) Ma trận −5 B= −6 ma trận cấp × Một ma trận có cột ma trận (n = 1) gọi ma trận cột 3) Bảng số hình chữ nhật dòng cột 11 −7 A= gọi là ma trận cấp × 1.1.2 Các ma trận đặc biệt Ma trận vuông: Ma trận có số dịng số cột (m = n) gọi ma trận vuông cấp n, ký hiệu A = ( aij )n Dạng tổng quát ma trận vuông biểu diễn sau a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A = ( aij )n = an1 an2 · · · ann Các phần tử a11 ; a22 ; ; ann tạo thành đường chéo ma trận vuông gọi đường chéo Các phần tử a1n ; a2(n−1) ; ; a1n tạo thành đường chéo ma trận vuông gọi đường chéo phụ Tập hợp tất ma trận vuông cấp n ký hiệu Mn (R ) Ví dụ ma trận A= MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ma trận vuông cấp ba (do ma trận lúc hình vng nên người ta gọi ma trận vuông) Các phần tử 1; 5; tạo thành đường chéo gọi đường chéo phần tử 3; 5; tạo thành đường chéo lại gọi đường chéo phụ Ma trận chéo: Ma trận vuông A = ( aij )n gọi ma trận chéo aij = 0; ∀i ̸= j Ký hiệu dạng tổng quát A = dig( a11 ; a22 ; ; ann ) Ví dụ: Ma trận 0 A = = dig(1; 5; 9) 0 ma trận chéo hay ma trận đường chéo Ma trận đơn vị Ma trận chéo cấp n có tất phần tử đường chéo gọi ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In Ví dụ: I2 = 0 0 I3 = 0 0 0 I4 = 0 0 ma trận đơn vị cấp 2, 3, 4 Ma trận tam giác Ma trận vuông A = ( aij )n gọi ma trận tam giác nếu phần tử đường chéo 0, hay aij = 0∀i > j Ví dụ ma trận ma trận tam giác A= 0 Ma trận tam giác Ma trận vuông A = ( aij )n gọi ma trận tam giác nếu phần tử đường chéo 0, hay aij = 0∀i < j 1.1 MA TRẬN Ví dụ ma trận 0 A= ma trận tam giác Ma trận tam giác ma trận tam giác gọi chung ma trận tam giác Ma trận không Ma trận cấp m × n có tất phần tử khơng, ký hiệu 0m×n (đơi 0), gọi ma trận không Ma trận không cấp m × n có dạng A = (0) m × n ··· ··· 0 ··· 0 = 0 Ma trận chuyển vị Cho ma trận A = ( aij )m×n , ma trận có cấp n × m nhận từ ma trận A cách đổi dòng thành cột (hoặc đổi cột thành dòng) gọi ma trận chuyển vị A, ký hiệu A T , nghĩa A T = ( a ji )n×m Ví dụ ma trận chuyển vị ma trận cấp × A= 10 11 12 ma trận có cấp × sau 10 A T = 11 12 Ma trận đối xứng Ma trận vuông A = ( aij )n gọi ma trận đối xứng phần tử đối xứng qua đường chéo nhau, nghĩa aij = a ji ∀i, j Ví dụ ma trận cấp × sau A= −2 −2 −1 ... thực tập hợp số phức Ma trận đơn vị cấp n Tập hợp tất ma trận cấp m × n Khơng gian véc tơ n chiều R Tập hợp ma trận vuông cấp n trường số thực Ma trận không cấp m × n Ma trận nghich đảo ma trận... ma trận cấp × × sau: 11 −7 5 −1 − 32 − = 12 0 ta ma trận cấp × với c11 = 11.(−1) + (−7).3 + 5.0 = −32, c12 = 11.0 + (−7).1 + 5.0 = −7, c21 = 3.(−1) + (5).3 + 6.0 = 12 , c22 = 3.0... trận đơn vị Ma trận chéo cấp n có tất phần tử đường chéo gọi ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In Ví dụ: I2 = 0 0 I3 = 0 0 0 I4 = 0 0 ma trận đơn vị cấp 2, 3, 4 Ma trận tam