Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 1: Ma trận - Định thức. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: các khái niệm cơ bản; các phép toán ma trận; khái niệm định thức; định thức của ma trận cấp 1, 2, 3; tính chất của định thức;... Mời các bạn cùng tham khảo!
HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP CHƢƠNG MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Giới thiệu ma trận, định thức Một câu hỏi đặt lại sử dụng ma trận đại số? Để trả lời cho câu hỏi từ ví dụ đơn giản sau Giả sử có phƣơng trình ẩn 𝑥 nhƣ sau: 𝑥−2=3 Chúng ta giải dễ dàng cách chuyển vế 𝑥 = + = Khó chút, học hệ phƣơng trình hai ẩn 𝑥 𝑦 ví dụ nhƣ 𝑥 − 𝑦 = −2 3𝑥 + 2𝑦 = −6 Bạn giải dễ dàng cách sử dụng phƣơng pháp khử biến phƣơng pháp thay thế, ta có đáp cuối 𝑥 = −2, 𝑦 = Khó thêm chút nữa, đƣợc học thêm hệ phƣơng trình ba ẩn 𝑥, 𝑦, 𝑧 ví dụ nhƣ 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −4𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = −6𝑥 − 4𝑦 − 2𝑧 = 12 Sử dụng phƣơng pháp cũ nhƣng dài dòng chút giải 𝑥 = −914, 𝑦 = −3914, 𝑧 = 32 Và thực tế, học đến thơi, nhƣng giới bên ngồi không đơn giản nhƣ vậy, bạn phải giải hệ phƣơng trình nhiều ẩn ví dụ nhƣ ẩn, 20 ẩn, có lến đến ngàn ẩn, Lúc này, ngƣời ta sử dụng chữ 𝑥, 𝑦, 𝑧 để biểu diễn hệ phƣơng trình có trăm ngàn ẩn nữa, thay vào ngƣời ta nghĩ thứ đơn giản để dễ dàng biểu diễn tính hệ phƣơng trình có nhiều ẩn, khái niệm gọi ma trận (matrix) đời Ví dụ: Một nhóm du lịch tàu hỏa chi phí triệu đồng trẻ em, triệu đồng ngƣời lớn tổng chi phí 39 triệu đồng Khi họ máy bay triệu đồng trẻ em, triệu đồng ngƣời lớn tổng chi phí 141 triệu đồng Tính số trẻ em, số ngƣời lớn Gọi a số lƣợng trẻ em nhóm Gọi b số lƣợng ngƣời lớn nhóm Theo giả thiết ta có hệ phƣơng trình 𝑎 + 2𝑏 = 39 4𝑎 + 7𝑏 = 141 Hệ phƣơng trình cịn đƣợc viết dƣới dạng nhƣ sau: 𝑎 39 = 𝑏 141 Đây đƣợc gọi phƣơng trình ma trận 1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Dạng tổng quát Ví dụ: Ma trận khơng ma trận có phần từ Kí hiệu : 1.3 Ma trận tam giác: Ma trận tam giác Ma trận tam giác dƣới HẠNG CỦA MA TRẬN 4.1 Định nghĩa Định nghĩa: - Hạng ma trận O - Khi A ≠ hạng ma trận A cấp cao định thức khác không ma trận Hạng ma trận A kí hiệu r(A) 4.2 Cách tính hạng ma trận PP định thức bao quanh Phƣơng pháp tính hạng PP biến đổi sơ cấp a Phƣơng pháp định thức bao quanh: Tính định thức từ cấp thấp đến cấp cao Xuất phát từ định thức cấp s khác không, ta xét định thức cấp s+1 bao Nếu tất định thức r(A) = s Nếu có định thức khác khơng, ta lại xét định thức cấp s+2 bao quanh định thức b PP biến đổi sơ cấp Định lý: Ba phép biến đổi sơ cấp ma trận không làm thay đổi hạng ma trận PP: Dùng phép biến đổi sơ cấp đƣa ma trận ban đầu dạng đơn giản chẳng hạn ma trận dạng tam giác hình thang Khi hạng ma trận số dòng khác ma trận tam giác hình thang tƣơng ứng Ví dụ: Tìm hạng ma trận: MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 5.1 Định nghĩa: Định lý: Ma trận cấp n khả nghịch định thức khác khơng 5.2 PP tính ma trận nghịch đảo PP ma trận phụ hợp phƣơng pháp PP biến đổi sơ cấp 5.2.1 PP dùng ma trận phụ hợp: Chú ý: Trong ma trận A* số dòng cột đổi chỗ cho PP: Muốn tìm ma trận nghịch đảo ta cần tính phần bù đại số, lập ma trận A* áp dụng công thức 5.2.2 PP dùng biến đổi sơ cấp (VN) • Cho A ma trận vuông cấp n khả nghịch Ta viết vào bên phải A ma trân đơn vị E để đƣợc ma trận bổ sung (A|E) • Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đƣa ma trận bổ sung dạng (E|B) • Khi ma trận B thu đƣợc ma trận A-1 Chú ý: • Trƣớc lập ma trận bổ sung khơng biến đổi ma trận A • Sau lập ma trận bổ sung biến đổi sơ cấp dịng, khơng biến đổi cột ... khác Định thức khơng thay đổi Ví dụ: Tính định thức sau HẠNG CỦA MA TRẬN 4 .1 Định nghĩa Định nghĩa: - Hạng ma trận O - Khi A ≠ hạng ma trận A cấp cao định thức khác không ma trận Hạng ma trận. .. (E ma trận đơn vị cấp với A) Chú ý: Tích hai ma trận khơng có tính giao hốn Ví dụ : Tính 0 ? ?1 1? ?? ? ?1 0 0 2 ? ?1 2 0 1? ?? 0 1? ?? ? ?1 0 ĐỊNH THỨC 3 .1 Định nghĩa: 3.2 Định thức ma trận. .. 3 .1 Định nghĩa: 3.2 Định thức ma trận cấp 1, 2, a Định thức cấp 1: Cho A = (a 11) |A| = a 11 b Định thức cấp 2: Ví dụ: c Định thức cấp 3.3 Tính chất định thức Theo tính chất tính chất sau phát