BÀI 1 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông 2 2 2 2 2 2 ; 1 2 3 1 1 1 4 b ab c ac h b c bc ah h b c B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1 Biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông (hoặc hai cạnh góc vuông), tính các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền và ngược lại 1 Phương pháp giải Vận dụng hệ thức 2 21 ;b ab c ac 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1 (Bài 1, tr 68 SGK) Hãy tính x và y trong mỗi hình sau Hướng dẫn.
BÀI MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hệ thức lượng tam giác vuông: b ab; c ac h bc bc ah 1 2 3 1 2 2 h b c 4 B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Biết cạnh huyền cạnh góc vng (hoặc hai cạnh góc vng), tính hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền ngược lại Phương pháp giải: Vận dụng hệ thức 1 : b2 ab; c ac Ví dụ minh họa Ví dụ 1: (Bài 1, tr 68 SGK) Hãy tính x y hình sau: Hướng dẫn (h.2a) Áp dụng định lý Pi-ta-go vào ABC ta có: BC AB2 AC 62 82 100 BC 10 Áp dụng hệ thức lượng số 1 : AB2 BH BC ta 62 10.x x 3,6 Từ y HC BC HB 6,4 Hướng dẫn (h.2b) Áp dụng hệ thức lượng số 1 : FE EH EG ta 122 20 x x 7, Từ y HG EG HE 12,8 Ví dụ 2: (Bài 12, tr 11 SGK) Tìm x y hình Hướng dẫn (h.3) Áp dụng hệ thức lượng số (1) vào ABC ta có: AB2 BH BC 11 AB x AC CH BC 1 20 AC y Ví dụ 3: (Bài 5, tr 69 SGK) Trong tam giác vuông với cạnh góc vng có độ dài 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Hãy tính đường cao độ dài đoạn thẳng mà định cạnh huyền Hướng dẫn (h.4) Áp dụng định lý Pi-ta-go vào ABC ta có: BC AB2 AC 32 42 25 BC Áp dụng hệ thức lượng số (1) vào ABC ta có: AB BH BC BH AB 1,8 BC HC BC HB 3,2 Áp dụng hệ thức lượng số (2) vào ABC ta có: AH BH HC AH BH HC 1,8.3, 2, Ví dụ 4: (Bài 6, tr 69 SGK) Đường cao tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài Hãy tính cạnh góc vng tam giác Hướng dẫn (h.5) Áp dụng hệ thức lượng số (1) vào ABC ta có: AB2 BH BC 1 AB AC CH BC 1 AB Bài tập áp dụng Bài tập Tìm x y hình biết BC 13 AB AC 12 Hướng dẫn Ta có AB 5 AB AC AC 12 12 Áp dụng định lý Pi-ta-go vào ABC ta có: 169 5 BC AB AC 13 AC AC 169 AC AC 12 144 12 2 2 Áp dụng hệ thức lượng số (1) vào ABC ta có: AB BH BC BH HC BC HB AB 25 BC 13 144 13 Bài tập Tìm x y hình Hướng dẫn Áp dụng hệ thức lượng số (1) vào ABC ta có: AC CH BC CH HB BC HC 3,6 Bài tập Tìm x y hình Hướng dẫn AC 82 6, y BC 10 AC 62 Áp dụng hệ thức lượng số (1) vào ABC ta có: AC CH BC BC CH y HB BC HC AB2 BH BC 5.9 45 AB x Dạng Các toán liên quan đến độ dài đường cao ứng với cạnh huyền Phương pháp giải Vận dụng hệ thức 2 : h2 b ' c ', 3 : bc Ví dụ minh họa Ví dụ Tìm x, y hình vẽ x y Hướng dẫn Cạnh huyền : y 74 35 74 Áp dụng 3 : bc ta x y 5.7 x Vậy x 35 ; y 74 74 Ví dụ Tìm x, y hình vẽ y x Hướng dẫn Áp dụng : h2 b ' c ', ta có: 22 1.x x Áp dụng (1) ta được: y2 5.4 y 20 Vậy x ; y 20 Ví dụ 3: Người ta đưa hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x hai đoạn thẳng a, b hai hình sau: x a b a O O b Hướng dẫn Dựa vào hệ thức 1 , chứng minh cách vẽ Gợi ý: tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng Hướng dẫn Cách A x b a B OA OB OC H C O BC R ABC vuông A Áp dụng h2 b ' c ', ta x ab Cách A x a B H C O b Chứng minh tam giác ABC vuông A Áp dụng hệ thức (1) ta x ab Ví dụ 4: Tìm x, y hình vẽ x 16 y x x y 12 x y Hướng dẫn a) Áp dụng hệ thức (2) ta : x2 4.9 36 x b) Áp dụng hệ thức (2) ta : 22 x.x x Áp dụng hệ thức (1) y x.x; y c) Áp dụng hệ thức (2) ta : 122 16.x x Có thể áp dụng hệ thức (1) định lý