Bài giảng Toán cao cấp 1

Microsoft Word GOP LAI 4 CHAP doc NGUYỄN QUỐC TIẾN BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 1 GIẢNG VIÊN NGUYỄN QUỐC TIẾN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÁNG 10/2011 NGUYỄN Q[.]

NGUYỄN QUỐC TIẾN BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP GIẢNG VIÊN: NGUYỄN QUỐC TIẾN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÁNG 10/2011 NGUYỄN QUỐC TIẾN CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC 1.1 Giới hạn dãy số 1.1.1 Dãy số Một dãy số thực ánh xạ x từ tập số tự nhiên  đến tập số thực R x:   n  x(n) : xn x(n ) thường ký hiệu xn gọi số hạng thứ n dãy Một dãy số với số hạng xn thường viết gọn ( xn ) Ví dụ 1): ( xn ) với xn  1 1 Khi đó: x1  1, x2  , x3  , xn  , n n 2): ( xn ) với xn  ( 1) n Khi đó: x1  1, x2  1, x3  1 , xn  ( 1) n , 1.1.2 Giới hạn dãy số Dãy (xn) gọi có giới hạn a nếu:   0,  n0  : n  n0  xn  a   Khi ta nói dãy ( xn ) hội tụ a Kí hiệu lim xn  a xn  a , n   Nếu dãy n ( xn ) khơng hội tụ ta nói dãy ( xn ) phân kỳ Ví dụ Cho dãy số ( xn ) với xn  n Chứng minh lim xn  n  n 1 Ta có xn   n 1  n 1 n 1 muốn xn gần ta đặt: xn    ,   hay   ,   n 1  n  1  1  Chọn n0    1 ( phần nguyên  ) Khi n  n0 xn gần    Hay lim xn  n  NGUYỄN QUỐC TIẾN 1.1.3 Định lí Nếu dãy ( xn ) hội tụ giới hạn Chứng minh Giả sử xn  a xn  b, a  b n   , chọn   a b  theo định nghĩa giới hạn dãy tồn n01 , n02  N cho: n  n01  xn  a    n  n02  xn  b  2 Đặt n0  max(n01 , n02 ) Khi với n  n0 ta có: a  b  xn  a  xn  b  suy a  b  a b a b      2 Điều vơ lí Vậy a  b 1.1.4 Định lí Cho ba dãy ( xn ), ( yn ), ( zn ) Nếu xn  yn  z n , n  N lim xn  lim zn  a n  n  lim yn  a n  Chứng minh Vì lim xn  lim zn  a nên n0  N : n  n0  ( xn  a  n  n  n  n0  yn  a  xn  a  z n  a    , zn  a  ) 2     2 Vậy lim yn  a n Cho x0  R ,  -lân cận x0 khoảng số thực có dạng ( x0   , x0   ),  1.2 Giới hạn hàm số 1.2.1 Định nghĩa Cho hàm số f ( x ) xác định lân cận x0 (có thể trừ x0 ) Số L gọi giới hạn hàm số f ( x) x dần đến x0 nếu:   0,   0, x  D : (0  x  x0    f ( x)  L   ) kí hiệu lim f ( x)  L hay f ( x )  L x  x0 x  x0 Giới hạn hàm số f ( x ) x dần đến x0 cịn định nghĩa thông qua giới hạn dãy số sau: lim f ( x)  L    xn  : xn  x0  f ( xn )  L x  x0 NGUYỄN QUỐC TIẾN 1.2.2 Giới hạn phía Cho hàm số f ( x ) xác định khoảng ( , x0 ] (có thể trừ x0 ) Số L1 gọi giới hạn trái hàm số f ( x ) x dần đến x0 ( x  ( , x0 ] )nếu:   0,   0, x  ( , x0 ] : (0  x  x0    f ( x)  L1   ) Kí hiệu lim f ( x)  L1 hay x  x0 f ( x)  L1 x  x0  Cho hàm số f ( x ) xác định khoảng [ x0 ,  ) (có thể trừ x0 ) Số L2 gọi giới hạn phải hàm số f ( x ) x dần đến x0 ( x  [ x0 ,  ) ) nếu:   0,   0, x  [ x0 ,  ) : (0  x  x0    f ( x)  L2   ) Kí hiệu lim f ( x)  L2 hay f ( x)  L2 x  x0  x  x0 1.2.3 Định lí lim f ( x)  L  lim f ( x)  lim f ( x)  L x  x0 x  x0 x  x0 Ví dụ Chứng minh lim(2 x  3)  x 1 Ta có   0, f ( x) -    x  3-    x -1    x -1  Chọn  =      0,    : x     f ( x)    Vậy lim(2 x  3)  x 1 2 Ví dụ Chứng minh lim x  16 x 2 x2  16 Ta có x  16 x2  16  4( x  4) Vậy   0,   x2  16  4( x  2)  16  x    0, x     x    ( x  2)   x  16  0, x  2, x     16   4 x2 1.2.4 Giới hạn vô tận- Giới hạn vô cực Cho hàm số f ( x ) xác định lân cận x0 trừ x0 Hàm số f ( x) có giới hạn  x dần đến x0 với M  lớn tùy ý tồn   0,  x  x0    f ( x)  M Kí hiệu lim f ( x)   x  x0 Hàm số f ( x ) có giới hạn  x dần đến x0 với M  lớn tùy ý tồn   0,  x  x0    f ( x)   M Kí hiệu lim f ( x)   x  x0 Hàm số f ( x ) gọi có giới hạn L x dần đến  với   tùy ý tồn NGUYỄN QUỐC TIẾN M  0: x  M  f ( x)  L   Kí hiệu lim f ( x )  L x  Hàm số f ( x ) gọi có giới hạn L x dần đến  với   tùy ý tồn M  0: x   M  f ( x)  L   Kí hiệu lim f ( x)  L x   1 Ví dụ Chứng minh lim     x   x 1 Ta có x 1  Khi x    x  x   x   M 1 Chọn M   x  M        x Khi x    x   1 Chọn M    x   M        x 1.2.5 Định lí Cho f ( x ), u ( x), v( x ) xác định lân cận x0 trừ x0 Nếu u ( x)  f ( x)  v( x) với x thuộc lân cận lim u ( x)  lim v ( x )  L x  x0 x  x0 lim f ( x)  L x  x0 Vidụ Chứng minh lim x0 Thật x :0  x  sin x 1 x  sin x sin x ta có bất đẳng thức cos x   , mà lim cos x  suy lim 1 x  x  x x 1.2.6 Một số tính chất giới hạn hàm số i) Nếu lim f ( x)  L giới hạn x  x0 ii) lim C  C (C : số) x  x0 iii) Nếu f ( x)  g ( x), x thuộc lân cận x0 vơ cực lim f ( x)  lim g ( x) (nếu giới hạn tồn tại) x  x0 x  x0 iv) Nếu f ( x)  g ( x)  h( x), x thuộc lân cận x0 vô cực lim f ( x)  L  lim h ( x) lim g ( x)  L x  x0 x  x0 x x v) Giả sử hàm số f ( x), g ( x) có giới hạn x  x0 ta có kết sau : lim ( f ( x )  g ( x))  lim f ( x )  lim g ( x ) x  x0 x  x0 x  x0 NGUYỄN QUỐC TIẾN lim kf ( x)  k lim f ( x) x  xo x  xo lim f ( x) g ( x)  lim f ( x) lim g ( x) x  xo lim x  x0 x  xo x  xo  f ( x) f ( x) xlim x  , lim g ( x )  g ( x ) lim g ( x) x x0 x  x0  1.3 Vô bé-vô lớn Giả sử ta xét hàm trình, chẳng hạn x  xo (Những kết đạt q trình khác) 1.3.1 Vơ bé Hàm  ( x) gọi vơ bé (VCB) q trình x  xo lim  ( x )  x  x0 Ví dụ sin x, tgx,  cos x VCB x  , x 1 VCB x   x2  1.3.2 So sánh hai VCB Cho  ( x)  ( x ) hai VCB trình (chẳng hạn x  xo ) Khi tốc độ tiến chúng đơi có ý nghĩa quan trọng Cụ thể ta có định nghĩa: Nếu lim  ( x)  ta nói  ( x) VCB bậc cao VCB  ( x ) q trình (  ( x) dần  ( x) tới nhanh  ( x ) x  xo ) Nếu lim  ( x)  L  ta nói  ( x)  ( x ) hai VCB ngang cấp q trình (  ( x)  ( x)  ( x ) dần tới ngang x  xo Đặc biệt L  ta nói  ( x)  ( x ) hai VCB tương đương, kí hiệu  ( x)   ( x) Ví dụ Một số VCB tương đương x  sin x  x ; tgx  x ; arcsin x  x ; arctgx  x;  cos ax  1  x   (ax)2 log (1  x)  x ; a ln a    x ; ln(1  x)  x ; a x -1  x ln a ; e x -1  x ; an x n  an 1 x n 1   a p x p  a p x p , ( n  p , a p  0) Sinh viên tự kiểm tra tương đương (xem tập) Ví dụ So sánh cấp VCB:  ( x)  sin x  tgx;  ( x)   cos x , x  Ta có: NGUYỄN QUỐC TIẾN lim x 0  ( x) sin x  tgx  lim  lim x  x 0  ( x)  cos x     sin x cos x   lim 0 x   cos x cos x sin x   Do đó,  ( x) VCB cấp cao  ( x ) Ví dụ So sánh cấp VCB:  ( x)   cos x,  ( x)  x , x   ( x) Ta có: lim  lim  ( x) x 0  cos x x0 x  0 Do đó,  ( x )  ( x) hai VCB cấp 1.3.3 Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao i) Nếu  ( x )  1 ( x)  ( x)  1 ( x) trình trình lim  ( x)  ( x)  lim  ( x) 1 ( x ) ii) Cho  ( x)  ( x) hai VCB trình  ( x ) có cấp cao  ( x) Khi  ( x )   ( x)   ( x) Từ hai kết ta suy quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: Giả sử  ( x)  ( x) hai VCB q trình  ( x )  ( x) tổng nhiều VCB Khi giới hạn tỉ số  ( x) giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp  ( x)  ( x )  ( x) Ví dụ Tìm giới hạn sau: 1) x  3sin x  sin x lim x  x3  x8 x 0 Ta có lim x  3sin x  sin x 5x  x  x x 0 2) lim  x 1 x 0  x 1  lim x 0 x 5x  Khi x  ta có  x   (1  x)   Suy  x 1 3) Khi x   x 1 lim x 0  Vậy lim x 0  x 1  x 1  1 x ;  x   (1  x)   x 3 tgx  sin x x , ta có: NGUYỄN QUỐC TIẾN tgx  sin x x  x tgx  sin x   x  Do lim 2 x0 x x x tgx  sin x  sin x x 0 x3 4) Tính lim Ta có x x sin x(1  cos x ) tgx  sin x    x3 x  cos x Do tgx  sin x  sin x  3 x  x3  x3 x  2 3 x tgx  sin x  sin x Suy   x  3 x x tgx  sin x  sin x  x  x0 x3 lim Vậy 1.3.4 Vô lớn Hàm f ( x) gọi vơ lớn (VCL) q trình lim f ( x )   x  x0 Ví dụ x , sin x , cot gx VCL x  x , x  VCL x   1.3.5 So sánh hai VCL Cho f ( x ) g ( x) hai VCL q trình (chẳng hạn x  xo ) Khi lim f ( x) g ( x)   ta nói f ( x ) VCL cấp (bậc) cao g ( x ) (theo nghĩa f ( x ) tiến tới  nhanh g ( x) ) Nếu lim f ( x)  L  ta nói f ( x ) g ( x) hai VCL ngang cấp g ( x) trình (  ( x)  ( x) dần tới  ngang nhau) Đặc biệt L  ta nói  ( x)  ( x ) hai VCL tương đương, kí hiệu  ( x)   ( x) Ví dụ 1) So sánh cấp VCL f ( x)  x3  2, g ( x)  x ; x   Ta có lim x   f ( x) x3    lim  lim  x x     x  g ( x) x x x  Do f (x) VCL có cấp cao g(x) 2) So sánh cấp VCL: f ( x)  x6  x  g ( x)  x8  x  x  x   NGUYỄN QUỐC TIẾN Ta có: lim x  f ( x) x  2x 1  lim x  