Bài giảng Toán cao cấp 2

Microsoft Word TCC 2 ptth doc 1 NGUYỄN QUỐC TIẾN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 2 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 11 – 2012 2 1 CHƯƠNG1 HÀM NHIỀU BIẾN 1 1 Hàm nhiều biến 1 1 1 Các định nghĩa Định nghĩa Error! No text o[.]

NGUYỄN QUỐC TIẾN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 11 – 2012 1 CHƯƠNG1 HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Hàm nhiều biến 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa Error! No text of specified style in document Một qui luật f đặt tương ứng cặp số thực (x , y ) ∈ D × D, D ⊂ R với phần tử z ∈ R ta nói f hàm hai biến số D × D Ký hiệu f : D × D → R hay z = f (x , y ) Đối với hàm ba biến ta có định nghĩa tương tự, ta có: u = f (x , y, z ) Chẳng hạn u = − x − y − z , u = x + y − z, Định nghĩa Error! No text of specified style in document Tập hợp cặp (x , y ) mà ứng với chúng xác định giá trị z gọi miền xác định hàm hai biến z = f (x , y ) , ký hiệu D( f ) Ví dụ Error! No text of specified style in document 1) Miền xác định hàm z = 1−x −y x + y < Vậy D( f ) gồm điểm nằm vòng tròn tâm gốc toạ độ bán kính 2) Miền xác định hàm z = sin(x + y ) R 1.1.2 Giới hạn hàm hai biến Định nghĩa Error! No text of specified style in document Số L gọi giới hạn hàm z = f (x , y ) điểm M (x , y ) tiến đến điểm M (x 0, y ) với ε > bé tuỳ ý cho trước tìm δ > cho < M 0M < δ f (x , y ) − A < ε Ký hiệu lim f (x , y ) = A M →M Hay lim f (x , y ) = A x →x y →y Giới hạn hàm hai biến cịn định nghĩa thông qua giới hạn dãy sau: Định nghĩa Error! No text of specified style in document Cho hàm số f (M ) = f (x , y ) xác định miền D chứa điểm M (x 0, y ) trừ điểm M Ta nói L giới hạn f (x , y ) điểm M (x , y ) dần tới điểm M (x 0, y ) với dãy M n (x n , yn ) thuộc D dần tới M ta có lim f (x n , yn ) = L Ký hiệu n →+∞ lim (x ,y )→(x ,y ) f (x , y ) = L hay lim f (M ) = L Ví dụ Error! No text of specified style in document Tính M →M lim (x ,y )→(0,0) f (x , y ) với xy f (x , y ) = x + y2 Giải Ta có f (x , y ) = lim (x n ,yn )→(0,0) x x +y y ≤ y , ∀(x , y ) ≠ (0, 0) , ∀ {(x n , yn )} → (0, 0) ta có f (x n , yn ) = Ví dụ Error! No text of specified style in document Chứng minh lim x →0 y →0 xy không tồn x + y2 Giải Cho y = x ta có L = lim x →0 y →0 x2 = , 2 x +x cho y = 2x L = lim x →0 y →0 2x 2 = 2 x + 4x Vậy (x , y ) tiến (0, 0) theo hướng khác f (x , y ) có giới hạn khác Do lim x →0 y →0 xy khơng tồn x + y2 1.1.3 Tính liên tục hàm hai biến Định nghĩa Error! No text of specified style in document Giả sử M (x 0, y ) ∈ D( f ) Hàm z = f (x , y ) gọi hàm liên tục điểm M0 lim f (x , y ) = f (x 0, y ) x →x y →y Hàm số liên tục điểm miền gọi hàm liên tục miền Điểm mà hàm số khơng liên tục gọi điểm gián đoạn hàm số Ví dụ Error! No text of specified style in document 1) Hàm số f (x , y ) = x + y liên tục điểm R ⎧ ⎪ xy ⎪ , (x , y ) ≠ (0, 0) ⎪ 2) Hàm số