Bài giảng Toán cao cấp A1 (Trường CĐ Công nghiệp Huế)

Microsoft Word BG A1 2015 new BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ    BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1 Th S NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA Huế, tháng 09 năm 2015 Th S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1 CHƯƠNG 1 GIỚ[.]

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ  BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP A1 Th.S NGUYỄN HỒNG ANH KHOA Huế, tháng 09 năm 2015 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 Hàm số 1.1.1 Định nghĩa Cho X, Y tập khác rỗng R Ánh xạ f : X  Y, x  y = f(x) gọi hàm số x gọi biến độc lập y = f(x) gọi giá trị hàm f x X gọi tập xác định hàm f Quy ước Người ta thường viết gọn hàm số đẳng thức y = f(x) Tập xác định D tập giá trị x cho f(x) có nghĩa Tập giá trị T = f(D) = {f(x) | x  D} Hàm số ngược Cho hàm số f : X  Y, x  y = f(x) Nếu y thuộc Y tồn x thuộc x cho f(x) = y Khi hám số g:YX y  x = g(y) gọi hàm số ngược hàm f, kí hiệu g = f –1 Chú ý: Nếu f có hàm ngược thì:  f(x) = y  f – 1(y) = x  f – 1(f(x)) = x f(f – 1(x))= x Định lí: Nếu f : D  T = f(D) đơn điệu D f có ánh xạ ngược f – : T  D 1.1.2 Các hàm số sơ cấp 1) Hàm lũy thừa y = x (  R*) 2) Hàm mũ y = ax (a > 0, a  1) 3) Hàm logarit y = logax (a > 0, a  1) 4) Các hàm lượng giác 5) Các hàm lượng giác ngược   a) Hàm số sin :  ;   [–1; 1] tăng nên có hàm số ngược  2 Ký hiệu y = arcsin x Vậy hàm    arcsin: [  1;1]    ;   2 x  y  arcsinx siny = x, gọi hàm ắc-sin Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa b) Hàm số y = cos x Hàm ắc-cô-sin hàm arccos: [  1;1]   0;   x  y  arccosx cosy = x c) Hàm số y = tanx Hàm ắc-tang hàm    arctan: R    ;   2 x  y  arctan x tany = x d) Hàm số y = cotx Hàm ắc-cô-tang hàm arccot: R   0;  x  y  arccotx coty = x  3     2 Ví dụ: arcsin      ; arctan1  ; arccos      2   1.2 Dãy số 1.2.1 Định nghĩa dãy số, dãy con, giới hạn Cho X, Y hai tập khác rỗng quy tắc f đặt tương ứng phần tử x  X với phần tử y  Y gọi ánh xạ Ký hiệu f : X  Y, x  y  f (x) Hay f :X  Y x  y  f (x) Ánh xạ u : N*  R , n  u(n) gọi dãy số Để đơn giản ta ký hiệu un = u(n) Dãy số viết theo thứ tự tăng dần số n chẳng hạn: u1; u2; u3; ; un; Ký hiệu dãy số u (un)n N * gọn (un)n hay (un) Dãy Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa Giới hạn dãy số Định nghĩa Dãy số (un) gọi dần a (hay có giới hạn a hay hội tụ a)  > 0, n0  N cho n>n0 |un – a| <  Kí hiệu: lim u n  a , limun = a hay un  a n  Định nghĩa (Giới hạn vô hạn) Cho dãy số (an)n – Nếu với M > lớn tuỳ ý, tồn n0  N cho an > M  n > n0 ta nói dãy (an)n có giới hạn cộng vơ Ký hiệu: liman = +  hay an +  – Nếu với M > lớn tuỳ ý, tồn n0  N cho an < – M  n > n0 ta nói dãy (an)n có giới hạn trừ vô Ký hiệu: liman = –  hay an –  Chú ý:  limC = C (C số)  lim  = (với  > 0) n  limqn = (với |q| < 1)  limun =  lim  un 1.2.2 Tính chất dãy hội tụ Định lí Giới hạn dãy số có Định lí Mọi dãy hội tụ bị chặn Định lí Nếu (an)n dãy tăng bị chặn hội tụ Nếu (an)n dãy giảm bị chặn hội tụ Định lí Cho (an)n (bn)n hai dãy hội tụ Khi đó, ta có: i) lim(an  bn) = liman  limbn ii) lim(anbn) = liman.limbn a lim a n iii) Nếu limbn  lim n  b n lim b n iv) Nếu an ≤ bn với n > n0 liman ≤ limbn Hệ quả: Nếu an ≤ bn  cn liman = limcn = L limbn = L 1.3 Giới hạn hàm số 1.3.