(SKKN mới NHẤT) rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 9 thông qua xây dựng bài tập hình học

PHẦN I – ĐẶT VẤN ĐỀ Ở trường phổ thông dạy tốn dạy hoạt động tốn học (A.A Stơliar) Đối với học sinh, xem việc giải Tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Các tốn trường phổ thơng phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải tập toán điều kiện để thực tốt mục đích dạy học tốn trường phổ thơng Vì tổ chức có hiệu việc dạy giải tập tốn học có vai trị định chất lượng dạy học toán Bài tập toán mang nhiều chức năng: Chức giáo dục, chức giáo dưỡng, chức phát triển tư chức kiểm tra đánh giá Khối lượng tập toán trường phổ thông phong phú, đa dạng Có lớp tốn có thuật giải, phần lớn tốn chưa có khơng có thuật giải Đứng trước tốn đó, giáo viên gợi ý hướng dẫn học sinh để giúp họ tìm phương pháp giải vấn đề quan trọng Tuy nhiên vấn đề khó khăn đưa gợi ý hợp lí, lúc, chỗ cịn nghệ thuật sư phạm người giáo viên Rèn luyện lực giải tốn có vai trị quan trọng việc phát triển khả tư học sinh, để giải tốn học sinh phải suy luận, phải tư duy, phải liên hệ với tốn khác để tìm lời giải; phải biết huy động kiến thức, biết chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tượng Mối liên hệ, dấu hiệu tốn phát thơng qua q trình phân tích, tổng hợp, khái qt hố, so sánh Nguồn gốc sức mạnh Toán học tính chất trừu tượng cao độ Nhờ trừu tượng hoá mà Toán học sâu vào chất nhiều vật, tượng có ứng dụng rộng rãi Nhờ có khái qt hố, xét tương tự mà khả suy đoán tưởng tượng học sinh phát triển, có suy đốn táo bạo, có dựa quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện thao tác tư Thông qua khai thác tập sách giáo khoa toán sáng tạo xây dựng toán làm cho học sinh từ bất ngờ đến bất ngờ khác cách thú vị, làm cho học sinh biết cách thức tạo kiến thức tốn qua ứng dụng vào giải tập tốn Trong q trình dạy học sinh lớp 9, đặc biệt học sinh - giỏi, tổ chức hoạt động khai thác kiến thức tập nhiều tiết dạy khóa, buổi dạy nâng cao, buổi bồi dưỡng học sinh giỏi thu số kết định Thông qua việc khai thác tập giúp học sinh lớp ôn tập kiến thức bản, trọng tâm, làm cho học sinh rèn luyện số phương pháp giải tập, học sinh có kỹ vẽ thêm đường phụ, kỹ tìm tịi lời giải tự tin sáng tạo toán từ tập toán sách giáo khoa Vì lý tơi chọn đề tài nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm là:"Rèn luyện lực giải tốn cho học sinh lớp thơng qua xây dựng tập hình học" TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com PHẦN II- NỘI DUNG A Thực trạng, mục đích phương pháp nghiên cứu Thực trạng vấn đề - Khi giảng dạy lớp gặp tập hình học, tơi thấy học sinh cịn nhiều lúng túng việc vẽ hình, hay tìm định hướng làm bài, đặc biệt học sinh học mức độ trung bình - Giáo viên dạy học sinh giải tập hình học, thường chữa tập xong, khai thác, phân tích đề để mở rộng tốn dẫn đến học sinh gặp toán khác chút không giải - Học sinh thường ngại học hình học kiến thức hình học khơng dễ nhớ, khó tìm phương pháp giải, tốn hình học tổng hợp thường phức tạp, phải áp dụng lúc nhiều kiến thức Mục đích nghiên cứu a Đối với giáo viên: - Nâng cao trình độ chuyên mơn phục vụ cho q trình giảng dạy - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nhằm nâng cao kiến thức b Đối với học sinh: - Giúp học sinh lớp rèn luyện lực học tập mơn tốn nói chung việc rèn luyện lực