Đang tải... (xem toàn văn)
Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông : 1.. Định lí :.[r]
(1)Hệ thức lượng tam giác vuông
I Hệ thức tam giác vuông
1 Khái niệm :
Cho tam giác ABC vng A , ta có :
Cạnh huyền : BC
Cạnh góc vng : AC, AB
Đường cao : AH
Hình chiếu :
BH hình chiếu AB lên cạnh huyền BC CH hình chiếu AC lên cạnh huyền BC
2 Các hệ thức :
1 Định lí : (Pitago) BC2 = AB2 + AC2
2 Định lí : AB2 =BC BH; AC2 =BC CH 3 Định lí : AH2 = BH.CH
4 Định lí : AB.AC = BC.AH 5 Định lí : 1/AH2 = 1/AB2 + 1/AC2
Bài tập 1 : Cho tam giác ABC hình Tính AB, AC, AH
12,8
7,2 H C
B
A
H C
B
(2)hình vẽ, ta có : BC = BH + HC = 7,2 + 12,8 = 20 Theo hệ thức : AB2 =BC BH = 20.7,2 = 144
=> AB = = 12
AC2 =BC CH = 20.12,8 = 256 => AC = = 16
AH2 = BH.CH = 7,2 12,8 = 92,16 => AH = = 9,6
Bài tập 2 : Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH, AB = 6cm, AC = 8cm a) Tính độ dài : BC, HA, HB, HC
b) Tia phân giác góc BAC cắt BC D tính diện tích tam giác ABD
Giải
theo định lý Pitago : BC2
= AB2 + AC2= 62 + 82 = 100 => BC = = 10cm
Theo hệ thức : AB2 =BC BH 62 =10 BH
=> BH = 36 : 10 = 3,6cm AC2 =BC CH
82 =10 CH
=> CH = 64 : 10 = 6,4cm AH2 = BH.CH = 3,6 6,4 = 23,04 => AH = = 4,8cm b) Áp dụng tính chất đường phân giác :
=>DB = 6.10:14 = 30/7cm
(3)II Các tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vuông : 1 Định nghĩa :
2 Định lí :
Nếu hai góc phụ sin góc cos góc kia, tang góc cotang góc sin A = cos B
cos A = sin B
tan A = cotg B cotg A = tan B 2 Định lí so sánh :
cho ≤ α1 < α2 ≤ 900, ta có :
sinα1 < sinα2
tanα1 < tanα2
cosα1 > cosα2
cotgα1 > cotgα2
Một số kết đáng nhớ :
1 sin2 α + cos2 α = tan α cotg α =
3 tan α = cotg α =
bài tập mẫu :
Bài tập : xếp theo thứ tự tăng dần : sin 610; cos 520; sin 340 ; cos 730
(4)12cm
37 D
H C
B
A
cos 520 = cos (900 – 380) = sin 380 cos 730 = cos (900 – 170) = sin 170 theo định lý so sánh : 170
< 340 < 380 < 610 => sin 170 < sin 340 < sin 380 < sin 610 : cos 730
< sin 340 < cos 520 < sin 610
Bài tập :Tính : (khơng dùng bảng số máy tính )
A = sin2 350 + tg 220 + sin2 550 – cotg 130 : tg 770 – cotg 680 = (sin2 350 + sin2 550) – (cotg 130 : tg 770) + (tg 220 – cotg 680) = (sin2 350 + cos2 350) – (tg 770 : tg 770) + (tg 220 – tg 220) = – + =
Bài : Cho ΔABC vuông A, biết AC = 12cm, cos C = 4/5 a ) iải tam giác ABC
b ) Tính độ dài đường cao AH, đường phân giác AD ΔABC
Giải
Theo đề : cos C = 4/5 => = 370
Ta có : + = 900 => = 900 – = 900
– 370 = 530 Trong ΔABC vuông A, ta có :
(5)Theo định lý Pitago : BC2
= AB2 + AC2=> AB2 = BC2 – AC2= 152 – 122 = 81 => AB = 9cm
b) độ dài đường cao AH :
theo hệ thức : BC AH = AB AC => AH = AB AC : BC = 12 : 15 = 7,2cm Áp dụng tính chất đường phân giác :
=> DB = : = 6,43 cm
theo hệ thức : AB2 = BC BH => 92 = 15 BH => BH = 5,4 cm Trên tia BC, ta có : BH < BD => H nằm B D
=> BD = BH + HD => HD = BD – BH = 6,43 – 5,4 = 1,03cm Theo định lý Pitago Trong ΔAHD vuông H, ta có :
AD2 = AH2 + HD2= 7,22 + 1,032= 52,9009 => AD = 7,233 cm
Bài tốn tổng hợp : Cho ΔABC có ba góc nhọn, kẻ đường cao AH a ) Chứng minh : sinA + cosA >
b ) Chứng minh : BC = AH.(cotgB + cotgC)
c ) Biết AH = 6cm, góc B = 600, góc C = 450 Tính diện tích ΔABC
Giải
D
H C
B
(6)trong ΔABD vng D, ta có :
mà : DB + AD > AB => > : sinA + cosA >
b) theo hệ thức : BH = AH cotgB HC = AH cotgC
mà : BC = BH + HC = AH cotgB + AH cotgC = AH.(cotgB + cotgC) : BC = AH.(cotgB + cotgC)
c) Biết AH = 6cm, góc B = 600, góc C = 450 BC = 6.(cotg 600 + cotg 450)
SABC =