a) Phỏt hiện và chứng minh định lớ theo con đường cú khõu dự đoỏn.
2.2.5.2. Như vậy, nhận thức đi từ cỏi riờng đến cỏi chung, rồi từ cỏi chung chuyển hoỏ thành cỏi riờng, theo tỏc giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần
chuyển hoỏ thành cỏi riờng, theo tỏc giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thỳc Trỡnh cho rằng, xột đến phương diện nào đú thỡ cỏi chung và cỏi riờng mõu thuẫn, nhưng xột ở những phương diện khỏc thỡ cỏi chung và cỏi riờng lại thống nhất: cỏi chung bao trựm lờn cỏi riờng và cỏi riờng nằm trong cỏi chung, mỗi cỏi riờng cú thể nằm trong nhiều cỏi chung khỏc nhau và mỗi cỏi chung như vậy cũng ứng với một cỏch nhỡn về cỏi riờng, ứng với một quan điểm làm cơ sở cho sự thống nhất giữa cỏi chung và cỏi riờng. Từ một cỏi riờng nếu biết nhỡn theo nhiều quan điểm cỏc gúc độ khỏc nhau thỡ cú thể khỏi quỏt thành nhiều cỏi chung
khỏc nhau, và đụi khi đem đặc biệt hoỏ nhiều cỏi chung thỡ lại được một cỏi riờng và cứ như thế qua nhiều giai đoạn phỏt triển lờn thành cỏi mới.
Chẳng hạn, trong Hỡnh học thỡ tam giỏc đều vừa là trường hợp riờng của hỡnh tứ diện đều vừa là trường hợp riờng của tam giỏc cõn. Xột về số chiều thỡ tam giỏc đều và tứ diện đều là mõu thuẫn, nhưng xột về tớnh chất thỡ cú tất cả cỏc cạnh bằng nhau là thống nhất.
Xột trong dạy học khỏi niệm toỏn học thỡ khỏi niệm Toỏn học được hỡnh thành theo hai con đường quy nạp và suy diễn. Con đường quy nạp là xuất phỏt từ một số trường hợp cụ thể (cỏi riờng) để dẫn dắt học sinh tỡm ra cỏc dấu hiệu đặc trưng của một khỏi niệm thể hiện trong một trường hợp cụ thể. Từ đú đi đến khỏi niệm (cỏi chung); Con đường suy diễn là con đường thứ hai để hỡnh thành khỏi niệm cho học sinh, trong đú việc định nghĩa mới khỏi niệm xuất phỏt từ định nghĩa khỏi niệm mà học sinh đó biết, đú là từ cỏi chung đi đến cỏi riờng. Trong quỏ trỡnh dạy học khỏi niệm Toỏn học cần rốn luyện cho học sinh đi từ cỏi riờng đến cỏi chung, cú nghĩa là khả năng khỏi quỏt hoỏ trong Toỏn học.
Trong dạy học định lớ: cũng như trong dạy học khỏi niệm Toỏn học cần phải làm cho học sinh hiểu được hệ thống kiến thức. Sau mỗi phần mỗi chương cần tiến hành hệ thống hoỏ cỏc định lớ, đặc biệt cần làm rừ mối quan hệ biện chứng của nú trong Toỏn học, mối quan hệ đú cú thể là giữa cỏi chung và cỏi riờng: một định lớ cú thể là trường hợp mở rộng hoặc là một trường hợp riờng của một định lớ nào đú. Thụng qua đú người giỏo viờn cú thể rốn luyện cho học sinh khai thỏc và sỏng tạo Toỏn học. Cỏch nhỡn một cỏi riờng theo nhiều gúc độ khỏc nhau là cơ hội để tập dượt năng lực giải Toỏn cũng như quỏ trỡnh sỏng tạo bước đầu Toỏn học của học sinh.
Vớ dụ 2.12 : khi dạy học định lớ Talet trong khụng gian cho học sinh lớp 11.
Khi d và d’ đồng phẳng thỡ hoàn toàn cú thể sử dụng định lý Talet trong hỡnh học phẳng ta sẽ cú hệ thức:
' ' ' ' ' '
AB BC CA
A B = B C =C A
Vậy trong trường hợp tổng quỏt,d và d’ ở vị trớ bất kỡ trong khụng gian thỡ hệ thức trờn cú cũn đỳng?Qua đú cú thể cho học sinh nhận xột trong trường hợp riờng đú là 2 đường thẳng d và d’ chộo nhau.Học sinh sẽ dựa vào cỏi đó biết để đi chứng minh hệ thức vẫn đỳng trong trường hợp riờng này.
Qua sự nhận thức trờn từ cỏi riờng khi hai đường chộo nhau, ta cũng cú quyền hi vọng rằng sự nhận thức của học sinh cũng sẽ đi đến một quyết định tổng quỏt rằng điều đú cũng đỳng trong trường hợp tổng quỏt là d và d’ ở vị trớ bất kỡ trong khụng gian, để từ đú đi đến sự hỡnh thành định lớ qua việc phõn tớch cỏi riờng để đi đến cỏi chung.