học tập hình học nói riêng Trang bị cho học sinh số kỹ nhằm nâng cao lực học tập mơn tốn, giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo - Rèn luyện lực toán cho học sinh lớp 9, khắc phục phần hạn chế kì thi học sinh lớp Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo học sinh trường Nghiên cứu qua mạng Internet - Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy cô giáo, đồng nghiệp - Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, Kết cần đạt - Trong đề tài đưa số tình khai thác tập sách giáo khoa toán nhằm rèn luyện lực giải toán cho học sinh lớp - Trang bị cho học sinh số kỹ phân tích, nhận xét, khai thác kết toán việc rèn luyện lực giải tốn - Thấy vai trị to lớn tập hình học sách giáo khoa, học sinh vận dụng cho số toán khác TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com B Rèn luyện lực giải toán cho học sinh lớp thơng qua khai thác phát tốn Bài toán gốc ban đầu Bài toán: Các đường cao hạ từ đỉnh A B cắt H( cắt đường tròn ngoại tiếp D E Chứng minh rằng: a) CD = CE b) cân ) c) CD = CH (Bài tập 95 – SGK toán tập trang 105) Phân tích tốn Đây tốn chương trình Hình học 9, tập nhằm củng cố lại kiến thức đường trịn góc với đường trịn, nên để giải tập ta cần rõ cho học sinh phương pháp kiến thức liên quan Cụ thể: a) Để chứng minh CD = CE ta cần chứng minh hai góc nội tiếp chắn hai cung b) Từ kết chứng minh câu a, ta chứng minh tam giác BHD có BM vừa đường cao vừa đường phân giác c) Từ kết chứng minh câu b, ta chứng minh BC đường trung trực HD Từ ta giải tốn sau: Bài giải Gọi M, N giao điểm AD với BC BE với AC a) Ta có A E N H ( = 90 ) O Mà B (các góc nội tiếp chắn cung nhau) (Liên hệ cung dây) M D b) Ta có ( hệ góc nội tiếp) BM vừa đường cao vừa đường phân giác) c) Ta có cân B C cân (Vì có đường trung trực HD (vì BC chứa BM) CD = CH ( tính chất đường trung trực ) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Khai thác toán gốc ban đầu để phát xây dựng tập hình học Xuất phát từ toán sách giáo khoa toán 9, giáo viên đưa tình khai thác, mở rộng tốn thơng qua hệ thống câu hỏi xây dựng định hướng Từ định hướng đó, học sinh trả lời xây dựng cho tập hình học Qua củng cố kiến thức, nâng cao lực tư sáng tạo, lực giải toán cho học sinh Tình 1: Xét tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Các đường cao AM, BN, CP cắt H cắt đường trịn (O) D, E, F Khi toán xuất tam giác đồng dạng, tứ giác nội tiếp Vậy khai thác kết từ tam giác đồng dạng tứ giác nội tiếp A E N F P B Giáo viên nêu câu hỏi định hướng sau: H O C M D + Định hướng 1: Các tứ giác CNHM, BCNP nội tiếp khơng Vì sao? - Học sinh chứng minh: Xét tứ giác CNHM ta có: Do CNHM tứ giác nội tiếp Tương tự ta có BCNP tứ giác nội tiếp + Định hướng 2: Các ?Xét tương tự cho hai có đồng dạng khơng? so sánh với - Học sinh chứng minh: Xét hai tam giác ANH AMC ta có: chung góc Xét hai tam giác BNC AMC ta có: góc chung + Định hướng 3: Chứng minh cộng vế với vế hai đẳng thức ta kết nào? Áp dụng tương tự thu đẳng thức nào? - Học sinh chứng minh được: AH.AM + BH.BN = AB , BH.BN + CH.CP = BC , AH.AM + CH.CP = AC Công vế với vế ba đẳng thức ta TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com + Định hướng 4: Trong tam giác MNP, DEF trực tâm H có tính chất gì? - Học sinh chứng minh: Tứ giác BCNP nội tiếp đường tròn Cũng theo chứng minh CNHM tứ giác nội tiếp