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định lân cận x0 (có thể trừ điểm x0) Số L gọi giới hạn hàm số y = f(x) x dần tới x0 với dãy số (xn)n , xn  x0 cho limxn = x0 limf(xn) = L Khi đó, ta viết Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa Một số giới hạn cần nhớ lim C  C lim x  x xx0 lim arctan x   xx  x  x sinx e 1 ln(1  x) 1 ; lim 1; lim 1 x 0 x 0 x 0 x x x Tính chất Định lí 1: Giới hạn hàm số y = f(x) x  x0 (nếu có) lim Định lí 2: Nếu f(x)  g(x) x  U0 lim f (x)  L , lim g(x)  L' L  L' xx0 xx Định lí 3: (nguyên lý kẹp) Nếu h(x)  f(x)  g(x) x  U0 lim h(x)  lim g(x)  L lim f (x)  L xx x x0 xx Định lí 4: Giả sử lim f (x)  a ; lim g(x)  b Khi đó: xx xx i) lim  f (x)  g(x)   a  b xx0 ii) lim  f (x).g(x)  a.b xx f (x) a  x  x g(x) b iii) Nếu b  lim 1.2.2 Vơ bé, vơ lớn a) Vô bé Cho hàm số y = f(x) xác định lân cận x0 Hàm f gọi vô bé (VCB) x  x0 lim f (x)  xx Giả sử f(x) g(x) VCB x  x0, đó: f (x) – Nếu lim  ta nói f(x) VCB bậc cao so với g(x) hay g(x) x  x g(x) VCB bậc thấp so với f(x) x  x0 Kí hiệu f(x) = o(g(x)) f (x)  ta nói f(x) g(x) hai VCB tương đương xx0 – Nếu lim x  x g(x) ký hiệu f(x) ~ g(x) f (x) – Nếu lim  A  R* ta nói f(x) g(x) hai VCB bậc xx0 x  x g(x) 0 Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định   0 i) Nếu f(x) VCB xx0 f(x) + o(f(x)) ~ f(x) xx0 f (x) F(x)  lim ii) Nếu f(x) ~ F(x) g(x) ~ G(x) x  x0 lim x  x g(x) x  x G(x) Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa b) Vơ lớn Cho hàm số y = f(x) xác định lân cận x0 Hàm f gọi vô lơn (VCL) x  x0 lim | f (x) |  xx Giả sử f(x) g(x) VCL x  x0, đó: – Nếu lim x x f (x)   ta nói f(x) VCL bậc cao so với g(x) hay g(x) g(x) VCL bậc thấp so với f(x) x  x0 Kí hiệu f(x) >> g(x) – Nếu lim x x f (x)  ta nói f(x) g(x) hai VCL tương đương xx0 ký g(x) hiệu f(x) ~ g(x)  Ứng dụng VCL tương đương để khử dạng vô định    i) Nếu f(x) >> g(x) xx0 f(x) + g(x) ~ f(x) xx0 f (x) F(x) ii) Nếu f(x) ~ F(x) g(x) ~ G(x) x  x0 lim  lim x  x g(x) x  x G(x) Chú ý: Khi x  +∞ ta có: ax >> xn >> lnx với a > 1, n > 1.4 Hàm số liên tục 1.4.1 Định nghĩa f liên tục x0  lim f (x)  f (x ) xx0 f liên tục (a;b) liên tục điểm x  (a;b) f liên tục [a;b] liên tục (a;b) lim f (x)  f (a); lim f (x)  f (b) x a x b 1.4.2 Tính chất Định lí: Mọi hàm số sơ cấp liên khoảng xác định Định lí: Nếu f hàm liên tục [a; b] f nhận giá trị trung gian giá trị nhỏ giá trị lớn [a; b] Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa Bài tập chương 1.1 Tính giới hạn dãy (un) biết a) lim (n  1) n  n  3n  10 1.2 Tính giới hạn: x2  x6 a) A = lim x 2 x2 1.3 Xét tính liên tục hàm số: 1  cosx ,x   x a) f (x)    ,x   u1  b)  u n 1   u n sinx  t anx x 0 x3 b) B = lim   x.sin , x  b) f (x)   x 0 ,x  Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ 2.1 Đạo hàm 2.1.1 Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a; b) ta nói hàm số f(x) khả vi f (x)  f (x ) điểm x0  (a, b) tồn giới hạn lim  A x x x  x0 Số A nói gọi đạo hàm hàm số f(x) điểm x Ký hiệu f’(x0) Nếu hàm số f(x) khả vi điểm x  (a, b) ta nói f(x) khả vi khoảng (a; b) Nhận xét: Nếu đặt  x = x – x0 biểu thức định nghĩa trở thành f (x  x)  f (x ) f '(x )  lim x  x 2.1.2 Cơng thức tính đạo hàm a Các quy tắc tính đạo hàm a (u + v) = u + v b (u – v) = u – v c (uv) = uv + vu  u  uv  vu d    với v  v2 v e [f(u(x))]  = f (u(x)).u(x) b Đạo hàm hàm số ngược Định lí: Giả sử f: (a; b)  (c; d) song ánh liên tục, g = f 1 : (c; d)  (a; b) hàm số ngược nó, đặt y0 = f 1 (x0) Nếu f có đạo hàm y0  (a; b) f’(y0)  1 f 1 có đạo hàm x0 f (x )  f '(y ) Ví dụ: y = arcsinx hàm số ngược x=siny, – Vì x’(y) = cosy, nên y’(x) = 