Trong chương trỡnh Toỏn phổ thụng rất nhiều định lớ đều cú dạng như vậy. Nếu giỏo viờn biết vận dụng được mối liờn hệ giữa “cỏi chung” và “cỏi riờng” thỡ sẽ tạo được nhiều cơ hội từ những kiến thức đó cú để khai thỏc ứng dụng, bổ sung kiến thức mới trong quỏ trỡnh nhận thức.
Cũn trong dạy học Bài tập Toỏn: Trong quỏ trỡnh giải bài toỏn thỡ một phương phỏp tổng quỏt là tỡm cỏch đưa bài toỏn cần phải giải về bài toỏn đơn giản hơn đú là cỏch quy lạ về quen. Điều đú cú nghĩa là nếu phỏt hiện ra được cỏc quan hệ cỏi chung - cỏi riờng của Bài toỏn thỡ sẽ thuận lợi rất nhiều trong quỏ trỡnh giải Toỏn. Do vậy trong quỏ trỡnh dạy học Toỏn cỏi quan trọng của người giỏo viờn cần phải định hướng cho học sinh biết khai thỏc chuyển từ những bài toỏn xa lạ, về những Bài toỏn quen thuộc. Thế nhưng khi cú kết quả bài toỏn thỡ dừng ở đú chưa đủ, vỡ Toỏn học luụn luụn là sự mở rộng của cỏi riờng đó biết đến hay một cỏi chung trước đú để nhằm khai thỏc tỡm tũi cũng cố sõu thờm kiến thức của chương trỡnh Toỏn phổ thụng.
Vớ dụ 2.13 : Từ một bài toỏn sau đõy mà HS cấp THCS đó tương đối quen thuộc:
Cho tam giỏc OBC, trờn OB, OC lấy lần lượt cỏc điểm B1, C1. Chứng minh rằng 1 1 1. 1 . OA B OAB S OB OC S = OB OC .
Cú thể phỏt triển bài toỏn này theo nhiều hướng khỏc nhau đến những cỏi chung, cỏi tổng quỏt, chẳng hạn theo hướng sau: (ở đõy chỳng tụi đang núi đến đối tượng HS cú NL toỏn).
Xem cạnh BC là suy biến của một tam giỏc ABC cú đỉnh A nằm trờn cạnh BC, khi đú B1C1 cũng là một tam giỏc suy biến với đỉnh A nằm trờn cạnh B1C1
trong khụng gian 3 chiều. Từ đú ta cú thể mở rộng bài toỏn cho khụng gian ba chiều với bài toỏn sau (cho HS THPT):
Cho hỡnh chúp tứ giỏc OABC, trờn OA, OB, OC lấy lần lượt cỏc điểm A1, B1, C1. Chứng minh rằng 1 1 1 1. 1. 1 . . OA B C OABC V OA OB OC V = OA OB OC
Vớ dụ 2.14: Xem xột cỏc đối tượng, cỏc quan hệ, cỏc tớnh chất từ nhiều trường hợp riờng của một cỏi chung; Từ đú sử dụng cỏc thao tỏc tư duy: so sỏnh, phõn tớch, tổng hợp, khỏi quỏt hoỏ, tổng quỏt hoỏ để đề xuất bài toỏn mới, bài toỏn tổng quỏt.
Chẳng hạn xột vớ dụ sau: Cho 2 nửa đường thẳng chộo nhau Ax, By.M,N là hai
điểm di động lần lượt trờn Ax,By sao cho AM=BN.Tỡm tập hợp điểm I thuộc MN sao cho:IM=IN.
Gọi O là trung điểm AB. Từ O dựng Ox’//Ax,Oy’//By I A B x y y' x' t O M M' N' N Hỡnh 2.11
Gọi M’,N’ là hỡnh chiếu của M,N theo phương AB. Gọi I’ là giao điểm của MN và M’N’.
Vỡ MM’//NN’ nờn I’ là trung điểm MN nờn I trựng I’
Xột ∆M ON' ' cõn tại O cú I là trung điểm nờn OI là phõn giỏc gúc x’Oy’ Vậy I nằm trờn phõn giỏc gúc x’Oy’
Xem vớ dụ trờn là bài toỏn gốc để nhỡn nhận đối tượng, cỏc tớnh chất từ nhiều trường hợp riờng của một cỏi chung, để từ đú dự đoỏn tỡm tũi khai thỏc cỏc điều kiện đó cho trong cỏi riờng và trong cỏi chung tạo ra bài toỏn mới như sau. Vớ dụ 2.15 :Cho 2 nửa đường thẳng chộo nhau Ax,By.M,N là hai điểm di động lần lượt trờn Ax,By sao cho AM=k.BN.Tỡm tập hợp điểm I thuộc MN sao cho:IM=k.IN.
Gọi O là điểm thuộc AB sao cho:OA k OB =
Từ O dựng Ox’//Ax,Oy’//By
Gọi M’,N’ là hỡnh chiếu của M,N theo phương AB. Gọi I’ là giao điểm của MN và M’N’.
Vỡ MM’//NN’ nờn ' ' ' ' ' ' ' ' I M I M MM OA IM k I N = I N = NN =OB = = IN . Do đú:I trựng I’. Xột ∆M ON' ' cú ' ' ' ' ' ' OM AM IM OM k k ON = BN = ⇒ IN = ON = nờn OI là phõn giỏc gúc x’Oy’
Vậy I nằm trờn phõn giỏc gúc x’Oy’