Suy NB tia phân giác góc MNP - Chứng minh tương tự ta có PC tia phân giác góc MPN mà BN CP cắt H H tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP - Mặt khác chứng minh MN//DE, NP//EF, MP//DF H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Từ định hướng phát biểu toán Bài tốn 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AM, BN, CP cắt H cắt đường tròn (O) D, E, F a) Chứng minh tứ giác CNHM, BCNP nội tiếp b) Chứng minh AN.AC = AH.AM; AM.BC = BN.AC c) Chứng minh AH.AM + BH.BN = AB Từ suy d) Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP, DEF Tình 2: Xét tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Các đường cao AM, BN, CP cắt H cắt đường tròn (O) D, E, F Khi cạnh, đường cao diện tích tam giác có mối liên hệ với khơng? Giáo viên nêu câu hỏi định hướng sau: A E N F P B H O C M D + Định hướng 1: Giáo viên nêu câu hỏi liên quan đến tỉ số diện tích tam giác tỉ số đoạn thẳng ?1 Tính , , - Học sinh tính : ; TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ?2 Với kết tính - Học sinh tính ?3 Tương tự giáo viên cho học sinh tính - Từ hệ thức học sinh tính được: ?4 Các điểm D, E, F đối xứng với H qua BC, CA, AB khơng? Khi - Học sinh tính + Định hướng 2: Với p nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Tìm hệ thức liên hệ r AM, BN, CP? - Học sinh chứng minh Vì Mà Nên + Định hướng 3: Giáo viên nêu nội dung câu hỏi để xây dựng hệ thức đoạn thẳng ?1 Chứng minh nêu kết tương tự - Học sinh chứng minh Suy Chứng minh tương tự ta có: ?2 Với kết - Học sinh tính được: + Định hướng 4: Giáo viên nêu nội dung câu hỏi toán bất đẳng thức tỉ số đoạn thẳng TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ?1 Theo bất đẳng thức Cơsi Học sinh có kết ?2 Vậy từ ta Học sinh nêu kết ?3 Tương tự giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh ; Từ định hướng phát biểu toán Bài toán 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Các đường cao AM, BN, CP cắt H cắt đường tròn (O) D, E, F a) Chứng minh , b) Chứng minh , với r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC c) Chứng minh d) Chứng minh rằng: , Tình 3: Xét tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Các đường cao AM, BN, CP cắt H cắt đường tròn (O) D, E, F Khi tốn xuất tam giác nhau, góc Vậy khai thác kết cho ta toán nào? Nếu vẽ thêm đường kính AK có thêm kết gì? Giáo viên nêu câu hỏi định hướng sau: A E N J F P B H O G C I M D K + Định hướng 1: Giáo viên nêu câu hỏi khai thác tam giác TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ?1 Hai tam giác tự có khơng Vì sao? Nêu kết tương - Học sinh nêu kết quả: Từ câu b, c tốn ta có BD = BH, CD = CH Tương tự ta có ; ?2 Vậy bán kính đường trịn ngoại tiếp liên hệ với nhau? - Học sinh: Các đường trịn ngoại tiếp bán kính đường trịn ngoại tiếp có bán kính + Định hướng 2: Vẽ bán kính OA, dự đốn vị trí tương đối đường thẳng OA NP Học sinh suy luận để tìm kết quả: Từ câu a tốn ta có: AE = AF, Vì O tâm đường trịn ngoại tiếp nên OA đường trung trực EF OA Do OA EF NP Chứng minh NP // EF Từ chứng minh Học sinh làm theo cách vẽ thêm tiếp tuyến Ax sử dụng tính chất góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến với dây cung + Định hướng 3: Gọi I trung điểm BC , K điểm đối xứng với H qua I tứ giác BHCK Ba điểm A, O, K thẳng hàng khơng? - Học sinh chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành Từ ta có BK // CH Mặt khác nên vuông B Suy AK đường kính (O) hay A, O, K thẳng hàng + Định hướng 4: Gọi J trung điểm củaAH Giáo viên cho học sinh dự đốn tính chất tứ giác BCKD, JOID ?1 Tứ giác BCKD hình gì? - Học sinh chứng minh: Dễ thấy nên DK//BC BCKD hình thang Mặt khác ta có , mà Vậy tứ giác BCKD hình thang cân ?2 Tứ giác JOID hình gì? - Học sinh chứng minh: Tứ giác JOID hình thang IO//DJ, mà OA= OD JI = OA nên IJ = OD Do JOID hình thang cân + Định hướng 5: Gọi G giao điểm AI OH, AI, HO tam giác AHK Trong tam giác ABC, điểm G có tính chất gì? - Học sinh chứng minh: Ta có I trung điểm BC, suy I trung điểm HK TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Do AI, HO trung tuyến G trọng tâm Xét tam giác ABC có I trung điểm BC Suy G tâm + Định hướng 6: Chứng minh - Học sinh chứng minh: Tứ giác ABDC nội tiếp nên theo định lí Ptoleme ta có AB.CD + AC.BD = AD.BC Mà Suy Từ định hướng phát biểu toán Bài toán 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Các đường cao AM, BN, CP cắt H cắt đường tròn (O) D, E, F Gọi I, J trung điểm BC AH, K điểm đối xứng với H qua I a) Chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác bán kính với đường tròn ngoại tiếp b) Chứng minh OA EF c) Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành A, O, K thẳng hàng d) Chứng minh tứ giác BCKD, JOID hình thang cân e) Gọi G giao điểm AI OH Chứng minh G tâm g) Chứng minh Tình 4: Xét tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AM, BN, CP cắt H Nếu tiếp tục khai thác từ tam giác đồng dạng ta thu kết nữa? Từ tốn ta có OA NP, khai thác từ kết luận khơng? Giáo viên nêu câu hỏi định hướng sau: A N J P O H B M D C I K + Định hướng 1: Vẽ đường kính AK Giáo viên nêu câu hỏi khai thác tính đồng dạng tam giác TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ?1 Chứng minh hai tam giác vng ABM AKC đồng dạng tính AM theo bán kính R - Học sinh: Xét hai tam giác vng ABM AKC có giác đồng dạng .Nên hai tam Suy ?2 Từ kết ?1, lập cơng thức tính diện tích tam giác ABC - Học sinh tính được: + Định hướng 2: Giáo viện khai thác kết OA NP từ toán ?1 Tính diện tích tứ giác ONAP, OMBP, OMCN theo R - Học sinh tính ; ?2 Vậy diện tích tam giác ABC tính theo R nào? - Học sinh: Suy Tức + Định hướng 3: Gọi r' bán kính đường tròn nội tiếp trường tròn tâm O Giáo viên nêu câu hỏi sau ?1 Chứng minh Nêu kết tương tự - Học sinh chứng minh ?2 Khi MNP, R bán kính nêu kết tương tự ? - Học sinh: Ta có ?3 Khi diện tích tam giác MNP tính theo r’ nào? - Học sinh: Theo công thức ta có ?4 Với kết 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com + Định hướng Tính - Học sinh tính Từ định hướng phát biểu toán Bài toán 22 Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O; R) có H trực tâm Tia AH cắt BC M cắt đường tròn (O) D, kẻ đường kính AOK a) Chứng minh BC// DK b) Vẽ đường trịn tâm H bán kính HA cắt AB AC E F Chứng minh AO vng góc với EF c) Chứng minh sin A + sin B + sin C < 2(cos A + cos B + cos C) d) Chứng minh rằng: Tình 23 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) Các đường cao BN, CP cắt H Gọi I trung điểm BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác BPI CNI cắt J(J khác I) Gọi G giao điểm BC NP Với yếu tố phụ vẽ thêm đó, ta phát biểu tốn nào? A N P H G B M J O C I + Định hướng Chứng minh năm điểm A, P, H, J, N