f (x , y ) = ⎨⎪ x + y gián đoạn (0, 0) khơng tồn ⎪ ⎪ , (x , y ) = (0, 0) ⎪ ⎪ ⎩ lim x →0 y →0 xy x + y2 1.2 Đạo hàm riêng 1.2.1 Đạo hàm riêng cấp Định nghĩa Error! No text of specified style in document Cho hàm z = f (x , y ) Nếu xem y số (tham số) f trở thành hàm biến số x Ta gọi đạo hàm riêng z theo biến x giới hạn ∂z f (x + Δx , y ) − f (x , y ) = lim Δx →0 ∂x Δx Ký hiệu z x' , fx' , ∂z ∂f , ∂x ∂x Tương tự ta định nghĩa đạo hàm riêng hàm z = f (x , y ) theo biến y Ví dụ Error! No text of specified style in document 1) Cho z = x + y Ta có ∂z ∂z = 2x , = ∂x ∂y 2) Hàm số z = x y Ta có ∂z ∂z = yx y -1 = x y ln x ∂y ∂x 1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao Định nghĩa Error! No text of specified style in document Cho hàm số z = f (x , y ) Các đạo hàm fx' , fy' đạo hàm riêng cấp Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp gọi đạo hàm riêng cấp hai Ký hiệu đạo hàm riêng cấp hai sau ∂ ⎛⎜ ∂f ⎞⎟ ∂2 f = fx''2 (x , y ) ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂ ⎛⎜ ∂f ⎞⎟ ∂2 f ⎟ = = fxy'' (x , y ); ⎜⎜ ⎟ ∂y ⎝ ∂x ⎠⎟ ∂y ∂x ∂ ⎛⎜ ∂f ⎞⎟ ∂2 f ⎟ = fyx'' (x , y ) ; ⎜⎜ ⎟ = ∂x ⎝ ∂y ⎠⎟ ∂x ∂y ∂ ⎛⎜ ∂f ⎞⎟ ∂2 f = fy''2 (x , y ) ⎜⎜ ⎟⎟ = ∂y ⎝ ∂y ⎟⎠ ∂y Định lí Error! No text of specified style in document Nếu lân cận U '' '' điểm M (x 0, y ) hàm số z = f (x , y ) có đạo hàm riêng fxy , fyx đạo hàm liên '' '' tục M fxy , = fyx M ∂ 2z ∂2z xy xy = e + xye = Ví dụ Error! No text of specified style in document z = e ; ∂x ∂y ∂y ∂x xy 1.3 Vi phân 1.3.1 Vi phân toàn phần Định nghĩa Error! No text of specified style in document Nếu hàm số z = f (x , y ) có đạo hàm riêng lân cận điểm (x 0, y ) đạo hàm riêng Δz = f (x , y ) − f (x 0, y ) = ∂f ∂f , liên tục (x 0, y ) ta có ∂x ∂y ∂f ∂f (x 0, y )Δx + (x , y )Δy + 0(ρ) , ∂x ∂y 0 Δx = x − x 0, Δy = y − y 0, ρ = (Δx )2 + (Δy )2 < δ Δz = f (x , y ) − f (x 0, y ) gọi số gia toàn phần z Hàm 0(ρ) vô bé cấp cao ρ ρ → Ta nói hàm z khả vi điểm (x 0, y ) Định nghĩa Error! No text of specified style in document Khi z = f (x , y ) khả vi (x 0, y ) ta gọi phần tuyến tính ∂f ∂f (x , y )Δx + (x , y )Δy ∂x ∂y 0 vi phân toàn phần z = f (x , y ) (x 0, y ) ký hiệu dz (x 0, y ) Vậy: dz (x 0, y ) = ∂f ∂f (x 0, y )Δx + (x , y )Δy , ∂x ∂y 0 hay df (x , y ) = ∂f ∂f (x , y )dx + (x , y )dy ∂x ∂y Ví dụ Error! No text of specified style in document Xét hàm z = x y ta có dz = ∂z ∂z dx + dy = yx y−1dx + x y ln x dy ∂x ∂y Định nghĩa Error! No text of specified style in document 10 Vi phân cấp hai hàm z = f (x , y ) vi phân toàn phần df (x , y ) tức d (df ) kí hiệu d 2z hay d f Bằng cách dựa vào đạo hàm riêng cấp 2, ta công thức d f (x , y ) = ∂2 f ∂2 f ∂2 f + + dx dxdy dy ∂x ∂y ∂x ∂y Áp dụng vi phân tồn phần để tính gần Xét hàm z = f (x , y ) khả vi (x 0, y ) Khi Δx Δy đủ bé ta có cơng thức gần sau Δz = f (x , y ) − f (x 0, y ) ≈ ∂f ∂f (x 0, y )Δx + (x , y )Δy ∂x ∂y 0 f (x , y ) ≈ f (x 0, y ) + ∂f ∂f (x 0, y )Δx + (x , y )Δy ∂x ∂y 0 Ví dụ Error! No text of specified style in document Tính gần giá trị 1, 023,01 Giải Xét hàm z = x y , x = 1, y = 3, Δx = 0, 02, Δy = 0, 01 Khi 1, 023,01 ≈ + 0, 06 = 1, 06 Đạo hàm hàm hợp Cho z = f (u, v ) với u = u(x , y ), v = v(x , y ) đạo hàm riêng z theo x , y tính theo cơng thức sau ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x tương tự ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Ví dụ Error! No text of specified style in document Tính đạo hàm riêng z theo x , y với z = e u +v , u = a cos x , v = a sin x Giải dz ∂z du ∂z dv = + ∂u2 dx ∂v dx dx 2 u +v =e 2u(−a sin x ) + e u +v 2v(a cos x ) = 2ae u +v (v cos x − u sin x ) 1.4 Cực trị hàm hai biến 1.4.1 Điểm cực đại, điểm cực tiểu Định nghĩa Error! No text of specified style in document 11 M (x 0, y ) gọi điểm cực đại z = f (x , y ) điểm M (x , y ) lân cận M0 ta có f (x 0, y ) ≥ f (x , y ) Trong trường hợp ta nói hàm z = f (x , y ) đạt cực đại M (x 0, y ) Nếu thay chữ “đại” chữ “tiểu” bất đẳng thức f (x 0, y ) ≥ f (x , y ) thay f (x 0, y ) ≤ f (x , y ) M (x 0, y ) gọi điểm cực tiểu z = f (x , y ) Điểm cực đại cực tiểu chưa cần phân biệt gọi chung điểm cực trị hay gọn gọi cực trị Ví dụ Error! No text of specified style in document 10 Cho hàm z = x + (y − 1)2 + Ta có z (0,1) = z (x , y ) ≥ = z (0,1), ∀(x , y ) Vậy (0,1) điểm cực tiểu hàm z Giá trị cực tiểu thu Điểm (2, 3) điểm cực trị hàm z lân cận có điểm khác mà giá trị chúng lớn hơn, nhỏ giá trị z (2, 3) ? 1.4.2 Cách tìm điểm cực trị hàm hai biến Ta có điều kiện cần sau Định lí Error! No text of specified style in document Nếu hàm z = f (x , y ) đạt cực trị M (x 0, y ) khơng tồn hai đạo hàm riêng đạo hàm riêng ∂f ∂f , ∂x ∂y Các điểm (xo , yo ) mà ∂f ∂f (xo , yo ) = (x , y ) = gọi điểm dừng Như để tìm cực ∂x ∂y o o trị hàm hai biến trước hết ta tìm điểm (xo , yo ) mà khơng tồn hai đạo hàm riêng điểm dừng Định lí Error! No text of specified style in document ( Điều kiện đủ) Giả sử M (x 0, y ) điểm dừng z = f (x , y ) M0 hàm z có đạo hàm riêng ∂2z ∂2z ∂2z (x , y ) = A, (x , y ) = B, (x , y ) = C Khi ∂x ∂y 0 ∂x 0 ∂y 0 i) Nếu B − AC < hàm đạt cực trị M0 (đạt cực tiểu A > , đạt cực đại A < ); ii) B − AC > hàm khơng có cực trị M0; iii) B − AC = chưa có kết luận Ví dụ Error! No text of specified style in document 11 Tìm cực trị hàm số f (x , y ) = x + y − 6xy Giải Ta có fx' = 3x − 6y, fy' = 3y − 6x ∀(x , y ) hay hàm số tồn hai đạo hàm riêng Các điểm dừng nghiệm ⎧ ⎪ ⎧3x − 6y = ⎪ ⎪ ⎪y = x ⎪ ⇒⎪ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ y x − = ⎪ ⎪ x= y ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Giải hệ ta hai điểm dừng M (0; 0) M 1(2;2) Xét điểm M (0; 0) : Ta có A = fxx'' (0; 0) = 6x M0 = , B = fxy'' (0; 0) = −6 , C = fyy'' (0; 0) = 6y M0 = B − AC = 36 > nên M0 cực trị Xét điểm M 1(2;2) : Ta có A = fxx'' (2, 2) = 6x C = fyy'' (2, 2) = 6y M1 M1 = 12 , B = fxy'' (2, 2) = −6 , = 12 B − AC = −108 < Mà A = 12 > Do (2, 2) điểm cực tiểu hàm số giá trị cực tiểu f (2, 2) = + − 24 = −8 1.4.3 Cực trị có điều kiện Bài tốn cực trị có điều kiện tốn tìm cực trị hàm z = f (x , y ) với ràng buộc ϕ(x , y ) = Điều khác với tìm cực trị tự hàm z = f (x , y ) toàn tập xác định thỏa điều kiện ϕ(x , y ) = Từ điều kiện ϕ(x , y ) = suy y = y(x ) hàm z = f (x , y ) = f (x , y(x )) hàm số biến Ta tìm cực trị hàm biến Trong trường hợp việc rút y = y(x ) phức tạp ta sử dụng phương pháp nhân tử số Lagrange theo bước sau: Bước Lập hàm Lagrange: L(x , y, λ) = f (x , y ) + λϕ(x , y ) với λ gọi nhân tử số Lagrange Bước Tìm điểm dừng hàm L, tức giải hệ phương trình: ⎧ ⎪ L'x (x , y, λ) = ⎪ ⎪ ⎪L' (x , y, λ) = ⎨ y ⎪ ⎪ ⎪ L' (x , y, λ) = ⎪ ⎩ λ Bước Xét dấu d 2L = L''xxdx + 2L''xydxdy + L''yydy điểm dừng (x 0, y , λ0 ) - Nếu d 2L(x 0, y 0, λ0 ) < z max = f (x , y ) - Nếu d 2L(x 0, y 0, λ0 ) > z = f (x 0, y ) - Nếu d 2L(x 0, y 0, λ0 ) không xác định dấu (x 0, y ) khơng điểm cực trị Để khảo sát dấu d 2L (x 0, y ) ta cần sử dụng điều kiện: ϕ (x , y ) = ⇒ dϕ (x , y ) = hay ϕx' (x , y )dx + ϕy' (x , y )dy = Tại (x , y ) ta ϕx' (x 0, y )dx + ϕy' (x 0, y )dy = Từ đây, ta có dx theo dy ngược lại Thay vào biểu thức d 2L (x , y ) , ta hàm theo dx dy Chú ý toán cực trị có điều kiện, dx dy khơng đồng thời Ví dụ Error! No text of specified style in document 12 Tìm cực trị hàm z = xy với x +y = Giải Ta tìm cực trị hàm z = xy với ràng buộc ϕ(x , y ) = x + y − = Bước L(x , y, λ) = xy + λ(x + y − 2) ⎧ ⎧⎪x = ⎪ L'x = y + λ = ⎪ ⎪⎪ ⎪ ' ⎪ Bước Giải hệ ⎨Ly = x + λ = ⇒ ⎪⎨y = ⇒ L có điểm dừng (1;1; −1) ⎪ ⎪⎪ ⎪ ' ⎪ ⎪⎪λ = −1 = + − = L x y ⎪ λ ⎩ ⎩ Bước L''xx = 0, L''xy = 1, L''yy = ⇒ d 2L = 2dxdy Vì x + y = ⇒ dx + dy = ⇒ dx = −dy Do d 2L = −2dx < Vậy (1;1) hàm số đạt cực đại z max = f (1;1) = 1.4.4 Giá trị lớn bé hàm hai biến Các bước tìm giá trị lớn bé hàm z = f (x , y ) miền đóng: Bước Tìm điểm dừng nằm miền tính giá trị hàm điểm dừng Bước Tìm cực trị với ràng buộc phương trình đường biên Bước Chọn giá trị lớn bé tất giá trị tìm Ví dụ Error! No text of specified style in document 13 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm z = x + y hình trịn C : (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ Giải Hàm z = x + y có điểm dừng (0; 0) nằm C (0; 0) hàm z có giá trị bé z = Từ ràng buộc 10 ... fyy'''' (2, 2) = 6y M1 M1 = 12 , B = fxy'''' (2, 2) = −6 , = 12 B − AC = −108 < Mà A = 12 > Do (2, 2) điểm cực tiểu hàm số giá trị cực tiểu f (2, 2) = + − 24 = −8 1.4.3 Cực trị có điều kiện Bài. .. 0, fm ax = 17 12 BÀI TẬP CHƯƠNG 1.1 Miền xác định hàm số 1−x2 a) z = − x − y2 d) z = ln 1−x2 − sin x + sin xy b) z = − x − y2 e) z = e 1+sin xy c) z = xy − x − y2 f) z = −x −y 1 .2 Miền giá trị... 10 Vi phân cấp hai hàm z = f (x , y ) vi phân toàn phần df (x , y ) tức d (df ) kí hiệu d 2z hay d f Bằng cách dựa vào đạo hàm riêng cấp 2, ta công thức d f (x , y ) = ? ?2 f ? ?2 f ? ?2 f + + dx