Pi-ta-go để tính y 15 Dạng Các tốn liên quan đến tổng nghịch đảo bình phương hai đoạn thẳng Phương pháp giải Vận dụng hệ thức 1 2 h b c Ví dụ minh họa Ví dụ (Bài 9, tr.70 SGK) Cho hình vng ABCD Gọi I điểm nằm A B Tia DI tia CB cắt K Kẻ đường thẳng qua D, vng góc với DI Đường thẳng cắt đường thẳng BC I Chứng minh rằng: a) Tam giác DIL tam giác cân; b) Tổng 1 không đổi I thay đổi cạnh AB DI DK Hướng dẫn a) ADI CDL c.g.c DIL tam giác cân b) Áp dụng hệ thức lượng: 1 vào tam giác DKL ta được: h b c 1 1 1 hay 2 2 DC DL DK DC DI DK Vì DC khơng đổi nên 1 khơng đổi DI DK C LUYỆN TẬP Bài Tính x y hình sau: Hình 14 Hình 15 Hướng dẫn a) Gọi tam giác ABC vuông A , AH đường cao ( H BC ), có AC 10; AB y; BH x; HC x; y Khi đó: Tam giác ACH vng H , ta có: AH AC CH AH AC CH 102 82 Tam giac ABC vuông A , ta có y 1 AB 2 AH AB AC AH AC 62.102 15 2 2 AC AH 10 15 2 9 15 Tam giác ABH vng H , ta có: BH AB AH 62 x 2 2 b) Gọi tam giác ABC vuông A , AH đường cao ( H BC ), có AB 30, AC y, CH 32, BH x x; y BC BH CH x 32 Áp dụng công thức: AB2 BH BC AB2 BH BH CH 302 x x 32 x 18 BC BH CH x 32 18 32 50 Tam giác ABC vng A , ta có: AC BC AB y AC 502 302 40 Bài Cho tam giác nhọn ABC , hai đường cao CB CB , cắt H Trên HB HC lấy điểm M N cho AMC ANC 90o Chứng minh AM AN Hướng dẫn ANB vuông N , NE đường cao AN AE AB 1 AMC vuông M , MD đường cao AN AD.AC 2 A nằm ngồi đường trịn tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn AE AB AD.AC 3 Từ 1 3 suy AM AN Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB 20 AH 420 Tính chu vi AC 21 tam giác ABC Hướng dẫn giải A Ta có: AB AC 20 21 AB 20 AC 21 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có : C B H 20 400 AC AC 1 AC 2 1 AB AC 841 21 441 2 2 2 400 AH AB AC AB AC 440 AC 20 AC AC AC 441 21 841 841 4202.841 AC 337164,5455 Do đó: AH 440 AC 4202 440 AC 440 Vậy: AC 337164,5455 580,66 cm 20 AC 21 Suy ra: AB 20 580, 66 21 553, 01 cm Áp dụng định lí Pi-Ta-go cho tam giác ABC vng A ta được: BC AB2 AC 305802,0601 337164,5455 642928,6065 Khi đó: BC 642928,6065 801,86 Chu vi tam giác ABC là: CABC AB AC BC 1935,53 cm Bài Cho hình thang ABCD vng góc A D Hai đường chéo vng góc với O Biết AB 13 ; OA Tính diện tích hành thang Hướng dẫn giải Tam giác BAD tam giác vng A có AO đường cao nên: 1 1 1 1 2 2 2 2 AO AB AD AD AO AB 13 1 36 52 117 Do đó: AD 117 13 AOD vuông O áp dụng định lí Pi-Ta-go ta được: AD2 AO2 OD OD AD AO 13 62 117 36 81 Nên: OD 81 cm 13 A ADC vng D có DO đường cao nên B 1 1 1 2 2 DO DA DC DC DO DA2 1 1 2 81 117 1053 13 O C D Do đó: DC 1053 Diện tích hình thang ABCD là: S ABCD 1 13 507 AD AB DC 13 13 cm2 2 Bài Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt O Cho biết khoảng cách từ O tới cạnh hình thoi h Biết rằng: AC m; BD n Chứng minh rằng: 1 2 m n 4h Hướng dẫn giải Gọi H chân đường cao tam giác OAB vng A O Theo giả thiết ta có: H D O B m AO AC m n BD n BO OH h OH h C Tam giác AOB vng O có OH đường cao nên: 1 1 1 2 2 OH OA OB h m n 2 4 1 1 4 h m n h n m n 4h m ... minh rằng: a) Tam giác DIL tam giác cân; b) Tổng 1 không đổi I thay đổi cạnh AB DI DK Hướng dẫn a) ADI CDL c.g.c DIL tam giác cân b) Áp dụng hệ thức lượng: 1 vào tam giác DKL ta... Chứng minh tam giác ABC vuông A Áp dụng hệ thức (1) ta x ab Ví dụ 4: Tìm x, y hình vẽ x 16 y x x y 12 x y Hướng dẫn a) Áp dụng hệ thức (2) ta : x2 4 .9 36 x b) Áp dụng hệ thức (2) ta... vào hệ thức 1 , chứng minh cách vẽ Gợi ý: tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vuông Hướng dẫn Cách A x b a B OA OB OC H C O BC R ABC vuông