g ( x) 2x  4x2  x   x5 x 4 2 2   x x x  lim x  1 Do đó, f ( x)  x6  x  g ( x)  x8  x  x  hai VCL cấp 1.3.6 Qui tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho f ( x ) g ( x) hai VCL trình đó, (chẳng hạn x   ) f ( x)  f1 ( x) , g ( x)  g1 ( x) Khi trình lim f ( x) g ( x)  lim f1 ( x) g1 ( x) Từ ta rút quy tắc sau: Giả sử f ( x ) g ( x) hai VCL q trình f ( x ) g ( x) tổng nhiều VCL Khi giới hạn tỉ số f ( x) g ( x) giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao f ( x ) g ( x) Ví dụ lim 3x  x  x  x  2x   lim x  3x 2x  1.4 Hàm số liên tục 1.4.1 Các định nghĩa Hàm số y  f ( x) gọi liên tục xo  D lim f ( x )  f ( x0 ) Khi x0 gọi điểm liên x  x0 tục hàm f ( x ) Hàm số y  f ( x) gọi liên tục (a, b) f ( x ) liên tục điểm thuộc (a, b) Hàm số y  f ( x) gọi liên tục bên trái (bên phải) x0  D lim f ( x )  f ( x0 ) ( lim f ( x )  f ( x0 ) ) x  x0 x  x0 Hàm f ( x) gọi liên tục [a, b] f ( x ) liên tục (a, b) liên tục bên phải a, bên trái b NGUYỄN QUỐC TIẾN Nhận xét: f ( x ) liên tục x0  D f ( x ) liên tục bên phải bên trái x0 Nếu hàm số sơ cấp f ( x ) có miền xác định D f ( x ) liên tục D Nếu f ( x ) liên tục [a, b] đồ thị đường nối liền từ điểm A (a, f (a)) đến điểm B(b, f (b)) Hình 1.6 1.4.2 Tính chất hàm số liên tục Giả sử f ( x), g ( x) hai hàm liên tục [a, b] Khi đó: i) f ( x)  g ( x) f ( x) g ( x) liên tục [a, b] , g ( x)  f ( x) g ( x) liên tục [a, b] ii) f ( x) liên tục [a, b] iii) Nếu u ( x) liên tục x0 f (u ) liên tục u0  u ( x0 ) hàm f 0u ( x) liên tục x0 iv) f ( x ) liên tục [a, b] đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé đoạn 1.4.3 Điểm gián đoạn Nếu f ( x ) khơng liên tục x0  D ta nói f ( x ) gián đoạn x0 điểm x0 gọi điểm gián đoạn Hàm f ( x ) gián đoạn tai x0 tồn giới hạn f(x) x0 , x0 x0 gọi điểm gián đoạn loại Các điểm gián đoạn khác gọi điểm gián đoạn loại Ví dụ Xét tính liên tục hàm (1) 1, x   f ( x )   sin x  , x  Ta có lim f ( x )  lim x 0 x 0 sin x x   f (0)  Vậy f ( x ) gián đoạn x  ,và x  điểm gián đoạn loại (2) 1  x, x  f ( x)   -1  x, x  ... 12 2 Ta thấy 12 2  12 1? ?1 Xét hàm y  f ( x)  x Áp đụng công thức gần f ( x0  x)  f ''( x0 ) x  f ( x0 ) suy x0  x  12 2  x  x0 Chọn x0  12 1, x  ta x0 12 1  12 1  0, 0454  11  11 ,... viết gọn ( xn ) Ví dụ 1) : ( xn ) với xn  1 1 Khi đó: x1  1, x2  , x3  , xn  , n n 2): ( xn ) với xn  ( ? ?1) n Khi đó: x1  ? ?1, x2  1, x3  ? ?1 , xn  ( ? ?1) n , 1. 1.2 Giới hạn dãy số Dãy...  ;ds 1/ a) lim x  x2 x  3 x ? ?1 ;ds 1/ 6 d) lim x ? ?1 x  b) lim n  n4  n  n ;ds 1  n2   1 d) lim      n  1. 2 2.3 n.(n  1)   c) lim b) lim x ? ?1 e) lim xa x ? ?1 ;ds ? ?1 x2 