nằm đường tròn, từ suy - Học sinh chứng minh: Tứ giác BPJI nội tiếp nên CNJI nội tiếp nên Mà Tứ giác Suy hay tứ giác APJN nội tiếp, năm điểm A, P, H, J, N nằm đường trịn, từ suy + Định hướng Ba điểm A, J, I có thẳng hàng khơng? - Học sinh chứng minh: Tứ giác APJN nội tiếp nên Tứ giác CNJI nội tiếp nên Kết hợp với suy , nên A, J, I thẳng hàng + Định hướng Ba điểm J, G, H có thẳng hàng khơng? - Học sinh chứng minh: Dễ dàng chứng minh GH vng góc với AI 39 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Gọi J' giao điểm GH AI Ta cần chứng minh J trùng với J' Vì tứ giác CNJI nội tiếp tam giác BCN vuông nên nên tứ giác GPJC nội tiếp , suy Do Từ ta có J J' trùng hay J, G, H thẳng hàng + Định hướng Tứ giác BJNG nội tiếp không? - Học sinh chứng minh: Tứ giác NPHJ nội tiếp nên Tứ giác GPJC nội tiếp nên Do , suy tứ giác BJNG nội tiếp + Định hướng Vẽ đường kính IE IF đường tròn ngoại tiếp tam giác BPI CNI Dự đốn vị trí ba điểm E, H, F - Học sinh dự đoán chứng minh ba điểm E, H, F thẳng hàng Từ định hướng phát biểu toán Bài tốn 23 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) Các đường cao BN, CP cắt H Gọi I trung điểm BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác BPI ANI cắt J(J khác I) a) Chứng minh b) Chứng minh A, J, I thẳng hàng c) Gọi G giao điểm BC NP Chứng minh J, G, H thẳng hàng d) Chứng minh tứ giác BJNG nội tiếp e) Vẽ đường kính IE IF đường trịn ngoại tiếp tam giác BPI CNI Chứng minh E, H, F thẳng hàng Tình 24 Cho tam giác ABC có góc nhọn ( AB < AC) có đường cao AM, BN, CP tam giác ABC chúng cắt H Xét tứ giác CMHN Với số yếu tố phụ vẽ thêm, ta phát biểu toán nào? A J K N D P H E + Định hướng Tứ giác MHNC có nội tiếp đường trịn khơng? Xác định tâm O'? - Học sinh chứng minh: Ta có nên tứ giác MHNC nội tiếp đường trịn đường kính HC tâm O' trung điểm HC B M C T G + Định hướng Trên cung nhỏ NC đường tròn (O') lấy điểm D cho DC > DN, MD cắt CN E So sánh ED.EM EN.EC? 40 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com - Học sinh làm sau: Xét tam giác EDC tam giác ENM ta có : (2góc đối đỉnh ), (2góc nội tiếp chắn cung MC) (g-g ) + Định hướng Gọi giao điểm NP DC J Chứng minh rằng: JE CH - Học sinh chứng minh: Ta có nên tứ giác BPNC nội tiếp Tứ giác JNED nội tiếp Ta lại có: mà Mặt khác lại có mà , từ mà AB//EJ EJ vng góc với CH + Định hướng Cho HJ cắt (O') K, KE cắt (O') G, JE cắt BC T Các điểm H, T, G thẳng hàng không? ?2 So sánh EN.CE TE.JE, EN.EC KE.GE? - Học sinh chứng minh: Xét tam giác EJN tam giác TCE ta có: Xét tam giác NEK tam giác GEC ta có: ?2 So sánh hai góc , ? - Học sinh so sánh: Từ suy TE.JE = KE.GE Xét tam giác JEK tam giác GET ta có: ?3 Ba điểm H, T, G có thẳng hàng khơng? - Học sinh chứng minh: Ta có góc HK CK theo ta chứng minh JE CH , mà ta lại có hai tia GT GH trùng điểm H, T, G thẳng hàng Từ định hướng phát biểu toán Bài toán 24 Cho tam giác ABC có góc nhọn ( AB < AC) Vẽ đường cao AM, BN, CP tam giác ABC chúng cắt H a) Chứng minh tứ giác MHNC nội tiếp, xác định tâm O' a) Trên cung nhỏ NC đường tròn (O') lấy điểm D cho DC > DN, MD cắt CN E Chứng minh ED.EM = EN.EC c) Gọi giao điểm NP DC J Chứng minh rằng: JE CH 41 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com d) HJ cắt (O') K, KE cắt (O') G, JE cắt BC T Chứng minh điểm H, T, G thẳng hàng Tình 25 Cho tam giác ABC có góc nhọn (AB