Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Dạng toàn phương. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: các khái niệm cơ bản; phép biến đổi tuyến tính; đưa dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc; dấu của dạng toàn phương; các dạng bài tập chính;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Chƣơng DẠNG TOÀN PHƢƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1: Một tổng có dạng 𝑛 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 (1) 𝑖,𝑗 =1 Trong 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , ∀𝑖, 𝑗 = 1, 𝑛, 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅, gọi dạng toàn phƣơng biến 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 Ma trận dạng toàn phƣơng (1) 𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛 ⋱ ⋮ 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 = ⋮ 𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 Nhận xét: • 𝐴 = 𝐴′ • Thơng thƣờng DTP đƣợc cho dƣới dạng 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑖≤𝑗 Khi phần tử ma trận 𝐴 đƣợc xác định 𝑎𝑖𝑖 = 𝑏𝑖𝑖 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 = 𝑏 ị𝑗 Ví dụ 1: Tìm ma trận dạng tồn phƣơng sau: a) 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥12 + 6𝑥1 𝑥2 + 3𝑥22 b) 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = −𝑥12 + 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥2 𝑥3 + 𝑥22 + 3𝑥32 Định nghĩa 2: Hạng DTP:Hạng dạng toàn phƣơng hạng ma trận dạng tồn phƣơng Dạng tồn phƣơng đƣợc gọi suy biến hay Dạng toàn phƣơng đƣợc gọi không suy biến 𝑟 𝐴 =𝑛 hay 1.2 Dạng tồn phƣơng tắc, chuẩn tắc Dạng tồn phƣơng tắc: Dạng tồn phƣơng tắc dạng tồn phƣơng có dạng 𝑛 𝑘𝑖 𝑥𝑖2 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = (2) 𝑖=1 Dạng tồn phƣơng chuẩn tắc: Dạng tồn phƣơng tắc đƣợc gọi dạng toàn phƣơng chuẩn tắc nhận giá trị Ví dụ 2: 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥12 − 8𝑥22 + 𝑥32 dạng tồn phƣơng tắc 0 Ma trận: 𝐴 = −8 0 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥12 − 𝑥22 dạng toàn phƣơng chuẩn tắc 0 Ma trận: 𝐴 = −1 0 0 1.3 Phép biến đổi tuyến tính Đặt , suy Khi đó, (1) trở thành Định nghĩa 3: Cho ma trận Phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến từ biến X sang biến Y là: Khi đó, dạng tồn phƣơng (3) trở thành: 𝐹 𝑌 = 𝑌 ′ 𝐵𝑌, 𝐵 = 𝑆′𝐴𝑆 Ví dụ 3: DTP tắc 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝑥𝑖2 đƣa DTP chuẩn tắc phép đặt 𝑦1 = 𝑦2 = 𝑦𝑛 = 𝑘1 𝑥1 |𝑘2 |𝑥2 ……… |𝑘𝑛 | 𝑥𝑛 ĐƢA DTP VỀ DTP CHÍNH TẮC, CHUẨN TẮC Phương pháp giá trị riêng Phương pháp Phương pháp Jacobi Phương pháp Lagrange 2.2 Phƣơng pháp Jacobi Cho ma trận 𝑎𝑖𝑗 Các định thức đầu A 𝑛×𝑛 Định lý Jacobi: Nếu ma trận DTP có Di 0i 1,2, n DTP tắc Định lý Jacobi mở rộng: Nếu r(A)=k D1, D2 , Dk 0, Dk 1 Dk 2 Dn dạng tồn phƣơng tắc 𝐺 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 𝐷2 D3 D𝑘 2 = 𝐷1 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + ⋯ + 𝑦𝑘 𝐷1 D2 D𝑘−1 Ví dụ 5: Đƣa DTP sau DTP tắc D1 1, D2 3, D3 D1 1, D2 1, D3 Định luật quán tính Số hệ số mang dấu dƣơng, số hệ số mang dấu âm số hệ số khơng dạng tồn phƣơng tắc nhận đƣợc khơng đổi ta đƣa DTP DTP tắc phƣơng pháp khác 2.3 Phƣơng pháp Lagrange a) Trƣờng hợp 𝒂𝒊𝒊 ≠ 𝟎 Giả sử 𝒂𝟏𝟏 ≠ 𝟎 𝑛 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑛 = 𝑎11 𝑥12 + 2𝑥1 𝑖=2 𝑛 = 𝑎11 𝑥1 + 𝑖=2 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑖,𝑗 =1 𝑎𝑖1 𝑥𝑖 + số hạng không chứa 𝑥1 𝑎11 𝑎𝑖1 𝑥𝑖 𝑎11 + 𝑔(𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 ) Đặt 𝑛 𝑦1 = 𝑥1 + 𝑦2 = 𝑖=2 𝑎𝑖1 𝑥𝑖 𝑎11 𝑥2 ……… 𝑦𝑛 = 𝑥𝑛 Khi 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝐺(𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) = 𝑎11 𝑦12 + 𝑔(𝑦2 , 𝑦3 , … , 𝑦𝑛 ) Vậy cần xét tiếp dạng toàn phƣơng n – biến 𝑔(𝑦2 , 𝑦3 , … , 𝑦𝑛 ) Tiếp tục trình nhận đƣợc kết sau n – bƣớc b Trƣờng hợp 𝒂𝒊𝒊 = 𝟎, ∀𝒊 = 𝟏, 𝒏 có 𝒂𝒊𝒋 ≠ 𝟎 𝑎𝑖𝑗 ≠ Giả sử 𝑎12 ≠ Trƣờng hợp đƣa dạng a) cách đặt 𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2 𝑥2 = 𝑦1 − 𝑦2 𝑥3 = 𝑦3 ……… 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛 Nhận xét: - Phƣơng pháp lagrang chậm nhƣng chắn đƣa đƣợc dạng tồn phƣơng dạng tắc - Trong q trình biến đổi phải ý bƣớc biến đổi tất tích chéo biến biến - Trong trình biến đổi ý giữ nguyên số biến Ví dụ 6: Đƣa dạng tồn phƣơng sau dạng tồn phƣơng tắc phƣơng pháp Largange 𝑎)𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 3𝑥12 + 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥22 + 3𝑥32 b) 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 2𝑥1 𝑥2 − 4𝑥2 𝑥3 + 6𝑥1 𝑥3 𝑐)𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥12 − 2𝑥22 + 𝑥32 + 2𝑥1 𝑥2 + 4𝑥1 𝑥3 + 2𝑥2 𝑥3 3.DẤU CỦA DẠNG TỒN PHƢƠNG 3.1 Định nghĩa: dạng tồn phƣơng 𝐹 𝑋 = 𝑋 ′ 𝐴𝑋 (2) đƣợc gọi là: Xác định dƣơng Xác định âm Nửa xác định dƣơng tồn cho F(X) = Nửa xác định âm tồn cho F(X) = Đổi dấu nhận giá trị âm giá trị dƣơng (tức tồn cho F(X)F(Y)