Lý thuyết hệ thức lượng trong tam giác vuông hay, chi tiết toán 9

Bài 1 Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông A Lý thuyết 1 Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền Định lí 1 Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh g[.]

Bài Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông A Lý thuyết Hệ thức cạnh góc vng hình chiếu cạnh huyền Định lí Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền Ví dụ Tam giác ABC vng A, đường cao AH Khi đó, BH CH hình chiếu AB AC BC Ta có: AB2 = BC BH; AC2 = BC HC Một số hệ thức liên quan tới đường cao Định lí Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền Ví dụ Tam giác ABC vng A, đường cao AH Khi đó, BH CH hình chiếu AB AC BC Ta có: AH2 = BH HC Định lí Trong tam giác vng, tích hai cạnh góc vng tích cạnh huyền đường cao tương ứng Ví dụ Tam giác ABC vng A, đường cao AH Khi đó, BH CH hình chiếu AB AC BC Ta có: AB AC = BC AH Định lí Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng Ví dụ Tam giác ABC vuông A, đường cao AH Khi đó, BH CH hình chiếu AB AC BC Ta có: 1   2 AH AB AC2 B Bài tập tự luyện Bài Tìm độ dài x, y hình sau: a) b) Lời giải: a) Tam giác ABC vuông A, đường cao AH Ta có: BH = BC – HC = 16 – = (đvđd) AB2 = BC BH = 16 = 144 Suy ra: AB = 12 (đvđd) Vậy x = 12 (đvđd) b) Tam giác MNP vng M, đường cao MK Ta có: AH BC = AB AC Suy ra: MK  MN.MP 9.12   7,2 (đvđd) NP 15 Vậy y = 7,2 (đvđd) Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB : BC = : AB + BC = 16 cm Tính độ dài cạnh tam giác ABC Lời giải: Theo giả thiết: AB : BC = : nên AB BC  Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: AB BC AB  BC 16     35 Do AB = 2.3 = (cm); BC = 2.5 = 10 (cm) Tam giác ABC vuông A, theo định lý Py – ta – go, ta có: BC2 = AB2 + AC2 Suy AC2 = BC2 − AC2 = 102 − 62 = 64 Do AC = cm Vậy độ dài cạnh tam giác ABC là: AB = cm; AC = cm; BC = 10 cm Bài Cho tam giác ABC vuông A, có AB = cm, BC = cm AH đường cao Tính độ dài cạnh AC, AH, BH, CH Lời giải: Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆ABC vng A, ta có: BC2 = AB2 + AC2  AC2 = BC2 – AB2 = 52 – 32 = 16  AC = (cm) Ta có: + 1 1 25    2 2 2 AH AB AC 144  AH  144 25  AH  12  2,4 (cm) + AB2 = BC BH AB2 32   1,8 (cm) Suy BH  BC + BC = BH + CH  CH = BC – BH = – 1,8 = 3,2 (cm) Vậy độ dài cạnh AC = cm, AH = 2,4 cm, BH = 1,8 cm, CH = 3,2 cm Bài Một số hệ thức cạnh góc tam giác vuông A Lý thuyết Các hệ thức tam giác vng: Định lí Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: + Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cơsin góc kề + Cạnh góc vng nhân với tan góc đối hay nhân với cơtang góc kề Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có BC = a, AC = b, AB = c Khi đó, a độ dài cạnh huyền; b c độ dài hai cạnh góc vng Do đó: b = a.sin B = a.cos C; c = a.sin C = a.cos B; b = c.tan B = c.cot C; c = b.tan C = b.cot C B Bài tập tự luyện Bài Cho tam giác vuông ABC vuông A có AB = 3, AC = Hãy giải tam giác vng ABC Lời giải: Theo định lí Py-ta-go, ta có: BC  AB2  AC2  42  52  41  6,4 Mặt khác, tan C  AB   0,8 AC Suy C  22o ∆ABC vuông A nên B  C  90o Suy B  90o  C  90o  22o  68o Vậy BC  6,4; B  68o ; C  22o Bài Cho tam giác vuông MNP vuông M có MP = 2,1; P  56o Hãy giải tam giác vuông MNP Lời giải: ∆MNP vuông M nên N  P  90o Suy N  90o  P  90o  56o  34o Theo hệ thức cạnh góc tam giác vng, ta có: + tan P  MN MP  MN = MP tan P = 2,1 tan 56o ≈ 3,11 + cos P   NP  MP NP MP 2,1   3,76 cos P cos56o Vậy N  34o ; MN ≈ 3,11; NP ≈ 3,76 Bài Cho tam giác ABC có C  45o , AB.AC  32 , B SABC Lời giải: Kẻ AH  BC (H  BC) AB Tính độ dài BC,  AC b) Tam giác MNP vuông M, đường cao MK Ta có: AH BC = AB AC Suy ra: MK  MN.MP 9.12   7,2 (đvđd) NP 15 Vậy y = 7,2 (đvđd) Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB : BC = : AB + BC = 16 cm Tính độ dài cạnh tam giác ABC Lời giải: Theo giả thiết: AB : BC = : nên AB BC  Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: AB BC AB  BC 16     35 Do AB = 2.3 = (cm); BC = 2.5 = 10 (cm) Tam giác ABC vuông A, theo định lý Py – ta – go, ta có: BC2 = AB2 + AC2 ... cm, AH = 2,4 cm, BH = 1,8 cm, CH = 3,2 cm Bài Một số hệ thức cạnh góc tam giác vuông A Lý thuyết Các hệ thức tam giác vng: Định lí Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: + Cạnh huyền nhân với sin...  22o ∆ABC vuông A nên B  C  90 o Suy B  90 o  C  90 o  22o  68o Vậy BC  6,4; B  68o ; C  22o Bài Cho tam giác vuông MNP vuông M có MP = 2,1; P  56o Hãy giải tam giác vuông MNP Lời... tập chương A Lý thuyết Hệ thức cạnh góc vng hình chi? ??u cạnh huyền Định lí Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chi? ??u cạnh góc vng cạnh huyền Ví dụ Tam giác ABC vng